bài tập lớn lý thuyết xác suất và thống kê

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

BÀI TẬP LỚN

MÔN: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

HÀ NỘI - 2024

Câu 1:

Chiều cao(cm)

ni x ni i x n2i i

143 1 143 20449149 1 149 22201150 4 600 90000151 1 151 22801152 5 760 115520153 3 459 70227154 3 462 71148155 2 310 48050156 2 312 48672157 2 314 49298158 7 1106 174748160 10 1600 256000162 3 486 78732164 1 164 26896165 5 825 136125166 2 332 55112167 1 167 27889168 3 504 84672169 5 845 142805170 5 850 144500171 1 171 29241172 7 1204 207088173 6 1038 179574174 1 174 30276175 6 1050 183750176 1 176 30976178 1 178 31684179 1 179 32041180 1 180 32400182 1 182 33124

- Quần thể đích: 92 sinh viên (trong lớp)- Quần thể nghiên cứu: 27 sinh viên (trong lớp)- Phương pháp lấy mẫu: chọn mẫu ngẫu nhiên đơn+ Lập danh sách toàn bộ sinh viên lớp học

+ Sử dụng phương pháp “bốc thăm” để chọn đơn vị mẫu- Cách thực hiện:

+ Lớp đã chia thành 9 nhóm có số lượng người mỗi nhóm khá đồng đều (7nhóm 10 người, 2 nhóm 11 người) Các thành viên từng nhóm đã được đánh sốthứ tự từ 1 đến 10 hoặc 11.

+ Bằng phương pháp “bốc thăm” chọn ngẫu nhiên 3 người từ mỗi nhóm, ta đượcbảng sau:

Nhó Tên sinh viên Chiều cao (m)

Trần Thị Ngọc Lan 1,43Trần Thị Minh Thúy 1,6Nguyễn Ngọc Long 1,74

Lê Thị Thanh Lam 1,6

Nguyễn Thăng Đạt 1,72Nguyễn Hữu Bách 1,75

Nguyễn Hữu Trọng 1,72Nguyễn Thu Ngà 1,52Nguyễn Ánh Dương 1,589

Nguyễn Thị Linh Chi 1,57Nguyễn Đăng Quang 1,72Mai Đoàn Hồng Minh 1,65

Chiều cao trung bình của sinh viên trong lớp bằng:

x = 1n∑

i=1k

- Nghiên cứu mẫu là nghiên cứu một tập con được rút ra từ tổng thể theo mộtdấu hiệu nghiên cứu (tập con này phải đại diện cho tổng thể và được chọn theophương pháp lấy mẫu)

Để đại diện cho tổng thể vàgiảm thiểu thời gian, chi phí

Cách thức

Các tham số đặc trưng của tổngthể có thể xác định được mộtcách trực tiếp

Sử dụng các phương pháp toánhọc (đặc biệt là lý thuyết xácsuất), người ta tiến hành suyrộng kết quả nghiên cứu trênmẫu cho toàn bộ tổng thểSố phần

Chưa thể xác định được toàn bộphần tử của tổng thể

Xác định được số lượng phần tửphải nghiên cứu

Chấtlượngphần tử

Nếu các phần tử của tập hợp bịphá hủy trong quá trình nghiêncứu thì phương pháp nghiêncứu toàn bộ trở thành vô nghĩa

Không bị ảnh hưởng nếu trườnghợp bị phá hủy, ta có thể thaythế bằng phần tử khác

Trường - Khi tổng thể có kích thước - Khi tổng thể quá lơn, khó nắm

hợp sửdụng

nhỏ hoặc có thể tiếp cận được- Khi mục tiêu của nghiên cứulà tìm hiểu đặc điểm của toànbộ tổng thể

- Khi độ chính xác của kết quảlà yếu tố quan trọng

- Khi có đủ thời gian và kinhphí

bắt được hết các phần tử củatổng thể

- Khi không có đủ thời gian vàkinh phí để nghiên cứu tổng thể- Trong một số trường hợp nếudùng phương pháp nghiên cứutổng thể sẽ dẫn đến phá hủytổng thể

Độ chínhxác

- Nếu quy mô của tổng thể quálớn, có thể xãy ra trường hợptrùng hoặc bỏ sót các phần tử,sai sót trong quá trình thu thậpthông tin ban đầu, hạn chế độchính xác của kết quả phân tích.- Việc tiến hành mất nhiều thờigian nên có thể không đảm bảođược tính kịp thời của số liệuthống kê

- Hạn chế được sự trùng lặp vàsai số trong quá trình thu thậpthông tin

- Vẫn đảm bảo được độ chínhxác của kết quả, thu nhập đượcnhiều chỉ tiêu thống kê- Có thể thu thập được các dữliệu phức tạp

- Đảm bảo được tính kịp thờicủa số liệu thống kê

Chi phí,thời gian

Tốn nhiều chi phí, thời gian Tiết kiệm chi phí, thời gian

Độ đạidiện

Đảm bảo độ đại diện cao Chỉ đảm bảo độ đại diện caokhi mẫu được lựa chọn mộtcách ngẫu nhiên và đại diện chotổng thể

Câu 4:

LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Lý thuyết xác suất nghiên cứu khả năng xuất hiện của các biến cổ ngẫu nhiên.Khi tung một đồng xu ta sẽ không biết mặt sấp hay mặt ngửa xuất hiện nhưngnếu tung nhiều lần thì ta thấy rằng số lần mặt sấp và mặt ngừa xuất hiện là xấp

xi gần bằng nhau Như vậy khi thực hiện nhiều lần phép thử ngẫu nhiên ta sẽ tìmđược quy luật xuất hiện của biến cố ngẫu nhiên, đấy là nội dung của luật số lớnLuật số lớn cũng là cơ sở đề định nghĩa xác suất của biến cổ thông qua tần suấtxuất hiện của biến cố đó.

Luật số lớn nghiên cứu sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên.Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli được công bố năm 1713.

Về sau, kết quả này được Poisson, Trêbusép, Markov, Liapunốp mở rộng Trongmục này ta xét hai định lý về luật số lớn Định lý Trêbusép là dạng tổng quát củaluật số lớn và định lý Bernoulli là trường hợp đơn giản nhất của luất số lớn ápdụng cho các biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli Đề chứng minh định lýTrêbusép ta sử dụng bất đăng thức Trêbusép.

P {|X - EX|> }≥1−DX❑2(3)

CM: Áp dụng công thức (1) cho biến ngẫu nhiên Y = (X −EX)2 và a=❑2 ta có:

P{|X – EX|> }= {Y- P ❑2} ≤ EY

❑2 = E(X −EX)

❑2 =DX❑2

BĐT (2), (3) được gọi là bất đẳng thức Trêbusep.

Bất đẳng thức Trêbusép có nhiều ứng dụng Trước hết nó cho phép ta đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị sai lệch so vớikỳ vọng BX không quá Bất đẳng thức Trêbusép có ý nghĩa to lớn về mặt lý thuyết, nó được sử dụng để chứng minh các định lý của luật số lớn.

4.1.2 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1: Dãy các biến ngẫu nhiên trong cùng một phép thử X1, X2,…gọi làhội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên X (của cùng phép thử).

Ký hiệu X X, nếu:n >0: lim

P{|Xn – X|> }=0

Như vậy dãy các biến ngẫu nhiên X , X ,…hội tụ theo xác suất về biến ngẫu12nhiên X thì với n đủ lớn, thực tế gần như chắc chắn ta có thể coi rằng X khôngnkhác mấy so với X.

4.1.3 Luật số lớn Trêbusep

Định lý 3: Giả sử X , X ,…là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trong cùng một12phép thử, có các kỳ vọng hữu hạn và phương sai đều bị chặn trên bởi hằng số C(DXk ≤ C; k=1; 2;…) Khi đó với mọi >0:

DX1+…DXnn ≤ Cn.Áp dụng BĐT Trêbusep ta có:

P¿≤ Cn2n→∞

n⟶∞

p

pn⟶∞

Định lý Trêbusep chứng tỏ rằng trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độclập hội tụ theo xác suất về trung bình số học của kỳ vọng tương ứng của nó Nóicách khác nó chứng tỏ sự Ồn định của trung bình số học của một số lớn các biếnngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các kỳ vọng của các biến ngẫunhiên ấy Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập có thê nhận giá trị khácnhiều so với kỳ vọng của chúng, song trung bình số học của một số lớn các biếnngẫu nhiên lại nhận giá trị gần bằng trung bình số học các kỳ vọng của chúngvới xác suất rất lớn.

Định lý Trêbusép có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn nó chínhlà cơ sở cho phương pháp đo lường trong vật lý.

4.1.4 Luật số lớn Bernouli

Xét phép thử ngẫu nhiên và A là một biến cố liên quan đến phép thử C C

tiến hành n lần dộc lập phép thử và gọi k là tần số xuất hiện biến cố A trong nC nphép thử đó, ƒ =n

n được gọi là tần suất xuất hiện của A trong n phép thử.Định lý 4: (Định lý Bernouli) Tần suất ƒ hội tụ theo xác suất về xác suất củan pbiến cố A nghĩa là với mọi >0

Thì dãy các bién ngẫu nhiên X , X12,…,Xn,…độc lập có cùng phân bố Bernoulitham số Có kỳ vọng là EX = và phương sai DX = (1- )< 1 với mọip k p k p pk=1,2,

Ta có: X1+…+Xnn = kn

n = ƒn

Vậy theo hệ quả 2 của định lý 3 suy ra ƒ hội tụ theo xác suất về n p.

Định lý Bernoulli chi ra rằng tần suất xuất hiện của biến cố trong n phép thử độclập sẽ hội tụ theo xác suất về xác suất của biến cố đó khi số lần thử tăng lên vôhạn Chính vì vậy định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết của định nghĩa thống kê vềxác suất.

Ở thế kỷ 18, nhà toán học Pháp Buffon gieo một đồng tiền 4040 lần và ghi được2048 lần xuất hiện mặt ngừa, tần suất là 0,507 Một nhà thống kê người Anhgieo đồng tiền 12000 lần và thu được 6019 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suấttương ứng 0,5016 Trong một thí nghiệm khác, ông ta gieo 24000 lần và thuđược 12012 lần xuất hiện mặt ngừa, tần suất tương ứng là 0,5005 Như vây tathấy rằng khi số phép thử tăng lên thì tần suất tương ứng sẽ càng gần 0,5.

4.2 Định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm là một định lý quan trọng trong thống kê, mô tả phânphối của tổng hoặc trung bình của một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập vàcùng phân phối khi kích thước mẫu càng lớn.

Giả sử X1, X2,…là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố, có kỳvọng μvà phương sai σ2, ta có:

Sn= X1+…+Xn−nμ

σ√n = X1+…+Xn−E[ X1+…+Xn

√D[ X1+…+Xn] có ES = 0 VÀ DS = 1nnĐịnh lý 5: Giả sử X1, X2,…là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố,có kỳ vọng μ và phương sai σ2 Khi đó dãy biến ngẫu nhiên S = n

hội tụ theo phân bố về phân bố chuẩn tắc (0;1), tức là:N

x ∈ R, lim

n→∞FSn(x) = (x) (x) là hàm phân bố xác suất của phân bố chuẩn tắc N(0;1)

Áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho các dãy các biến ngẫu nhiên độclập X1, X2…có cùng phân bố tham số Bernouli tham số ta được định lý pMoivre-Laplace là:

a) Xác suất để có đúng hai máy phế phẩm trong 250 máy tính kiểm tra: Đểtính xác suất này, ta sử dụng công thức phân phối nhị thức:

P(X = 2) = C(250, 2) * (0,02)^2 * (1 - 0,02)^(250 - 2)Trong đó:

b) Xác suất để có không quá hai máy phế phẩm trong 250 máy tính kiểm tra:Xác suất này là tổng xác suất của các trường hợp có 0, 1 hoặc 2 máy phếphẩm, tính bằng công thức phân phối nhị thức: