skkn cấp tỉnh một số dạng toán ứng dụng ba đường conic vào thực tế

Chính vì nhữnglý do trên để giúp học sinh định hướng được cách làm dạng toán này, hiểu sâuhơn, tự tin hơn khi gặp các bài toán thực tế tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinhnghiệm “ Một số dạ

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Với quan điểm của chương trình giáo dục phổ thông mới, mục đích chủyếu của môn Toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinhvốn kiến thức và phải biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn Sự thay đổi trongchương trình học là giảm tải những phần kiến thức mang tính hàn lâm, mà thayvào đó là những nền tảng kiến thức để đưa toán học vận dụng vào thực tế

Trong năm học 2023- 2024, tôi có dạy lớp 10 theo chương trình mới, bảnthân tôi nhận thấy rằng bên cạnh những học sinh tích cực, hứng thú với chươngtrình mới thì vẫn còn nhiều học sinh lúng túng chưa tìm ra phương pháp học đặcbiệt là các bài toán vận dụng vào thực tế Một trong những phần kiến thức đượcvận dụng trong thực tế nhiều đặc biệt trong các lĩnh vực khoa học đó là các bàitoán về ba đường Conic Ví dụ như mô hình nguyên tử: Năm 1911, nhà vật lýngười Anh Ernest Rutherford đưa ra mô hình nguyên tử hành tinh, trong đó hạtnhân nhỏ nằm ở trung tâm của nguyên tử, còn electron xoay quanh hạt nhântheo quỹ đạo hình elip giống như các hành tinh xoay quanh Mặt Trời

Hiện tượng giao thoa sóng: Trong vật lý, khi hai sóng gặp nhau, chúngtạo ra hiện tượng giao thoa và hình thành các đường hypebol Các vân giao thoatrong hiện tượng này có hình dạng giống các đường hypebol

Gương parabol và hệ thống tiêu điểm: Gương parabol được sử dụng trongnhiều ứng dụng, trong đó tia sáng chiếu vào gương parabol sẽ được tập trungvào một điểm tiêu điểm và phản xạ ra như một tia sáng song song với trục củaparabol

Các ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng và sự linh hoạt của ba đườngConic trong các lĩnh vực vật lý, công nghệ và thiết kế sản phẩm Chính vì những

lý do trên để giúp học sinh định hướng được cách làm dạng toán này, hiểu sâuhơn, tự tin hơn khi gặp các bài toán thực tế tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh

nghiệm “ Một số dạng toán ứng dụng ba đường Conic vào thực tế ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học tập, giải các bàitoán thực tế, giúp các em đỡ lúng túng và tự tin khi đối mặt với những bài toánnày Hy vọng đề tài này sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong quátrình dạy học và các kì thi, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong cáctrường THPT hiện nay

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chính của đề tài là phân dạng và định hướng giải các bài toán

thực tế Từ đó hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho

học sinh cách ứng dụng ba đường Conic vào giải các bài tập liên quan, qua đóphát huy tính tư duy sáng tạo, tự học cho mỗi học sinh.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Qua sách giáo khoa, sách tham khảo, một số tài liệuliên quan khác…

- Phương pháp quan sát: Khảo sát quá trình dạy và học tại trường THPTTĩnh Gia 1

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểmtra thử với lớp đối chứng

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Theo tôi được biết, cũng đã có những đề tài sáng kiến kinh nghiệm viết về

các bài toán liên quan đến ba đường Conic Nhưng theo quan điểm của cá nhântôi trong quá trình đổi mới hình thức thi THPT Quốc gia đối với môn toán thì đềtài của tôi là một quan điểm mới về cách thức làm bài cụ thể, sáng kiến kinhnghiệm này cũng đã trình bày một cách có hệ thống, phân dạng và có phươngpháp làm cụ thể đối với từng dạng Nó cũng sẽ giúp học sinh có cách nhìn bàitoán bằng phương pháp mới so với phương pháp tự luận để có thể làm bài nhanhhơn

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình sách giáo khoa toán 10, kiến thức trong sách giáo khoachỉ ở mức cơ bản, các bài toán về ba đường Conic chủ yếu tập trung vào các bàitoán lập phương trình hoặc xác định các yếu tố đơn giản có liên quan và một sốbài toán vận dụng đơn giản Vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp để họcsinh dễ dàng tiếp cận được nhiều dạng toán thực tế là điều cần thiết

2.2 Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy học, tôi nhận thấy phần bài tập liên quan đến cácbài toán thực tế đặc biệt là liên quan đến kiến thức về ba đường Conic đối vớihọc sinh là một phần bài tập khó, học sinh tương đối gặp khó khăn vì

+ Kiến thức thực tế học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại họcphần này

+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt

+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa cácdạng toán chưa tốt

Kết quả khảo sát chất lượng học sinh lớp 10 trường THPT Tĩnh Gia 1 chothấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưngkhông đúng và thường bị mất điểm ở những bài tập này

Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy và từngbước thu được kết quả tốt trong năm qua.

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề, kiến thức trang bị

Với các dạng bài tập này chỉ cần xác định được dạng toán liên quan đếnđường elip, đường hybebol, hay đường parabol, gắn hệ trục tọa độ hợp lý cóphương trình phù hợp là bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều Sau đây làmột số bài tập minh họa cho phương pháp này Hi vọng thông qua các bài tậpnày các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự

MF MF được gọi là bán kính qua tiêu

Phương trình chính tắc của elip:

+ Tâm sai : 1

c e a

 + Bán kính qua tiêu điểm của điểm M x M;y M thuộc  E là:

F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F1 2  2c : tiêu cự.

Phương trình chính tắc của hypebol

Toạ độ các tiêu điểm: F c1( ;0), ( ;0)  F c2

Với M(x; y)  (H), MF MF1 , 2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.

+ Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b

+ Tâm sai của (H):

c e a



(e > 1)

+ Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y, b

+ Phương trình các đường tiệm cận:

Đường chuẩn của hypebol

Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là:

a x

M ( )P  MF d M ( , ) 

F: tiêu điểm, : đường chuẩn, p d F ( , )  : tham số tiêu

Phương trình chính tắc của parabol

y2 = 2px (p > 0):

Toạ độ tiêu điểm:

p

F ;0 2

 Phân tích bài toán.

Bước 1: Từ giả thiết của bài toán, phân tích tất cả các yếu tố để xác định

được bài toán liên quan đến đường Conic nào

Bước 1:Mô hình hóa bài toán thông qua gắn hệ trục tọa độ phù hợp, sử dụng

giả thiết của bài toán để lập phương trình đường Conic đó

Bước 3: Từ phương trình đường Conic để đưa ra các yếu tố mà bài toán yêu

cầu

2.4 CÁC DẠNG BÀI TẬP

2.4.1 DẠNG 1 Bài toán thực tế liên quan đến Elip.

Bài 1 Gương elip trong một máy tán sổi thận (H.7.33) ứng với elip có phương

Phân tích bài toán: Một trong những ứng dụng của elip trong y học đó là máy

tán sỏi thận Nguyên lý hoạt động của máy tán sỏi thận là một sóng chấn động được tạo ra từ đầu phát sóng ở vị trí tiêu điểm đầu tiên F1 bên trong dụng cụ kép,dạng elip bán cầu, đến vị trí điểm đồng quy ở tiêu điểm thứ hai F2 bên trong bệnh nhân ( sỏi thận ), vùng hội tụ là một vùng 3 chiều tại F2 ở đó sóng chấn động được tập trung lại đề sỏi được tán ra và bệnh nhân sẽ bài tiết ra ngoài Nhưvậy khoảng các từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán bằng độ dài F1F2

=a2

−b2 =4000−76=3924⇒c=± 6√109

Vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán tương ứng với tiêu

cự của elip nên khoảng cách bằng F1F2=2 c=12√109

Bài 2 Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao10m, rộng24m.a) Chọn hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 4 mlên đến nóc nhà vòm

Phân tích bài toán: Chọn hệ trục thích hợp, khi đó nhà vòm chứa máy bay có

mặt cắt là hình nửa elip thì chiều cao của nhà vòm có độ dài bằng nửa trục bé, chiều rộng nhà vòm bằng độ dài trục lớn Xác định điểm trên elip thỏa mãn điều kiện bài toán sau đó sử dụng kiến thức về elip để giải quyết yêu cầu đề bài

Lời giải

a) Chọn hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

Đặt hệ trục tọa độ như sau:

Ta thấy AB là độ dài trục lớn của elip nên 2a24 a12

.b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 4m

lên đến nóc nhà vòm

Gọi điểm D8;y D là điểm nằm trên elip và cách chân tường 4m.

Khi đó khoảng cách từ D đến gốc tọa độ O là 12 4 8m  

Vì D thuộc elip trên nên tọa độ điểm D thỏa mãn phương trình (*), ta có:

Suy ra khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường

4 m đến nóc nhà là tung độ của điểm D là

10 5 ( )

3 m

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 4 mđến nóc nhà là

10 5 ( ).

3 m

Bài 3 Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167vànhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm Cho biết khoảng cách gần nhất giữa TráiĐất và tâm Mặt Trời là khoảng 147 triệu km Viết phương trình của elip biểu

diễn quỹ đạo chuyển động của Trái đất và tính khoảng cách xa nhất giữa Trái

Đất và tâm Mặt Trời

Phân tích bài toán: Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo là đường elip và nhận

tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khi đó khoảng cách gần nhất giữa Trái đất và tâm Mặt Trời tính theo công thức dmin  a c, khoảng cách xa nhất giữa Trái

đất và tâm Mặt Trời tính theo công thức dmax  a c Từ những giả thiết của đề bài cho ta có thể giải quyết yêu cầu bài toán

Lời giải

Phương trình của Elip biểu diễn quỹ đạo chuyển động của Trái Đất quay

xung quanh Mặt Trời có dạng

Bài 4 “Phòng thì thầm” là những căn phòng với trần nhà có mặt cắt là một nửa

elip Trong các căn phòng này, nhờ tính chất phản xạ của elip, một người đứngtại một tiêu điểm có thể nghe thấy rõ tiếng nói nhỏ của một người khác đứng tạitiêu điểm kia Nhờ tính chất độc đáo này, một số kiến trúc xây dựng ở nhà hát,phòng triển lãm, bảo tàng cũng được thiết kế theo nguyên lí của “phòng thìthầm” để mang lại những trải nghiệm thú vị cho khách tham quan Một phòngthì thầm với trần nhà có mặt cắt là một nửa elip  E có tâm sai e 0,8(thamkhảo hình vẽ bên) Biết rằng trong phòng này có hai người đang đứng cách nhau

24m mã vẫn nghe rõ tiếng nói nhỏ của nhau Hãy xác định độ dài trục lớn và độdài trục nhỏ của  E

(Hình ảnh:Một sảnh trong tòa nhà quốc hội nước Mĩ thiết kế theo kiểu phòng

thì thầm)

Phân tích bài toán: Tính độc đáo của ngôi nhà thiết kế theo nguyên lý phòng

thì thầm là một người đứng tại một tiêu điểm có thể nghe thấy rõ tiếng nói nhỏcủa một người khác đứng tại tiêu điểm kia Nếu 2 người ở cách nhau 24m màvẫn nghe rõ tiếng của nhau có nghĩa là khoảng cách giữa 2 người bằng độ dài

Ngoài ra trong phòng này có hai người đang đứng cách nhau 24m mã vẫn nghe

rõ tiếng nói nhỏ của nhau nên theo tính chất của elip suy ra hai bạn đang đứng ở

vị trí tiêu điểm F F1 , 2 của elip, khi đó F F1 2  2c 24  c 12m

Theo giả thiết có tâm sai 0,8 0,8 15 2 30

Kết luận: độ dài trục lớn của elip bằng 30m và độ dài trục nhỏ của elip bằng18m

2.4.2 DẠNG 2 Bài toán thực tế liên quan đến Hypebol

Bài 5 Một sao chổi đi qua hệ mặt trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận

tâm mặt trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đên tâmMặt Trời là 3.10 km8 và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 Hãy lập phươngtrình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độtương ứng với 10 km8 trên thực tế

Phân tích bài toán : Sao chổi rất quan trọng đối với các nhà khoa học vì chúng

là những thiên thể nguyên thủy còn sót lại từ quá trình hình thành hệ mặt trời Đối với những sao chổi có quỹ đạo là hypebol hay parabol chúng ta chỉ thấy chúng một lần, sau đó chúng đi khỏi hệ mặt trời và không bao giờ quay trở lại Dựa vào các định luật của Newton về chuyển động người ta có thể rút ra quỹ đạo chuyển động của sao chổi quanh mặt trời là đường elip, Hypebol hay

parabol tùy thuộc vào vận tốc chuyển động của nó

Bài toán này một sao chổi đi qua hệ mặt trời theo quỹ đạo là một nhánhhypebol nhận tâm mặt trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi

này đên tâm Mặt Trời xác định theo công thức c a

Mặt khác, tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 nên 3,6 3, 6

Bài 6 Đề chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol Máy ảnh được

hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một

tiêu điểm của gương (xem hình) Tìm khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh

đến đỉnh của gương, biết rằng phương trình cho mặt cắt của gương là

Phân tích bài toán Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm

quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương Từ hình ảnh tathấy được khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương là độ dài

25 5 3

9

b b

Bài 7 Các đường cong hình bên mô tả hiện tượng giao thoa khi hai sóng gặp

nhau, với các đường cong tạo thành được gọi là các vân giao thoa có hình dạng

là các đường Hypebol Hãy lập phương trình đường Hypebol của 2 vân giaothoa ngoài cùng đi qua A và B như hình vẽ, biết AB = 24, đường Hypebol cótiêu cự bằng 13

Phân tích bài toán Hai vân giao thoa ngoài cùng có hình dạng là các đường

Hypebol đi qua A và B Gắn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là trung điểm của AB

từ giả thiết đề bài cho có thể giải quyết được bài toán

Bài 8 Gương hypebol được sử dụng trong một số kính viễn vọng Các gương

như thế có tính chất là tia sang hướng tới một tiêu điểm của gương sẽ được phản

xạ với tiêu điểm kia Dựa vào hình vẽ bên hãy viết phương trình mô phỏng bềmặt gương hypebol

Phân tích bài toán Gương hypebol được sử dụng trong một số kính viễn vọng.

Các gương như thế có tính chất là tia sáng hướng tới một tiêu điểm của gương sẽđược phản xạ tới tiêu điểm kia Dựa vào hình có thể xác định được hoành tọa độđỉnh của hypebol, và điểm có tọa độ 20; 20 nằm trên hypebol Từ đó có thể viếtđược phương trình mô phỏng bề mặt gương hypebol

Lời giải

Đỉnh hypebol là một tiêu điểm trên trục Oxvà tâm của hypebol ở gốc tọa độ Do

đó hoành độ của điểm chắn trên trục Ox là a 15 Từ hình vẽ ta thấy điểm có tọa độ 20; 20 nằm trên hypebol nên có thể xác định b bằng cách thay

Ta giới hạn nhánh phải hay điều kiện x 15

Vậy bề mặt gương có thể mô tả bởi phương trình hypebol

x 

Bài 9 Một tháp cao làm mát của nhà máy hạt nhân dạng hypebol tròn xoay, tức

là một hypebol xoay tròn quanh trục ảo của nó (tham khảo Hình 1 dưới đây).Phương trình hypebol (tham khảo Hình 2 dưới đây) được dùng để tạo ra hypebol

Phân tích bài toán Phương trình hypebol (Hình 2 ) Nếu tháp có chiều cao

500m, đỉnh tháp cao 150m tính từ tâm của hypebol và đáy tháp cao 350m dưới tâm của hypebol khi đó bán kính của đỉnh tháp bằng hoành độ dương của điểm

là đỉnh tháp thuộc hypebol có tung độ tương ứng 150, và bán kính của đỉnh thápbằng hoành độ dương của điểm là đáy tháp thuộc hypebol có tung độ tương ứng

350 Bán kính của mặt cắt ngang hình tròn nhỏ nhất trong tháp là a

Lời giải

Điểm thuộc hypebol (vỏ tháp) ở trên đỉnh có tọa độ x;150

Thay y 150 vào phương trình của vỏ tháp, ta được

2 150

Điểm thuộc hypebol (vỏ tháp) ở trên đáy tháp có tọa độ x ; 350

Thay y 350 vào phương trình của vỏ tháp, ta được

2 350

2.4.3 DẠNG 3 Bài toán thực tế liên quan đến Parabol

Bài 10 Một đèn pha xe ô tô cấu tạo bởi một gương phản xạ mà mặt cắt là một

parabol ( )P Biết rằng chiều sâu của đèn pha là 4 inch và nguồn sáng cách đỉnh( )P 3 inch Hãy tìm đường kính (đoạn AB) của đèn pha Kết quả tính theo đơn

vị inch và làm tròn đến hàng phần mười

Phân tích bài toán: Tính chất phản xạ của parabol còn được áp dụng để thiết kế

đèn pha cho xe ô tô hay xe máy khi di chuyển trên đường trường hay đường cao tốc (xe đi với tốc độ nhanh và người lái xe cần quan sát được các chướng ngại vật ở xa) Khi bật đèn pha, bóng đèn sẽ đặt ở tiêu điểm của gương parabol Ánh sáng từ bóng đèn chiếu vào mặt gương sẽ tạo ra chùm sáng phản xạ chiếu ra khỏi đèn pha theo hướng song song về phía trước với cường độ mạnh và tầm chiếu xa Theo giả thiết thì tiêu điểm của ( )P cách đỉnh 3 từ đó tìm được

phương trình parabol tính được đường kính của đèn pha

Lời giải