TỨ DIỆN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC

Kinh Tế - Quản Lý - Khoa học xã hội - Kỹ thuật TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- NGUYỄN THỊ KIM LỆ TỨ DIỆN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5, năm 2019 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: TỨ DIỆN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC Sinh viên thực hiện NGUYỄN THỊ KIM LỆ MSSV: 2115020114 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2015 – 2019 Cán bộ hướng dẫn ThS. TRẦN ANH DŨNG MSCB: ……… Quảng Nam, tháng 5, năm 2019 Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành được khóa luận một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của Thầy giáo Thạc sĩ Trần Anh Dũng - Giảng viên khoa Toán trường Đại học Quảng Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và xin gửi lời tri ân nhất của em đối với những điều thầy đã làm cho em. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, Trường đại học Quảng Nam dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Xin trân trọng cảm ơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU ...................................................................................................................................... 1. Lý do chọn đề tài .................................................................................................................. 2. Mục tiêu của đề tài................................................................................................................ 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 3.1. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................................... 3.2. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................................... 4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................................... 4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận ................................................................................... 4.2. Phương pháp phỏng vấn và lấy ý kiến chuyên gia. ....................................................... 5. Lịch sử nghiên cứu ............................................................................................................... 6. Đóng góp của đề tài .............................................................................................................. 6.1. Về mặt lý luận ............................................................................................................... 6.2. Về mặt thực tiễn ............................................................................................................ 7. Cấu trúc đề tài ....................................................................................................................... CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT ............................................................................................ 1 1.1. Tam giác ...................................................................................................................... 1 1.1.1 Khái niệm về tam giác ............................................................................................... 1 1.1.2. Tổng hợp các kết quả đã biết trong tam giác ........................................................... 1 a. Tính chất của các đường đồng quy ............................................................................ 1 b. Tính chất của đường thẳng Euler .............................................................................. 2 c. Tính chất của đường tròn Euler ................................................................................. 3 1.2. Tứ diện ............................................................................................................................. 6 1.2.1. Tổng hợp các kết quả đã biết trong tứ diện. ............................................................. 6 1.2.2. Các tứ diện đặc biệt và một số tính chất .................................................................. 7 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦ A TAM GIÁC ........................................................................................................................................ 16 2.1. Một số khái niệm và tính chất liên hệ giữa tam giác và tứ diện .................................... 16 2.1.1. Một số khái niệm liên quan..................................................................................... 16 2.1.2. Một số tính chất liên hệ .......................................................................................... 16 a. Tính chất về trọng tâm tam giác và tứ diện (Gravity Centre).................................. 16 b. Tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (Circumscribed Sphere Centre) .................................................................................... 18 c. Tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.......... 19 d. Tính chất về trực tâm tam giác và tứ diện trực tâm (Orthocentric Tetrahedron) ... 20 e. Tính chất về tỷ số diện tích của hai tam giác chung một góc và thể tích 2 tứ diện có chung một góc tam diện ................................................................................................ 22 2.2. Tìm kiếm mối liên hệ giữa tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian ..... 23 2.2. Các bài toán mở rộng..................................................................................................... 32 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................................................. 37 1. Kết luận ........................................................................................................................... 37 2. Kiến nghị .......................................................................................................................... 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 39 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong nghiên cứu khoa học tự nhiên ta đều có được một bài học: nếu biết rõ thành phần nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất, ta sẽ hiểu rõ được bản chất của vật chất. Trong hình học cũng vậy, nếu biết rõ thành phần cơ bản cấu tạo nên hình học, ta sẽ hiểu rõ hình học. Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một môn học khó đối với học sinh trong nhà trường THPT. Vì hình học là môn học có tính chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác. Để học hình học không gian, ngoài tính trừu tượng còn đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tư duy cao. Hình học không gian bước đầu người học cảm thấy khó song càng học càng thấy sự thú vị trong đó. Do việc nghiên cứu hình học không gian là cần thiết nên trong bài khóa luận này em sẽ đi sâu vào một phần nhỏ của hình học không gian là hình tứ diện. Trong hình học, thành phần đơn giản nhất là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Vì thế việc nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm, đường và mặt mang ý nghĩa nền tảng của hình học. Hệ tiên đề hình học xuất phát từ những tiên đề về những mối quan hệ giữa những khái niệm nền tảng đó. Xuất phát từ đó, hình được nghiên cứu kỹ nhất là hình tam giác, có vai trò nguyên tố trong số tất cả các đa giác nói riêng và hình phẳng nói chung. Vì thế tam giác có thể coi là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình phẳng. Các bài toán và định lý về tam giác đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hình học phẳng. Tương tự, tứ diện là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình trong không gian 3 chiều. Các bài toán và định lý về tứ diện đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hình học 3 chiều. Tứ diện là một hình không gian 3 chiều khép kín được giới hạn bởi 4 mặt. Không gian ấy được xác định bởi 4 điểm không đồng phẳng. Mỗi điểm là một đỉnh của tứ diện. Mỗi đỉnh ứng với một góc tam diện, 3 đỉnh xác định một mặt của tứ diện. Mỗi cặp 2 mặt của tứ diện xác định một nhị diện. Cạnh của nhị diện chính là cạnh của tứ diện. Tứ diện có 6 cạnh, chia làm 3 cặp, mỗi cặp gồm 2 cạnh chéo nhau, gọi là 2 cạnh đối. Giống như tam giác có 4 đường: trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, thì tứ diện cũng có những đường và mặt khác nhau. Việc khảo sát những đường và mặt chủ yếu ấy sẽ cung cấp một cái nhìn toàn cảnh và sâu rộng về tứ diện, trong đó các yếu tố của tứ diện sẽ lộ ra dưới một cấu trúc nhất quán. Tuy nhiên, qua nghiên cứu, chúng tôi thấy rằng vấn đề về tứ diện trong không gian chưa được nghiên cứu rõ ràng, sâu sắc như vấn đề tam giác trong mặt phẳng. Do mối tương đồng giữa hai khái niệm: Tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian nên chắc chắn sẽ còn nhiều nội dung khai t hác được lẫn nhau giữa hai yếu tố này (mà chủ yếu là khai thác những vấn từ tam giác sang tứ diện). Chúng ta đã thấy được tầm quan trọng của tứ diện trong hình học không gian. Ngoài ra tứ diện còn là một chủ đề thường xuyên xuất hiện trong cấu trúc đề thi cao đẳng, đại học và các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi trong các trường THPT. Nhằm cung cấp đầy đủ kiến thức, rèn luyện kĩ năng liên quan đến các dạng bài tập về hình tứ diện nên em đã lựa chọn nghiên cứu đề tài "Tứ diện và một số vấn đề được mở rộng từ các tính chất của tam giác ". Là một giáo viên trong tương lai, em nhận thấy việc nghiên cứu đề tài này là hợp lý và có ý nghĩa thực tiễn trong quá trình giảng dạy. 2. Mục tiêu của đề tài Nghiên cứu cơ sở lý luận, hệ thống hóa và phân dạng bài tập về hình tứ diện, nhằm tích cực hóa hoạt động của học sinh nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và tăng hiệu quả giảng dạy môn toán ở trường THPT. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là hình tứ diện. 3.2. Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu các tam giác, tứ diện đặc biệt và một số tính chất của tam giác, tứ diện. - Mối liên hệ giữa tam giác và tứ diện và một số bài toán mở rộng. 4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức. 4.2. Phương pháp phỏng vấn và lấy ý kiến chuyên gia. Tham gia học hỏi và trau dồi những kinh nghiệm quý báu của các thầy cô giáo cũng như những ý kiến đóng góp của giáo viên hướng dẫn để làm tốt đề tài. 5. Lịch sử nghiên cứu Nội dung nghiên cứu mở rộng từ các vấn đề tam giác sạng tứ diện xuất hiện rải rác trong các nội dung mở rộng từ hình học phẳng sang hình học không gian. Vấn đề này được xem như một giải pháp tốt để giải quyết một số vấn đề phức tạp của hình học không gian, làm cầu nối giúp học sinh sử dụng kế thừa các kiến thức về hình học phẳng cho hình học không gian. Tuy nhiên, hiện chưa có tài liệu hoàn chỉnh nào nghiên cứu riêng biệt mối liên hệ giữa tam giác trong hình học phẳng và tứ diện trong không gian. Nhận thức vấn đề ở mức độ đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này. 6. Đóng góp của đề tài 6.1. Về mặt lý luận - Xây dựng hệ thống các kiến thức liên quan đến hình học phẳng và hình học không gian giúp học sinh nắm bắt được yêu cầu, vai trò và tầm quan trọng trong việc sử dụng các phương pháp giải toán. - Phân tích và tổng hợp được một số dạng toán được mở rộng từ tam giác lên tứ diện. 6.2. Về mặt thực tiễn Kết quả của đề tài có thể: - Giúp cho giáo viên và học sinh có thêm một tài liệu mới. - Giúp cho giáo viên có kinh nghiệm dạy về hình học, học sinh có kinh nghiệm làm các bài toán liên quan đến hình học 7. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lí thuyết Chương 2: Một số vấn đề được mở rộng từ các tính chất của tam giác. 1 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1. Tam giác 1.1.1 Khái niệm về tam giác Tam giác là một loại hình cơ bản của hình học phẳng, là đa giác đơn giản nhất, có số cạnh đỉnh ít nhất. Không giống như những loại đa giác khác, chính vì sự đơn giản đó mà tam giác không có đường chéo, không có khái niệm lồi lõm. Chúng ta có thể dễ dàng chỉ ra các yếu tố của hình tam giác (đỉnh, cạnh, trung tuyến, đường cao, đường trung trực, đường phân giác, đường trung bình, …), phân loại các hình tam giác (tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều) nhưng chúng ta sẽ không dễ dàng trình bày hết được những tính chất, vận dụng, ứng dụng các tính chất của loại hình này. Có nguyên những cuốn sách Hình học của tam giác của tác giả Nguyễn Văn Ban và Hoàng Chúng và Hình học mới của tam giác của tác giả X.I. Đê-chen. Hai cuốn sách này trình bày rất chi tiết hầu hết về vấn đề tam giác. 1.1.2. Tổng hợp các kết quả đã biết trong tam giác a. Tính chất của các đường đồng quy  Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. (Giao điểm ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác)  Tính chất ba đường phân giác của tam giác: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. (Giao điểm ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó)  Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. (Giao điểm ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó)  Tính chất ba đường cao của tam giác: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. (Giao điểm ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác). 2  Tính chất của đường tròn bàng tiếp các góc: Hình 1.1 Cho tam giácABC và các đường tròn bàng tiếp góc, ,A B C lần lượt là , ,a aO r , ,b bO r ,c cO r . Với các tiếp điểm được cho bởi hình vẽ. Khi đó:2AD AF AB BD DC CA p       (với p là nửa chu vi của tam giácABC ). Mặt khác:AD AF AD AF p       . Như thế:AD AF BE BF CE CD p           .  Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân: - Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh đối diện với cạnh đó. - Ngược lại với tính chất trên ta có: Trong một tam giác, nếu hai trong 4 loại đường: (đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. - Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp là bốn điểm trùng nhau. b. Tính chất của đường thẳng Euler Định nghĩa về đường thẳng Euler : "Trong tam giácABC không đều, nếu gọiO là giao điểm của ba đường trung trực (tâm đường tròn ngoại tiếp);G là giao điểm của đường trung tuyến (trọng tâm);H là giao điểm 3 đường cao (trực tâm) thì, ,O G H cùng thuộc một đường thẳng gọi là đường thẳng Euler" Nói ngắn gọi: "Đường thẳng Euler là đường thẳng chứa, ,O G H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm."D D'''' E F E'''''''' D'''''''' A B C ObOc Oa J E'''' F'''' F'''''''' 3 Tính chất 1.1: Trong một tam giác, điểm trọng tâmG nằm giữa tâm đường tròn ngoại tiếp O và trực tâm H đồng thời3OH OG . Chứng minh: Hình 1.2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Ta có:1 , 2 GM GA 1 1 , 2 2 GN GB GP GC    . Do đó: 1 , 2 : G V A M     B N C P Phép vị tự bảo toàn tính vuông góc nên sẽ biến trực tâm của tam giác ABC thành trực tâm của tam giác MNP. Theo giả thiết, H là trực tâm của tam giác ABC và dễ dàng chứng minh được O là trực tâm của tam giác ABC. Suy ra: 1 , 2 : G V H O      hay1 . 2 GO GH  Từ đó ta có H, G, O thẳng hàng và 1 2 GO GH hay3OH OG . c. Tính chất của đường tròn Euler Chúng ta biết rằng đường tròn Euler của tam giác là đường tròn đi qua chín điểm, gồm: trung điểm các cạnh; chân các đường cao hạ từ ba đỉnh xuống cạnh đối diện và trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm đến các đỉnh. Ta có các tính chất về đường tròn Euler: Tính chất 1.2: Cho tam giácABC , các đường cao1 1 1, ,AA BB CC cắt nhau tạiH . Gọi, , , , ,A B C M N P   lần lượt là tung điểm của, , , , ,BC AC AB HA HB HC . Khi đó chín điểm:1 1 1, , , , , , , ,A B C A B C M N P   cùng nằm trên một đường tròn (gọi là “đường tròn chín điểm” hay gọi tắt là “đường tròn Euler” của tam giácABC ). Chứng minh: (Hình 1.3)G H M P N A B C O 4 Hình 1.3 Ta cóMN AB ;NA CH . Từ đóMN NA hay0 90MNA  . Chứng minh tương tự ta có:0 0 0 90 ; 90 ; 90MPA MB A MC A       . Mặt khác theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ta có1 1;MA MB A B A C   nên các tam giác1MAB và1A B C là các tam giác cân. Do đó: 0 1 1 1 1 90AB M A B C MAB B CA     . Suy ra: 0 1 90MB A  . Chứng minh tương tự 0 1 90MC A  . Như vậy 7 điểm1 1, , , ,B C A B 1, ,C N P cùng nhìnMA dưới một góc vuông. Vậy chín điểm1 1, , , , ,A B C A B  1, , ,C M N P cùng nằm trên một đường tròn đường kínhMA . Nhận xét: Vì vai trò của các đoạn thẳng là giống nhau nên;NB PC  cũng là đường kính đường tròn Euler của tam giácABC . Như vậy, các đường thẳng, ,A M B N C P   đồng quy tại tâm đường tròn Euler của tam giácABC . Tính chất 1.3: Tâm đường tròn Euler của tam giác là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó. Chứng minh: (Hình 1) GọiJ vàO lần lượt là tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC . Dễ dàng chứng minh hai tam giácHBA vàOA B  đồng dạng (g.g). Từ đó: 1 2 OA B A HA BA      hayOA MH  . Tứ giácMOA H là hình bình hành, màJ là trung điểm củaMA nênJ là trung điểm củaOH . Nhận xét: 1) Theo tính chất 2, tâm đường tròn Euler của tam giác nằm trên đường thẳng Euler của tam giác đó 2) Bán kính đường tròn Euler của tam giác bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Chú ý: Chân ba đường cao của một tam giác bất kì, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này thường được gọi là đường tròn Euler hay còn gọiP N C1 A1 J M H A'''' B''''C'''' O C A B B1 5 là đường tròn Feuerbach, đường tròn Terquem hay đường tròn chín điểm, đường tròn trung bình... Một số định lý liên quan Định lý Mênelaus: Là một định lý cơ bản trong hình tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giácABC , các điểm, ,D E F lần lượt nằm trên các đường thẳng,BC,CAAB . Khi đó, ,D E F thẳng hàng khi và chỉ khi. . 1 FA DB EC FB DC EA  . Chứng minh: Hình 1.4  Phần thuận: Giả sử, ,D E F thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng quaC và song song vớiAB cắt đường thẳngDE tạiG . VìCG AB (cách dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:DB FB DC CG  (1) vàEC CG EA FA  (2) Nhân vế theo vế (1) và (2) ta được:. DB EC FB DC EA FA  . Từ đó suy ra:. . 1 FA DB EC FB DC EA  .  Phần đảo: Giả sử. . 1 FA DB EC FB DC EA  . Khi đó gọiF là giao điểm của đường thẳngED với đường thẳngAB Theo chứng minh ở trên, ta có:. . 1 F A DB EC F B DC EA    . Kết hợp giả thuyết suy raFA F A FB F B    hay1 FA FB FA FB AB F A F B F A F B AB          NênF A FA  vàF B FB  do đóF trùng vớiF . Vậy định lý đã được chứng minhG F E DC B A 6 1.2. Tứ diện 1.2.1. Tổng hợp các kết quả đã biết trong tứ diện. Tứ diện: Hình trong không gian 3 chiều xác định bởi 4 đỉnh và giới hạn bởi 4 mặt. - Trọng tâm: Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện hay còn gọi là đường trọng tuyến. - Mặt cầu ngoại tiếp: Mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện. - Mặt cầu nội tiếp: Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện đó. - Tâm mặt cầu ngoại tiếp: tồn tại điểm cách đều các đỉnh của tứ diện. - Tâm mặt cầu nội tiếp: tồn tại điểm cách đều các mặt của tứ diện. - Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện: Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đó. Một số định lý liên quan Định lý Mênelaus: Cho tứ diệnABCD , các điểm, , ,M N P Q lần lượt nằm trên các đường thẳng, , ,AB BC CD DA . Khi đó, , ,M N P Q cùng phẳng khi và chỉ khi. . . 1 MA NB PC QD MB NC PD QA  . Chứng minh:  Phần thuận: Trong mặt phẳng ABC gọiE AC MN  . Theo định lý Mênelaus trongABC và, ,M N E thẳng hàng ta có:. . 1 MA NB EC MB NC EA  (1) Theo định lý Mênelaus trongACD và, ,P Q E thẳng hàng ta có:. . 1 EA PC QD EC PD QA  (2) Nhân vế theo vế (1) và (2) ta được:. . . 1 MA NB PC QD MB NC PD QA  . Hình 1.5  Phần đảo: Giả sử. . . 1 MA NB PC QD MB NC PD QA  .E P N A M Q C B D 7 Khi đó mặt phẳng qua, ,M N P cắt cạnhDA tạiQ . Theo chứng minh ở trên, ta có:. . . 1 MA NB PC Q D MB NC PD Q A    . Kết hợp giả thuyết suy ra1 QD Q D QA Q A     hayQ Q Vậy, , ,M N P Q cùng phẳng. 1.2.2. Các tứ diện đặc biệt và một số tính chất Tứ diện gần đều Định nghĩa 1.1: Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau được gọi là tứ diện gần đều. Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy tứ diện gần đều có bốn mặt là các tam giác bằng nhau. Tính chất 1.4: Mỗi điều kiện sau đây đều là một điều kiện cần và đủ của một tứ diện gần đều.  Tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh bằng0 180 .  Mỗi đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối là đường vuông góc chung của cặp cạnh tương ứng đó.  Bốn mặt của tứ diện là các tam giác có diện tích bằng nhau.  Tứ diện có hai trục đối xứng.  Bốn đường cao của tứ diện bằng nhau.  Tâm mặt cầu nội tiếp và tâm mặt cầu ngoại tiếp bằng nhau.  Tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau.  Tâm mặt cầu nội tiếp và trọng tâm trùng nhau.  Tổng các côsin của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.  Góc nhị diện của các cặp cạnh đối bằng nhau. Chứng minh: Hình 1.6  NếuABCD là tứ diện gần đều thì dễ dàng chứng minh được tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh bằng0 180 . Giả sử ngược lại, tứ diệnABCD có tổng các góc ở mỗi đỉnh bằng0 180 , trải các mặt chứaD của tứ diện lên ABC . Giả sử các mặt, ,DAB DBC DAC khi trải xuống ABC ta được các mặt 1 ,D AB   2 3,D BC D AC .B C A D1 D2 D3J I A B D C 8 Dễ thấy tổng các góc ở mỗi đỉnh bằng0 180 nên các điểm, ,A B C thuộc các cạnh của tam giác1 2 3D D D . Ta có:1 2 1 3 2 3, ,D A DA D A BD BD BD CD CD CD      nên, ,A B C lần lượt là trung điểm của1 2 1 3, ,D D D D2 3D D do đó:2 3 2 1 2 AB D D CD CD   . Tương tự,AC BDAD BC . VậyABCD là tứ diện gần đều.  Giả sửABCD là tứ diện gần đều và,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh,AB CD . Do, ,AB CD AC BD BC AD   nênABC ABD  IC ID  , từ đó ta cóIJ CD , tương tựIJ AB hayIJ là đường vuông góc chung củaAB vàCD . Lí luận tương tự ta được đoạn thẳng nối trung điểm của hai cặp cạnh đối còn lại cũng là đường vuông góc chung của chúng. Đảo lại, giả sử đoạnIJ là đoạn vuông góc chung củaAB vàCD , khi đóIJ là đường trung trực củaAB vàCD nên phép đối xứng trục quaIJ biến:,A B C D , tương tự ta cũng có,AD BC AB CD  nênABCD là tứ diện gần đều.  Giả sửABCD là tứ diện gần đều thì các mặt của nó là các tam giác bằng nhau nên có diện tích bằng nhau. Ngược lại, giả sửABCD có các mặt có diện tích bằng nhau. GọiE là trung điểm của, , ,CD H K F lần lượt là hình chiếu vuông góc của, ,C D E trênAB . Ta cóE là trung điểm củaCD nênF là trung điểm củaHK , mặt khác1 . , 2 ABCS AB CH 1 . , 2 ABD ABC ABDS AB DK S S CH DK      suy ra hai tam giác vuôngCHF vàDKF bằng nhau, do đóCF DF FCD   cân tạiF FE CD  , vậy đường vuông góc chung củaAB vàCD đi qua trung điểm củaCD Do vai trò bình đẳng giữaAB vàCD nênF cũng là trung điểm củaAB . VậyEF là trục đối xứng của tứ diệnABCD nên,AC BD AD BC  . Tương tựAB CD , vì vậyABCD là tứ diện gần đều.  Hiển nhiên mỗi trục đối xứng phải đi qua trung điểm của một cặp cạnh đối nên nó là đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đó theo tính chất 2 ta có (đpcm).  NếuABCD là tứ diện gần đều thì theo tính chất 3 ta có diện tích các mặt bằng nhau, áp dụng công thức 1 3 dV hS ta có ngay bốn đường cao của tứ diện bằng nhau. Hình 1.7E F A B D C K H 9 Ngược lại nếu tứ diện có bốn đường cao bằng nhau thì cũng từ công thức 1 3 dV hS ta có diện tích bốn mặt bằng nhau, theo tính chất 3 ta cũng có đpcm.  Giả sửO là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện gần đềuABCD ta sẽ chứng minhO cũng là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diệnABCD . Thậy vậy, gọi1 2,O O lần lượt là hình chiếu củaO trên các mặtABC vàDBC , khi đó1 2,O O là tâm đường tròn ngoại tiế p các tam giácABC vàDBC . GọiI là trung điểm củaBC . Ta có :ABC DBC  1 2 ,O I O I 1 2OO OO . Tương tự ta sẽ chứng minh đượcO cách đều các mặt của tứ diện, do đóO là tâm mặt cầu nội tiếp. Ngược lại, giả sử tứ diệnABCD có tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. Gọi1 2,O O là các tiếp điểm của mặt cầu nội tiếp với các mặtABC vàDBC thì1 2,O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giácABC vàDBC và:1 2 1 2O BC O BC BO C BO C BAC BDC       Hoàn toàn tương tự ta có:,CAD CBD BAD BCD  suy ra tổng các góc phẳng tại đỉnhA của tứ diệnABCD bằng0 180 , và điều này đúng cho tất cả các đỉnh của tứ diện, vì vậy theo tính chất 1 thìABCD là tứ diện gần đều. Hình 1.8  Giả sửABCD là tứ diện gần đều, gọi,M N lần lượt là trung điểm của,AB CD vàO là trung điểm củaMN thìO là trọng tâm của tứ diệnABCD . Ta chứng minhO là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD . Thật vậy, ta cóMN là đường trung trực củaAB vàCD nên,OA OB OC OD  , lại có2 2 2 2 2 AB MN OA MA OM     ,2 2 2 2 2 CD MN OD ON ND     . Mà,AB CD OA OD   vậyOA OB OC OD   nênO là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD .O N M A B D C 10 Ngược lại nếu tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau thì đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối chính là đường vuông góc chung của chúng nên theo tính chất 2 ta có đpcm.  Tính chất này được suy ra từ hai tính chất 6 và 7.  Giả sửABCD là tứ diện gần đều khi đó ta có:cos cos cosABC DAB DBC DACS S S S      trong đó, ,    lần lượt là các góc nhị diện của các cạnh, ,AB BC AC . Mặt khácABC DAB DBC DACS S S S   nên:cos cos cos 1      . Ngược lại, giả sửABC là mặt có diện tích lớn nhất vàcos cos cos 1      với, ,    lần lượt là các góc nhị diện của các cạnh, ,AB BC AC khi đó từcos cos cosABC DAB DBC DACS S S S      cos cos cosABC ABC ABCS S S        do đóABC DAB DBC DACS S S S ABCD    là tứ diện gần đều. Hình 1.9  Giả sử1 2 3 4A A A A là tứ diện gần đều,1 2 3 4, , ,S S S S là diện tích các mặt đối diện với đỉnhA . Gọi,   lần lượt là các góc phẳng nhị diện cạnh1 2A A và3 4A A Dựng hình hộp'''' '''' '''' '''' 1 4 2 3 1 3 2 4.A A A A A A A A . GọiS là diện tích các mặt của tứ diện. Áp dụng công thức  2 2 2 1 2 1 2 sin 2 cos 4 ab S S S S     ta có diện tích hình chữ nhật'''' '''' 1 4 2 3A A A A là''''2 2 2 2 2 cosS S S   và diện tích hình chữ nhật'''' '''' 1 3 2 4A A A A là:''''''''2 2 2 2 2 cosS S S   mà'''' '''''''' cos cosS S         (do0 0 0 , 180    ). Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được góc phẳng nhị diện của các cặp cạnh đối còn lại bằng nhau.A''''4 A1 A''''3 A2 A''''1 A''''2 A3 A4 11 Ngược lại, giả sử tứ diện1 2 3 4A A A A có góc nhị diện các cặp cạnh đối bằng nhau, khi đó áp dụng công thức1 22 sin 3 S S V a   ta có1 2 3 4S S S S ABCD    là tứ diện đều. Tứ diện đều Định nghĩa 1.2: Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau. Tính chất 1.5: Các mặt là các tam giác đều bằng nhau. Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng0 60 . Các mặt bên nghiêng đều với đáy. Chân đường cao hạ từ 1 đỉnh bất kỳ trùng với trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đó. Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm của tứ diện trùng nhau. Đường cao của tứ diện bằng 6 3 a và thể tích của tứ diện bằng3 12 12 a (trong đóa là độ dài ác cạnh của tứ diện). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là3 12 12 a R  và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện là 6 12 a r  . Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau. Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất kỳ là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bất kỳ bằng 2 2 a . Hình hộp ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a là hình lập phương có cạnh bằng 2 2 a . Tứ diện vuông Định nghĩa 1.3: Tứ diện vuông là tứ diện có một góc tam diện vuông hay có các cặp cạnh ở đỉnh đôi một vuông góc. Sau đây là một số tính chất và công thức liên quan đến tứ diện vuông mà có nhiều hệ thức tương tự như công thức lượng trong tam giác vuông. Tính chất 1.6: Cho tứ diện OABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, có, ,OA OB OC đôi một vuông góc,, ,OA a OB b OC c   , đường caoOH h . Ta có: H Là trực tâm tam giácABC . 12 2 2 2 2 1 1 1 1 h a b c    . 2 2 2 2 ABC OAB OBC OCAS S S S      (định lý Pythagore trong không gian). 2 .OAB ABC HABS S S  (công thức hình chiếu).  Gọi, ,    là các góc giữaOH với, ,OA OB OC thì2 2 2 cos cos cos 1.       Gọi, ,A B C là ba góc của tam giácABC thì2 2 2 tan tan tana A b B c C  .  Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau. 2 2 2 2 2 21 . 2 ABCS a b b c c a     2 2 2 2 2 21 1 , 6 2 tpV abc S ab bc ca a b b c c a       .  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp2 2 21 . 2 R a b c   Chứng minh:  Ta có OA OBC OA BC   , lại có OH ABC OH BC   BC OAH BC AH  . Tương tựAB CH , do đóH là trực tâm tam giác.  GọiI là giao điểm củaAH vàBC . Ta có:2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 OH OA OI OA OB OC      2 2 2 2 1 1 1 1 h a b c    . Hình 1.10  2 2 2 2 2 21 1 . 4 4 ABCS AI BC OA OI BC   2 2 2 21 1 4 4 OA BC OI BC  2 2 2 2 21 1 4 4 OA OB OC OI BC  2 2 2 OAB OBC OCAS S S    .   2 2 21 1 . . . 4 4 OABS OA OB AH AI BI BC  1 1 . . . . 2 2 ABC HABAI BC AH BI S S          I O A C B H 13  Từ2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    suy ra2 2 2 1 OH OH OH OA OB OB                    2 2 2 cos cos cos 1.       Áp dụng định lí côtang (định lí côsin mở rộng) ta có:2 2 2 cot 4 ABC AB AC BC A S    2 2 2 2 2 2 2 2 tan 2 4 2 ABC ABC ABC a b a c b c a a A S S S             Tương tự ta có:2 2 tan tan 2 ABCb B c C S  Vậy2 2 2 tan tan tan .a A b B c C   Sử dụng công thức tính đường trung tuyến và định lý Pythagore ta có ngay2 2 2 . 2 a b c d     Theo tính chất 3 ta có:2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 4 4 4 ABC OAB OBC OCAS S S S a b b c c a        2 2 2 2 2 21 . 2 ABCS a b b c c a     Hiển nhiên. Hình 1.11  Từ trung điểmI củaBC kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng OBC , gọiJ là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạnOA thìJ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnOABC và bán kính2 2 2 2 21 . 2 R OI IJ a b c     Tứ diện trực tâm Định nghĩa 1.4: Tứ diện có các đường cao (hoặc phần kéo dài của chúng) cắt nhau tại một điểm được gọi là tứ diện trực tâm.d J M I A O C B 14 Tính chất 1.7: Mỗi điều kiện sau là một điều kiện cần và đủ để một tứ diện là tứ diện trực tâm.  Một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc.  Các đoạn thẳng nối các cặp cạnh đối bằng nhau.  Tổng các bình phương của các cặp cạnh đối bằng nhau.  Các góc giữa các cạnh đối bằng nhau.  Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó. Chứng minh:  Giả sử tứ diện ABCD có bốn đường cao cắt nhau tại H, khi đó,AH CD BH CD  nên CD ABH CD AB   . Tương tự,AD BC AC BD  . Ngược lại, giả sử tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc. Gọi AI là đường cao của hình chóp và E là giao điểm của BI và CD. Kẻ,BK AE K AE  , gọi H là giao điểm của AI và BK. Khi đóCD AB vàCD BI CD BK   . Từ đây suy ra BK ACD . Hay đường cao xuất phát từ các đỉnh A và B cắt nhau tại H . Lập luận tương tự ta được bốn đường cao của tứ diện đôi một cắt nhau, khi đó bốn đường cao hoặc đồng phẳng hoặc đồng quy, mặt khác bốn đường cao của tứ diện thì không thể đồng phẳng nên chúng đồng quy.  Gọi, , ,K L M N theo thứ tự là trung điểm của, , ,AB BC CD DA thìKLMN là hình bình hành. Ta thấyAB CD KLMN  là hình chữ nhậtKM LN  (vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật). Vì vậy ta có đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi các cặp cạnh đối vuông gócABCD là tứ diện trực tâm (TC1).  Đặt, ,AB a BC b CD c   . Ta chứng minh tổng bình phương của hai cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi cặp cạnh còn lại vuông góc. Thật vậy giả sử2 2 2 2 AC BD BC AD  2 2 2 2 a b b c b a b c       0ac AB CD    Vậy tứ diệnABCD có tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau  tứ diện ABCD các cặp cạnh đối vuông góc  ABCD là tứ diện trực tâm (TC1).  Ta chứng minh góc giữa các cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi các cặp cạnh đối vuông góc. Gọi α là số đo góc giữa hai cạnh đối (của tất cả các cặp cạnh đối). Giả sử0 90   . Ta chứng minh trong ba số. , . , .AB CDcos CB ADcos AC BDcos    có một số bằng tổng của hai số còn lại. Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD mà mỗi mặt của hình hộp đi qua một cạnh và song song với cạnh đối diện (hình vẽ). Đặt''''= , ''''AD x D B y , giả sửx y khi đó theo định lí côsin ta có: 2 2 2 2 2 2 . cos 2 . cosAD OA OD OAOD OA OD OAOD              Hay:2 2 2 4 2 . cosx AB CD AB CD    (1). Tương tự2 2 2 4 2 . cosy AB CD AB CD    (2) 15 Lấy (1) trừ (2) ta được:2 2 . cosAB CD x y    . Thiết lập các hệ thức tương tự nữa ta thu được ba số. , . , .AB CDcos CB ADcos AC BDcos    có một số bằng tổng của hai số còn lại. Giả sử :. . . . . .AB CDcos AD BCcos AC BDcos AB CD AD BC AC BD        (vô lí theo công thức Crelle thì. , . , .AB CD AD BC AC BD là ba cạnh của một tam giác). Vậy0 90   do đó ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc. Theo tính chất 1 ta có điều cần chứng minh.  Nếu ABCD là tứ diện trực tâm thì dễ dạng chứng minh được chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó. Ngược lại nếu chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó thì ta chứng minh được các cặp cạnh đối vuông góc, vì vậy tứ diện này là tứ diện trực tâm. 16 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤ T CỦA TAM GIÁC 2.1. Một số khái niệm và tính chất liên hệ giữa tam giác và tứ diện 2.1.1. Một số khái niệm liên quan - Tam giác v à tứ diện: Trong tam giác các đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác và tồn tại một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp một tam giác bất kỳ. Trong tứ diện các đường trọng tuyến cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm tứ diện, tồn tại một mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện bất kỳ,… - Đường tròn và mặt cầu: Đối với đường tròn dây cung đi qua tâm là dây cung lớn nhất, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn vuông góc bán kính qua tiếp điểm. Đối với mặt cầu, mặt phẳng đi qua tâm cắt mặt cầu theo đường tròn lớn nhất, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu vuông góc bán kính đi qua tiếp điểm,… 2.1.2. Một số tính chất liên hệ a. Tính chất về trọng tâm tam giác và tứ diện (Gravity Centre) Tam giác Tứ diện - Trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm (trọng tâm) của cạnh đối diện. - Có hai yếu tố tương tự là trọng tuyến và trung diện. - Trung tuyến chia tam giác thành 2 phầ...

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5, năm 2019

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC

Sinh viên thực hiện

Quảng Nam, tháng 5, năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được khóa luận một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của Thầy giáo Thạc sĩ Trần Anh Dũng - Giảng viên khoa Toán trường Đại học Quảng Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và xin gửi lời tri ân nhất của em đối với những điều thầy đã làm cho em Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, Trường đại học Quảng Nam dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục tiêu của đề tài

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

3.2 Phạm vi nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

4.2 Phương pháp phỏng vấn và lấy ý kiến chuyên gia

5 Lịch sử nghiên cứu

6 Đóng góp của đề tài

6.1 Về mặt lý luận

6.2 Về mặt thực tiễn

7 Cấu trúc đề tài

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1

1.1 Tam giác 1

1.1.1 Khái niệm về tam giác 1

1.1.2 Tổng hợp các kết quả đã biết trong tam giác 1

a Tính chất của các đường đồng quy 1

b Tính chất của đường thẳng Euler 2

c Tính chất của đường tròn Euler 3

1.2 Tứ diện 6

1.2.1 Tổng hợp các kết quả đã biết trong tứ diện 6

1.2.2 Các tứ diện đặc biệt và một số tính chất 7

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC 16

2.1 Một số khái niệm và tính chất liên hệ giữa tam giác và tứ diện 16

2.1.1 Một số khái niệm liên quan 16

2.1.2 Một số tính chất liên hệ 16

a Tính chất về trọng tâm tam giác và tứ diện (Gravity Centre) 16

b Tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (Circumscribed Sphere Centre) 18

c Tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện 19

d Tính chất về trực tâm tam giác và tứ diện trực tâm (Orthocentric Tetrahedron) 20

e Tính chất về tỷ số diện tích của hai tam giác chung một góc và thể tích 2 tứ diện có chung một góc tam diện 22

2.2 Tìm kiếm mối liên hệ giữa tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian 23

2.2 Các bài toán mở rộng 32

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 37

1 Kết luận 37

2 Kiến nghị 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nghiên cứu khoa học tự nhiên ta đều có được một bài học: nếu biết rõ thành phần nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất, ta sẽ hiểu rõ được bản chất của vật chất Trong hình học cũng vậy, nếu biết rõ thành phần cơ bản cấu tạo nên hình học, ta sẽ hiểu rõ

hình học

Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một môn học khó đối với học sinh trong nhà trường THPT Vì hình học là môn học có tính chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác

Để học hình học không gian, ngoài tính trừu tượng còn đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tư duy cao Hình học không gian bước đầu người học cảm thấy khó song càng học càng thấy sự thú vị trong đó Do việc nghiên cứu hình học không gian là cần thiết nên trong bài khóa luận này em sẽ đi sâu vào một phần nhỏ của hình học không gian là hình tứ diện

Trong hình học, thành phần đơn giản nhất là điểm, đường thẳng và mặt phẳng Vì thế việc nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm, đường và mặt mang ý nghĩa nền tảng của hình học Hệ tiên đề hình học xuất phát từ những tiên đề về những mối quan hệ giữa những khái niệm nền tảng đó Xuất phát từ đó, hình được nghiên cứu kỹ nhất là hình tam giác, có vai trò nguyên tố trong số tất cả các đa giác nói riêng và hình phẳng nói chung Vì thế tam giác có thể coi là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình phẳng Các bài toán và định lý về tam giác đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hình học phẳng Tương tự, tứ diện là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình trong không gian 3 chiều Các bài toán và định lý về tứ diện đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hình học 3 chiều

Tứ diện là một hình không gian 3 chiều khép kín được giới hạn bởi 4 mặt Không gian ấy được xác định bởi 4 điểm không đồng phẳng Mỗi điểm là một đỉnh của tứ diện Mỗi đỉnh ứng với một góc tam diện, 3 đỉnh xác định một mặt của tứ diện Mỗi cặp 2 mặt của tứ diện xác định một nhị diện Cạnh của nhị diện chính là cạnh của tứ diện Tứ diện có 6 cạnh, chia làm 3 cặp, mỗi cặp gồm 2 cạnh chéo nhau, gọi là 2 cạnh đối

Giống như tam giác có 4 đường: trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, thì

tứ diện cũng có những đường và mặt khác nhau Việc khảo sát những đường và mặt chủ yếu ấy sẽ cung cấp một cái nhìn toàn cảnh và sâu rộng về tứ diện, trong đó các yếu

tố của tứ diện sẽ lộ ra dưới một cấu trúc nhất quán Tuy nhiên, qua nghiên cứu, chúng

tôi thấy rằng vấn đề về tứ diện trong không gian chưa được nghiên cứu rõ ràng, sâu sắc như vấn đề tam giác trong mặt phẳng Do mối tương đồng giữa hai khái niệm: Tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian nên chắc chắn sẽ còn nhiều nội dung khai thác được lẫn nhau giữa hai yếu tố này (mà chủ yếu là khai thác những vấn từ tam giác sang tứ diện)

Chúng ta đã thấy được tầm quan trọng của tứ diện trong hình học không gian Ngoài ra tứ diện còn là một chủ đề thường xuyên xuất hiện trong cấu trúc đề thi cao đẳng, đại học và các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi trong các trường THPT Nhằm

cung cấp đầy đủ kiến thức, rèn luyện kĩ năng liên quan đến các dạng bài tập về hình tứ

diện nên em đã lựa chọn nghiên cứu đề tài "Tứ diện và một số vấn đề được mở rộng

từ các tính chất của tam giác" Là một giáo viên trong tương lai, em nhận thấy việc

nghiên cứu đề tài này là hợp lý và có ý nghĩa thực tiễn trong quá trình giảng dạy

2 Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lý luận, hệ thống hóa và phân dạng bài tập về hình tứ diện, nhằm tích cực hóa hoạt động của học sinh nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và tăng hiệu quả giảng dạy môn toán ở trường THPT

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là hình tứ diện

3.2 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các tam giác, tứ diện đặc biệt và một số tính chất của tam giác, tứ diện

- Mối liên hệ giữa tam giác và tứ diện và một số bài toán mở rộng

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức

4.2 Phương pháp phỏng vấn và lấy ý kiến chuyên gia

Tham gia học hỏi và trau dồi những kinh nghiệm quý báu của các thầy cô giáo cũng như những ý kiến đóng góp của giáo viên hướng dẫn để làm tốt đề tài

5 Lịch sử nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu mở rộng từ các vấn đề tam giác sạng tứ diện xuất hiện rải rác trong các nội dung mở rộng từ hình học phẳng sang hình học không gian Vấn đề này được xem như một giải pháp tốt để giải quyết một số vấn đề phức tạp của hình học không gian, làm cầu nối giúp học sinh sử dụng kế thừa các kiến thức về hình học phẳng cho hình học không gian Tuy nhiên, hiện chưa có tài liệu hoàn chỉnh nào nghiên cứu riêng biệt mối liên hệ giữa tam giác trong hình học phẳng và tứ diện trong không gian Nhận thức vấn đề ở mức độ đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này

6 Đóng góp của đề tài

6.1 Về mặt lý luận

- Xây dựng hệ thống các kiến thức liên quan đến hình học phẳng và hình học không gian giúp học sinh nắm bắt được yêu cầu, vai trò và tầm quan trọng trong việc

sử dụng các phương pháp giải toán

- Phân tích và tổng hợp được một số dạng toán được mở rộng từ tam giác lên tứ diện

6.2 Về mặt thực tiễn

Kết quả của đề tài có thể:

- Giúp cho giáo viên và học sinh có thêm một tài liệu mới

7 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, nội dung khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí thuyết

Chương 2: Một số vấn đề được mở rộng từ các tính chất của tam giác

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Tam giác

1.1.1 Khái niệm về tam giác

Tam giác là một loại hình cơ bản của hình học phẳng, là đa giác đơn giản nhất, có

số cạnh/ đỉnh ít nhất Không giống như những loại đa giác khác, chính vì sự đơn giản

đó mà tam giác không có đường chéo, không có khái niệm lồi/ lõm Chúng ta có thể dễ dàng chỉ ra các yếu tố của hình tam giác (đỉnh, cạnh, trung tuyến, đường cao, đường trung trực, đường phân giác, đường trung bình, …), phân loại các hình tam giác (tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều) nhưng chúng ta sẽ không dễ dàng trình bày hết được những tính chất, vận dụng, ứng dụng các tính chất của loại

hình này Có nguyên những cuốn sách Hình học của tam giác của tác giả Nguyễn Văn Ban và Hoàng Chúng và Hình học mới của tam giác của tác giả X.I Đê-chen Hai

cuốn sách này trình bày rất chi tiết hầu hết về vấn đề tam giác

1.1.2 Tổng hợp các kết quả đã biết trong tam giác

a Tính chất của các đường đồng quy

 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

(Giao điểm ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác)

 Tính chất ba đường phân giác của tam giác:

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó

(Giao điểm ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó)

 Tính chất ba đường trung trực của tam giác:

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

(Giao điểm ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó)

 Tính chất ba đường cao của tam giác:

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm

(Giao điểm ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác)

 Tính chất của đường tròn bàng tiếp các góc:

Hình 1.1

Cho tam giác ABC và các đường tròn bàng tiếp góc A B C lần lượt là , , O r a, a,

O r b, b,O r Với các tiếp điểm được cho bởi hình vẽ Khi đó: c, c

2

ADAF ABBDDC CA  p (với p là nửa chu vi của tam giác ABC )

Mặt khác: AD AFADAF p

Như thế: AD AFBEBFCECD p

 Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân:

- Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh đối diện với cạnh đó

- Ngược lại với tính chất trên ta có: Trong một tam giác, nếu hai trong 4 loại đường: (đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh

và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân

- Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp là bốn điểm trùng nhau

b Tính chất của đường thẳng Euler

Định nghĩa về đường thẳng Euler : "Trong tam giác ABC không đều, nếu gọi O

là giao điểm của ba đường trung trực (tâm đường tròn ngoại tiếp); G là giao điểm của đường trung tuyến (trọng tâm); H là giao điểm 3 đường cao (trực tâm) thì

, ,

O G H cùng thuộc một đường thẳng gọi là đường thẳng Euler"

Nói ngắn gọi: "Đường thẳng Euler là đường thẳng chứa , , O G H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm."

D D'

E F

F' F''

Tính chất 1.1: Trong một tam giác, điểm trọng tâm G nằm giữa tâm đường tròn

ngoại tiếp O và trực tâm H đồng thời OH3OG

c Tính chất của đường tròn Euler

Chúng ta biết rằng đường tròn Euler của tam giác là đường tròn đi qua chín điểm, gồm: trung điểm các cạnh; chân các đường cao hạ từ ba đỉnh xuống cạnh đối diện và trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm đến các đỉnh

Ta có các tính chất về đường tròn Euler:

Tính chất 1.2: Cho tam giác ABC , các đường cao AA BB CC cắt nhau tại H 1, 1, 1Gọi A B C M N P  , , , , , lần lượt là tung điểm của BC AC AB HA HB HC Khi đó , , , , ,chín điểm:A B C A B C M N P  , , , 1, 1, 1, , , cùng nằm trên một đường tròn (gọi là “đường

tròn chín điểm” hay gọi tắt là “đường tròn Euler” của tam giác ABC )

Chứng minh: (Hình 1.3)

G H

Hình 1.3

Ta có MN // AB ; NA// CH Từ đó MN NA hay MNA 900 Chứng minh

trung tuyến trong tam giác vuông ta có MAMB A B1;  1 A C nên các tam giác MAB 1

và A B C 1 là các tam giác cân Do đó: AB M1 A B C 1 MAB1B CA1 900 Suy ra:

C M N P cùng nằm trên một đường tròn đường kính MA

Nhận xét: Vì vai trò của các đoạn thẳng là giống nhau nên NB PC;  cũng là đường

kính đường tròn Euler của tam giác ABC Như vậy, các đường thẳng A M B N C P ,  , 

đồng quy tại tâm đường tròn Euler của tam giác ABC

Tính chất 1.3: Tâm đường tròn Euler của tam giác là trung điểm của đoạn thẳng

nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó

Chứng minh: (Hình 1) Gọi J và O lần lượt là tâm đường tròn Euler và tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dễ dàng chứng minh hai tam giác HBA và

hình bình hành, mà J là trung điểm của MA nên J là trung điểm của OH

Chú ý: Chân ba đường cao của một tam giác bất kì, ba trung điểm của ba cạnh, ba

trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm

trên một đường tròn Đường tròn này thường được gọi là đường tròn Euler hay còn gọi

P N

C1

A1J M

H

A'

B' C'

là đường tròn Feuerbach, đường tròn Terquem hay đường tròn chín điểm, đường tròn

trung bình

Một số định lý liên quan

Định lý Mênelaus: Là một định lý cơ bản trong hình tam giác, được phát biểu như

sau: Cho tam giác ABC , các điểm D E F lần lượt nằm trên các đường thẳng , , BC,,

CA AB Khi đó D E F thẳng hàng khi và chỉ khi , , FA DB EC 1

FB DC EA 

Chứng minh:

Hình 1.4

 Phần thuận: Giả sử , , D E F thẳng hàng với nhau Vẽ đường thẳng qua C và

song song với AB cắt đường thẳng DE tại G

Vì CG // AB (cách dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có: DB FB

Khi đó gọi F là giao điểm của đường thẳng ED với đường thẳng AB

Theo chứng minh ở trên, ta có: F A DB EC 1

A

1.2 Tứ diện

1.2.1 Tổng hợp các kết quả đã biết trong tứ diện

Tứ diện: Hình trong không gian 3 chiều xác định bởi 4 đỉnh và giới hạn bởi 4 mặt

- Trọng tâm: Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện hay còn gọi là đường trọng tuyến

- Mặt cầu ngoại tiếp: Mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện

- Mặt cầu nội tiếp: Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện đó

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp: tồn tại điểm cách đều các đỉnh của tứ diện

- Tâm mặt cầu nội tiếp: tồn tại điểm cách đều các mặt của tứ diện

- Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện: Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đó

Một số định lý liên quan

Định lý Mênelaus: Cho tứ diện ABCD , các điểm M N P Q lần lượt nằm trên , , ,

các đường thẳng AB BC CD DA Khi đó , , , M N P Q cùng phẳng khi và chỉ khi , , ,

MA NB PC QD

MB NC PD QA  Chứng minh:

Phần thuận: Trong mặt phẳng ABC gọi E  ACMN

Theo định lý Mênelaus trong ABC và M N E thẳng hàng ta có: , ,

A

M

Q C

Khi đó mặt phẳng qua M N P cắt cạnh DA tại Q, , 

Theo chứng minh ở trên, ta có: MA NB PC Q D 1

Định nghĩa 1.1: Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau được gọi là tứ diện gần đều

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy tứ diện gần đều có bốn mặt là các tam giác bằng nhau

 Bốn mặt của tứ diện là các tam giác có diện tích bằng nhau

 Tứ diện có hai trục đối xứng

 Bốn đường cao của tứ diện bằng nhau

 Tâm mặt cầu nội tiếp và tâm mặt cầu ngoại tiếp bằng nhau

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau

 Tâm mặt cầu nội tiếp và trọng tâm trùng nhau

 Tổng các côsin của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1

 Góc nhị diện của các cặp cạnh đối bằng nhau

Dễ thấy tổng các góc ở mỗi đỉnh bằng 180 nên các điểm , ,A B C thuộc các cạnh của

tam giác D D D 1 2 3

Ta có: D A1 DAD A BD2 , 1BD3 BD CD, 2 CD3 CD nên A B C lần lượt là , ,trung điểm củaD D D D1 2, 1 3, D D do đó: 2 3 1 2 3 2

2

AB D D CD CD Tương tự ACBD, ADBC

Vậy ABCD là tứ diện gần đều

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều và , I J lần lượt là trung điểm của các cạnh

  , từ đó ta có IJ CD , tương tự IJ AB hay IJ là đường vuông góc

chung của AB và CD Lí luận tương tự ta được đoạn thẳng nối trung điểm của hai

cặp cạnh đối còn lại cũng là đường vuông góc chung của chúng

Đảo lại, giả sử đoạn IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD , khi đó IJ là đường trung trực của AB và CD nên phép đối xứng trục qua IJ biến: A B C, D ,

tương tự ta cũng có ADBC AB, CD nên ABCD là tứ diện gần đều

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều thì các

mặt của nó là các tam giác bằng nhau nên có

diện tích bằng nhau Ngược lại, giả sử ABCD

có các mặt có diện tích bằng nhau

Gọi E là trung điểm của CD H K F lần lượt , , ,

là hình chiếu vuông góc của , ,C D E trên AB

Ta có E là trung điểm của CD nên F là trung

suy ra hai tam giác vuông CHF và DKF

FFECD, vậy đường vuông góc chung

của AB và CD đi qua trung điểm của CD

Do vai trò bình đẳng giữa AB và CD nên F cũng là trung điểm của AB Vậy EF là trục đối xứng của tứ diện ABCD nên ACBD AD, BC Tương tự AB CD , vì

vậy ABCD là tứ diện gần đều

 Hiển nhiên mỗi trục đối xứng phải đi qua trung điểm của một cặp cạnh đối nên

nó là đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đó theo tính chất 2 ta có (đpcm)

 Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì theo tính chất 3 ta có diện tích các mặt bằng

H

Ngược lại nếu tứ diện có bốn đường cao bằng nhau thì cũng từ công thức 1

V  hS ta

có diện tích bốn mặt bằng nhau, theo tính chất 3 ta cũng có đpcm

 Giả sử O là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện gần đều ABCD ta sẽ chứng minh

O cũng là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Thậy vậy, gọi O O lần lượt là hình 1, 2

chiếu của O trên các mặt ABC và DBC , khi đó O O là tâm đường tròn ngoại tiếp 1, 2các tam giác ABC và DBC Gọi I là trung điểm của BC Ta có : ABC  DBC

O I O I

tứ diện, do đó O là tâm mặt cầu nội tiếp Ngược lại, giả sử tứ diện ABCD có tâm mặt

cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau Gọi O O là các tiếp điểm của mặt cầu nội tiếp 1, 2

với các mặt ABC và DBC thì O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác 1, 2 ABC và

DBC và:

Hoàn toàn tương tự ta có: CADCBD BAD, BCD suy ra tổng các góc phẳng tại

180 , và điều này đúng cho tất cả các đỉnh của tứ

diện, vì vậy theo tính chất 1 thì ABCD là tứ diện gần đều

Hình 1.8

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều, gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB CD ,

và O là trung điểm của MN thì O là trọng tâm của tứ diện ABCD Ta chứng minh

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Thật vậy, ta có MN là đường trung trực

của AB và CD nên OAOB OC, OD, lại có

Ngược lại nếu tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau thì đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối chính là đường vuông góc chung của chúng nên

theo tính chất 2 ta có đpcm

 Tính chất này được suy ra từ hai tính chất 6 và 7

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều khi đó ta có:

ABC DAB DBC DAC

diện của các cạnh AB BC AC Mặt khác , , S ABC S DAB S DBC S DAC nên:

coscoscos 1

Ngược lại, giả sử ABC là mặt có diện tích lớn nhất và coscoscos 1 với , ,

   lần lượt là các góc nhị diện của các cạnh AB BC AC khi đó từ , ,

ABC DAB DBC DAC

cos cos cos 

ABC DAB DBC DAC

Hình 1.9

 Giả sử A A A A là tứ diện gần đều, 1 2 3 4 S S S S là diện tích các mặt đối diện với 1, 2, 3, 4

đỉnh A Gọi ,  lần lượt là các góc phẳng nhị diện cạnh A A và 1 2 A A 3 4

Ngược lại, giả sử tứ diện A A A A có góc nhị diện các cặp cạnh đối bằng nhau, khi 1 2 3 4

đó áp dụng công thức 2 1 2sin

3

S S V

a



 ta có S1S2 S3S4ABCD là tứ diện đều

Tứ diện đều

Định nghĩa 1.2: Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau

Tính chất 1.5:

* Các mặt là các tam giác đều bằng nhau

* Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 0

60

* Các mặt bên nghiêng đều với đáy

* Chân đường cao hạ từ 1 đỉnh bất kỳ trùng với trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đó

* Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm của tứ diện trùng nhau

a

(trong đó a

là độ dài ác cạnh của tứ diện)

* Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

3

1212

* Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau

* Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất kỳ là đoạn vuông góc

chung của các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

Sau đây là một số tính chất và công thức liên quan đến tứ diện vuông mà có nhiều

hệ thức tương tự như công thức lượng trong tam giác vuông

ABC OAB OBC OCA

 2

OAB ABC HAB

 Gọi , ,   là các góc giữa OH với OA OB OC thì , , cos2cos2 cos2 1

 Gọi , ,A B C là ba góc của tam giác ABC thì a2tanAb2tanBc2tanC

 Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau

.2

Tương tự AB CH , do đó H là trực tâm tam giác

 Gọi I là giao điểm của AH và BC

 Từ trung điểm I của BC kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng OBC , 

gọi J là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạn OA thì J là tâm mặt cầu

.2

I

A

B

Tính chất 1.7:

Mỗi điều kiện sau là một điều kiện cần và đủ để một tứ diện là tứ diện trực tâm

 Một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc

 Các đoạn thẳng nối các cặp cạnh đối bằng nhau

 Tổng các bình phương của các cặp cạnh đối bằng nhau

 Các góc giữa các cạnh đối bằng nhau

 Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó

Chứng minh:

,

AH CD BH CD nên CDABHCD AB Tương tự ADBC AC, BD

Ngược lại, giả sử tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc Gọi AI là đường cao của hình chóp và E là giao điểm của BI và CD Kẻ BK AE K, AE , gọi H là giao điểm của AI và BK Khi đó CDAB và CDBI CDBK Từ đây suy ra

tương tự ta được bốn đường cao của tứ diện đôi một cắt nhau, khi đó bốn đường cao hoặc đồng phẳng hoặc đồng quy, mặt khác bốn đường cao của tứ diện thì không thể đồng phẳng nên chúng đồng quy

 Gọi , , ,K L M N theo thứ tự là trung điểm của AB BC CD DA thì KLMN là , , ,

bình hành có hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật) Vì vậy ta

có đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi các cặp cạnh đối vuông góc ABCD là tứ diện trực tâm (TC1)

 Đặt ABa BC, b CD, c Ta chứng minh tổng bình phương của hai cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi cặp cạnh còn lại vuông góc

Vậy tứ diện ABCD có tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau  tứ diện

ABCD các cặp cạnh đối vuông góc  ABCD là tứ diện trực tâm (TC1)

 Ta chứng minh góc giữa các cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi các cặp cạnh đối

vuông góc Gọi α là số đo góc giữa hai cạnh đối (của tất cả các cặp cạnh đối) Giả sử

0

90

  Ta chứng minh trong ba số AB CDcos ,CB ADcos ,AC BDcos  có một

số bằng tổng của hai số còn lại Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD mà mỗi mặt

của hình hộp đi qua một cạnh và song song với cạnh đối diện (hình vẽ) Đặt '= , '

AD x D B y , giả sử x y khi đó theo định lí côsin ta có:

từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó Ngược lại nếu chân đường cao hạ

từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó thì ta chứng minh được các cặp cạnh đối vuông góc, vì vậy tứ diện này là tứ diện trực tâm