Tổng hợp kiến thức HK2 khối 10 môn Toán Tổng hợp các công thức toán từ đầu hk2 đến cuối hk Giúp các em nắm rõ các công thức
Trang 11 Dấu của tam thứ bậc hai
Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c (a 6= 0) có ∆ = b2− 4ac; S = x1+ x2= −b
a; P = x1x2= c
a
f(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔
a> 0
∆ < 0
a> 0
∆6 0
£
f(x) < 0, ∀x ∈ R ⇔
a< 0
∆ < 0
a< 0
∆6 0
£
, Lưu ý: Nếu a chứa tham số m thì xét thêm trường hợp a = 0.
f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0
∆> 0
P> 0
£
f(x) = 0 có 2 nghiệm dương ⇔
∆> 0
S> 0
P> 0
∆> 0
S< 0
P> 0
£
, Lưu ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0.
2 Phương trình chứa căn
√
A=√
B⇔
B> 0
A= B
A= B ⇔
B> 0
A= B2
A= 0
B= C
£
3 Tọa độ véc-tơ
#»u = (x; y) ⇔ #»u = x#»i + y#»j.
OM= x#»i + y#»j.
£ Cho hai véc-tơ #»a = (x1; y1), #»
b = (x2; y2) và ba điểm A (xA; yA), B (xB; yB), C (xC; yC) Khi đó:
#»a +#»b = x
1+ x2; y1+ y2
1− x2; y1− y2
£
k #»a = kx1; ky1, k ∈ R.
1x2+ y1y2
£
#»a ⊥ #»b ⇔ x
1x2+ y1y2= 0
#»a = #»b ⇔
x1= x2
y1= y2
x2 = y1
y2, x2y26= 0
£
ABCDlà hình bình hành ⇔ A +C = B + D
AB= (xB− xA; yB− yA)
£
AB=»(xB− xA)2+ (yB− yA)2
=
#»a.#»b #»a
#»
b
=» x1x2+ y1y2
x21+ y21·»x22+ y22
£
Nếu I là trung điểm của AB thì
xI =xA+ xB
2
yI =yA+ yB
2
hoặc I = A+ B
2 .
xG= xA+ xB+ xC
3
yG= yA+ yB+ yC
3
hoặc G = A+ B +C
3 .
£
Trang 2, Lưu ý: M ∈ Ox ⇒ M(x; 0), M ∈ Oy ⇒ M(0; y).
I(x; y)chiếu−→
Ox H(x; 0)
• I(x; y)chiếu−→
Oy H(0; y)
• I(x; y)đối xứng−→
Ox
I0(x; −y)
• I(x; y)đối xứng−→
Oy
I0(−x; y)
•
4 Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ :
qua M◦(x◦; y◦)
có VTCP #»u = (u1; u2)
có phương trình tham số là ∆ :
x= x◦+ u1t
y= y◦+ u2t
, t ∈ R
Đường thẳng ∆ :
qua M◦(x◦; y◦)
có VTPT #»n = (a; b)
có phương trình tổng quát là ∆ : a(x − x◦) + b(y − y◦) = 0
Đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A(a; 0) và B(0; b) có phương trình là ∆ : x
a+y
b = 1
Đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có VTPT là #»n = (a; b)
VTCP #»u = (a; b) thì ta chọn VTPT #»n = b; −a hoặc #»n = − b; a và ngược lại
(đổi chỗ 2 thành phần tọa độ và thêm 1 dấu “−”)
Đường thẳng ∆ có hệ số góc k có VTCP #»u = (1; k) và VTPT #»n = (k; −1)
Nếu ∆ : ax + by + c = 0 thì
d ∥ ∆ ⇒ d : ax + by + m = 0 (m 6= c)
d ∥ ∆ ⇒
#»u
d= #»u∆
#»n
d= #»n∆
#»u
d= #»n∆
#»n
d= #»u∆
£
Cho hai đường thẳng ∆1: a1x+ b1y+ c1= 0 và ∆2: a2x+ b2y+ c2= 0
Tọa độ giao điểm của ∆1và ∆2là nghiệm của hệ phương trình:
a1x+ b1y+ c1= 0
a2x+ b2y+ c2= 0
(I)
Hệ (I) có 1 nghiệm (x◦; y◦)
a2 6= b1
b2 , a2b2 6= 0 hoặc thì ∆1∩ ∆2= A(x◦; y◦)
Hệ (I) vô nghiệm
a2 = b1
b2 6= c1
c2, a2b2c26= 0
Hệ (I) có vô số nghiệm
a2 = b1
b2 = c1
c2, a2b2c26= 0
Nếu a1a2+ b1b2= 0
Góc giữa 2 đường: cos (∆1, ∆2) = |cos ( #»u1, #»u2)| = |cos ( #»n1, #»n2)| = | #»n1· #»n2|
| #»n1| · | #»n2|=
|a1a2+ b1b2|
»
a21+ b21·»a22+ b22
Khoảng cách từ M◦(x◦; y◦) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là d (M◦, ∆) =
ax◦+ by◦+ c
√
a2+ b2 d(M, Ox) = |y◦|
Trang 35 Phương trình đường tròn
Đường tròn (C) :
tâm I(a; b) bán kính R
có phương trình (C) : (x − a)2+ (y − b)2= R2
Phương trình x2+ y2− 2ax − 2by + c = 0 (*)
£ a2+ b2− c > 0 thì (*) là phương trình đường tròn (C) :
tâm I(a; b) bán kính R =pa2+ b2− c
Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R, đường thẳng ∆
d(I, ∆) > R ⇒ ∆ và (C) không có điểm chung
£
d(I, ∆) = R ⇒ ∆ tiếp xúc với (C) hay ∆ là tiếp tuyến của (C)
£
d(I, ∆) < R ⇒ ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B
£
Khi đó R2=d(I, ∆)2+AB
2
4 .
B A
I R
Cho điểm M và đường tròn (C) Thay tọa độ điểm M vào VT của pt đường tròn:
VT > VP ⇒ M ngoài (C)
£ £ VT < VP ⇒ M trong (C) £ VT = VP ⇒ M ∈ (C)
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M của đường tròn (C) có tâm I(a; b) ⇒ ∆ :
đi qua M
có VTPT #»n =IM# »
6 Ba đường conic
Phương trình của elip (E) : x
2
a2+y
2
b2 = 1
x
y
O
M(x; y)
B2
B1
F2
F1
A1A2= 2a là độ dài trục lớn
£
B1B2= 2b là độ dài trục bé
£
F1F2= 2c là độ dài tiêu cự
£
Đỉnh: A1(−a; 0), A2(a; 0), B1(0; −b), B2(0; b)
£
a2= b2+ c2
£
Các tiêu điểm F1(−c; 0) và F2(c; 0)
£
Phương trình của hypebol (H) : x
2
a2−y
2
b2 = 1
x y
O
B1
A1A2= 2a là độ dài trục thực
£
B1B2= 2b là độ dài trục ảo
£
F1F2= 2c là độ dài tiêu cự
£ Tọa độ các đỉnh: A1(−a; 0), A2(a; 0)
£
a2+ b2= c2
£ Các tiêu điểm F1(−c; 0), F2(c; 0)
£
Trang 4Phương trình chính tắc của parabol (P) : y2= 2px.
pgọi là tham số tiêu
£
Tiêu điểm Fp
2; 0
£
Đường chuẩn ∆ : x = −p
2.
£
x y
∆
M
H
7 Quy tắc cộng, nhân – Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Nếu bài toán chia ra từng phương án (trường hợp) không trùng lặp thì dùng qui tắc cộng.
Nếu bài toán chia ra từng công đoạn (bước) thực hiện liên tiếp thì ta dùng qui tắc nhân.
Phân biệt: Cho một tập hợp có n phần tử Với k 6 n,
Chọn ra n phần tử và sắp xếp Chọn ra k phần tử và sắp xếp. Chọn ra k phần tử
Pn= n! = n(n − 1)(n − 2) 1 Akn= n!
(n − k)!= C
k
n· k! Ckn= n!
k! · (n − k)!
£ Hoán vị vòng của n phần tử: £ Tính chất: £ Tính chất:
Qn= (n − 1)! ¥ có thứ tự ¥ không thứ tự.
8 Nhị thức newton
(a + b)4
= C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4
= 1 a4+ 4 a3b+ 6 a2b2+ 4 ab3+ 1 b4
= C05a5+C15a4b+C25a3b2+C35a2b3+C45ab4+C55b5
= 1 a5+ 5 a4b+ 10 a3b2+ 10 a2b3+ 5 ab4+ 1 b5
Khai triển a + bn= C0nan+ C1nan−1b+ C2nan−2b2+ · · · + Cn−1n abn−1+ Cnnbn
Gồm có n + 1 số hạng
• • Số hạng tổng quát: Tk+1= Cknan−kbk
9 Xác suất của biến cố
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu, kí hiệu là Ω.
Biến cố là một tập con của không gian mẫu Ω.
Xác suất của biến cố A: P(A) = n(A)
n(Ω)=
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A
Số các kết quả có thể xảy ra . P(∅) = 0, P(Ω) = 1
Biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là A, được gọi là biến cố đối của A.
A= Ω \ A
Ω