các phép biến đổi laplace và ứng dụng giải phương trình vi phân và mạch điện

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac s

Trang 1

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

Danh mục hình

1.1 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức 4

1.2 Biểu diễn số phức trong hệ tọa độ cực 7

1.3 Hàm số gián đoạn loại 1 có bước nhảy 11

1.4 Hàm số liên tục từng phần trên đoạn [0,∞) 11

2.1 Miền hội tụ tuyệt đối với nhát cắt Dedekind 19

3.1 Mạch điện trở trong miền thời gian -t (trái) và miền tần số -s (phải) 453.2 Mạch tụ điện trong miền thời gian -t (trái) và miền tần số -s (phải) 463.3 Mạch cuộn cảm trong miền thời gian -t (trái) và miền tần số -s(phải) 47

3.4 Trở kháng của các thiết bị trong miền tần số -s 47

3.5 Cường độ dòng điện tại một nút 48

3.6 Điện áp trên một vòng 48

3.7 Ý tưởng sử dụng các biến đổi Laplace để giải mạch điện 49

3.8 Mạch trong miền -t của Ví dụ 3.2.1 49

3.9 Mạch trong miền -s của Ví dụ 3.2.1 50

3.10 Mô tả việc sử dụng các phương pháp biến đổi Laplace để giải mạchđiện trong Ví dụ 3.2.1 50

3.12 Mạch trong miền -s của Ví dụ 3.2.2 a) 52

3.13 Mạch trong miền -s của Ví dụ 3.2.2 b) 53

3.15 Mạch trong miền -s của Ví dụ 3.2.3 a) 55

3.16 Mạch trong miền -s của Ví dụ 3.2.3 b) 56

3.17 Mạch trong miền -t của Ví dụ 3.2.4 56luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

3.18 Mạch tại thời điểm t = 0− của Ví dụ 3.2.4 573.19 Mạch trong miền -s của Ví dụ 3.2.4 57

Trang 8

Danh mục bảng

2.1 Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản 162.2 Biến đổi Laplace của một số hàm sử dụng phép dời thứ nhất 232.3 Các cặp biến đổi Laplace thông dụng 372.4 Các tính chất cơ bản của các phép biến đổi Laplace 37

Trang 9

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đã nhậnđược sự đồng viên, khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình của cáccấp lãnh đạo, của các thầy giáo, cô giáo, anh chị em, bạn bè đồng nghiệp và giađình.

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo, Phòng Sau đại họctrường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng, và đặc biệt là các thầy cô giáo trựctiếp giảng dạy các chuyên để của toàn khóa học đã tạo điều kiện, đóng góp ýkiến cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Trung Hiếu,người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả tiến hành cáchoạt động nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn.

Với thời gian nghiên cứu còn hạn chế, vấn đề nghiên cứu lại hoàn toàn mớivới tác giả, luận văn không trách khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhậnđược các ý kiến đóng góp chân thành từ các thầy giáo, cô giáo, đồng nghiệp,bạn bè.

Đà Nẵng, ngày 02 tháng 10 năm 2022Tác giả

Meunsathan Vadsana

Trang 10

1.1.2 Hệ tọa độ cực, module và argument 7

1.2 Tích phân suy rộng loại I và các dạng hội tụ 7

1.2.1 Tích phân suy rộng loại I 7

1.2.2 Hội tụ tuyệt đối 10

CHƯƠNG 2 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 13

2.1 Phép biến đổi Laplace 13

Trang 11

2.1.3 Các tính chất cơ bản 21

2.2 Phép biến đổi Laplace ngược 28

2.2.1 Định nghĩa 28

2.2.2 Tính duy nhất 29

2.2.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược 33

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔILAPLACE 38

3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 38

3.2 Ứng dụng giải mạch điện 45

3.2.1 Mối quan hệ giữa dòng và áp trong mạch điện 45

3.2.2 Định luật Kirchhoff trong miền -t và trong miền -s 47

3.2.3 Giải mạch bằng phương pháp biến đổi Laplace 49

KẾT LUẬN 59

Trang 12

Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân quan trọng Nó có thể ápdụng để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trìnhsai phân, phương trình tích phân, v.v Trong đó ứng dụng giải phương trình,hệ phương trình vi phân được sử dụng rất nhiều trong các ngành vật lý toán,kỹ thuật như giải mạch điện, giải bài toán dao động, giải bài toán đàn hồi,v.v Phép biến đổi Laplace giúp chuyển một phương trình vi phân thành mộtphương trình đại số dễ giải hơn Nghiệm của phương trình đại số này có thểchuyển thành nghiệm của phương trình vi phân ban đầu thông qua phép biếnđổi Laplace ngược.

Trong chương trình đại học ở Việt Nam, các phép biến đổi Laplace hầu nhưchỉ được giới thiệu cho sinh viên các ngành kỹ thuật như điện, điện tử, cơ học.Giáo trình về các phép biến đổi Laplace cũng rất ít, đại đa số là các tài liệu nộiluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 13

bộ Các giáo trình này chủ yếu tập trung vào việc dạy cách vận dụng các phépbiến đổi Laplace để giải các bài toán kỹ thuật Phần lý thuyết toán về các phépbiến đổi Laplace như điều kiện hội tụ, tính duy nhất hay mối liên hệ với chuỗilũy thừa, thường được trình bày rất sơ sài hoặc bỏ qua Vì thế được sự gợi ý

của thầy hướng dẫn, Ts Nguyễn Trung Hiếu, tôi quyết định chọn đề tài “Cácphép biến đổi Laplace và ứng dụng giải phương trình vi phân và mạchđiện” để làm luận văn thạc sĩ.

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

• Tìm hiểu, hệ thống hóa và trình bày một cách chặt chẽ cơ sở lý thuyết củacác phép biến đổi Lapalace.

• Tìm hiểu, hệ thống hóa và trình bày các tính chất của các phép biến đổiLaplace.

• Tìm hiểu và trình bày một số ứng dụng của các phép biến đổi Laplace.

3 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.

• Tổng hợp và thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.• Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn để cải tiến, thiết lập các kết quả

tốt hơn.

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài cung cấp lý thuyết chặt chẽ và đầy đủ về các phép biến đổi Laplace,cũng như cơ sở toán để vận dụng các phép đổi này trong việc giải phương trình,hệ phương trình vi phân và giải mạch điện Luận văn có thể được sử dụng làmtài liệu cho học viên cao học ngành toán có định hướng tương lại dạy cho sinhviên các ngành kỹ thuật (cần sử dụng phương pháp biến đổi Laplace) Luậnvăn cũng có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các ngànhkỹ thuật có nhu cầu tiều hiểu sâu hơn về cơ sở lý thuyết của các phép biến đổiLaplace.

5 Cấu trúc luận văn

Phần mở đầu: Giới thiệu nội dung nghiên cứu của luận văn.Phần nội dung: Luận văn bao gồm ba chương.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trang 14

1.1 Số phức

1.2 Tích phân suy rộng loại I và các dạng hội tụ1.3 Hàm liên tục từng phần

1.4 Bậc mũ

Chương 2 Các phép biến đổi Laplace

2.1 Phép biến đổi Laplace2.1.1 Định nghĩa

2.1.2 Điều kiện hội tụ và miền hội tụ2.1.3 Các tính chất cơ bản

2.2 Phép biến đổi Laplace ngược.2.2.1 Định nghĩa

2.2.2 Tính duy nhất

2.2.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Chương 3 Một số ứng dụng của các phép biến đổi Laplace

3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng3.2 Ứng dụng giải mạch điện

Phần kết luận: Tổng kết các kết quả đã đạt được, một số vấn đề chưa giải

quyết được của luận văn và nêu hướng phát triển tiếp theo của đề tài.

Trang 15

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Số phức

Số phức là một số có dạnga + bi trong đóa, b∈R là các số thực vài là đơn vịảo thỏa mãn i2 =−1 hay i =√

−1 Trong biểu diễn này, alà phần thực vàb là

phần ảo của số phức Ngược lại mọi số phứcz đều có thể biểu diễn dưới dạng:

z = a + bi.

Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phứcz.

Số phức z = a + bicó thể được liên hệ với một điểm có tọa độ (a, b) trong mộtkhông gian 2 chiều Nếu không gian được chọn là không gian Euclid hai chiều

thì chúng ta có mặt phẳng phức Biểu diễn số phứcz = a + bi trên mặt phẳngphức được minh họa ở Hình 1.1.

Hình 1.1: Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức

Tập hợp các số phức được kí hiệu là C VậyC={z = a + bi | a, b ∈R},

Trang 16

Số phức z = a + bi là số thực khi b = 0 là số thực: z = a + 0i = a∈R.Số phức z = a + bi là một số thuần ảo khi a = 0: z = 0 + bi = bi.Số phức z = a¯ − biđược gọi là số phức liên hợp củaz = a + bi Vậy

Re(¯z) = Re(z), Im(¯z) =−Im(z)

3) (2 + i)(1 + 2i) = (2− 2) + (4 + 1)i = 5i.

Trang 17

Cho z1, z2, z3 ∈C ta có các tính chất sau:i) z1.z2 = z2.z1 (tính giao hoán)

ii) (z1.z2).z3 = z1(z2.z3) (tính kết hợp)

iii) z1(z2+ z3) = z1.z2+ z2.z3 (tính phân phối)

d Phép chia

Cho hai số phức z1 = a1+ b1i, z2= a2+ b2i, với (a1, b1, a2, b2 ∈R) Nếu z2̸= 0

thì tồn tại một số phức z = a + bi sao cho z.z2 = z1 Số phức

z =z1z2 =

(4 + 3i)(2− i)(2 + i)(2− i) =

8− 4i + 6i − 3i2

22− i2 = 11 + 2i

115 +

Với z1, z2 ∈C, ta có

ez1z2 = ez1ez2.

Với y∈R, ta có công thức Euler:

eiy= cos y + i sin y.

Sử dụng công thức này ta có nếu x, y∈R thì:

ex+iy= ex(cos y + i sin y) = excos y + iexsin y.

Trang 18

1.1.2 Hệ tọa độ cực, module và argument

Song song với việc sử dụng hệ tọa độ Euclid trong mặt phẳng phức, chúngta có thể sử dụng hệ tọa độ cực Với một số phức z (điểm z trong mặt phẳngphức), chúng ta sử dụng khoảng cách r từ z tới gốc tọa độ và góc φ hợp bởichiều dương trục thực với đoạn thẳng Oz (xem Hình 1.2) để biểu diễn z dướidạng tọa độ cực (r, φ) Ở đây, khoảng cách rđược gọi là module (hay giá trị

Hình 1.2: Biểu diễn số phức trong hệ tọa độ cực

tuyệt đối) của z và được ký hiệu là |z| Góc φđược gọi là argument củaz vàđược ký hiệu là arg(z).

Cho một số phức z có tọa độ cực (r, φ), ta có thể chuyển nó về dạng đại số

z = reiφ= r(cos φ + i sin φ).

Ngược lại cho một số phức z dưới dạng đại số z = x + iy thì module của nócó thể tính bởi

r =|z| =p

x2+ y2.

Một số tính chất của module:i) |z1.z2| = |z1||z2|,

ii) |zn| = |z|n,iii) |z1

z2| =|z1|

|z2| khi z2̸= 0,iv) |ez| = eℜz.

1.2 Tích phân suy rộng loại I và các dạng hội tụ1.2.1 Tích phân suy rộng loại I

Định nghĩa 1.2.1 Nếu tích phân Rτ

af (t)dt tồn tại với mọi τ≥ a thì ta có thểđịnh nghĩa tích phân suy rộng

Trang 19

nếu giới hạn này tồn tại.

Tích phân suy rộng trong Định nghĩa 1.2.1 được gọi là hội tụ nếu giới hạntương ứng trong (1.1) tồn tại, và được gọi là phân kỳ nếu giới hạn đó không tồn

t2dt = lim

tdt = limτ→∞(ln|t|)|τa

= lim

τ→∞(ln|τ| − ln |a|)

= +∞.

Vậy tích phân này là phân kỳ.

Nhận xét 1.2.4 Tương tự Định nghĩa 1.2.1, chúng ta có thể định nghĩa tích

Trang 20

Lý thuyết tích phân Lebesgue có thể làm việc với các miền không bị chặnhay các hàm không bị chặn một cách tự nhiên Thế nên rất nhiều tích phânchỉ tồn tại theo nghĩa Riemann suy rộng nhưng lại tồn tại theo nghĩa Lebesguethông thường Trong phần lớn các trường hợp mà chúng ta quan tâm, tích phânLebesgue có giá trị bằng tích phân Riemann suy rộng Sau đây chúng tôi xintrình bày mà không có chứng minh một kết quả từ [B2, Theorem 10.33].

Định lí 1.2.5 NếufRiemann khả tích trên[a, b]với mọib≥ avà tồn tại hằng

Z ba

f (t)dt

≤ M

Định lí 1.2.6 (Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ) Tích phân suy rộng

Nhận xét 1.2.7 Trong Định nghĩa 1.2.1, tích phân được lấy trên miền con

thuộc tập số thực Tuy nhiên hàm số f (t) hoàn toàn có thể nhận giá trị phức.Giải sử f (t) = u(t) + iv(t) với u, v :R→R là các hàm giá trị thực Khi đó

Trang 21

và tích phân R∞

af (t)dt chỉ hội tụ khi cả hai tích phân thành phần ở vế phải hộitụ.

1.2.2 Hội tụ tuyệt đối

Định nghĩa 1.2.8 Tích phân suy rộng

Định lý 1.2.9 Một tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối thì cũng hội tụ.

Chứng minh Giả sử tích phân R∞

af (t)dt hội tụ tuyệt đối Theo chiều xuôi củatiêu chuẩn Cauchy 1.2.6 ta có với mọi ϵ > 0 tồn tại τ > a sao cho

Z τ2

f (t)dt≤