Luận văn thạc sĩ khoa học: Kỳ vọng có điều kiện và một vài lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc

Cùng vào thời kỳ này vào đầu những năm 1930 khái niệm phụ thuộc dừng cấp hai và theo nghĩa chặt được giới thiệu bởi G.D.Birkhov và Khintchine dựa trên đòi hỏi của lý thuyết ergodic và gi

DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Hồng Thái

KỲ VỌNG CÓ DIEU KIỆN VA MOT VAI LỚP BIEN

NGAU NHIÊN PHU THUOC

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC

Hà Nội - 2012

DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Hồng Thái

KỲ VỌNG CO DIEU KIỆN VA MOT VAI LỚP BIEN

NGAU NHIEN PHU THUOC

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán hoc

Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Phan Viết Thu

Hà Nội - 2012

Mục lục

2.1.1 Các định lý hội tụ tiêu chuẩn đối với kỳ vọng có điều kiện| 11

2.1.3 Kỳ vọng có điều kiện trên các không gian LP

2.2_ Xác suất có điều kiện

2.2.1 Xác suất có điều kiện chính quy2.2.2 Phân phối có điều kiện chính quy

` 2 ^

LOI NÓI DAU

Sau khi cuốn "Fondations of the Theory of Probability" của Kolmogorov ra

đời, người ta mới công nhận xác suất là một lĩnh vực chặt chẽ Hệ tiên dé vềxác suất của Kolmogorov dựa trên nền tảng lý thuyết độ đo đã được hầu hết

các nhà khoa học thừa nhận Trong thời kỳ đầu hình thành lý thuyết xác suất,

các kết quả nghiên cứu chủ yếu dựa trên khái niệm độc lập của các đại lượng

ngẫu nhiên Tuy nhiên sự cần thiết phải nới lỏng các điều kiện chi phối khái

niệm này được ghi nhận khi nghiên cứu dáng điệu của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Một khái niệm tổng quát hóa hiện tượng này được xây dựng bởi

A.A.Markov vào năm 1906, và muộn hơn vào năm 1935 sự phụ thuộc

martin-gale được suy ra bởi P Lévy Cùng vào thời kỳ này vào đầu những năm 1930

khái niệm phụ thuộc dừng cấp hai và theo nghĩa chặt được giới thiệu bởi G.D.Birkhov và Khintchine dựa trên đòi hỏi của lý thuyết ergodic và giải tích điều

hòa của các hàm ngẫu nhiên.

Mục đích của bản luận văn này nhằm giới thiệu hai lớp đại lượng ngẫukhông độc lập với các tính chất cơ bản của chúng đó là martingale và quá trìnhMarkov Các lớp này xây dựng dựa trên khái niệm kỳ vọng có điều kiện và

xác suất có điều kiện Vi vậy hai khái niệm này được trình bay chi tiết Sự

tồn tại của hai quá trình ngẫu nhiên nói trên được suy từ định lý cơ bản của

Kolmogorov và Bochner, và định lý này được trình bày dưới một vài dạng khác

nhau được đề cập trong chương 4 của luận văn

Luận văn gồm 5 chương trong đó chương 1 chúng tôi dành để trình bày lại

những kết quả quan trọng trong lý thuyết xác suất mà có sử dụng trong luậnvăn Chương 2 là những khái niệm, những kết quả sâu hơn về kỳ vọng có điều

kiện và xác suất có điều kiện Các chương 3, 4, 5 là mục đích chính của luận văn

đó là sử dụng những khái niệm, kết quả đã được phát triển ở chương 2 để giới

thiệu về hai lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc là quá trình Markov và Martingale

Dù đã cố gắng, nhưng vì kiến thức và khả năng còn nhiều hạn chế nên chắcchắn luận văn còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến phê

bình, đóng góp và chỉ bảo của các thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè

Luận văn này được hoàn thành là nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy PGS

TS Phan Viết Thư Với thầy em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành Em xinchân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin đã truyền đạt

cho em những kiến thức quý báu và tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn

này Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp ở trường Sỹ quan lục quân I,

các thành viên trong lớp cao học toán 2009-2011, bạn bè và người thân đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 22 tháng 04 năm 2012

Học viên

Nguyễn Hồng Thái

Chương 1

Những kết quả thường dùng

Định nghĩa 1.1 Tập 2 # @; € là họ những tập con của 2 Khi đó € được gọi

là

i, một lớp đơn điệu nếu {A,,n > 1} C ©, A, đơn điệu > lim An € eC;

ii, một r-lớp nếu A,BECS>ANBEC;

(a) Nếu A là một dai số thà lớp đơn điệu cảm sinh bởi A chính là o-dai số

cam sinh bởi A.

(b) Nếu A là một A-lép va B là một r-lép, BC A thi A chúa trong o-dai số

cam sinh bởi B.

Dinh ly 1.3 (i) (Fubini-Stone)

Cho (Q;, 44, Mi), = 1,2 là hai không gian do được; (Q,%, 4) là tích của

4

chúng Nếu ƒ :Q — R là hàm do được, u-khả tích Khi đó

[tee -)1(du1) là na-đo được,

| f(.02)wa (de) là uị-đo được.

Nếu trong trường hợp trên p11, [2 là ơ-hữu hạn va f : Q — R” là đo được

hoặc tị là những độ do tùu y nhưng tồn tại một day ham bậc thang p-kha tích

fn: Q— Rt sao cho fy > f n-h.k.n Khi đó đứng mặc dù cả hai vé có

thể vo han.

(itt) (Radon-Nikodym)

Nếu p là một độ do ơ-hữu han trên (Q,5) va v : 3 — R là o-cong tinh va

triệt tiêu trên những tập -khong Khi đó tồn tại một ham p-duy nhất ƒ : Q — R

(O,5,P) sao cho X„ > X h.c.c Nếu {X„,n > 1} là khả tích đều Khi đó, ta

có

lim X,dP = [xe

n> CO

Dinh lý 1.6 Cho {X;,f € n là một tập những biến ngẫu nhiên khả tích trên

không gian xác suất Khi đó các khang định sau là tương đương.

i, {X,,t€ T} là khả tích đều;

ii, lim / |X;|dP =0 đều theo t € T;

@a—>C©

[X:|>a]

iii, Tồn tại một hàm lỗi 6: R > Rt, o(0) = 0, d(x) = ð(—z) va 4Œ) tà

(khi x † œ) sao cho

E(X„)—¬E(X) (khi n > 00) ©® {Xn,n > 1} khả tích đều

Định nghĩa 1.8 Cho 41;,, , Aj, là w biến cố khác nhau, n > 2 Khi đó chúngđược gọi là độc lập tương hỗ nếu

k=1 k=1

Định nghĩa tương tự về tính độc lập tương hỗ cho lớp các biến cỗ {4;,¿ € I}

và họ các biến cố {A;,7 € I}

Định nghĩa 1.9 Cho (O,3,P) là một không gian xác suất; (S,A) là mộtkhông gian đo được Các biến ngẫu nhiên {X;,¿ € I}, X; : — S được gọi làđộc lập tương hỗ nếu lớp {B;,7 € I} các o-dai số trong » là độc lập tương hỗ;

3; = X¿ (41) là o-dai số cảm sinh bởi X;, ¡ € I.

6

Dinh lý 1.10 (Tiêu chuẩn (z,À))

(a) Cho {A,B;,i € I} là một lớp các biến có trong (Q,»,P) sao cho chúngđộc lập tương hỗ Nếu uới mỗi ¡ € I, B; là một m-lớp thà tập con bat ky J CIcam sinh o-dai số o(B;,i € T) va A là độc lập uới nhau

(b) Trong Định nghĩa |1 9| uới S=R, {iI, ,i„} C 1; X¡,, Xi, là những

biến có Khi đó {[X;, < ứt, , Ä¡„ < z„],#¿ © R,i=1,n,n > 1} là một lớp độctnlap.

Dinh nghĩa 1.11 Các biến ngẫu nhiên (Xj, Xa, , X„) trên (Q,U, P) được

gọi là đối xứng (hoặc là phụ thuộc đối xứng) nếu với mỗi hoán vị i\, , incủa (1,2, ,m) thì véctơ (X¡,, ,X;„) và (X1, , Xn) có cùng phân phối Dayi1

{Xa,n > 1} là đối xứng nếu {X;,1 < k < n} là đối xứng với mỗi n > 1

Mệnh dé 1.12 (Bổ đề Doob-Dynkin)

Cho (Q,%) va (S,A) là hai không gian do được; ƒ : © — 8 là hàm do được

(túc là f-1(A) CQ) Khi đó hàm g : Q — R là do được đối uới ø-đại số f~'(A) (tức là g 1(B) C ƒ~(4)) khi va chỉ khi tồn tại hàm do được h : S — R sao

cho g—= ho ƒ.

Chương 2

Ky vọng và xác suât có điều kiện

2.1 Kỳ vọng có điều kiện

Cho (O,3, P) là một bộ ba xác suất mô tả một thực nghiệm hoặc hiện tượngvật lý được toán học hóa.

Nếu một biến cố A đã được quan sát thì xác suất cho các biến cố khác thuộc

© được tính như thé nào sau khi kết hợp với đã biết về sự xuất hiện của A? Taxét tất cả các biến cố của Q có quan hệ với A, do đó H(A) ={ANB: Bed}

là một lớp mới, trên đó ta định nghĩa: Pa : U(A) — R* như một xác suất.

Giả sử P(A) > 0, yêu cầu Pa(4) = 1, ta có

Vậy P4(B) = € [0,1] Nếu A va B độc lap thi P4(B) = P(B) Rõ

cũng được xác định va nó là một độ đo xác suất Ta gọi PA là xác suất diéukiện cơ sở trên » có mối quan hệ với biến cố A thỏa mãn P(A) > 0

Nếu X :Q — R là một biến ngẫu nhiên khả tích, ta định nghĩa kỳ vọng cóđiều kiện cơ sở đối với điều kiện đã biết A là

= [x )P4(dw) = may | X6)"

ở đây P là độ đo xác suất trên (Q,TM, P)

Nếu P(A‘) > 0 thì #a:(X) được định nghĩa tương tự Do đó, kỳ vọng có

điều kiện cơ sở của X với A, A° nói chung xác định một hàm hai giá trị

Mở rộng suy luận trên với tập hợp đếm được P = {A„ : n > 1} của các biến

cố sao cho P(4„) >0,m= >1, U 4;=9, An Am =O nếu m # n (P là một

n>1

phân hoạch của 2) Khi đó, ta có

8

(2.1)

Ep(A) được gọi là kỳ vọng có điều kiện cơ sở của biến ngẫu nhiên khả tích

X trên (0,3, P) đối với phân hoạch ? Day là một định nghĩa tốt (đúng đắn)đối với phân hoạch đếm được

Nhận xét 2.1 Công thức là không đủ nếu bộ phận của thí nghiệm mà

ta đã biết không thể biểu diễn được dưới dạng một tập đếm được của các điều

kiện Dong thới nếu P(A) = 0 thì định nghĩa ở trên không đúng Diéu này gặpkhi nếu Y là một biến ngẫu nhiên liên tục thì P(Y = a) = 0 Va € R Đặt

A, = [Y =a] và ta cần định nghĩa 4, (ÄX)

Ta mở rộng (2.1) một cách tự nhiên Nếu B = o(P) là o-dai số cảm sinh bởi

? thì Ep(X) trong (2.1) là B-do được Tích phân (2.1) trên tập ACP CB,

Ta viết E?(X) thay cho Ep(X) (2.2) kéo theo ánh xạ

vx Av f XaP, Ac Bla Pg liên tục (vx << Pa).

được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với B

P?:A—— E® (x4), A € Ð được gọi là hàm xác suất có điều kiện đối với

5 Vậy P®(-) thỏa mãn phương trình ham

[Pears = P(ANB), Ac>, BEB (2.5)

B

Sự tồn tai của E®(X), từ đó là P?(-) được suy ra tit Dinh lý

Radon-Nikodym, vì ⁄x : At-> lxar A€® định nghĩa độ đo có dau và vy << Pa.

vay, E”(X) = E®(X*) — E®(X7—) được định nghĩa tốt.

hoặc ngược lại) thì = +00 (hoặc —oo) trên tập của Pg-do được dương Do

10

Mệnh dé 2.4 Cho (O,5,P) là một không gian xác suất, C Ð là một o-dai

số Khi đó, toán tử ky uọng có điều kiện E® : L1(P) — LI(P) có các tính chat

sau (h.c.c) Cho {X,Y,XY}C LI(P):

E”(X)>0 nếu X >0, BE? (1) =1.

E®(aX + bY) =aE?®(X) +bE?(Y).

E?®(XE?(Y)) = E”(X):E®(Y).

|E*(X)| < E®|X|, do đó |E”(X)|li < |IX||:

Nếu Bị C Bo CQ là các ơ-đại số thi

E”1(E”2(X)) = E”2(E”!(X)) = E”!(X).

(do vay toán tử E® là phép chiếu co trên L'(P)).

Nếu B = (0,Q) thì E®(X) = EX Nếu B= thi E®(X) = X Hơn nữa

uới moi ơ-đại số By C © ta có

E(E”'(X)) = E(X), tới moi X € L!(P).

Nếu X độc lap uới B thà E®(X) = EX h.e.c.

Nếu Y là B-do được, E|Y| < 00; E|XY| < œ thi E?(XY) = YE?(X)

h.c.c.

Nhận xét 2.5 Vì [E?(Xlidh: = / |X|dP nên E® (|X|) = 0 khi và chỉ khi

Q

Q

|X| =0 Vay E® có thé được gọi là toán tử faithful.

2.1.1 Các định lý hội tu tiêu chuẩn đối với kỳ vọng có

điều kiện

Dinh lý 2.6 Cho {X„ :n > 1} là một day biến ngẫu nhiên trên (0,%, P),BCD là một ơ-đại số Khi đó, ta có

11

iti,

1v,

Hoi tu don diéu:

0<X, 1X > E?(X,) 7 E?(X) hee.

Bo dé Fatou:

X, >0=> B® (liminf X,) <liminf B?(X,) —h.ce.

Hội tụ lam trội: |Xn|<Y, E(Y) < œ, Xa — X h.c.c Khi đó

E?(X,)— E®(X) — h.ec

va hội tụ trong L'(P) Nếu X„ ¬ X thà E®(X„) = E®(X) trong L1(P)

(nhưng không h.c.c).

Hội tụ đặc biệt Vitali: {X„ :n > 1} là khả tích đều, X„ — X h.c.c thi

IE2(X,) - E®(X)|l\i — 0 Do vay {E®(X,) : n > 1} là khả tích đều

va E®(X,) 5 E?(X) (Su hội tu nay không nhất thiết là h.c.c cho nên

định ly hội tu Vitali đầu đủ không đứng cho dãy kỳ vong có điều kiện)

Chứng minh i, Ta có E®(X„) < E®(Xy41) và tồn tại lim EZ®(X„) là B-do

được Do vậy với moi A € B:

/ lim £? (X,,)dPs = lim / E®(X„)dP»s = lim | X,dP

A A A

= [im xoan = [Xap = |B? uP.

A A A

Vậy lim E?(X,,) = E?(X) h.e.c.

ii, Cho Y, =inf{Y,:k >n} > 0< Y, 7 Y = liminf X,, Vay do (i) ta có,

vi Yn < Xn

E® (lim inf X„) = E®(Y) = lim E? (Y;)

= liminf E®(Y„) < liminf E®(Y„) h.e.e.

12

Tương tự nếu X„ < Z h.c.c, E(|Z|) < œ thì

E? (im sup X„) > lim sup E® (X,) h.c.c.

n

11, Vì —Y < X„ < Y h.c.c,ø > 1 áp dung ii, với X, +Y >0 và X, < Y:

lim inf (Xp, +Y)= lim inf X;, TY =X+Y= limsup(X› +Y).

Ta có

E®?(X)+ E?(Y) = E* (lim inf(X, + Y))

< lim inf[E®(X„) + E?(Y)|

< lim sup[”(X„) +E?®0@)]= lim sup E?(X,+Y)

< E* (lim sup(X, + Y)) (vì Xn +Y < 2Y h.c.c)

= B® (X +Y) = E?(X)+ E®(Y) hee.

Bỏ qua biến ngẫu nhiên hữu han E?(Y), ta có lim E?(X,) = E”(X) he.Cuối cùng khi n — oo

E(\E? (Xn) - X|) < E(B? (|X, - X|)) < E(\Xn - X|) > 0 (2.6)

Điều này cũng suy ra biểu thức sau Mệnh đề phủ định là rõ ràng vì nếu

8 = Ð thì X„ 4X không thể suy ra sự hội tụ hầu chắc chắn.

iv, Ta lại có:

E(E®(Xu — X)|) < E(E® (|Xn — X|)) = E([X„ — z|) — 0.

Theo định lý Vitali cổ điển cho X„ khả tích đều độ đo hữu hạn suy ra điều

phải chứng minh LÌ

Nếu B C © được cho bởi B = ø(Y), Y là một biến ngẫu nhiên O — R thì

với X € L'(P) ta viết E°Y)(X) là E(XỊY).

Mệnh dé 2.7 Cho X là một biến ngẫu nhiên khả tích trên (Q,5,P) Nếu

5C Ð là một o-dai số độc lập uới X thà E®(X) = E(X) h.c.c Nếu Y là một

13

biến ngẫu nhiên bat kỳ trên Q thà ta có một ánh xa Borel g : R — R sao choE(X|Y) = g(Y) h.c.c, túc là kỳ vong điều kiện của X đối uới Y tương đương

một ham Borel của Y.

Chứng minh Nêu X và B độc lập thì với mọi B € B ta có X và yz độc lập

Vì các tích phan đầu va cuối là B-do được, vậy E(X) = E®(X) h.c.c Ta có

E(X|Y) là o(Y)-do được, do Bổ đề Doob-Dynkin => điều phải chứng minh O

Dinh lý 2.8 Cho {X, X„ :n > 1} là một day các biến ngẫu nhiên khả tích

trên (O,3,P) sao cho X„ — X h.c.c Nhưng nếu U = sup|X,|, E(U) = +00

Chứng minh Vi X„ — X h.c.c dan đến 6(X,) — ó(X) h.c.c với ¢ là một ham

thực liên tục trên R Lay $(x) = max(z,0) = x27, ta có Xã — X* h.c.c Vậyn

không mất tổng quát, ta giả sử X„ > 0, nghĩa là giả sử dãy đã cho không âm,

ta chứng minh qua bốn bước:

14

Bước 1 Ta xét với X = 0 h.c.c Đặt Y„ = (X„— X)T và Z, = -(X„—X) ,

suy ra X, — X = Y„ + Z„ Rõ ràng F(Y„) < co, E(—Z„) < 00, Yn —>0h.e.c,

P| lim E?(X,, — X) =0| =P| lim E®(Y,) + lim E?(Z,) =0|

= P| lim EP(Y„) = 0| “noo

Từ đó nếu (Q, 4, P) đủ giàu thì tồn tai một ø-đại số B C Y sao cho về phải

(2.9):

P| lim E®(Y„) =0| =0.

n—00

Suy ra E®(X,) — E?(X) hau như không tại điểm nào Vậy nếu không

gian xác suất được mở rộng đủ lớn (giàu có) thì ta đã xây dựng được một dãy

Y„ >0, Yn — 0 h.c.c nhưng £(Y,,) — 0 hầu như không tại điểm nào.

Bước 2 Tiếp theo, ta cần xây dựng một dãy {Y/ : n > 1} sao cho Y/ —

Y' =0, P[Y¿ = an] = pn = 1— P[Y, = 0], 0 < pn < 1, ay > 0, 5 Pn = 1 va

Lay A, là biến cố sao cho Yy > U — 1 lần đầu tiên với Yy, của bước cuối

cùng Nghĩa là

Ai =[Yi >U-]|

và

Ap =[Y, >U-1,¥; << U-1,1<i<k-1] véik>1.

Khi đó, Ay N A; = 0 nếu k 41 và Ae = |U > 1] Dat Ap = Ô — ki

và xét Y#xa,, k > 1 Khi đó tồn tại mot day 0 < fin † Yaxa, (theo điểm), fan

là hàm đơn giản Từ đó, tồn tại nọ = no(k) sao cho hy = fen, < Y¿Xa, Ta có

E(hx) > [var -— k>1, (2.10)

Ak

6 day hy = py bixp, (có thể giả sử có dạng chính tắc), B;A Bis1 = 0, Bi C Ar,

b; > 0 Từ đó sup hz = > hy (vì Ay, đôi một không giao nhau) Vậy

Nhưng hy < Yy, vậy với mỗi B C © (là o-dai số) ta có

[lim B® (hy) > 0| c| lim Yi > 0|.

Từ đó

P| lim B® (hx) = 0| > P|limi = 0| >0

và nó là đủ để chỉ ra rằng P| tim B® (hx) = 0| = 0 khi hy — 0, với mỗi hy là

một hàm dương đơn giản thỏa mãn (2.11) Vì mỗi hy là dạng chính tắc, nó là

16

tổng hữu hạn của những hàm hai giá trị và không triệt tiêu chỉ trên một tập (ở

đây là ;), với k khác nhau, hy, ở trên A, (chú ý A, là dãy không giao nhau).

Xắp xếp lại những hàm hai giá trị vào một dãy đơn, bỏ qua những hàm đồng

nhất bằng không và đặt Bo là tập mà trên nó tất cả đều triệt tiêu

Nếu ta cộng yg, vào tập ham hai giá trị trên, ta nhận được một dãy Yƒ, Y7, ,

thỏa mãn những điều kiện đã cho ở bước đầu tiên Vậy nó là đủ để chứng minh

định lý này trong trường hợp với một ø-đại số đo được By C 3

Bước 3 Bay giờ, ta xây dựng yêu cầu {Y/,k > 1} và Bo Vì 0 < pi < 1,chọn một số nguyên k > 1 sao cho

Cho {W, Z„ > 0}? là một tập các biến ngẫu nhiên độc lập, tương hỗ trên

(0,5, P) với phân phối như sau:

PZ„ =i) = ‘i với 1 € Nn, (2.14)

0 néu trai lai

Cho Bo = ø(Z„,n > 0), tiếp theo ta xây dựng những biến ngẫu nhiên hai

giá tri muốn có từ {W, Z,,n > 0} va thử lai chúng va Bo này thỏa man yêu cầu

Tiếp theo với ¡ > 2, ¡ £ T

P[V =i) = P[W =0,Z2o =i) = (1—8)-pị -(1— 8)” = bị,

PIV =ï]= P|W =n,Z„ =i]=p, (2.15)

Điều này chứng minh sự khẳng định Định nghĩa Yj = AnX[v=n]- Khi đó Y„

có hai giá trị 0, a, > 0 và [V = n] là những biến cố không giao nhau, với mỗi

18

n chỉ một Y/(w) là khác không Hơn nữa, Y„ — 0 h.c.c và

P[E?°(Yj) > 1,i.0] = P[P®°[V = n] > 1/a„,i.o] = 1.

Điều này sé được thiết lập bởi trung bình của Bổ dé Borel-Cantelli.

Vì o(Z,) C Bo, do Mệnh đè |2.4| và Mệnh đề 2.7 ta CÓ VỚI ¿ € N,

Vậy a„P[V = i|Z, = i] = antn, i € Nn Nhưng tạ > 2~"—* và a; > 2"+È

với i € Ny, do vậy antn > 1 Kết qua là nếu

An = [Zn # 1| và By = |a„P[V =i|Z„ = i) > 1,6 Ny]

thì A, C B, với n > 1 Tuy nhiên B,, không cần thiết phải độc lap A, là độc lập

tương hỗ vì Z„, ø > 1 là độc lập tương hỗ Vậy [A„, thường xảy ra hữu hạn] C

[„,n thường xảy ra hữu hạn] và đủ để chỉ ra rằng

PỊA„,n thường xảy ra hữu hạn] = 1

Như vậy, một dãy khả tích đều {X,,,n > 1} sao cho X„ — X h.c.c không

thể suy ra E”°(X„) > E®°(X) h.c.c với mỗi o-dai số BC Ð khi

Mệnh dé 2.10 Cho {X, X„,n > 1} là một day các biến ngẫu nhiên khả tích

trên (O,5,P) va BCE là một o-dai số Nếu day nay là khả tích đều có điều

kiện uới B va X„ > X h.c.c thì E”®(X„) ¬ E®(X) h.c.c (va theo chuẩn trong

L'(P)).

Chứng minh Vi day {X,,n > 1} là khả tích đều có điều kiện với B, suy ra

{X#,nm > 1} cũng có tính chất này, trong đó X;* = max(X„,0) van?

lim inf £? (X,) > —lim sup E* (Xn Xix~<ml) —Un

> -E* (lim sup Xx Xịyz <„) ~ Um (do Dinh tý [2.6] vì XY X(xz <„¡ là bị chặn)

= E* (iminf(—Xã Xxz <j) — U„

= E* (lim inf XzXIxz <„j) — Um (vì Xã - Xã = 0)

> E® (liminf X,)—Um — h.e.c (2.21)

Vì m > 0 tùy ý va Um — 0 (m —› ov), (2.21) suy ra

lim inf E® (X,,) > E® (liminf X„) h.e.e (2.22)

21

Xét X;* và —X„ như trên, ta nhận được

lim sup E?(X,) = — liminf E?®(—X„,)

< E”®(—liminf(—X„)) h.c.e (do (Ð.22))

Nhận xét 2.11 Nếu {X,,n > 1} là một dãy biến ngẫu nhiên khả tích đều

có điều kiện với mỗi o-dai số B C ¥ thi dãy được xây dựng trong chứng minh

Định Iý-8lla không cần thiết Vì bởi Dinh lý đó E(sup [X„|) < co luôn đúng.

Kết hợp hai điều này ta dẫn tới kết quả sau:

Dinh lý 2.12 Cho {X, X„,n > 1} là một day các biến ngẫu nhiên khả tích

trong (Q,5,P) sao cho X„ — X h.c.c Khi đó, các phát biểu sau là tương

đương:

(i) E(sup|X„|) < oo.

n>1

(ii) E®(X,) — E®(X) h.c.c, uới moi o-dai số B C 3.

(iti) {X„,n > 1} là khả tích đều có điều kiện vdi moi o-dai số BCD

Nếu một trong các điều kiện trên được thỏa mãn thà day sẽ hội tụ trong L}(P)

Bồ đề 2.13 Cho ¢: R† — Rt là một ham tăng sao cho 9(x) {† œ khả z † oo.

x

Nếu {X„,n > 1} là một tập các biến ngẫu nhiên trên (Q,3,P) sao cho X„ — X

22

h.c.c va E(ó(|X„|)) < 00, gid sử với mỗi o-dai số B CY có một hằng số Cz

sao cho E®(¢(|Xn|)) < Ơa < œ h.e.c Khi đó E®(X„) — E®(X) h.c.c Nếu

tập {Cg : BCU} bi chan thi E(sup,, |Xn|) < oo.

Chứng minh Dat €(z) = 4) và Am = [|Xn| > ml] Khi đó

B

E”(X;|-xa„) < - 7 < aa > 0 (m — +00) (đều theo n).

Vậy {X„,m > 1} là kha tích đều có điều kiện với B Néu Cg < Œ < œ vớimọi B tinh khả tích đều có điều kiện đúng với mọi B Theo Định lý suy ra

điều phải chứng minh L]

2.1.3 Kỳ vọng có điều kiện trên các không gian LP

Dinh lý sau là trường hợp có điều kiện cho các bất đẳng thức cổ điển Hölder,

E®(|X +Y|P) < (BB xP)? + (E2(\yI))'z[ h.cc — (2.26)

(iit) Nếu @:R— R là một ham lồi sao cho E(¢(X)) tồn tại va Y = E?(X)

h.c.c hoặc Y < E®(X) h.c.c va @ tăng Khi đó

ó(Y) < E®(¢(X)) h.e.e (2.27)

Bồ đề 2.15 Với mỗi ơ-đại số BCD, toán tử E® là một phép co tuyến tính

trên LP(Q,3,P), 1 <p< ©œ, nghĩa là E® là tuyến tính va

IIF®(X)lly < |IXllp X © 1(9,3,P) = 1” (2.28)

23

Chứng minh Vi P là một độ do hữu han L? C L!, p> 1, do đó E® được xác định trên tất cả L? và E® tuyến tính Ta chỉ cần chứng minh tính co Với p = 1

đã chứng minh trong Mệnh đè|2.4| Với p = +00, vì |X| < ||X || h.c.c > đúng.

Với 1 < p< ow, do (2.27) ta có

/ \E®(X)|PdPạ < / E®(|X|P)dPs = J IXIPdPs = |IXIIP:

Q Q Q

Điều này suy ra (2.28), do đó B®(X) € L? với X € L’ Oo

Chú ý 2.16 Kết quả này kéo theo E?(X,,) pc E”(X) nếu X„ — X trong

LP(P).

Trên đây là phép co từ L? > L? Vì E®(LP(Q,5,P)) = L?(Q,8, Pa),

vậy một câu hỏi tự nhiên là còn có phép chiếu co nào khác từ ”?(9,5,P) >

LP(QO,®, Pg) không ? Tuy nhiên khi xét tính chất của B® (Mệnh đề [2.4Iii) câu

hỏi trở thành: có không phép chiếu co nào khác trên L? — Ƒ? có tính chất trung

bình và nhận hàm hằng là điểm bất động Câu trả lời là không hiển nhiên Ta

trình bày một kết quả mau

Định lý 2.17 Cho B C Ð là một o-dai số, xét một phép chiếu co 9: L'(X) >

L'(B) Khi đó Q = E® Ngược lại E® luôn là một phép chiếu co L!(3) + L1(B)

uới mot ơ-đại số BCD

Chứng minh Phần ngược lai của chứng minh đã được làm Ta chỉ cần chi ra

rằng Q = E® Đầu tiên, ta khẳng định Q là một toán tử dương với tính chất

Dẫn đến

0< E(X) < E(QX) < #(J9X|) = |I9X||i < |ÍX|Ìi = E(X).

Vậy OX > 0 h.c.c và E(X) = E(QX) Bay giờ, ta sẽ xét trường hợp tổng

quát, tức là Q = EB Vì với mỗi X € L!(), OX e L1(B), E®(X) e L1(B) Ta

có với mọi 4€ B,

E(xa9X) = F(9(xa9X)) (do khẳng định trên)

E(xAE”(X)) = E(E”(xAX)) = E(xaX) = E(Q(x4X)) (2.29)

Nếu ta chỉ ra được về phải của hai phương trình (2.29) là bằng nhau thì ta

có

E(x4QX) = [oxars = [BPs = E(x4E”(X)).

A A

Từ đó do A là tùy ý trong B, B® (X), 9X là B-do được, suy ra #”(X) = 9X.

Giờ ta chứng minh vế phải của hai phương trình (2.29) là bằng nhau Dau

tiên, ta chứng minh biểu thức mạnh hơn là

O(xaX)=9(xu9X) ACB, với mọi X: 0< X< Xa.

That vậy, do 9 dương, ta có

0< 9X <Oxa = xa vì xa € L'(B).

Vậy Q triệt tiêu ở ngoài A Từ đó nếu g = 9(xaX) — 0(xa9X) thì

Xa+ø= 9lxa(xa + X - 9X)] < Oya + X - 9X] = xa hice (2.30)

Suy rag <0h.c.c Tương tu xa—Øg> xa >øg>0 Vậy g = 0h.c.c với mọi

X mà 0< X < xa Nếu 0< X <1, ta xét Xxa, Xyac Bởi kết quả (2.30) và

thật ra

9(XXxA)xas =0 = O(XXA:)XA:

25

Từ đó OX = E”(X) với 0 < X < 1 Tiếp đó tinh tuyến tính đúng cho mọi

biến ngẫu nhiên bị chặn X và do tính trù mật của X trong L†!(5) và tính liên

tục của toán tử 9, #2 dẫn đến kết quả đúng với mọi X € I1(5) Oo

Nhận xét 2.18 Kết quả trên vẫn đúng nếu ta thay L'() bằng L?() với

1 < p< œ Hơn nữa, kết quả cũng đúng nếu 9 là một phép chiếu co trên L?(X),1<p< ow, pF 2, nhưng O1 = 1 h.c.c, với p = 2 thì cần thêm điều kiện Q

dương.

2.2 Xác suât có điêu kiện

Hàm xác suất có điều kiện với o-dai số B C Y như là một hàm bat kỳ

P°:Đ— 1%(9.5,P) thỏa mãn phương trình hàm

[r?(0aPs = P(ANB), BEB, AE® (2.31)

B

P®(A) = E”(xa) và P®(A) là mot hàm B-do được duy nhất bên ngoài của

một tập Pzs-không phụ thuộc A Ta nói moi phan tử của lớp tương đương là

một bản sao của xác suất có điều kiện (của A với điều kiện B) và P® gọi là xác

suất có điều kiện

Mệnh đề 2.19 Cho (Q,3,P) là một không gian xác suất, B C Ð là một o-dai

số Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) AEX = 0< P?(A) <1 h.c.c, P?(Q) =1 h.c.c, P?(A) =0 h.c.c nếu

P(A) =0.

26

(ii) {Aà,n > 1} CE, Am Aa =O nếu m # n Khi đĩ

như P Tuy nhiên, mỗi tính chất đều cĩ một tập P-khơng ngoại lai thay đổi tùy

theo mỗi dãy Do đĩ nếu ® khơng cảm sinh bởi một phân hoạch đếm được của 0

thì tập của những khơng-tập ngoại lai đĩ cĩ thể cĩ một hợp với P-độ đo dương Điều này chứng tỏ ta sẽ gặp khĩ khăn khi nghiên cứu P”(-)(œ) : © — [0,1] như

là độ đo xác suất tiêu chuẩn với hầu hết w € Q Thật vậy, cĩ một số phan ví

dụ chỉ ra rằng P®(-)(w) khơng phải luơn được coi như là hàm xác suất thơng

thường.

Mệnh đề 2.21 Ton tai một khơng gian rac suất (Q,3,P) va một o-dai số

Bo CĐ sao cho ham xác suất cĩ điều kiện

PP9(2J(0) : 5 — [0,1

khơng phải là một độ do xác suất uới hầu hết tu € 9

Chứng minh Ta cĩ P® luơn tồn tại thỏa mãn (2.31) với ø-đại số bất kỳ B C 5.

Từ định nghĩa E”(xa) = P?(A) và do tính tuyến tính của ?, ta cĩ với mỗi

ham đơn giản f = So aixay, A, Ed

i=1

E®(f) = )oai- P?(A\) = f Fw)P*(aw) h.cc (2.32)

Q

27

Rõ ràng tích phân trong (2.32) được định nghĩa tốt cho tất cả các hàm đơn

giản và không phụ thuộc vào biểu diễn của ƒ Vậy với mỗi ƒ có một tập P-không

Ny sao cho với mỗi € Q — Ng

E®(f)(w) = / f(w")P® (dw")(w) (2.33)

Q

Chú ý rằng, nếu P®(-)(w) là một độ đo với mỗi B C Y va € O — No (No

là tập P-không cố định, W¿ C No) thì là tích phân Lebesgue, do đó nó có

thể được mở rộng cho tất cả hàm đo được ƒ : O — Rt bằng cách sử dụng Dinh

Iý|2.6]cho về trái và tính hội tụ đơn điệu cho về phải Nếu đúng cho mọi

hàm ƒ P-khả tích thì về phải của là tích phân (Lebesgue) tiêu chuẩn.

Giả sử (O,»,P) là không gian xác suất được cho trong Dinh lý với

B= Bo C 3 Nêu P®°(-)(w) có thể được coi như một độ đo xác suất thì bởi

định lý hội tu Vitali cho dãy {ƒa,m= > 1} các hàm khả tích đều sao cho ƒ„ > f

h.c.c, ta phải có với mọi w € 2 — No, P(No) =0

Tuy nhiên nếu dãy trên không bị trội bởi một ham kha tích (nghĩa là

sup |fn| ¢ L'(P)) như trong Dinh is alm bởi Dinh lý đó (2.34) sẽ sai với

>1

mọi +0 No là đủ khi ta lấy {fn,n > 1} là dãy hai giá trị như trong Dinh lý đó

Kết quả giả sử này ta có

P*9(-)(w) : 3 — [0, 1]

là một xác suất với hầu như tất cả w đều không đúng, tức là P?°(-)(w) là một

độ đo với hầu như không w € 2 LI

28

2.2.1 Xác suất có điều kiện chính quy

Định nghĩa 2.22 Cho (O,3,P) là một không gian xác suất, ® C » là mộtơ-đại số Khi đó, ánh xạ

P(.,.):5 x2 [0,1]

được gọi là xác suất có điều kiện chính qui nếu

(i) P(,): Ð — [0,1] là một xác suất, với mọi € 9\ No, P(No) = 0

(ii) P(A,-) :Q — [0,1] là một hàm B-do được với mỗi A € Ð và P thỏa mãn

tại thì nó chính là một bản sao của P® Mệnh đề trên khẳng định xác suất có

điều kiện chính qui không phải lúc nào cũng tồn tại Nếu tồn tại hàm xác suất

điều kiện chính qui thì (-) đơn giản là một tích phân đối với độ đo này Điều

này dẫn đến hai câu hỏi:

(A) Dưới những phép hạn chế gì trên (0,5, P) và o-dai số B C Ð tồn tại ham

xác suất điều kiện chính qui ?

(B) Thác triển thế nào để có thể phát triển xác suất có điều kiện mà không

cần để ý đến tính chính qui ?

Nói chung P không thể bị áp đặt để hoạt động như một độ đo vô hướng (do

Mệnh đề |2.21), ta quay lại xem Mệnh đề |2.19lii nó không yêu cầu chú ý đến

những tập có độ đo không Thật vậy nó nói rằng

P°:Yy—IP(Q,Y,P), 1<p<o

29

là o-cOng tính trong p-chuan, nếu ta chỉ xem không gian L? như một không

gian vector dàn (nghĩa là f,g € L?, ƒ < g khi và chỉ khi f(w) < g(w) với hầu

hết w) thì mệnh đề tương ứng với mệnh đề|2.19li là

P® : > LP(Q,5,P), 1<p<œ

là o-cong tính trong tô po (thứ tự) Nếu 1 < p < œ thi tô po chuẩn và tô pô thứ tự là trùng nhau trong việc nghiên cứu P, nếu p = +00 thì tô po thứ tự yếu hơn chuẩn Vì vậy nếu ta coi P® như một ánh xạ giá trị véc tơ từ © vào phần dương của Ƒ?(O,3,P), p > 1 thì ta có thể phát triển lý thuyết với sự

ơ-cộng tính của P trong các tô po thứ tự hay tô po chuẩn Quan niệm này

gọi là lý thuyết độ đo véc tơ, sử dụng quan điểm này thì tích phân có thể phát triển cho mọi ƒ € L?(X).

Xét ta thấy: Hàm xác suất điều kiện chính qui luôn tồn tại nếu điều

kiện B được cảm sinh bởi một phân hoạch (đếm được) của 2

Ta xét một ví dụ, ở đây B là một o-dai số giàu hơn so với cái được xác định

bởi một phân hoạch.

Cho 2 = R2, © = o-dai số Borel của R2, B là o-dai số Borel của R và

f :R? — RT là một hàm do được sao cho

II = 1.

Cho P: AC [tle udeay, A e€TM là độ do xác suất Borel 71, ra là các

A

phép chiếu z-tọa độ và y-toa độ trên R? Nếu By = 7z; !(B) C Ð thi By giàu

hơn o-dai số của © cảm sinh bởi một phân hoạch

Ta xét một hàm xác suất điều kiện chính qui "tự nhiên" Q: © x — Rt

với điều kiện là By Xác định ø: R? — R* bởi

f(x,y)

galg) = | fey) PYF tong đó foly) = [tua

+00 nêu fo(y) = 0 R

30

Định lý Fubini-Stone khẳng định f(-) và từ đó là g(-|-) là B và © đo được.

Vi © được cảm sinh từ đại số của các chữ nhật đo được B x B, xét Q định nghĩa

cho A= A, x Ap € x5, +0 = (z,) € 2 bởi

Q(A,w) = / g(zlụ)dz = / g(|r2(w) ae (2.36)

Ay m(A)

Rõ ràng Q được xác định tốt, Q(-, w) là ø-cộng tính trên B x B, Q(A,-) là

By-do được Nếu ta chỉ ra được Q thỏa mãn thì ta có thể kết luận rằng

Q là một hàm xác suất điều kiện chính qui, để thấy điều này ta xét, với moi

By € By = m; '(8) (Ba = R x B với duy nhất Be 8B).

= P(mi(4) x m:(B›;)) = PUA N Bo).

Cả hai về của đều là ø-cộng tính trong A (€ B x B) với mỗi By cố

định thuộc Bo Vì B x B sinh ra & B = 3 Định lý Hahn nới rộng độ đo

cho các độ đo o-hitu hạn nói rằng đúng trên © với mỗi By € Bo Từ đóQ(-,-) là hàm xác suất điều kiện chính qui Chú ý rằng Q(A,-) là một ban sao

của P®2(A), AE TM.

Ta có thé mở rộng điều vừa xét trên với Q = R” x RTM với Q được xác định tổng quát hơn g(z\, #„ |1 - u), 1 < m,n < oo.

Định nghĩa 2.23 Cho (O,», P) là một không gian xác suất, B, 6 là hai o-dai

số con của © không có bất kỳ mối quan hệ bao hàm nào giữa chúng Anh xạ

P:§xQ—RT

là một xác suất điều kiện chính qui (theo nghĩa mở rộng) nếu:

31

(i) P(-,w):8 — IRT là một xác suất với mỗi w € ©.

(ii) P(A,-):O — RT là B-do được với mỗi A € 8

(iii)

[Pw PCa) = P(ANB), Ac§, BEB (2.38)

B

Nếu 8 = Ð thì định nghĩa về cơ bản trùng với định nghĩa Nếu

trong (2.38), B=Q va P(.,-) thỏa man (i) va (ii) trong định nghĩa [2.23] thì P

trên Š thỏa mãn được gọi là một xác suất bat biến cho "nhân" hoặc là

"xác suất chuyển tiếp"

2.2.2 Phân phối có điều kiện chính quy

Cho X : Q — R",n > 1 là một biến ngẫu nhiên (hay vector ngẫu nhiên nếu

n > 1), ® là o-dai số Borel của IR” với 8 = X~!(®) CE Khi đó P: 8xQ — Rttrở thành

Qx(D,w) = P(X~\(D),w), DER

và, qui về

[9x(D.ø)P(ảe) = [PD w) Paw) = P(X~'(D)NB) (239)

B B

Hàm Qx :R x 2 — IRT được gọi là phân phối điều kiện chính qui (ảnh xác

suất điều kiện chính qui) khi P là chính qui trong trường hợp của định nghĩa

Vì Q(-,w) =(P®o X~!(-))(m) : ® — Rt là một bản sao của ảnh hàm xác

suất điều kiện

P°oXT!1:®— L1(Q,5, P)

điều này rat quan trọng để hiểu về sự tồn tại của Q Nếu X = (X¡, Xa) và ƒ(-, -)

là một hàm mật độ của X với độ do Lebesgue phẳng (nghĩa là nếu Ƒ(z,) =

cy

P(X, < z,Ä2 < 0) thì F(z,y) = / | f(u,v)dudv) va (Q,¥) = (R?,B @ B).

—Co —cO

32

Khi đó Q được xác định bởi (2.36) là phân phối điều kiện chính qui Vay phân

phối điều kiện chính qui có luôn tồn tại không ? Kết quả này thuộc về Doob

(1953).

Định lý 2.24 Cho (Q,3,P) la một không gian xác suất, X :Q — R” là mộtvector ngẫu nhiên, B Cd là một o-dai số Khi đó, một ham phân phối có điềukiện chính qui Qx :BxQ—R* của X đối uới B luôn ton tại

Chứng minh Chứng minh sử dụng đến tính trù mật của số hữu tỷ trong R

hoặc tính trù mật của tập đếm được trong R” và tinh chat (i), (ii) của mệnh

đè|2 19 Cho {r;,i > 1} C R là một sự liệt kê của những số hữu tỷ, xét với mỗi

wen

Fy (rise Ti, W) = P? [Xp < rị,;k = 1,2, ,n](w), (2.40)

trong đó B là ơ-đại số đã cho Do Mệnh đề ta có một tập P-không

Nứ,, r;„) sao cho nếu w ¢ W(;,, ,r¿„) thì Fa(r;,, ,7¿„;0) trong

là không âm, không giảm và nếu

Rõ ràng Qx(-,:): Rx Q — R* được định nghĩa tốt, Qx (-, w) là ø-cộng tínhtrên ®, Qx(B,-) là đo được với B, ở đây #® là o-dai số Borel của R" Như vay,Qx(,:) sẽ là một phân phối điều kiện chính qui của X nếu ta chỉ ra được rằng

Qx(B,w) = P®(X~!(B))(u) với hầu hết w € © (nghĩa là Qx là một bản sao

của P® o X~! trên R) Thật vậy, ta xét lớp £ C R được xác định bởi

E={BER: Qx(B,w) = P?®(X~'(B))(u), với hầu hết w € ©}.

Do định nghĩa (2.40), (2.42), nếu 8 là những khoảng (hoặc hình chữ nhật)

mở phải đóng trái thì 6 C € Vì § đóng dưới phép giao nên 8 là một z-lớp.

Hơn nữa, € là một A-lớp (do Định lý hội tụ đơn điệu và (2.40), (2.41), (2.42).

Từ đó do Dinh lý (z,À)-lớp, z(S) = R C E Vậy Qx(-,-) là một bản sao của

P? o X7!, LÌ

Mệnh đề 2.25 Cho (O,5,P) là một không gian xác suất, B C 3 là một

o-đại số, X : Q — R” là một vector ngẫu nhiên, R là ơ-o-đại số Borel của R”,

8 = X—1(R), X(Q) = Bọc ® Khi đó ton tại một ban sao vx của P® : 8 > I!1(Q,®,P) (tức là vx(A,w) = P?(A)(u) vdi hầu hết w, A € §), đó chính là

một „ác suất điều kiện chính qui (Vay vx được định nghĩa chỉ trên 8 CD)

Chứng minh Vì theo giả thiết Bọ € R và định nghĩa X~!(Bạ) = X~1(R"),

cho Qx(-,-) là một hàm phân phối điều kiện chính qui của X bởi B (đảm bảo

bởi Định lý trên) Ta có

Qx(Bo,w) = P® o X~*(Bo)(w)

= P®(X~'(R"))(w) = 1 hầu hết w.

Cho A € 8, vì X : Q — Bo là ánh xạ lên, X~! : R(Bo) — § là một đối

một Từ đó tồn tai By € R(Bo) với A = X~1(B,) (Thật ra, nếu cũng tồn tại

By € R( Bo) với A= X-1(H;) thì

Bị = X(X~1(B,)) = X(A) = X(X~1(Ba)) = Bo

34

vì tính chất lên của ánh xạ X tương đương với X(X~!(D)) = D với moi

DC Bo) Vậy vx(A,w) = Qx(B,u) với A= X~!(B),cQ—N, P(N) =0

vì X~! bảo toàn các phép toán tập hợp, vay vx(-,w) là một xác suất với moi

weEQ—N và từ đó

vx(A,w) = Qx(B,w)

= P”(X''(B))(u) = P®(A)(w) với hầu hết w, A € 8.

Vì Qx(P§,u) = 0, P®(X~!(D)) = 0 hc với mọi D € #®(H§) Ta có

vx(A,w) = P®(A)(w) với hầu hết w, A € § Do đó vx là một bản sao của P2

trên Š LI

Trong kết quả trên, giả sử ® = ø(Y) là một o-dai số cảm sinh bởi vector ngẫu

nhiên Y : Q > RTM Khi đó (do Mệnh đề 2.25) có một ham Borel g : RTM + R

sao cho với mỗi A = [X < a] € 8 = ơ(Ä) ta có

P®(A)(w) = ga(Y)(w) = ga(Y(w)) với hầu hết w € 9 (2.43)

Nếu Y(w) = y € RTM thì biểu diễn một cách biểu trưng là

P?([X < al)(u) = P{w': X(w’) < a|Y (0) = y} (2.44)

Nếu X : Q > R” = X(Q) là một biến tọa độ Khi đó, xác suất điều

kiện trong (2.44) là chính qui (do Mệnh đề 2.25) và nó là hằng số trên tập

B={u: Y(u) =y} Vậy P là chính qui vì

FPxIy(ø|lu) = P{u': X(u') < a|Y =y} = FX(a|B) uc B (2.45)

Ta gọi Ƒx|y(-|-) là hàm phân phối điều kiện của X với Y (mà B = ø(Y)).Thuật ngữ này là đúng vi #x|y (-|) là một hàm phân phối và FxỊy (z|-) là một

ham Borel Thật vậy

FxIy(aly) = P”(X~(—œ; a))(0), (2.46)

do Định lý về phải (2.46) là một phân phối điều kiện Ta nói Fy jy (-|y) là

một hàm phân phối còn #x|y (a|-) là Borel đo được Ta có kết quả sau

35

Mệnh dộ 2.26 Cho (O,5,P) là một khụng gian vac suất, X,Y là một cặp

vector ngẫu nhiờn X : â — ]IR", Y :Q — IR”", Nếu Fy y là phõn phối đồng thờicủa X,Y, Fy là hàm phõn phối của Y, Fx\y(-|-) là phõn phối điều kiện Khi

đú

y

Fx y(2,y) = / Fxiy(z|)Fv(d1), y eR", (tớch phõn m-lộp) (2.47)

—œ

Nếu X,Y độc lập thà Fy\y (aly) = Fx(a), z € R" Hơn nữa

h(z,)#'x,v (dx, dụ) = h(x, y)Fx\y (daly) | Fy (dy) (2.48)

[| YL XY U HỊ Ụ | Y) | Hy (ay

A B

vdi moi tập Borel A C R", BC RTM va ham Borel bi chặn h: R" x RTM — R.

Chứng minh Với ký hiệu thớch hợp ta lay m = n = 1 Cho B, = (—oc,z),

By = (—co,y) Do định nghĩa Fy,y, Fy, Fxịy va vi By = o(Y), Y~'(By) €

By Ta cú

Fy y(a,y) = P(X"*(B„)nY—~*(B,))

_ / Pđằ (X~!(B,))(w) Pa, (dw)

Y~!1(B,)

P(B,|é)Fv(đ#) (do luật xỏc suất ảnh)

Fxyy (at) Fy (dt) (do (2-45)).

Vi Fx \y(-|y) là một ham phõn phối va ỏnh xa

V(-\n): A — J Pow (aly) Acđ—-ơ- dai sộ Borel

A

36

là một độ đo xác suất Xét ham Borel bị chặn bất kỳ h: Rx IR — R

£ ={A ER: II = | [env (4zl)P/(): VBe Rh.

BA BA

Rõ ràng € chứa tat cả những khoảng có dang [{a,b) và chúng giao nhau, do

đó nửa vành ö của những khoảng đó là trong € và R € € Vậy £ là r-lớp va do Định lý hội tụ đơn điệu € là À-lớp Từ đó do Định ly (a, À)-lớp, € D a(S) =

Vì £C ẤÂ suy ra € =R và đã được thử lại Chú ý trong (2.48), h có thể

là hàm #x|y khả tích bất kỳ, không nhất thiết là cần bị chặn oO

Giả sử Fx y; Fxjy; Fy là ue hàm tuyệt đối liên tục với hàm mat độ là

fv); fxịy(-|w) và fy(-) Khi đó suy ra

[ [ ẽ Ề ni fro h(z.y)fxiy(zly)dz] fy (y)dy

R” RTM RTM R”

= / / h(x, y) fx\y (aly) fy (u)dwdz (do Dinh ly Fubini).

lim RTM

(2.49)

Vì biểu thức này đúng với mọi hàm Borel bị chặn h, từ Định lý Lebesgue ta

suy ra ƒx,y(#,) = fxiy(zly)fy(y) với hầu hết (x,y) Ta biểu diễn lại (2.48).

(2.49) dưới dạng khác nhau với độ đo Lebesgue-Stieltjes.

Mệnh đề 2.27 Cho (Q,3,P) là một không gian rac suất; X,Y là các vector

ngẫu nhiên, X : Q > R",Y : Q — RTM, Pyy, Py lần lượt là các độ do

Lebesgue-Stieltjes trên R” x RTM va RTM.

Nếu Q(-|y) la ham phân phối điều kiện chính qui của X tới Y = y thà với

ACR", BCR” là các tập Borel bat ky, ta có

Px y (1,1 (A) a) mạ '(B)) = Px y(A x B)

lI & > > = % ° ¬| ^=

trong đó Tị : RTM*” > R”, m2: ImT" — RTM là các phép chiếu tọa độ.

Nếu Px y là tuyệt đối liên tục uới độ do Lebesgue có hàm mat độ

fxy : R” x RTM > R+

thi Py, giống như một biên duyên của Px y (Px y(R" x:) = Py(-)) cững có một

hàm mat độ fy (do đó fy(y) = | xvt.0áe) va Q(-\y) = PxIy(œ¡ `(-)|w)

R”

là tuyét đối liên tục uới độ do Lebesgue Một bản sao của mat độ của nó là

ƒxịy :R" > Rt va thỏa mãn

Ixy (@,y) = fxyy (aly) fy (y) hầu hết (x,y) € R” x RTM (2.51)

Hon nữa, nếu h: R” x RTM —: R là một ham Borel bi chặn thi

E(h(X,Y)|Y)(w) = [bY (wo) Fx ol w) de uới hau hết w EQ (2.52)