Luận văn thạc sĩ khoa học: Các mô hình chuỗi thời gian tài chính

là một chủ dé thu hút rất nhiều sự quan tâm của các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học.Chính vì tầm quan trọng của nó mà đã có rất nhiều nhà nghiên cứu dành công sứccho lĩnh vực này vớ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Duy Thắng

Ö- CÁCMÔHÌNH | CHUÔI THỜI GIAN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Duy Thắng

CAC MÔ HÌNH CHUOI THỜI GIAN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Ma so: 60.46.15

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Trần Hùng Thao

Hà Nội - 2011

Lời mở đầu

Phân tích dự báo giá tài sản tài chính như cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá là một chủ

dé thu hút rất nhiều sự quan tâm của các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học.Chính vì tầm quan trọng của nó mà đã có rất nhiều nhà nghiên cứu dành công sứccho lĩnh vực này với nhiều phương pháp phân tích khác nhau Cho đến nay có thể

kể đến hai phương pháp phân tích đã quen thuộc với hầu hết các nhà đầu tư là phân

tích kĩ thuật (Technical analysic) và phân tích cơ bản (Fundamental analysic) Bên

cạnh hai phương pháp này còn có phương pháp phân tích định lượng thông qua các

mô hình toán học Dự báo thị trường bằng phương pháp phân tích định lượng hiện

nay được sử dụng rất phổ biến trên thế giới Hầu hết các quỹ đầu tư,quỹ phòng hộ(Hedge fund) và các phòng giao dịch (Trading desk) của các ngân hàng đầu tư đều

có hệ thống giao dịch tự động bằng phương pháp định lượng (Quantitative

trad-ing) Hiệu quả của phương pháp này đã được chứng minh tại rất nhiễu thị trường

Lí do hiệu quả của phương pháp này là tín hiệu đưa ra khách quan dựa trên những

tiêu chí thống kê từ mô hình Do đó sẽ giảm thiểu được sự sai sót do cảm xúc

của con người Phương pháp phân tích định lượng giả định rằng mối liên hệ giữa

các yêu tố được thiết lập trong quá khứ sẽ có ảnh hưởng, lặp lại trong tương lai

Hay nói cách khác, phương pháp này dựa trên các dữ liệu từ quá khứ để phát hiện

chiều hướng vận động của chúng trong tương lai theo một quy luật nào đó Phổbiến nhất là sử dụng chuỗi thời gian (Time series analysis) hoặc sử dụng phân tíchnhân quả Ngoài ra, người ta còn sử dụng phương pháp khá phức tạp là Mạng thầnkinh(Neural network) Trong phạm vi đề tài này chúng tôi để cập đến các mô hình

chuỗi thời gian trong thị trường tài chính Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để

dự báo giá trị tương lai của một tài sản tài chính chỉ dựa trên phân tích số liệu quákhứ và hiện tại của nó Do đó với phương pháp này điều kiện quan trọng là chuỗithời gian cần có tính ổn định thể hiện ở tính dừng của nó

Luận văn chia làm ba chương:

Chương I: Trinh bày những khái niệm cơ bản như phương trình sai phân, toán

tử trễ, chuỗi thời gian dừng, kỳ vọng điều kiện và martingale làm cơ sở cho các

1

chương sau

Chương II: Trình bày một số mô hình chuỗi thời gian dừng và không dừng

như MA, AR, ARMA, ARIMA.

Chương III: Trình bày các mô hình dự báo rủi ro như ARCH, GARCH cùng

các mô hình cải tiến của nó như IGARCH, TGARCH, EGARCH cùng các ứngdụng trong thực tế phân tích tỷ giá Đây cũng là phần chính của luận văn

Qua đây tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Trần Hùng Thao người

đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xincảm ơn các thay cô trong tổ bộ môn khoa Toán —Co-Tin trường Đại Học Khoa Học

Tự Nhiên-Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi trong suốt quá trình học tập caohọc, cảm ơn công ty tư van đầu tư MHT http://www.mhtgold.com mà tôi đã từnghợp tác trong 3 năm qua đã giúp tôi trong phần cung cấp số liệu, xin cảm ơn giađình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và làm

luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Vũ Duy Thắng

il

Bảng ký hiệu

ACF:Ham tự tương quan

ADE:Thống kê kiểm định Dickey-Fuller

AIC:Tiêu chuẩn thông tin Akaike

AR:Quá trình tự hồi quy

ARMA:Quá trình trung bình trượt tự hồi quy

ARIMA:Qua trình ARMA tích hợp

ARCH:Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy

BIC:Tiêu chuẩn thông tin Bayes hoặc tiêu chuẩn Schwartz

GDP:Tổng sản phẩm quốc nội

ID:Độc lập cùng phân bố

MA:Qua trình trung bình trượt

MSE:Sai số dự báo bình phương trung bình

MLE:Uéc lượng hợp lí cực đại

PACF:Ham tự tương quan riêng

RMSE:Căn bậc hai của MSE

GARCH:Mô hình ARCH tổng quát

EGARCH:M6 hình GARCH dạng mũ

TGARCH:Mô hình GARCH đồng tích hợp

ili

WW WD ¬ — — =

Quá trình trung bình tr trươi 14

2.1.1 Quá trình trung bình trượt MAC 14 2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- 15

2.1.3 _ Quá trình trung bình trượt vô han MA (co 16

2.2.6 Dưbáo 26

227_ Kiểm din 29

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình saiphân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điêu kiện và Martingale sé được sửdụng ở chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA,

ARIMA

1.1 Chuỗi thời gian va toán tử trễ

1.1.1 Chuỗi thời gian

Chuỗi thời gian là dãy các quan sát về một biến số nào đó theo thời gian Mẫuquan sát có thể xem như một đoạn hữu hạn của một chuỗi vô hạn quan sát

Câu hỏi là vì sao chuỗi thời gian dừng lại quan trọng như vậy? Vì cơ sở của dự báo

chuỗi thời gian chúng ta luôn giả định rằng xu hướng vận động của dữ liệu trong

quá khứ và hiện tại được duy tri cho các giai đoạn tương lai Do đó,dữ liệu cần

có tính ổn định được thể hiện ở tính dừng của nó Theo Gujarati(2003) cho rang

một chuỗi thời gian không dừng thì chúng ta chỉ có thể nghiên cứu hành vi của nó trong khoảng thời gian đang xét mà thôi Nghĩa là chúng ta không thể khái quát

nó cho giai đoạn khác,không thé dự báo được diéu gì cho tương lai néu như bảnthân dữ liệu luôn thay đổi, tất cả chỉ là ngẫu nhiên Một ví dụ nổi tiếng cho chuỗikhông dừng là bước ngẫu nhiên(Random walk) sẽ được để cập ở chương sau

1.1.3 Toán tử tré(Lag operator)

Toán tử trễ là một công cụ hữu hiệu khi nghiên cứu chuỗi thời gian Các phương

trình sai phân và mô hình chuỗi thời gian sẽ được trình bày nhất quán dưới công

Sai phan cap n

A’y, =A (a" ty.) (1.4)

3

1.2.2 Phương trình sai phan

Phương trình sai phân đề cập đến việc thiết lập hoặc phân tích định tính quỹ đạo

1.2.3 Phương trình sai phan cấp 1

Phương trình sai phân cấp | mô tả mối quan hệ tuyến tinh của y; (giá trị của biến

số y nào đó thay đổi theo thời gian tại thời điểm t) theo biến trễ ở thời kì trước đóy;_¡ và biến đầu vào (input variable) w;

t+1

y= Tý ¡+ Ø'wo +ợt wit +we

với y; là một hàm tuyến tính của giá trị xuất phát y_¡ và các giá tri quá khứ của w

Nhân tử này gọi là nhân tử động (dynamic multiplier) Nó chỉ phụ thuộc vào j là

độ dài khoảng thời gian từ t đến t+j chứ không phụ thuộc vào thời gian t là thờiđiểm quan sát Kết luận này đúng cho bắt kì phương trình sai phân tuyến tính nào.-Nếu

Vậy nếu |@| < 1 hệ thống sé ổn định Tính ổn định ở đây được hiểu là tác động của

sự thay đổi của w; sẽ bị triệt tiêu Còn nếu |ø| > 1 hệ thống sẽ phân kì

Bây giờ, ta sẽ xét phương trình trên dưới cái nhìn của toán tử trễ.

Phương trình được viết dưới dạng:

q — 0L); =W;

2 (1—ø#?1*y,= (14+ 0L+ 0212 + + @') wụ

= Vt @tÍy_¡ =W;+0w, + + 0 'wọ

y= pitty +w;,+ Ow,_1+ + 0 'wo

Ta lại thu được kết qua giống phương pháp đệ quy ở trên

Từ đó, nếu || < 1;:y_¡ < œ ta có thể viết

=W;+0w,_¡ +0 W,-a2+

Điều kiện |@| < 1 chính là đảm bảo cho chuỗi y, là dừng Điều này sé được trình

bay kĩ hơn ở mô hình AR(1) chương 2.

1.2.4 Phương trình sai phân cấp p

Phương trình sai phân bậc p mô tả mối quan hệ tuyến tính của y, theo p biến trễcủa chính nó và giá trị hiện thời của biến đầu vào w

Yt = Piyr—1 + Ø2Y¿—2 + + PpYt—p + Wr (1.9)

Phân tích toán tử ở về trái của (1.11)

(1— 0iL— QL? ve PpL?) = (1— AL) (L— AgL) (L— ApL)

Việc phân tích này giông như việc tìm các giá tri (A), Az Ap) sao cho ta có dong

nhất thức của đa thức ẩn z

(1 0Iz— M2 — @pzP) = (1 = Anz) (1 = pz) (= Âpz) (1.12)

Ta chuyển sang da thức ẩn z vì thực hiện điều này với toán tử L là không có nghĩa

Chia hai về cho z? và đặt A = z~! ta được

(A?— AP! — @Ã??— — gp) = (A= À0) (A= Ia) (A= Ap) (1.13)

6

Vậy (¡ Àa Àp,) là nghiệm của phương trình

AP — QAP! — gar! — — @, =0

Việc phân tích đa thức toán tử

(1— @|L— Ø›L2— — pL?) = (L— ¡L)(1— 2¿L) (1— ÄpL) được thực hiện

giống như việc tìm các giá trị riêng của ma trận

Sau đó nhân cột thứ p-1 với + rồi cộng vào cột thứ p-2 Tiếp tục quá trình này ta

nhận được ma trận tam giác trên

det (F —Alp) = (0 -A +B + + 74) (-ayr |!

= (—1)? (AP— A?! — mar? —. — 0p)

Vì vậy các giá tri riêng của ma tran F phải thỏa man phương trình (1.14) do đó ta

có điều phải chứng minh

Mệnh dé 1.2.4.2 Giả sử ma trận F có p giá trị riêng phân biệt nằm trong đường

yr = [er (LH AIL + APL? + ) + +ep (14 ApL + 2L? + ) | wi

yp = (Cy +c¿+ +cp)W¡ + + (c1Aj +e2dd + + epAp) Wr jt

Như vậy phương trình sai phân là ổn định nếu các giá trị riêng có môdun nhỏ hơn

1 hoặc chúng nằm trong đường tròn đơn vị Điều này tương đương với các nghiệm

phương trình sau nằm ngoài đường tròn đơn vị:

Ï— ØIz— Øaz”T— — 0pz” = 0 (1.17)

1.3 Kỳ vọng điều kiện va martingale

Kỳ vọng điều kiện và martingale là những khái niệm đặc biệt quan trọng trong lí

thuyết xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán tài chính Ở đây chúng tôi

sẽ nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3

trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH

1.3.1 Không gian xác suất được lọc

Cho (Q,3,P) là không gian xác suất Một họ ø-trường con 3, C 5 được gọi là bộlọc nếu nó thỏa mãn

i) Nó là một họ tăng tức là 3, C 9; (s <r)

ii) Họ đó liên tục phải tức là S; = 1 Spr

e>0

iii) Mọi tập P-bỏ qua được A € $ đều được chứa trong So

Một không gian xác suất (Q,3,P) được gắn thêm bộ loc 3, C S gọi là không gianxác suất được lọc

1.3.2 Kỳ vọng điều kiện

1.3.2.1 Khái niệm

Giả sử (O,S,P) là không gian xác suất Z C S là o -trường con và X là biến ngẫunhiên khả tích Kỳ vọng điều kiện của X với o- trường Z là biến ngẫu nhiên kí

hiệu là E (X |Y) thỏa man:

i) E(X |Z) là ý CS đo được

ii) [E(X|¥)dP= [XdPVAEY

A A

Ta định nghĩa E (X |Y ) là kỳ vọng điều kiện của X theo o-trudng o (Y)

1.3.2.2 Tinh chất của kỳ vọng điều kiện

Các tính chất sau đều được hiểu là hầu chắc chan(h.c.c)

(1) Nếu c là hằng số thì E(c|¥) =c

(3) Nếu Z là ø-trường tầm thường {@,©} thì E (X |Z) =X

(4) E(E(X|Z))=EX

(5) Nếu X độc lập với Y tức là ø (X) độc lập với Z thì E (X |Z) = EX

(6) Nếu Y là Z-đo được,E |Y| < e;E|XY| < s thi E (XY |#) =YE(X|#)

(7) Nếu G, CGY thì E(E(X|%®) |G) =E(E(X |4) |) = E(X |2)

(8) Nêu X < Y(ñ.c.c) thì E(X |Z) < E(Y |Z)

(9) |E(X|9)| < E(IX|IZ)

(10) Bat dang thức Jensen

Giả sử ở : R — R lồi dưới, @X khả tích Khi đó ở (E (X |¥)) < E(@(X) |Y)

(11) Hội tụ đơn điệu Beppo-Levy

Nếu X„ > 0;X„† X và E|X| < s th E(X„|Z) †E(X |Z)

10

Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X;),.9 thích nghi với bộ lọc 3, và khả tích

E|X,| < œ với mỗi t Với s, t là hai số không âm vas <t

i)X; là martingale trên nếu E (X;|35) < Xs

ii) X; là martingale dưới E (X;|35) > X;

iii) X; là martingale nếu nó vừa là martingale trên và dưới tức là E (X;|35) = Xs

Khi không nói rõ bộ lọc nào ta hiểu đó là bộ lọc tự nhiên sinh ra từ lịch sử của X

nghĩa là 3; = Ø (X;),.,.

Theo lí thuyết trò chơi nếu coi X; là số vốn ở thời điểm t,3, = Ø (X,),., là thông tin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi thiệt hại nếu nó là martingale trên, trò chơi

có lợi nếu nó là martingale dưới và công bằng nếu nó là martingale Các kết quả

chính của martingale là các bất đẳng thức và định lý hội tụ, nhất là các định lý của

Doob.

1.3.3.2 Hiệu martingale(Martingale difference)

Day tương thích (€,;3,) là hiệu martingale nếu E |&,| < œ va E (&41|3,) =0

Thật vậy, dé thấy X; là 3,-do được và E |X;| < ce Hơn nữa

E (Xi41 |S) =E (S44 +X; |3;) =E (S41 |3;) +X; = X}

1.3.3.3 Khai triển Doob

Kết quả chính là một martingale dưới được phân tích duy nhất qua một martingale

và một dãy tăng dự báo được Kết quả này được chứng minh không quá khó khăn

chúng tôi không trình bày ở đây.

Định lý 1.3.3.3(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.3.7)

Giả sử X = (X;;3,) là martingale dưới khi đó tôn tai martingale M = (M,:S,) và

day tăng dự báo được A = (A¿;S;—1) : = Áo < Ai < < Ap < sao cho

X;=M,+A; (1.18)

Khai triển Doob là duy nhát

Trong định li này day (A;),(M,) được xác định bởi

Bây giờ ta sẽ dé cập đến martingale bình phương khả tích Giả sử M = (M,;3,) là

martingale bình phương khả tích tức là M = (M;;S,) là martingale và E |M,|” < œ.

Do M = (M,;3,) là martingale và áp dung bat dang thức Jensen kì vọng điều kiện với hàm lỗi g(x) = x suy ra quá trình M? = (M: 5,) là martingale dưới Theo

khai triển Doob ta có

Đặc biệt nếu Mo = 0 thi EM? = E (M),

Nhận xét

Giả sử (&,) là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho Eế, = 0;EE? < œ Đặt Mo =

u Lae u 2

0;M,= } ốc khi đồ (M), = EM? = È Gets)

1.3.3.4 Luật mạnh số lớn martingale bình phương khả tích

hợp ARMA và mô hình ARIMA cùng ứng dụng của nó vào phân tích và dự báo

biến sé kinh tế vĩ mô

2.1 Quá trình trung bình trượt

2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1)

Quá trình MA(1) mô tả quá trình y; (giá tài sản tài chính,trái phiéu,c6 phiéu,ty

giá ) theo thời gian phụ thuộc vào u; (nhiễu trắng) nhưng không phụ thuộc vào

biến trễ của nó

trong phương trình (2.1), w 1a hằng số còn uy; là nhiễu trang (white noise),

Eu, = 0;varu; = 07 và us(£ z s) là độc lập.

Ye = Ut uy + ÖỊịuy—1 + Ogu; + + Oguy—g

với pt là hang số còn u; 1a nhiễu trang (white noise), Eu, = 0;varu, = Ø

us(t # s) là độc lập.

Dễ thấy

Ey; =U

Vary, = (9? +6ˆ+ + 62) G7

Ve = COV (Wi:yi—k) = E (Yr — H) Ô;—kT— H)

=E (uy + Oyu; + 4+ Oglt;—-q) (U;—¿ +Iu;_¿_¡+ + Ôạu;—¿—a)

2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô han MA (s)

Quá trình trung bình trượt vô hạn có dạng:

2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive)

2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1)

2.2.1.1 Quá trinhAR(1) không có hệ số chặn

Quá trình AR(1) không có hệ số chặn có dạng như sau

Ta thấy khi —1 < ø < 1 và với t đủ lớn thi

LimEy, = Lim o'yo = 0

Hệ số tương quan

Ni = COV (Y¿;ÿ;—1) = COV (Ø0Y,—1 + My;Yy— 1) = Pvary, 1 + COV (uso! `

~lyg tuy-1 + + Quy

% = coV (W;;ÿ;—2) = COV (@y,—1 -F ;;Y;—2) = COV Cam + Puy—-1 + )

= 0 vary, ; + cov (Puy—1 + ;Y,—2) = Pr vary, _2————

Từ (2.10), (2.11) thì ta vẫn có thể coi AR(1) là chuỗi dừng khi —1 < @ < 1 và với

t đủ lớn Như vậy ta có nhận xét là với chuỗi dừng thì ACF(k) sẽ giảm về 0 khi k

tăng còn với chuỗi không dừng thì không có xu hướng đó.

Điều này ngụ ý là AR(1) dừng có thể được trình bày như quá trình MA (œ).Tínhtoán ta cũng thu được kết quả tương tự như trên

Ey; =0

Vary, = ø (1+ 97? + 97+ ) = orp

Ye = COV (YtYi—k) = Eyi—k)

= E(u + Puy) + 0ˆu;—2 + «:) (Up + @M¿—k—1 + 0 u,—¿—2 + )

2.2.1.2 Bước ngẫu nhiên(Random walk)

Bước ngẫu nhiên là trường hợp đặc biệt của AR(1) với @ = 1

YM — Y/—1 -T Hự (2.14)

Khi đó

yr = y0 + (uy + ạ + + uy)

Ta có Ey, = Eyo = const nhưng vary, = to” phụ thuộc vào thời gian t nên bước

ngẫu nhiên không phải là chuỗi dừng.

Hơn nữa

= Ye = cov(w;y,_¿) = (t— k) o*

= ACF (k) = =kvary,

ACF(k) cũng phụ thuộc thời gian t,nó không phải là chuỗi dừng ACF(k) sẽ không

có xu hướng giảm về 0 khi độ trễ k tăng lên

Để tạo một bước ngẫu nhiên trong Eviews ta làm như sau:

25 T T T T T T T ———

5 100 1§0 200 250 300 350 400 450 501

Hình 2.1: Bước ngẫu nhiên

Plot yt

Những người theo trường phái lí thuyết thị trường hiệu quả (efficient market)

cho rằng giá một tài sản tài chính ở thời điểm hiện tại là phản ánh đầy đủ thông

tin hiện có trên thị trường Điều đó có nghĩa là giá chuyển động là ngẫu nhiên

(Random walk),do đó không thể dự báo và phân tích kĩ thuật (technical analysis)

là hoàn toàn vô nghĩa Ngược lại,những người theo trường phái kĩ thuật cho rằng

giá tài sản tài chính phản ánh không phải tốt nhất thông tin hiện có, đôi khi chậmhơn thông tin được công bồ và thị trường trong nhiều trường hợp là có thể dự báo

2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p)

Trong mục này ta sẽ xem xét quá trình hồi quy tổng quát cấp p

Yt = Pot 01Y¡—1 + 2Y¿—2 -F OpYr—p + Ut (2.18)

trong đó các @;(¡ = 0; p) là các hàm thực còn u,; là nhiễu trang Như vậy y; ngoài

phụ thuộc vào nhiễu trắng còn phụ thuộc vào p biến trễ của chính nó

Hệ số tương quan 4 = E (y; — M) (Yi — H)

Vi

Yi — H = Pi (1 — MH) + @¡—2 — H) + + Pp(Wi—p — M) Ð ty

Suy ra

(yr—M)Ú¡—k— H)= Pi (Yr—1 — H)(W¿—k—H)*+ +0p(r—p— M)(Wy—k— WH) Fur rk — H)

Lấy kì vọng hai về ta được phương trình Yule-Walker

01—1 + Ø2¿—2 + + @p—p (k = 1,2 )

(2.21)

PIM —1 + 2-2 + + PpH—p + O7 (k = 0)

Vk

2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF

Hàm tương quan riêng PACF là công cụ hữu ích trong việc xác định bậc của qua

trình AR PACF(k) được sử dụng để đo lường mức độ giữa y; và y;_¿ khi các ảnh

hưởng của các độ trễ từ 1 đến k-1 đã được loại trừ

Giả sử ay là hệ số của quá trình AR(k)

nhận được từ P, bằng cách thay cột cuối cùng bằng ma trận ở về phải

Do cột cuối cùng của P¿ là tổ hợp tuyến tính của nhỏ hơn k-1 cột đầu tiên nên

Nhận xét:

-Như vậy với AR(p) thì PACF sẽ khác 0 cho đến độ trễ p và bằng 0 ngay sau đó.

Tính chất này cho phép ta xác định được bậc quá trình AR từ việc quan sát PACF

nhận được từ mẫu.

-Với quá trình MA(q) thì ACF sẽ bằng 0 sau độ trễ thứ k=q.

Hai nhận xét quan trọng này giúp ta xác định mô hình phù hợp cho chuỗi dữ liệu

tuân theo MA hoặc AR bằng cách quan sát lược đồ tự tương quan của chuỗi dif

liệu đó.

2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p)

Trong mục nay,ta viết lại quá trình AR(p) dưới dang

Yr = Hụ ty

(2.24)

Lr = Po + 01Y¿—1 + Ø2Y¡—2 + + PpYt—p

Một trong những van dé trong tâm của thống kê là ước lượng tham số Tham sốcần ước lượng ở đây là 0 = (@,Ø\ @,) với giả sử rằng yo,y_¡ là đã biết vànhiễu trắng là quá trình Gauss

22

Một trong những phương pháp ước lượng phổ biến là ước lượng hợp lí cực đại(maximumlikelihood) Ta tim tham số ước lượng Ø làm cực đại hàm hợp lí,tức là

6, = MAX Po (y1,y2 Y:)

trong đó po (y1, ya y;) là hàm mật độ đồng thời của vecto Gauss (y\, y2 )

Để đơn giản ta xét quá trình AR(1)

= Qo + 0ỊY;—1 + Ut

(2.25)

yo =0 Giả sử w; là quá trình Gauss và Luật(y;|S,_¡) ~ N (4307) trong đó

Mr = E (yr |S1-1) = Øo + 01yi—ï

(2.26)

=E (= Hi)? |Sr-1) = Eup = 1

Ta có kết quả ước lượng sau đây:

Mệnh đề 2.2.4 Với các giả định trên thì ưóc lượng hợp lí cực đại của tham số

Q của quá trình AR(1) trong (2.25) là @† = @\ + iM y trong do M, là martingale

và (M), là đặc trưng bình phuong(quadratic characteristic) của martingale đó.

Hơn nữa Q là ưóc lượng vững cho 9

Chứng minh

Hàm mật độ đồng thời là

ƒ 2

Poe (Y1,}2 Y¿) = (ray exp 2È, Ô&—Øo— nh 1)

với tham số cần ước lượng Ø = (@p, @¡).Lấy loga hai về

t 2

log pạ (y1; 2 y¿) = log (ray 5 Py _=== `

Ước lượng hợp lí cực đại là nghiệm của phương trình hợp lí

k=1

>

3` (ve = Po — P1YK—1) Ye-1 = 0

K1

Giải hệ (2.27) ta thu được Øp; @I

Trong trường hợp @p = 0 đã biết thì AR(1) viết thành y, = @1y;_¡ + u; Từ hệ trên

E (M,|3;-1) = E (My-1 + y¿—1 |S¡—1) = M1 +yr-1 Eu = Mj-1 +0 = My]

Vay M, là martingale với đặc trưng bình phương trong khai triển Doob là

t t t

M),= YE |(AM,)* Se] = DE chế) “ =Yy24 (30)

k=l k=1 k=1

Vậy từ (2.28),(2.29),(2.30) ta thu được: @; =

Mặt khác vì (M), ae nén theo dinh ly 1.3.3 4 và luật mạnh số lớn của

2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q)

Quá trình ARMA là quá trình tích hợp của hai quá trình tự hồi quy AR và trung

bình trượt MA Do đó nó có dạng tổng quát sau

= 00+ 0Iy¡—1 + @2y¿—2 + «+ 0pYr—p + Up + Oy uy—1 + Đauy—2 + + Ogui—q

Do 9 (L) = @+ 9 (L) u; nên tính dừng của quá trình ARMA chi phụ thuộc vào

các tham số 0; (i = 1,p) ma không phụ thuộc vào các tham số 0; (i = 1,4)

Chú ý: Ta nói chuỗi thời gian khả nghịch nếu ta có thể tái hiện các u; qua các giá

trị hiện tại và quá khứ y;,y;_ 1 Ví dụ MA(1) là khả nghịch, AR(p) là khả nghịch.

25

2.2.6.2 Dự báo quá trình MA(q)

Quá trình MA(q) có dạng

Ye = M+ uy + ÖỊy—1 + y—2 + + Ogu;—q

Hay dang toán tử trễ

Yr—H= (1 | OL+ OL? + 4 6,1") tụ

2.2.6.3 Dự báo quá trình ARMA(1;1)

Dạng toán tử của ARMA(1;1)

VỚI & = (m#) r —H) =Xr ~Ÿi

2.2.6.4 Dự báo quá trình ARMA(p;q)

2.2.6.5 Dự báo quá trình ARIMA(p;d;q)

Ta hiểu quá trình này là quá trình ARMA(p;q) sau khi lấy sai phân bậc d Kí hiệu

y* = A* (y,):sai phân bậc d là chuỗi dừng.

Gọi p là bậc tự hồi quy và q là bậc trung bình trượt của y¥ = A' (y,) ta có quá trình

ARIMA@;d:q)

(1— @iL— ØL?— — @pLP) (yf — M) = (1+ OL + OL? + + 8L!) uy

Khi dự báo ta sẽ dự báo cho chuỗi y = A@ (y,) sau đó suy ra cho chuỗi yy.

Box và Jenkin(1976) đã đưa ra các bước để dự báo quá trình ARIMA(p;d;q) gọi là

phương pháp Box-Jenkin được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau từkinh tế,kĩ thuật,y tế Nó gồm ba bước:

-Dinh dạng mô hình,xác định các tham số p.d.q

-Ước lượng các tham số

-Kiểm định

Ý nghĩa của mô hình ARIMA trong tài chính

Thông thường các chuỗi dữ liệu kinh tế và tài chính như GDP, CPI, GNP, giá cổphiếu đều là các chuỗi không dừng, có yếu tố xu thế Chính vì vậy để tạo ra chuỗidừng ta phải khử yếu tố xu thé trong các chuỗi dif liệu gốc thông qua quy trình lay

sai phân hoặc lợi nhuận logarit Từ việc dự báo chuỗi dừng này ta suy ra dự báo

cho chuỗi dữ liệu gốc

2.2.7 Kiểm định

2.2.7.1 Kiểm định đơn vi(Unit Root Test)

Đây là một kiểm định quan trọng khi phân tích tính dừng của chuỗi thời gian Việc

tìm ra kiểm định đơn vị là một trong các phát hiện quan trọng của kinh tế học hiện

đại.

Kiểm định ADF(Augument Dickey-Fuller)

Dickey-Fuller đã nghiên cứu qua trình AR(1)

Yt = ĐY¡—1 + Ut (2.38)

VỚi yo < œ;w; ~ IID Dễ thấy với p = 1 thì nó là bước ngẫu nhiên va do đó nó làchuỗi không dừng Do đó, để kiểm định tính dừng của y; ta sẽ kiểm định cặp giảthiết

Hẹ:p=1/Hị:p< 1

29

Test thống kê 7 = aD) có phân bố DF.

Nếu |7| > |7a| thì ta bác bỏ Họ chấp nhận A, có nghĩa là chuỗi dừng

Bây giờ chúng ta sẽ xét đến việc ứng dụng quá trình ARIMA vào dự báo GDP của

Mỹ tính theo giá năm 2005 Số liệu theo năm từ 1929 đến 2010(nguồn BEA-Cụcphân tích kinh tế Mỹ: http://bea.gov/)

GDP_ 2005

14,000 12,000 +

10,000

8,000

-6,000 4 4,000 4

Quan sát lược đồ tự tương quan thì đây không phải chuỗi dừng

Date: 12/03/11 Time: 00:52 Sample: 1929 2010

Included observations: 82 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

0.965 0.965 79.185 0.000 0.930 -0.019 153.63 0.000 0.890 -0.094 222.63 0.000 0.847 -0.058 285.94 0.000 0.804 -0.021 343.73 0.000 0.761 -0.010 396.26 0.000 0.720 -0.011 443.84 0,000 0.679 -0.009 486.79 0.000 0.639 -0.023 525.32 0.000