Quá trình Markov trên time scale : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Bích Hiên Q trình Markov Time scale Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Bích Hiên Quá trình Markov Time scale Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 Tóm tắt luận văn thạc sỹ khoa học Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2011 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất thang thời gian 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Phép tính vi phân 1.1.3 Tích phân 1.2 Toán tử cực vi 1.3 Kiến thức hàm siêu bội 1.4 Kiến thức quan hệ truy hồi liên phân số 1.5 Quá trình ngẫu nhiên 1.6 Chuyển động Brown 1.7 Thời gian địa phương 1.8 Quá trình Feller - Dynkin 1.9 Công thức Dynkin 1.10 Toán tử đặc trưng 1.11 Tính thuận nghịch trình Markov 1 11 11 13 17 18 19 20 21 22 23 Chuyển động Brown thang thời gian 2.1 Sự tồn 2.2 Tính 2.3 Tính thuận nghịch 2.4 Thời điểm chạm trình sinh chết hai phía 2.5 Thời điểm chạm tập rời rạc T 24 24 30 35 36 39 Một số tính chất chuyển động Brown thang thời gian rời rạc Tq 42 3.1 Giới thiệu trình Tq 42 i 3.2 3.3 Phân phối thời điểm chạm cho Tq Giải thức trình tiêu vong Tq ∩ (0, ∞) 45 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Lời nói đầu Lý thuyết thang thời gian (time scale), lần trình bày Stefan Hilger luận án tiến sỹ khoa học ông vào năm 1988 (với hướng dẫn Bernd Aulbach) nhằm thống việc trình bày toán trường hợp liên tục rời rạc Cho đến có hàng chục sách hàng ngàn báo viết thang thời gian Các yếu tố giải tích thang thời gian tác giả nghiên cứu cách sâu rộng tương đối đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trường hợp liên tục rời rạc "chuyển dịch" sang thời gian Chẳng hạn hệ động lực thang thời gian, có kết sâu sắc ổn định, tính dao động, tốn giá trị biên, Nếu lý thuyết tất định thang thời gian nhận nhiều ý thời gian gần gần toàn lý thuyết giải tích đường thẳng thực phát triển thang thời gian nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên thang thời gian lại hạn chế đạt kết ban đầu Ngay việc xây dựng trình ngẫu nhiên có đặc tính tương tự q trình quen thuộc R cịn gặp nhiều khó khăn Mục đích luận văn xây dựng q trình chuyển động Brown với khơng gian trạng thái thang thời gian Chúng nghiên cứu vài tính chất q trình chuyển động Brown thang thời gian cụ thể Tq Nhờ định lý tiếng Levy biết chuyển động Brown R đặc trưng tính chất sau: trình ngẫu nhiên (ξt )t∈R+ nhận giá trị R chuyển động Brown khi: (I.) ξ có quỹ đạo mẫu liên tục, (II.) ξ martingale, iii (III.) (ξt2 − t)t∈R+ martingale Đối với trình với thời gian liên tục nhận giá trị Z, thay điều kiện (I) giả thiết tương tự tất bước nhảy q trình có kích thước ±1 nhận đặc trưng trình Poisson (định lý Wantanabe (1972)) Chú ý với hai trường hợp trình nhận giá trị R hay Z tính Markov ξ hệ hiển nhiên từ giả thiết Trong luận văn muốn thống cách nhìn định lý Levy định lý Wantanabe cách rằng, thang thời gian T tuỳ ý không bị chặn dưới, tồn (theo phân phối) trình ξ thoả mãn điều kiện (II) (III) cộng với giả thiết tương tự (I) tính chất "trượt tự do" bước nhảy ngẫu nhiên Cụ thể (I’.) Với x < y < z T thời điểm ≤ r < t < ∞ ξr = x ξt = z ξr = z ξt = x ξs = y với s thoả mãn r < s < t Hơn chúng tơi chứng minh q trình trình Markov Feller - Dynkin thuận-nghịch với tốn tử cực vi tính tốn hiển Để chứng minh tồn tại, ta xây dựng hiển phép chuyển đổi thời gian cho chuyển động Brown chuẩn tắc Sau đó, dựa kết nói q trình ngẫu nhiên có phân phối thời điểm chạm q trình Markov mạnh chuyển đổi thời gian q trình Markov (kết Chacon Jamison mở rộng Walsh, xem [5]) Cùng với việc thiết lập tồn tính chuyển động Brown T chương 2, ta đưa toán tử sinh Tốn tử sinh phiên tự nhiên toán tử sinh chuyển động Brown chuẩn tắc f → 21 f ” Chú ý từ (II) (III) ta có hệ đơn giản ξ có cấu trúc covariance chuyển động Brown R, nghĩa Ex [ξs ξt ] − Ex [ξs ]Ex [ξt ] = s ∧ t với x ∈ T Việc nghiên cứu tính chất xa chuyển động Brown T yêu cầu tự nhiên Trong luận văn, nghiên cứu vấn đề cho trường hợp đặc biệt T = Tq := {(±q)k : k ∈ Z} ∪ {0} với q > Trong trường hợp này, q trình ξ bắt đầu x có phân bố trình ( q1k ξq2k t )t∈R+ ξ bắt đầu q k x với k ∈ Z Tính chất "chia thang" chuyển động Brown cho phép ta tính tốn iv hiển biến đổi Laplace thời điểm chạm giải thức ξ dạng số hạng liên phân số Ta đánh giá liên phân số dạng hàm siêu bội Nội dung khóa luận gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương liệt kê khái niệm trình ngẫu nhiên; định nghĩa số tính chất chuyển động Brown; định nghĩa time scale; tính chất ∆-đạo hàm, tích phân time scale; khái niệm tốn tử cực vi q trình Markov; khái niệm toán tử đặc trưng; khái niệm thời gian địa phương; q trình Feller-Dynkin; cơng thức Dynkin; kiến thức hàm siêu bội; kiến thức quan hệ truy hồi liên phân số Chương 2: Nghiên cứu tồn chuyển động Brown thang thời gian cho trước Để chứng minh tồn tại, áp dụng phép chuyển đổi thời gian thích hợp vào chuyển động Brown đường thẳng thực để xây dựng trình Markov Feller-Dynkin thoả mãn đặc trưng Levy chuyển động Brown thang thời gian Tính suy từ việc so sánh phân phối thời điểm chạm dựa vào kết q trình có phân phối thời điểm chạm với trình Markov mạnh, q trình ảnh q trình Markov qua phép chuyển đổi thời gian Chương 3: Nghiên cứu số tính chất chuyển động Brown thang thời gian rời rạc Tq Bằng việc ước lượng liên phân số dạng hàm siêu hình học, chúng tơi đưa cơng thức hiển cho biến đổi Laplace thời điểm chạm giải chuyển động Brown Tq Ngoài ra, sử dụng tính thuận nghịch q trình độ đo tự nhiên không gian trạng thái, tìm "phân phối thời điểm chạm" độ đo Itô tương ứng số mũ Laplace nghịch đảo thời gian địa phương Vì thời gian khả có hạn với tài liệu tham khảo hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót tính chưa hồn thiện vấn đề đặt ra, thân cố gắng nhiều q trình thực luận văn Tơi xin tiếp thu ý kiến nhận xét thầy cô, nhà toán học nghiên cứu sinh học viên cao học Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, GS TS Nguyễn Hữu Dư, người cho đề tài, hướng dẫn tận tình v bảo tơi suốt q trình tơi hồn thành luận văn Nhân xin cảm ơn thầy cô bạn bè Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên trang bị cho tơi kiến thức bổ ích năm vừa qua, thầy phản biện dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến q báu cho tơi q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, năm 2011 Học viên Trịnh Thị Bích Hiên vi Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất thang thời gian 1.1.1 Các định nghĩa Thang thời gian tập đóng tuỳ ý khác rỗng tập số thực R Thường ta ký hiệu T Ta trang bị cho thang thời gian T tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường tập số thực R Các thí dụ thang thời gian (a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3]; tập Cantor thang thời gian (b) Q; R\Q khơng phải thang thời gian khơng phải tập đóng Định nghĩa 1.1.1 Cho T thang thời gian Với t ∈ T, ta định nghĩa toán tử bước nhảy tiến (forward jump) toán tử bước nhảy lùi (backward jump) sau: (i) Toán tử bước nhảy tiến: σ : T → T σ(t) := inf {s ∈ T, s > t} ; (ii) Toán tử bước nhảy lùi: ρ : T → T ρ(t) := sup {s ∈ T, s < t} Ngồi ra: - Nếu σ(t) > t ta nói t điểm lập phải (right-scattered) - Nếu ρ(t) < t ta nói t điểm cô lập trái (left-scattered) - Điểm t ∈ T mà vừa lập phải, vừa lập trái gọi điểm cô lập (isolated) - Nếu t < sup T σ(t) = t ta nói t điểm trù mật phải (rightdense) - Nếu t > inf T ρ(t) = t ta nói t điểm trù mật trái (left-dense) - Điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi điểm trù mật (dense) - Hàm hạt graininess: µ : T → [0; +∞), µ(t) := σ(t) − t - Ta ký hiệu: Tk :=   T\ {sup T} sup T < ∞ sup T = ∞  T Để cho đơn giản, ngoại trừ trường cần nhấn mạnh, từ trở ta ký hiệu đoạn thang thời gian (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho cách viết (a; b]T ; [a; b)T ; [a; b]T Quy ước: inf ∅ = sup T (nghĩa là, t = max T σ(t) = t) sup ∅ = inf T (nghĩa là, t = T ρ(t) = t) 1.1.2 Phép tính vi phân Định nghĩa 1.1.2 Xét hàm số f : T → R ∆-đạo hàm (còn gọi đạo hàm Hilger) f t ∈ T số (nếu tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), với ε > cho trước tồn lân cận U t cho [f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s] ≤ ε |σ(t) − s| với s ∈ U Hàm f gọi ∆-khả vi (nói ngắn gọn khả vi) Tk f ∆ (t) tồn với t ∈ Tk Nhờ mệnh đề 2.2.2, toán tử G ξ xác định với f ∈ C0 (Tq ) cho   qf (q −1 x) (x)   c1 f (qx) + − (1+q)f , x ∈ Tq \ {0} x x2 x2 q (3.1) (Gf )(x) := −n −n  f (q )+f (−q )−2f (0)   lim 12 , x = 0, q −2n n→∞ xác định hàm C0 (Tq ) Trong cq = q −1 (q − 1)2 (1 + q) Đặc biệt, trình nằm điểm x = 0, phải chờ đợi thời gian mũ với tốc độ tỷ lệ với x−2 để nhảy xa với xác xuất gần với xác suất (q + 1) q Trước tiên khẳng định trình ξ Tq (q + 1) tương tự hợp lý chuyển động Brown cách ξ hội tụ tới chuyển động Brown tham số q tiến tới Mệnh đề 3.1.1 Với q cho xq ∈ Tq thoả mãn xq → x q ↓ Khi phân bố ξ bắt đầu xq hội tụ đến phân bố chuyển động Brown bắt đầu x q → (đối với tôpô Skorohod thông thường không gian quỹ đạo mẫu càdlàg giá trị thực) Chứng minh Cho (Bt )t∈R+ chuyển động Brown tiêu chuẩn với B0 = cho lta ký hiệu trình thời gian địa phương B, với chọn liên tục đồng thời với cặp biến (a, t) Đặt q Aµu := lua−xq µq (da) R q q θtµ := inf{u : Aµu > t} q Khi đó, q trình (xq + B(θtµ ))t∈R+ có phân bố ξ qua độ đo xác suất Pxq Vì µq hội tụ mờ tới độ đo Lebesgue m R q → có: q lim Aµu = lua−xq m(da) = u q↓1 R hầu chắn khoảng compact Do q lim θtµ = t q↓1 43 q hầu chắn khoảng compact Vì xq + B(θtµ ) hội tụ tới x + Bt đoạn compact (trong tôpô Skorohod) hầu chắn Bổ đề sau ξ tuân theo tính chất chia thang tương tự chuyển động Brown Bổ đề 3.1.2 Phân phối trình (ξt )t∈R+ qua Px trùng với phân phối ( 1q ξq2 t )t∈R+ qua Pqx Kết tương tự cho trình tiêu vong ξ Chứng minh Khẳng định cho trình ξ kiểm tra tính chất (I’), (II) (III) cho ( 1q ξq2 t )t∈R+ Ngồi ra, ta chứng minh tốn tử sinh hai q trình phù hợp, sử dụng phép xây dựng chuyển đổi thời gian ξ từ chuyển động Brown tính chất chia thang chuyển động Brown Khẳng định cho q trình tiêu vong hệ trực tiếp Có lẽ điều đơn giản để tính tốn phân phối ξ xét moment ξt Áp dụng hình thức cơng thức cho tốn tử sinh ξ từ mệnh đề 2.2.2 với hàm f (x) = xk ta nhận Gf (x) = q 1−k (1 − q k )(1 − q k−1 )xk−2 cq Trong trường hợp đặc biệt k = 1, 2, mà xem xét chứng minh mệnh đề 2.1.1, sử dụng công thức Dynkin (2.7) lập luận xấp xỉ để có cơng thức đệ quy t x E [ξtk ] k t x =x + k k E (Gx )(ξs )ds = x + 0 q 1−k (1−q k )(1−q k−1 )Ex [ξsk−2 ]ds, cq đó, sử dụng ký hiệu giới thiệu mục 1.3, k Ex [ξtk ] = −k−m k cq m=0,2|(k−m) k−m (q; q)k m2 −k2 t q k−m xm (q; q)m ( )! ta lấy tổng cho ≤ m ≤ k với tính chẵn lẻ k Cơng thức rằng, với x = 0, moment cấp chẵn thứ k tăng trưởng giống 44 k2 k q (1+o(1)) t Tốc độ phát triển nhanh đảm bảo moment đặc trưng hóa phân phối ξt Chú ý phân phối tiếng có moment với tỷ lệ phát triển, ví dụ, phân phối log - chuẩn k2 tắc có moment thứ k e , giống độ đo rời rạc có trọng số tỷ lệ với k2 e điểm ek , k ∈ Z, (xem [11]-(2.3e)) Từ mệnh đề 3.1.1, muốn moment ξt hội tụ đến moment chuyển động Brown thời gian t q → Nhớ lại cq = q −1 (q − 1)2 (1 + q) tuân theo công thức lim(q − 1)−l (q, q)l = (−1)l l! q→1 Do đó, lấy xq ∈ Tq với lim xq = x ∈ R, có q→1 k lim Exq [ξtk ] = q→1 m=0,2|(k−m) k! m!(k − m)! k−m (k − m)! k−m m t x ( k−m )! Dễ nhận biểu thức bên vế tay phải moment thứ k biến ngẫu nhiên Gaussian với x trung bình phương sai t 3.2 Phân phối thời điểm chạm cho Tq Trong mục này, khảo sát chung phần (2.5) áp dụng cho Tq ∩ (0, +∞) Trong kí hiệu phần đó, tn = q n với n ∈ Z Tốc độ sinh q −2n chết cho trình sinh chết hai phía Z cq q −2n+1 ta nhắc lại cq = q −1 (q − 1)2 (1 + q) cq Để tránh xuất thường xuyên nhân tử cq kết chúng ta, thay làm việc với ξ nó, trình tiêu vong (ξ), làm việc với q trình co giãn thời gian tuyến tính X = ξ(cq ·) X = ξ(cq ·) Tất nhiên kết luận cho Xvà X dễ dàng thu kết luận cho ξ ξ 45 Q trình sinh chết hai phía tương ứng Z có tỷ lệ chết sinh δn = q −2n+1 βn = q −2n Trong ký hiệu phần (2.5), ρ = ρn = q −q sn (z) = (1 + q) + λq 2n + z Hơn nữa, ta có τ = inf {t ∈ R+ : Xt = q n } Chú ý rằng, tính chất chia thang bổ đề 3.1.2 mà H0↓ (λ) = Hn↓ (q −2n λ) H0↑ (λ) = Hn↑ (q −2n λ) Mặt khác ↓ ↓ Hn,n−m (λ) = Hn↓ (λ)Hn−1 (λ) Hn−m−1 (λ) ↑ ↑ ↑ ↑ Hn,n+m (λ) = Hn↑ (λ)Hn+1 (λ) Hn+m−1 (λ)Hn,n+m = Hn↑ (λ)Hn−1 (λ) Hn−m−1 (λ) Vì để tính tốn Hn,n−m (λ) Hn,n−m (λ) cần tính H0↓ (λ) H0↑ (λ) Từ phần (2.5) có H0↓ (λ) q = (3.2) q 1+q+λ− + q + λq −2 − H0↑ (λ) q + λ + λq − = (3.3) q 1+q+λ− + q + λq −2 − q + λ + λq −4 − Định lý 3.2.1 Biến đổi Laplace thời gian để từ tới q cho X Xlà −1 q Φ1 (−; 0; q ; λq ) ↓ H0 (λ) = λ Φ1 (−; 0; q −1 ; λq1−1 ) Một biểu thức thay H0↓ (λ) = 1 −2 Φ1 (0; − λq ; q ; − λq ) (λq −1 + 1) Φ1 (0; − λq1−1 ; q −2 ; − λq ) 46 Biến đổi laplace thời gian để từ tới q cho X H0↑ (λ) 1 Φ1 (0; −λq −3 ; q −2 ; q −3 ) = (q + λ) Φ1 (0; −λq −1 ; q −2 ; q −3 ) Chứng minh Xét biểu thức thứ Vì liên phân số (3.2) hội tụ bổ đề 1.4.2 phương trình (2.20), giá trị q −2n Hn↓ (λ) đưa tỉ số số hạng liên tiếp nghiệm tối thiểu phương trình Wn+1 = (1 + q)q −2n + λ Wn − q −4n+3 Wn−1 Phép truy hồi tìm thấy [13] (nhưng với q q −1 chúng ta) nghiệm cực tiểu Un (λ) := q −2n(n−1) ( n ) Φ1 −; 0; q −1 ; 2n+1 qλ λq Đối với biểu thức thứ hai đánh giá (3.2) sau Đặt 1 rn (λ) :=1 φ1 (0; − q −2n−1 ; q −2 ; − q −2n−2 )eq−2 (−λq 2n−1 ) λ q rn (λ) rn−1 (λ) q −4n+3 φ1 (0; − λ1 q −2n−1 ; q −2 ; − λ1 q −2n−2 ) =− (λ + q −2n+1 ) φ1 (0; − λ1 q −2n+1 ; q −2 ; − λ1 q −2n ) (3.4) hn (λ) := − q −2n+2 (3.5) Từ đó, từ phương trình (17) [12], −q −4n+3 hn = (1 + q)q −2n + λ + hn+1 (3.6) Biến đổi tiến đến biến đổi kỳ dị n → ∞ điểm cố định tiến đến x = y = −λ Do (3.5), q 4n hn → qλ n → ∞, hn → hội tụ tới giá trị cổ điển Tuy nhiên liên phân số từ (3.6) liên hệ biến đổi tương đương thành liên phân số từ mối quan hệ q 2(n−1) hn = −q + q + λq 2n + q 2n hn+1 47 Đó cần thiết để đánh giá (3.2) Hn↓ (λ) = −q 2(n−1) hn (λ) = rn (λ) rn−1 (λ) Chú ý điều q −n(n−1) rn (λ) nghiệm cực tiểu theo hướng dương truy hồi: Un+1 (λ) = ((1 + q)q −2n + λ)Un (λ) − q −4n+3 Un−1 (λ), Un xác đến nhân tử Định nghĩa rn (λ) = q −n φ1 (0; −λq 2n−3 ; q −2 ; q −3 )/eq−2 (−λq 2n−3 ) r−n+1 r−n −2n−1 −2 −3 ;q ;q ) φ1 (0; −λq = − (1 + λq −2n−1 ) −2n−3 ; q −2 ; q −3 ) q φ1 (0; −λq gn (λ) = Phương trình (13) [12] đơn giản hóa gn (λ) = −q + q + λq −2n + gn+1 (λ) (3.7) Các điểm cố định biến đổi giới hạn −1 −q, 1 φ1 (0; 0; q −2 ; q −1 ) = − lim gn (λ) = − n→∞ q φ1 (0; 0; q −2 ; q −1 ) q Do đó, định lý 1.4.1; gn (λ) giá trị cổ điển liên phân số suy (3.7) rn nghiệm cực tiểu theo hướng âm truy hồi Un+1 = (1 + 1 + λq 2n−1 )Un − Un−1 q q Cho τ−∞ ký hiệu thời điểm chết X, nói cách tương đương, n τ−∞ thời điểm chạm X Viết Hn,−∞ := Eq [e−λτ −∞ ] 48 Hệ 3.2.2 Biến đổi Laplace thời điểm chạm khác cho X đưa bởi: −1 q m −2mn φ1 (−; 0; q ; λq2n+1 ) Hn,n−m (λ) = λm φ1 (−; 0; q −1 ; λq2(n−m)−1 ) = 1 −2 φ1 (0; − λq 2n+1 ; q ; − λq 2n+2 ) ; (−λq 2n−1 ; q −2 )m φ1 (0; − λq2n−1 q 2m ; q −2 ; − λq12n q 2m ) 1 Hn,−∞ (λ) =1 φ1 (0; − 2n+1 q −2 ; − 2n+2 )eq−2 (−λq 2n−1 )/eq−2 ( ), λq ; λq q Hn,n+m (λ) = 2n−3 −2 −3 ;q ;q ) φ1 (0; −λq q m (−λq 2n+2m−3 ; q −2 )m φ1 (0; −λq 2n+2m−3 ; q −2 ; q −3 ) Chứng minh Kết cần chứng minh cho Hn,−∞ (λ) Tuy nhiên, (1.2), ta có 1 1 lim φ1 (0; − q −2n−1 ; q −2 ; − q −2n−2 ) = φ0 (0; −; q −2 ; ) = eq−2 ( ) n→∞ λ λ q q Chúng ta áp dụng đồng thức biết để có dạng khác biểu thức cho biến đổi Laplace định lý 3.2.1 hệ 3.2.2 Ví dụ, phương trình (13) [12] đưa ra: H0↑ (λ) λ; q −2 ; q −1 ) =1− −1 −2 −3 φ1 (0; −q λ; q ; q ) φ1 (0; −q −1 Tương tự, phương trình (17) [12] đưa ra: H0↓ (λ) = q+λ q 1 −2 φ1 (0; − q λ ; q ; − λ ) 1 −2 φ1 (0; − q λ ; q ; − q λ ) Mối quan hệ (ω; q)∞1 φ1 (0; ω; q; c) = (c; q)∞1 φ1 (0; c; q; ω) 49 suy từ (III.1) [14] cho b → 0; đặt a = ω cho z → z Tương tự, phép truy hồi φ1 (0; −λq = k−4 ; q −2 ; q −3 ) (− λq1k−2 ; q −2 )∞ φ1 (0; −λq (− λqk−1 ; q −2 )∞ k−3 ; q −2 ; q −1 ) (− λqk−2 ; q −1 ; q −1 ; q −2 )∞ − (− λqk−1 ; −λq k−2 , −λq k−3 ; q −2 )∞ φ1 (0; − −2 ; q ; − ) λq k λq k+1 ω cho a → Cả hai z đồng thức sử dụng để thu công thức thay cho H0↓ H0↑ Chúng ta đảo ngược biến đổi Laplace H0,−∞ hệ 3.2.2 để thu phân phối thời điểm τ−∞ cho X chạm q n Trước tiên ý rằng: đến từ (III.31) [14] cho b → 0; đặt a = ∞ (−λq 2n−1 ; q −2 )∞ = i=0 ∞ 1 + λq 2n−1 q −2i = i=0 q 2i−2n+1 q 2i−2n+1 + λ Tương tự, φ1 (0; − λq 2n+1 ; q −2 ; − λq 2n+2 ∞ (λq = k=0 ∞ k−1 = k=0 l=0 2n+2 k k(k−1) ) q (− ) λq 2n+1 −1 −2 −2 −2 ; q )k (q ; q )k q −2(l+n)−1 q −k (q −2(l+n)−1 + λ) (q −2 ; q −2 )k n Do đó, Pq thời gian chết τ−∞ có phân bố biến ngẫu nhiên 2n q ( N q i=−∞ 2i−1 Ti + N q 2i−1 i=1 Ti ) = q 2n q 2i−1 Ti i=−∞ Ti tỷ lệ độc lập mũ N phân bố theo q−tương tự phân bố Poisson [15], cụ thể, q −k P(N = k) = q−2 −2 −2 ; k ≥ e ( q ) (q ; q )k 50 n Ta suy Pq phân phối τ−∞ biến ngẫu nhiên ∞ q 2n+2N −1 q −2i Ti i=0 Một phân số mở rộng biến đổi Laplace tích chập phân phối mũ, số thứ i có tỷ lệ αi , có mật độ: αi e−αi t t→ i ∞ Do j=i αj αj − αi q −2j Tj có mật độ j=0 j−1 ∞ q f (t) := e j=0 = − q −2(k−j) k=0 (q −2 ; q −2 )∞ ∞ = eq−2 (−q ) j=0 k=j+1 1 − q −2(k−j) ) 2j j=0 ∞ −2 ∞ −2j −q −2j q 2j e−q t (q ; q )j (3.8) 2j (−1)j q −j(j−1) e−q t (q −2 ; q −2 ) Ta có kết sau n Mệnh đề 3.2.3 Dưới Pq , thời điểm chạm X có hàm mật độ: ∞ q −m q 2(m+n)+1 f (tq 2(n+m)+1 ), t > −2 −2 eq−2 ( q ) m=0 (q ; q )m f (t) xác định (3.8) Nhớ lại với chuyển động Brown bắt đầu 1, thời điểm chạm có mật độ ổn định 21 √ 2πt3 exp(− ), t > 2t Ta suy từ mệnh đề 3.1.1 phân bố cq q 2N ∞ q −2i Ti hội tụ tới i=0 phân bố ổn định q ↓ Từ luật số lớn Lai số lớn cho 51 tổng Abel (xem [24]) có: ∞ (1 − q −2 )q −2i Ti = E[T0 ], a.s lim q↓1 i=0 cq (1 − q −2 )−1 q 2N hội tụ với phân phối ổn định Lấy logarithms thu kết sau Mệnh đề 3.2.4 Khi q → 1, phân phối biến ngẫu nhiên 2(log q)N + log(q − 1) hội tụ tới phân phối với hàm mật độ 1 √ exp − (x + exp(−x)) , −∞ < x < +∞ 2π 3.3 Giải thức trình tiêu vong Tq ∩ (0, ∞) Kí hiệu Rλ giải thức trình X Tq ∩ (0, +∞) tiêu vong Nhớ lại X từ q n đến q n−1 với tốc độ q −2n+1 từ q n đến q n+1 với tốc độ q −2n Do thời gian khỏi q n phân bố mũ q với tỉ lệ q −2n+1 + q −2n , xác suất chuyển tới q n−1 q+1 xác suất chuyển tới q n+1 q+1 Hơn nữa, Eq n−1 ↑ [e−λTn ] = Hn−1 (λ) ↓ [e−λTn ] = Hn+1 (λ) Từ tính chất Markov mạnh nhận được: Rλ (q n , {q n }) Eq n−1 = q −2n+1 q −2n + Rλ (q n , {q n }) λ+ + −2n+1 q + q −2n q q −2n+1 + q −2n ↑ ↓ × H (λ) + Hn+1 (λ) , n−1 −2n+1 −2n −2n+1 −2n λ+q +q q+1 λ+q +q q+1 cho: Rλ (q n , {q n }) = λ + (q −2n+1 +q −2n ) 1− q ↑ ↓ Hn−1 (λ) + Hn+1 (λ) q+1 q+1 52 −1 ↑ ↓ Thế công thức hiển cho Hn−1 Hn+1 phần (3.2) biểu thức cho số hạng đường chéo giải thức dạng số hạng hàm siêu bội Để thu số hạng đường chéo, sử dụng quan sát: m Rλ (q m , {q n }) = Eq [e−λTqn ]Rλ (q n , {q n }) = Hm,n (λ)Rλ (q n , {q n }) Và sau thay công thức hiển cho Hm,n (λ) từ phần (3.2) thu biểu thức số hạng hàm siêu hình học đơn giản Lý tưởng nhất, người ta muốn đảo ngược biến đổi Laplace ẩn giải thức thu biểu thức cho xác suất chuyển Px {Xt = y} Chúng chưa thể làm điều 53 Kết luận Luận văn xây dựng chứng minh tồn tại, chuyển động Brown với không gian trạng thái thang thời gian Luận văn xây dựng toán tử sinh chuyển động Brown nghiên cứu số tính chất quan trọng nó, tính đảo ngược, phân phối thời điểm chạm Những tính chất nghiên cứu kĩ thang thời gian đặc biệt: Tq Chuyển động Brown nói riêng q trình Markov đóng vai trị quan trọng giải tích ngẫu nhiên Do đó, chúng tơi hy vọng kết luận văn bước quan trọng việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên thang thời gian Trong tương lai, hi vọng tiếp tục nghiên cứu tính chất sâu sắc chuyển động Brown trình Markov tổng quát thang thời gian 54 Tài liệu tham khảo [1] Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland, Continued fractions with applications, Studies in Computational Mathematics, vol 3, NorthHolland Publishing Co., Amsterdam, 1992 [2] Martin Bohner and Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2001, An introduction with application [3] L C G Rogers and Divid Williams Diffusions, Markov Processes,and Martingales Vol Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, Foundation, Reprint of the second (1994) edition [4] L C G Rogers and Divid Williams Diffusions, Markov Processes,and Martingales Vol Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, Itô calculus, Reprint of the second (1994) edition [5] John B Walsh, On the Chacon-Jamison theorem Z Wahrsch Verw Gebiete, 68 (1984), no 1, 9-28 [6] R V Chacon and B Jamison, A fundamental property of Markov processes with an application to equivalence under time changes Israel J Math 33 (1979), no.3-4, 241-269 (1980), A collection of invited papers on ergodic theory [7] Hans Volkmer, Eigenvalue problems of Atkinson, Feller and Krein, and their mutual relationship Electron J Differential Equations (2005), No 48, 15pp (electronic) 55 [8] Philippe Flajolet and Fabrice Guillemin, The formal theory of birthand-death processes, lattice path combinatorics and continued fractions Adv in Appl Probab 32(2000), no 3, 750-778 [9] Fabrice Guillemin and Didier Pinchon, Excursions of birth and death processes, orthogonal polynomials, and continued fractions J Appl Probab 36.(1999), no 3, 752-770 [10] Uwe Kuchler and Paavo Salminen, On spectral measures of strings and excursions of quasi diffusions, Séminaire de Probabilités, XXIII, Lecture Notes in Math., vol 1372, Springer, Berlin, 1989, pp 490502 [11] Richard Durrett, Probability: theory and examples, second ed., Duxbury Press, Belmont, CA, 1996 [12] S Bhargava and Chandrashekar Adiga, On some continued fraction identities of Srinivasa Ramanujan, Proc Amer Math Soc 92 (1984), no 1,13-18 [13] D P Gupta, M E H Ismail, and D R Masson, Contiguous relations, basic hypergeometric functions, and orthogonal polynomials III Associated contintous dual q-Hahn polynomials, J.Comput Appl Math 68 (1996), no 1-2, 115-149 [14] George Gasper and Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, seconded., Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 96, Cambridge University Press, Cambridge, 2004, With a foreword by Richard Askey [15] Adrienne W Kemp, Heine-Euler extensions of the Poisson distribution,Comm Statist Theory Methods 21 (1992), no 3, 571-588 [16] Samuel Karlin and James McGregor, The classiffcation of birth and death processes,Trans Amer Math Soc 86 (1957), 360-400 [17] Samuel Karlin and James McGregor,Linear growth birth and death processes,J Math Mech (1958), 643-662 [18] Samuel Karlin and James McGregor,Many server queueing processes with Poisson input and exponential service times,Pacific J Math (1958), 87-118 56 [19] Erik A van Doorn, Birth-death processes and associated polynomials, J Comput Appl Math 153 (2003), no 1-2, 497-506 [20] T H Koornwinder, q-special functions, a tutorial, Representations of Lie groups and quantum groups Proceedings of the European School of Group Theory and the Congress on Advances in Representation Theory of Lie Groups and Quantum Groups held in Trento, July 19-30, 1993 [21] George E Andrews, Richard Askey, and Ranjan Roy, Special functions,Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 71, Cambridge University Press, Cambridge, 1999 [22] M.Bohner and G.Sh.Guseinov, Riemann anh Lebesgue Integrations, preprint [23] A.Canada and D.R.Vivero,Expression of the Lebesgue ∆-integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the caculus of ∆-antiderrivatives, Math Comput Modelling 43, 2006, 194-207 [24] Tze Leung Lai, Summability methods for independent identically distributed random variables, Proc Amer Math Soc 45 (1974), 253261 [25] H Dym and H P McKean, Gaussian processes, function theory, and the inverse spectral problem, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Pubisshers], New York, 1976, Probability and Methematical Statistics, Vol 31 [26] I S Kats, The spectral theory of a string, Ukrain Mat Zh 46 (1994), no 3, 155-176 57