Luận văn thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

NGUYÊN DUY KHÁNH

BÀI TOÁN ỒN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHAN PHI TUYEN VÀ UNG DUNG

LUAN VAN THAC SI TOAN HOCChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

HÀ NOI- 2015

1.2.2 Phương pháp ham Lyapunov 9

1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định 11

1.3 Bài toán ổn định hóa 00.200040 182 On định hệ phương trình vi phân phi tuyến va ứng dung 222.1 On định hệ phương trình vi phân phi tuyến 23

2.2 Ôn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến 37

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển

thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học

với thời gian liên tục dạng

#(t) = ƒ,z),u)), + >0,

trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điều

khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống Những dữ liệu đầu vào cótác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệthống Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hìnhtoán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra.

Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống làtìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong

muốn Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng

của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong cáclĩnh vực cơ học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế Nói một cách hình tượng,

một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếu

các nhiễu nhỏ của các dữ liệu đầu vào của hệ thống không làm cho hệ

thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó Sự nghiên cứu bài

toán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX bởi nhà toán học

V Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết phương trìnhvi phân và ứng dung Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổnđịnh, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của

các hệ phương trình vi phân thường Đó là phương pháp số mũ Lyapunov

và phương pháp hàm Lyapunov Trong giai đoạn 1953-1962, việc áp dụng

phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động

lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứng

dụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà

không thể giải quyết được bằng các phương pháp khác Từ đó đến nay lýthuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi độngcủa Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong

lý thuyết hệ thống và ứng dụng Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùng

với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên

cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóacác hệ điều khiển Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn địnhhóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phương

pháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp ham Lyapunov đã va

đang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm của

nhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế.

Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một

số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gianliên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứngdụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.

Luận văn gồm hai chương:

$ Chương 1: Cơ sở toán học

Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ ban về hệ phương

trình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyếnbằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơ

bản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên về

bài toán ồn định hóa.

$ Chương 2: On định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dung

Trong chương này, tôi trình bày một số định lý quan trọng về tính ổn

định của hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ đó xây dựng một số

ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi

tuyến.

Các kí hiệu dùng trong luận văn

- Rt: Tap các số thực dương.

- R": Không gian véctơ thực n chiều với tích vô hướng (.,.) và chuẩn

Euclide ||.||.

- R"*"”; Không gian các ma trận thực có số chiều n x m.

- AT: Ma trận chuyển vị của A.

- AT†: là ma trận nghịch đảo của ma tran A.

- I: Ma trận đơn vị cấp 0.

- Amin(4): Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận đối xứng A.

- A(4): Tập các giá trị riêng của A.

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảotrong suốt thời gian qua Toi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thay, các cô

khoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Dai học Khoa học Tự

nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện

thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành

luận văn này.

Mặc dù bản than đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiệnkhông nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôikhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý

và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.

Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015

Học viên

Nguyễn Duy Khánh

Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([2], [4], [5],

f(t,2(t)): 1x D& BR", D= {x € R": ||z — zo|| < a}.

Nghiệm z(t) của phương trình (1.1) là ham x(t) khả vi liên tục thỏa man:

a) (f,z() Eel x D,

b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1).

Giả sử ham f(t, x(t)) liên tục trên J x D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dang

tích phân:

x(t) = Xo +/ f(s, x(s))ds.

6

Định lý 1.1.1 (Tồn tại nghiệm địa phương) Xét hệ phương trinh vi phân

(1.1) trong đó giả sử hàm ƒ(t,#): I x D+ IR" là liên tục theo t va thỏa

mãn điều kiện Lipschitz theo x, túc là

AK >0: ||ƒ( z1) — ƒ(,z2)|[ < K||zì — xl], Vt > 0.

Khi đó uới mỗi (to, to) € I x D ta luôn tim được số d > 0 sao cho hệ (1.1)

luôn có nghiệm duy nhất trong khoảng [to — d,to + đi.

Dinh lý 1.1.2 (Tồn tại nghiệm toàn cục) Gia sở ƒ(£,+): Rt xIR" > IR"la hàm liên tục theo t va thỏa mãn các điều kiện sau:

4Mo, Mì sao cho |\f(t,x)|| << Mo+ Mi \la||, Vite R*, zeTR",

1M: sao cho \| f(t, #1) — ƒƑ(,z2)l < M›||zì — LI, VteE Rt, € R”.

Khi đó hệ (1.1) luôn tồn tại nghiệm duy nhất trên [Ú; +00)

Đối với hệ tuyến tính

a(t) = An(t) + g(t), 20, 12)#(fo) = x, to > 0,

có nghiệm duy nhất Tuy nhiên, nghiệm của hệ này không biểu diễn theo

công thức Cauchy như hệ tuyến tính mà thông qua ma trận nghiệm cơbản ®(£, s) của hệ thuần nhất

a(t) = A(t)x(t), (1.4)

nghiệm của hệ (1.3) được cho bởi

Trong phần này, luận văn trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản

về tính ồn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến, và

nghiên cứu về tính ổn định của chúng bằng phương pháp hàm Lyapunovđồng thời đưa ra một số tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định của hệ tuyếntính.

1.2.1 Các khái niệm về 6n định

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

{i = f(t, x(t), t 2 9, (1.7)

x(to) = 2%, x € R", to > 0,

trong đó x(t) € R” là vécto trang thái của hệ f(t, a(t)): Rt x R" > R”.

Giả sử ham ƒ(£, z(f)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm củabài toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu z(fo) = x9, to > 0 luôn có

nghiệm Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức

x(t) = x + f(s, z(s))ds.

Dinh nghĩa 1.2.1 Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là on định nếu

uới moi số e > 0, to > 0, tồn tại ð = ð(fo,e) > 0 sao cho #(to) = xo thỏa

mãn ||#o|| < 6 thà ||z(|| < e, Yt S to.

Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệm

cận nếu nó là on định va tồn tại một số 6 > 0 sao cho ||zo|| < 6 thà

lim |{a(t)|| = 0.

‡>œ

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định mu

nếu ton tại các hằng số a > 0,K > 0 sao cho moi nghiệm của hệ (1.7)

uới x(to) = Xo thỏa mãn

llz(Đ|| < Ke) |laol], Ve > to.

Để ngắn gon thay vi nói hệ (1.7) là ổn định ta nói nghiệm 0 của hệ là

1.2.2 Phương pháp ham Lyapunov

Trong phần này, đối với các hệ trong không gian thực chúng ta sẽ nghiên

cứu tính ổn định của chúng bằng phương phương pháp hàm Lyapunov

(phương pháp thứ 2 Lyapunov) là một phương pháp được áp dụng nhiềutrong việc nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân nhất là các

Dinh nghĩa 1.2.4 Ham V(x): DC R" > R, D là lân cận mở tùy ú của

0, gợi là ham Lyapunov của hệ (1.8) nếu

9

a) V(x) là hàm kha vi liên tục trên D.b) V(a) là hàm xác định dương.

Ham V(x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là ham Lyapunov va thêm

c) DrV(z): (z)<0,Vzc D.

vào đó bất dang thức trong điều kiện (c) là thực sự âm với mọi x nằm

ngoài lân cận 0 nào đó, chính xác hơn:

d) de > 0: 2D;V(z)<0,xzece D\{0}.

Bằng cách lựa chon ham Lyapunov, ta có định lý sau.

Định lý 1.2.1 Nếu hệ (1.8) có ham Lyapunov thà ổn định Hơn nữa, nếuham Lyapunov đó là chặt thi hệ là ổn định tiệm cận.

Ví du 1.2.2 Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân

Vậy nghiệm 0 của hệ ổn định tiệm cận.

Đối với hệ tuyến tính không dừng (1.7) thì hàm Lyapunov được địnhnghĩa tương tự cho hàm hai biến V(f,#+) Trước hết ta xét lớp hàm K làtập các hàm tăng chặt ặ): R* > R* với ă0) = 0.

Hàm V(,z): R* x D — R gọi là ham Lyapunov nếu:

a) V(t,x) là hàm xác định dương theo nghĩa

thi ta goi la ham Lyapunov chat.

Định lý 1.2.2 Nếu hệ phi tuyến không dừng (1.7) có ham Lyapunov thì

hệ là ổn định Nếu ham là chặt thi hệ ổn định tiệm cận.

1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định

Dinh lý 1.2.3 (Công thức Sylvester) Cho A là ma trận n x n chiều tới

các giá tri riêng À1; Àa; ; ÀAu khác nhaụ Cho ƒ(À) là ham da thúc bậc n

có đựng

fA) = SoC.

11

Khi đó

F(A) = SoZ f Ox)

trong đó Z„ được xác định bởi

(A—ÀIT) (A = À¿-1l)(A — Agyil) (A = Ant)

Zh = (Ap — At) (Ap — Api) Og — Anat) - (Ak — An) (1.10)

Dinh lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tinh ổn định của hệ(1.9), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov.

Định lý 1.2.4 Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận khi va chỉ khi phần thực của

tat cả các giá trị riêng của A là âm, tức là

ReX <0, uới moi À € A(A).

Chứng minh Từ ly thuyết ma trận và theo công thức sylvester 4p dụng

cho f(A) = eÀ, ta có

Vi Red, < 0 nên ||z()|| 4 0 khi t > +00 Ngược lại nếu hệ là ổn định

mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(to) = #o của hệ (1.9) thỏa mãn điều kiện

lIz()II < #llrolle "9, (1.11)

với > 0, 6 > 0 nào đó Bay giờ, ta giả sử phan chứng rang có một

Ao € À (24) sao cho feÀo Khi đó với véc tơ riêng xp ứng với Ào này ta có

Vậy nghiệm xo(t) này tiến tới +œ khi t > oo, mâu thuẫn với điều kiện

(1.11) Định lý được chứng minh.

Ví dụ 1.2.4 Xét tính ổn định của hệ

Ly =-Z71+ 321

Tính ổn định của hệ (1.9) có quan hệ tương đương với sự tồn tại nghiệm

của một phương trình ma trận, thường gọi là phương trình Lyapunov dạng

ATX+XA=~-Y, (1.12)

trong đó X,Y là các ma trận dạng (n x n) chiều và gọi là cặp nghiệm của

Xét hệ (1.9), từ giờ ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả

các giá trị riêng của 4 là âm Theo định lý 1.2.4, điều này tương đương

với hệ (1.9) là ổn định tiệm cận.

13

Định nghĩa 1.2.5 Ma trận A được gọi là xác định dương (A > 0; A > 0)

i) (Az, x) >0, Va ER",

ii) (Az,z) >0, « £0.

trong đó (x,y) là tích v6 hướng của hai vécto v = (x1, %2, ,2n) vay =

(Yi, Y2, ++) Yn) tác định bởi

= ỳ

Ta có tiêu chuẩn sau

Dinh lý 1.2.5 (Sylvester condition) Ma trận A cỡ (n x n) là xác định

Dinh lý 1.2.6 Ma tran A là ổn định khí va chỉ khí phương trình (1.12)

có cặp nghiệm X,Y là ma trận đối xứng, xác định dương.

Chứng minh Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm là ma trận X > 0 với

Y > 0 Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.9) với z(fo) = zo, to € R”,

Vì X là xác định dương nên V(z(£)) > 0, với mọi t > to và do đó

vi Red > 0, vô lý với điều kiện (1.13).

Ngược lại, giả sử 4 là ma trận ồn định, tức là ReA < 0 với mọi A € À(41).

Với ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau

là xác định và do Y đối xứng nên X cũng là đối xứng Mặt khác, lấy tíchphân hai về phương trình (1.14) từ đến to ta có

Z(t) -Y = A X()+X@)A, Vt > to.

Cho t + +œ dé ý rang Z(t) — 0 khi t > o và vi A là ổn định, nên

ta được

—Y =ATX+XA,

hay là các ma trận X và Y thỏa mãn phương trình (1.12) Ta cần chứng

minh X là ma trận xác định dương That vay,

là ma trận đối xứng xác định dương nên theo định lý 1.2.6 ma trận A là

1.3 Bài toán 6n định hóa

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toánổn định hóa cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụngtrong thực tiễn Dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov ngườita tìm lời giải, cũng như các ứng dụng cho bài toán ổn định hóa của hệ

phi tuyến với thời gian liên tục Phần này sẽ trình bày các vấn đề cơ sở

của bài toán ổn định hóa và một số kết quả chon lọc về tính ổn định hóa.Xét hệ điều khiển phi tuyến

a(t) = f(t,x(t),u(t)), +>0, (1.15)trong đó, z(t) € R", u(t) € R”, f(t, z(t), u(t)): R* x R” x RTM > R",f(t,0,0) =0, Vt >0.

Dinh nghĩa 1.3.1 Hé (1.15) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại ham

điều khiển ngược u(t) = h(t,z(f)), h(.): R" + RTM, h(0) = 0 sao cho

nghiệm không của hệ đóng

{2"0 = f(t,2(t),u(t)), t20, (1.16)

x(to) = #0;

la 6n dinh tiém can.

Đối với hệ tuyến tính

z(t) = Az) + Bu(), t>0, (117)

được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại điều khiển ngược

u(t) = Ka(t), K€eR"*”,

sao cho hệ #(#) = (A + BK’)z(t) là ổn định tiệm cận.

Như vậy, bài toán ổn định hóa hệ tuyến tính (1.17) được đưa thành bài

toán tìm ma trận K € IR"X” sao cho ma trận (A + BK) là ổn định, tức

là phần thực của tat cả các giá trị riêng của (A + BK) là âm.

Ta có tiêu chuẩn để hệ (1.17) là ổn định hóa được như sau.

18

Định lý 1.3.1 Hệ (1.17) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối

xứng P > 0,Q > 0 thỏa man phương trình Riccati phi tuyến

Ví dụ 1.3.1 Xét tính ổn định của hệ

#\() = x(t) + 2z2() + 2u),

bạo = r1(t) + “ra(t) + u(t), (1.18)

Theo định lý 1.3.1 hệ (1.18) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận

Ta tìm được nghiệm

Thật vậy, ta có

suy ra ATP + PA— PBBTP+Q=0.

Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận với ma trận ổn định hóa là

=|44 2),4.25

suy ra APP + PA— PBBTP+Q=0.Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận.

Sau đây là một bổ đề được áp dụng trong chương 2.

Bồ đề 1.3.1 (Schur) Cho ma trận P, Q, M € R"*", trong đó Q = QT >

0, ta có

bến 39) <08P+4+MQ'M! <0.

Chứng minh Xem [6].

21

Chương 2

On định hệ phương trình vi phan

phi tuyén và ứng dung

Trong thực tế, các hệ động lực phan lớn được mô tả bằng các phương

trình toán học phi tuyến Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến,Lyapunov đưa ra hai phương pháp:

Phương pháp thứ nhất: Nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ

Lyapunov hoặc dựa trên hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu về phải đủ tốt, ví dụ là

hàm khả vi liên tục, để có thể xấp xỉ hệ đã cho bằng hệ tuyến tính tươngứng, thì tính ổn định khi đó sẽ được rút ra từ tính ổn định hệ xấp xỉ tuyến

Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp

hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của

đạo hàm theo về phải của hệ đã cho.

Mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng, phương pháp thứ

nhất đòi hỏi tính khả vi liên tục của hàm về phải, phương pháp thứ hai lại

rất khó khăn trong việc tìm hàm Lyapunov Cho đến này chưa có phương

pháp nào hiệu quả tìm hàm Lyapunov mà chỉ dựa vào kinh nghiệm, đặc

thù về phải.

Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệphương trình phân phi tuyến đồng thời mở rộng các kết quả ổn định cho

các hàm tựa Lyapunov Từ đó vận dụng các kết quả vào giải quyết các bài

toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.

Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([1], [3], [4]).

22