Luận Văn Thạc Sĩ Bài Toán Ổn Định Hệ Phương Trình Vi Phân Phi Tuyến Và Ứng Dụng .Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát HÀ NỘI- 2015 z Mục lục Mở đầu Các kí hiệu dùng luận văn Lời cảm ơn Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 1.2.1 Các khái niệm ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Một số tiêu chuẩn tính ổn định 11 1.3 Bài tốn ổn định hóa 18 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng 22 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 23 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 z Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực mô tả phương trình tốn học với thời gian liên tục dạng x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, x(t) biến trạng thái mơ tả đối tượng đầu ra, u(t) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Những liệu đầu vào có tác động quan trọng làm ảnh hưởng đến vận hành đầu hệ thống Như ta hiểu hệ thống điều khiển mơ hình tốn học mơ tả phương trình tốn học biểu thị liên hệ vào Một mục đích tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển đầu vào cho đầu có tính chất mà ta mong muốn Trong đó, tính ổn định tính chất quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực sử dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ liệu đầu vào hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Sự nghiên cứu tốn ổn định hệ thống kỉ thứ XIX nhà tốn học V Lyapunov đến khơng thể thiếu lý thuyết phương trình vi phân ứng dụng Lyapunov xây dựng móng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt đưa hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân thường Đó phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ động z lực nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng hữu hiệu hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà giải phương pháp khác Từ đến lý thuyết ổn định Lyapunov lý thuyết phát triển sôi động Toán học trở thành phận nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Đến năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hóa hệ điều khiển Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển hai phương pháp Lyapunov đề xuất, đặc biệt phương pháp hàm Lyapunov trở thành hướng nghiên cứu thời thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước quốc tế Trên sở tài liệu phương trình vi phân luận văn trình bày số kết tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ hệ với thời gian liên tục sau dựa vào tính chất ổn định xây dựng số ứng dụng giải tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến Luận văn gồm hai chương:  Chương 1: Cơ sở toán học Trong chương này, tơi trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ tuyến tính, phi tuyến phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt số tiêu chuẩn tính ổn định, đồng thời đưa khái niệm toán ổn định hóa  Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng Trong chương này, tơi trình bày số định lý quan trọng tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ xây dựng số ứng dụng giải tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến z Các kí hiệu dùng luận văn - R+ : Tập số thực dương - Rn : Khơng gian véctơ thực n chiều với tích vơ hướng h., i chuẩn Euclide k.k - Rn×m : Khơng gian ma trận thực có số chiều n × m - AT : Ma trận chuyển vị A - A−1 : ma trận nghịch đảo ma trận A - I : Ma trận đơn vị cấp n - λmin (A): Giá trị riêng nhỏ ma trận đối xứng A - λ(A): Tập giá trị riêng A z Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo suốt thời gian qua Tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô khoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Mặc dù thân cố gắng nhiều thời gian thực khơng nhiều, kiến thức trình độ cịn hạn chế nên luận văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo, góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015 Học viên Nguyễn Duy Khánh z Chương Cơ sở toán học Trong chương này, tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân, nghiệm hệ phương trình vi phân, khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phi tuyến, đưa số tiêu chuẩn tính ổn định hệ tuyến tính, đồng thời trình bày khái niệm tốn ổn định hóa Nội dung chương trình bày dựa tài liệu ([2], [4], [5], [6]) 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân  x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , t0 + b] , x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, (1.1) f (t, x(t)) : I × D 7→ Rn , D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a} Nghiệm x(t) phương trình (1.1) hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: a) (t, x(t)) ∈ I × D, b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục I × D, nghiệm x(t) cho dạng tích phân: t Z x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 z Định lý 1.1.1 (Tồn nghiệm địa phương) Xét hệ phương trình vi phân (1.1) giả sử hàm f (t, x) : I × D 7→ Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức ∃K > : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ Khi với (t0 , x0 ) ∈ I × D ta ln tìm số d > cho hệ (1.1) ln có nghiệm khoảng [t0 − d, t0 + d] Định lý 1.1.2 (Tồn nghiệm toàn cục) Giả sử f (t, x) : R+ × Rn → Rn hàm liên tục theo t thỏa mãn điều kiện sau: ∃M0 , M1 cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , ∃M2 cho kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ M2 kx1 − x2 k, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Khi hệ (1.1) ln tồn nghiệm [0; +∞) Đối với hệ tuyến tính  x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.2) A ma trận số, g(t) : [0; ∞) 7→ Rn hàm khả tích hệ (1.2) ln có nghiệm cho cơng thức Cauchy sau: Z t x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−t0 ) g(s)d(s) t0 Đối với không dừng  x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.3) A(t) hàm đo liên tục theo t ||A(t)|| ≤ m(t), với m(t) hàm khả tích g(t) hàm khả tích hệ (1.3) có nghiệm Tuy nhiên, nghiệm hệ không biểu diễn theo cơng thức Cauchy hệ tuyến tính mà thông qua ma trận nghiệm Φ(t, s) hệ x(t) ˙ = A(t)x(t), z (1.4) nghiệm hệ (1.3) cho Z t x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)d(s), (1.5) t0 Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ (1.4) thỏa mãn hệ phương trình ma trận d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s, dt Φ(t, t) = I ( 1.2 (1.6) Lý thuyết ổn định Lyapunov Trong phần này, luận văn trình bày số khái niệm, định lý tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến, nghiên cứu tính ổn định chúng phương pháp hàm Lyapunov đồng thời đưa số tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định hệ tuyến tính 1.2.1 Các khái niệm ổn định Xét hệ thống mơ tả phương trình vi phân  x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, (1.7) x(t) ∈ Rn véctơ trạng thái hệ f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn Giả sử hàm f (t, x(t)) hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ ln có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm cho công thức Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định với số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn δ = δ(t0 , ε) > cho x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x0 || < δ ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số δ > cho ||x0 || < δ lim ||x(t)|| = t→∞ z Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm không hệ (1.7) gọi ổn định mũ tồn số α > 0, K > cho nghiệm hệ (1.7) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ K.e−α(t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 Để ngắn gọn thay nói hệ (1.7) ổn định ta nói nghiệm hệ ổn định Ví dụ 1.2.1 Xét tính ổn định phương trình vi phân x(t) ˙ = ax(t), t ≥ 0, với x(t0 ) = x0 Ta có nghiệm x(t) phương trình cho x(t) = eat x0 , t ≥ Nếu a < hệ cho ổn định tiệm cận ổn định mũ Nếu a = hệ ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Trong phần này, hệ không gian thực nghiên cứu tính ổn định chúng phương phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp thứ Lyapunov) phương pháp áp dụng nhiều việc nghiên cứu định tính hệ phương trình vi phân hệ phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng x(t) ˙ = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R+ (1.8) Xét hàm số V (x) : Rn → R gọi xác định dương a) V (x) ≥ với x ∈ Rn b) V (x) = x = Định nghĩa 1.2.4 Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D lân cận mở tùy ý 0, gọi hàm Lyapunov hệ (1.8) z = 0, f (λ) = λ3 + λ2 − 18λ + 12 = Vì f (0) = 12 > 0; f (1) = −5 < 0, mà hàm f (λ) liên tục [0; 1] nên có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Như phương trình đặc trưng có nghiệm với phần thức lớn nên hệ cho không ổn định Tính ổn định hệ (1.9) có quan hệ tương đương với tồn nghiệm phương trình ma trận, thường gọi phương trình Lyapunov dạng AT X + XA = −Y, (1.12) X, Y ma trận dạng (n × n) chiều gọi cặp nghiệm (1.12) Xét hệ (1.9), từ ta nói ma trận A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm Theo định lý 1.2.4, điều tương đương với hệ (1.9) ổn định tiệm cận 13 z Định nghĩa 1.2.5 Ma trận A gọi xác định dương (A ≥ 0; A > 0) nếu: i) hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn , ii) hAx, xi > 0, x 6= hx, yi tích vơ hướng hai véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) xác định hx, yi = n X xi yi i=1 Ta có tiêu chuẩn sau Định lý 1.2.5 (Sylvester condition) Ma trận A cỡ (n × n) xác định dương det(Di ) > 0, i = 1; 2; ; n  ! a11 a12 a13 a21 a22 a23 ; ; Dn = A a31 a32 a33  a a D1 = a11 ; D2 = a11 a12 ; D3 = 21 22 Định lý 1.2.6 Ma trận A ổn định phương trình (1.12) có cặp nghiệm X, Y ma trận đối xứng, xác định dương Chứng minh Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm ma trận X > với Y > Với x(t) nghiệm tùy ý (1.9) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , ta xét hàm số V (x(t)) = hXx(t), x(t)i , ∀t ≥ t0 Ta có d V (x(t)) = hX x(t), ˙ x(t)i + hXx(t), x(t)i ˙ dt = h(XA + AT X)x, xi = −hY x(t), x(t)i Do V (x(t)) − V (x(t0 )) = − Z t t0 14 z hY x(s), x(s)ids Vì X xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, với t ≥ t0 Z t hY x(s), x(s)ids ≤ V (x0 ) = hXx0 , x0 i t0 Mặt khác, Y xác định dương nên tồn α > cho hY x(t), x(t)i ≥ α||x(t)||2 , ∀x(t) ∈ Rn , Z t ||x(s)||2 ds ≤ t0 hXx0 , x0 i , α Cho t → +∞ ta Z ∞ ||x(s)||ds < +∞ (1.13) t0 Ta chứng minh Reλ < với λ ∈ λ(A) Thật giả sử có số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ Lấy x0 ∈ Rn ứng với giá trị riêng λ0 nghiệm hệ (1.9) cho x1 (t) = eλ0 t x0 Z ∞ Z ∞ ||x1 (t)||2 dt = e2Reλ0 t dt = +∞, t0 t0 Reλ > 0, vơ lý với điều kiện (1.13) Ngược lại, giả sử A ma trận ổn định, tức Reλ < với λ ∈ λ(A) Với ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau  ˙ Z(t) = AT Z(t) + Z(t)A, t ≥ t0 , Z(t0 ) = Y Nhận thấy hệ (1.14) có nghiệm riêng Z(t) = eA t Y eAt Đặt Z t X= Z(s)ds t0 Vì A ma trận ổn định nên dễ kiểm tra tích phân Z ∞ X= Z(s)ds < ∞, t0 15 z (1.14) xác định Y đối xứng nên X đối xứng Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (1.14) từ t đến t0 ta có Z(t) − Y = AT X(t) + X(t)A, ∀t ≥ t0 Cho t → +∞ để ý Z(t) → t → ∞ A ổn định, nên ta −Y = AT X + XA, ma trận X Y thỏa mãn phương trình (1.12) Ta cần chứng minh X ma trận xác định dương Thật vậy, Z ∞ T hXx, xi = hY eA t x, eAt xidt t0 Do Y > eAt không suy biến nên hXx, xi > x 6= Vậy định lý chứng minh Ví dụ 1.2.6 Cho ma trận     p1 p A = −6 −5 X = p p nghiệm phương trình Lyapunov dạng AT X + XA = −I2 Xét tính ổn định ma trận A Ta có        p1 p p1 p2 −1 p2 p + p2 p3 −6 −5 = −1 ,       −1 −6p2 −6p3 −6p2 p1 − 5p2 p1 − 5p2 p2 − 5p3 + −6p3 p2 − 5p3 = −1 ,     −12p2 p1 − 5p2 − 6p3 −1 = −1 , p − 5p − 6p 2p − 10p −6 −5  3 suy p2 = 67 ; p3 = ; p1 = 12 60 60 16 z Vì  67  12 X =  60 7 12 60 ma trận đối xứng xác định dương nên theo định lý 1.2.6 ma trận A ma trận ổn định  Ví dụ 1.2.7 Cho ma trận     p1 p2 −1 −1 A = −4 X = p p , nghiệm phương trình Lyapunov dạng AT X + XA = −I2 Xét tính ổn định ma trận A Ta có   −1 −1        p1 p2 p1 p2 −1 −1 −1 p2 p3 + p2 p3 = −1 ,      −1 −p1 + 2p2 −p2 + 2p3 −p1 + 2p2 −p1 + 4p2 −p1 + 4p2 −p2 + 4p3 + −p2 + 2p3 −p2 + 4p3 = −1 ,     −1 −2p1 + 4p2 −p1 + 3p2 + 2p3 = −1 , −p1 + 3p2 + 2p3 −p2 + 8p3 suy  −2p1 + 4p2 = −1 −p1 + 3p2 + 4p3 =  −2p2 + 8p3 = −1 suy p1 = − ; p2 = ; p3 = hay 2    − X =  12 2 Vì X ma trận đối xứng xác định âm nên A không ma trận ổn định 17 z 1.3 Bài tốn ổn định hóa Cùng với phát triển lý thuyết điều khiển hệ động lực, tốn ổn định hóa quan tâm nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng thực tiễn Dựa kết lý thuyết ổn định Lyapunov người ta tìm lời giải, ứng dụng cho tốn ổn định hóa hệ phi tuyến với thời gian liên tục Phần trình bày vấn đề sở toán ổn định hóa số kết chọn lọc tính ổn định hóa Xét hệ điều khiển phi tuyến x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.15) đó, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , f (t, x(t), u(t)) : R+ × Rn × Rm → Rn , f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.15) gọi ổn định hóa tồn hàm điều khiển ngược u(t) = h(t, x(t)), h(.) : Rn → Rm , h(0) = cho nghiệm không hệ đóng  x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), x(t0 ) = x0 , t ≥ 0, (1.16) ổn định tiệm cận Đối với hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (1.17) gọi ổn định hóa tồn điều khiển ngược u(t) = Kx(t), K ∈ Rn×m , cho hệ x(t) ˙ = (A + BK)x(t) ổn định tiệm cận Như vậy, tốn ổn định hóa hệ tuyến tính (1.17) đưa thành tốn tìm ma trận K ∈ Rn×m cho ma trận (A + BK) ổn định, tức phần thực tất giá trị riêng (A + BK) âm Ta có tiêu chuẩn để hệ (1.17) ổn định hóa sau 18 z Định lý 1.3.1 Hệ (1.17) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng P > 0, Q > thỏa mãn phương trình Riccati phi tuyến AT P + P A − P BB T P + Q = 0, mà trận ổn định hóa K = − B T P , tức điều khiển ổn định hóa u(t) = Kx(t) Chứng minh Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng V (x(t)) = hP x(t), x(t)i Ta có V˙ (x(t)) = 2hP (x(t)), ˙ x(t)i = 2hP (Ax(t) + Bu(t)), x(t)i = 2hP Ax(t) + P Bu(t), x(t)i = 2hP Ax(t), x(t)i + 2hP Bu(t), x(t)i với u(t) = − B T P x(t) T T = h(A P + P A)x(t), x(t)i − hP BB P x(t), x(t)i = h(AT P + P A − P BB T P )x(t), x(t)i = −h(Qx(t), x(t))i ≤ −λmin (Q)kx(t)k2 Vì Q > nên λmin (Q) > ta có V˙ (x(t)) < Vậy theo định lý 1.2.4 hệ cho ổn định tiệm cận Ví dụ 1.3.1 Xét tính ổn định hệ ( x˙ (t) = x1 (t) + 2x2 (t) + 2u(t), x˙ (t) = x1 (t) + x2 (t) + u(t), (1.18) Theo định lý 1.3.1 hệ (1.18) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng P > 0, Q > thỏa mãn AT P + P A − P BB T P + Q = Ta có A= !   ;B = 1 19 z ... tính ổn định 11 1.3 Bài tốn ổn định hóa 18 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng 22 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 23 2.2 Ổn định. .. 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến ứng dụng Trong chương này, tơi trình bày số định lý quan trọng tính ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ xây dựng số ứng dụng giải tốn ổn định. .. Học vi? ?n Nguyễn Duy Khánh z Chương Cơ sở tốn học Trong chương này, tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân, nghiệm hệ phương trình vi phân, khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân,