Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu hệ thống các công thức trong thuyết tương đối rộng, bao gồm các vấn đề như: thuyết tương đối hẹp, tenxơ và phép biến đổi chỉ số, metric không-thời gian và các nghiệm tiêu biểu của phương trình Einstein, phương trình trắc địa, phương trình quỹ đạo, các phép biến đổi tọa độ, giãn nở thời gian, bán kính chân trời, vùng sinh công, kéo hệ quy chiếu, nhiệt động lực học hố đen, các khái niệm vũ trụ học, hình thức luận ADM và tham số hóa hậu Newton (PPN), khái niệm giản đồ Penrose và hai giản đồ Penrose của không-thời gian Minkowski và Schwarzschild.
Trang 1Ví dụ: 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇 thì giống như việc viết 𝑑𝑑𝑠𝑠2 =∑ ∑ 𝑔𝑔𝜇𝜇 𝜇𝜇 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇
Thuyết tương đối hẹp:
𝑡𝑡′ = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡 −𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐2�, 𝑥𝑥′ = 𝛾𝛾(𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑡𝑡), 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦, 𝑧𝑧′ = 𝑧𝑧
𝑡𝑡 = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡′ +𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐2′�, 𝑥𝑥 = 𝛾𝛾(𝑥𝑥′ +𝑣𝑣𝑡𝑡′), 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′, 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧′
Δ𝑙𝑙 = Δ𝐿𝐿/𝛾𝛾, Δ𝑡𝑡 = 𝛾𝛾Δ𝜏𝜏, 𝛾𝛾 = 1/�1 − 𝑣𝑣2/𝑐𝑐2
𝑑𝑑𝑠𝑠2 = −𝑐𝑐2𝑑𝑑𝑡𝑡2 + 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦2
+ 𝑑𝑑𝑧𝑧2
𝑢𝑢′ = (𝑢𝑢 − 𝑣𝑣)/(1 − 𝑢𝑢𝑣𝑣𝑐𝑐2)
𝑚𝑚(𝑣𝑣) = 𝛾𝛾𝑚𝑚0, 𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝑚𝑚0𝑣𝑣, 𝐸𝐸 =𝛾𝛾𝑚𝑚0𝑐𝑐2
Hiệu ứng Doppler tương đối tính:
(𝛽𝛽 = 𝑣𝑣/𝑐𝑐)
Hiệu ứng dọc:
• Khi nguồn phát chuyển động tới quan sát viên: 𝑓𝑓′ = 𝑓𝑓�1+𝛽𝛽1−𝛽𝛽
• Khi nguồn phát chuyển động khỏi quan sát viên: 𝑓𝑓′ = 𝑓𝑓�1−𝛽𝛽1+𝛽𝛽
Hiệu ứng ngang:
𝑓𝑓′ = 1 − 𝛽𝛽 cos 𝜃𝜃𝑓𝑓�1 − 𝛽𝛽2
Vectơ-4:
𝑥𝑥𝜇𝜇 = (𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧), 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇 =(𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡, 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑑𝑑𝑧𝑧)
𝜕𝜕𝜇𝜇 = �𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 1𝑐𝑐,𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕 ,𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ,𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕�, 𝑢𝑢𝜇𝜇 =
𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝛾𝛾𝑐𝑐, 𝛾𝛾𝑢𝑢𝑣𝑣, 𝛾𝛾𝑢𝑢𝜕𝜕, 𝛾𝛾𝑢𝑢𝜕𝜕) 𝑝𝑝𝜇𝜇 = 𝑚𝑚0𝑢𝑢𝜇𝜇 = �𝐸𝐸𝑐𝑐 , 𝑝𝑝𝑣𝑣, 𝑝𝑝𝜕𝜕, 𝑝𝑝𝜕𝜕�
Tenxơ năng lượng-động lượng:
𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕𝜇𝜇𝑑𝑑𝑣𝑣𝜈𝜈, 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇
Trang 22 𝑇𝑇00 = mật độ năng lượng, 𝑇𝑇0𝑖𝑖 =𝑇𝑇𝑖𝑖0 = dòng năng lượng theo hướng 𝑖𝑖
𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 = dòng động lượng-𝑖𝑖 theo hướng 𝑗𝑗
Tenxơ năng lượng-động lượng đối với chất lưu hoàn hảo:
𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝜂𝜂𝜅𝜅𝜇𝜇𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇
𝐴𝐴𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 và 𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇 là bất biến
Biến đổi Lorentz (𝑳𝑳) và biến đổi Lorentz ngược (𝑳𝑳�) giữa các HQC quán tính trong TTĐH:
𝐴𝐴′𝜇𝜇 = 𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇, 𝐴𝐴 𝜇𝜇′ = 𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝐿𝐿�𝜇𝜇 𝜇𝜇𝐴𝐴′𝜇𝜇, 𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝐿𝐿� 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝐴𝐴′𝜇𝜇𝐵𝐵′𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜅𝜅𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜆𝜆𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆, 𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇 =𝐿𝐿�𝜇𝜇 𝜅𝜅𝐿𝐿�𝜇𝜇 𝜆𝜆𝐵𝐵′𝜅𝜅𝜆𝜆
Trang 33 𝐹𝐹𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 − 𝜕𝜕𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇
0 𝐸𝐸𝑣𝑣/𝑐𝑐 𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐 𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐−𝐸𝐸𝑣𝑣/𝑐𝑐 0 𝐵𝐵𝜕𝜕 −𝐵𝐵𝜕𝜕−𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐 −𝐵𝐵𝜕𝜕 0 𝐵𝐵𝑣𝑣−𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐 𝐵𝐵𝜕𝜕 −𝐵𝐵𝑣𝑣 0 ⎠
⎟⎞
Đồng hồ đứng yên trong trọng trường:
Phép toán trên chỉ số trong TTĐR:
𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇, 𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 là nghịch đảo của 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇
𝐵𝐵𝜆𝜆 𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵 𝜆𝜆𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜅𝜅𝜇𝜇𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇
𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜅𝜅𝜇𝜇𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇
𝐴𝐴𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 và 𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇 là bất biến
Các phép biến đổi tọa độ trong TTĐR:
𝐴𝐴′𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜇𝜇𝜈𝜈 𝐴𝐴𝜇𝜇, 𝐴𝐴 𝜇𝜇′ = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜇𝜇𝜈𝜈 𝐴𝐴𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜈𝜈𝜇𝜇 𝐴𝐴′𝜇𝜇, 𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜈𝜈𝜇𝜇 𝐴𝐴′ 𝜇𝜇
𝐵𝐵′𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜇𝜇𝜅𝜅 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜈𝜈𝜆𝜆 𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆, 𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜇𝜇′ =
Các phương trình trắc địa:
𝑑𝑑𝑠𝑠2 + Γ𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜅𝜅 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜆𝜆 = 0
Trang 44 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠2𝑥𝑥2𝜇𝜇 + �𝜕𝜕𝜆𝜆𝑔𝑔𝜇𝜇𝜅𝜅
−12𝜕𝜕𝜇𝜇𝑔𝑔𝜅𝜅𝜆𝜆�𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜅𝜅 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜆𝜆= 0
Đối với tia sáng: 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 0 => dùng tham số aphin
Ký hiệu Christoffel:
Γ𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇 = 12𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇(𝜕𝜕𝜆𝜆𝑔𝑔𝜇𝜇𝜅𝜅 + 𝜕𝜕𝜅𝜅𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇− 𝜕𝜕𝜇𝜇𝑔𝑔𝜅𝜅𝜆𝜆)
Metric trên mặt cầu:
𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑅𝑅2𝑑𝑑𝜃𝜃2 + (𝑅𝑅 sin 𝜃𝜃)2𝑑𝑑𝜙𝜙2
Metric Schwarzschild:
𝑑𝑑𝑠𝑠2= − �1 −𝑅𝑅𝑑𝑑 � 𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑑𝑑𝑡𝑡2+ 𝑑𝑑𝑑𝑑21 − 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑠𝑠+ 𝑑𝑑2[𝑑𝑑𝜃𝜃2
𝑑𝑑𝜏𝜏 = �𝐾𝐾2 − 𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 1 − 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑠𝑠
Phương trình quỹ đạo tổng quát (Schwarzschild):
+ (sin 𝜃𝜃)2𝑑𝑑𝜙𝜙2)�
Tenxơ Riemann:
𝑑𝑑𝐴𝐴𝜅𝜅 = 𝑅𝑅 𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 𝐴𝐴𝜆𝜆𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑅𝑅 𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 = 𝜕𝜕𝜇𝜇Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜅𝜅 − 𝜕𝜕𝜇𝜇Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜅𝜅 + Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇
− Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝑅𝑅𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅𝜆𝜆𝜅𝜅𝜇𝜇𝜇𝜇 = −𝑅𝑅𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇
Tenxơ Ricci:
𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑅𝑅 𝜇𝜇𝜆𝜆𝜇𝜇𝜆𝜆
Trang 55 𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝜆𝜆Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜆𝜆 − 𝜕𝜕𝜇𝜇Γ𝜇𝜇𝜆𝜆𝜆𝜆 + Γ𝜅𝜅𝜆𝜆𝜅𝜅 Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜆𝜆
− Γ𝜇𝜇𝜆𝜆𝜅𝜅 Γ𝜇𝜇𝜅𝜅𝜆𝜆
𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 = 0 trong chân không
Vô hướng Ricci:
Bán kính các chân trời của hố đen Reissner-Nordström:
𝑑𝑑± = 𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑐𝑐2 ± ��𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑐𝑐2 �2 − �𝐺𝐺𝑑𝑑𝑐𝑐2 �2Điều kiện tồn tại: 𝐺𝐺2 ≥ 𝑑𝑑2
Không-thời gian phản de Sitter (AdS) và de Sitter (dS):
𝑑𝑑𝑠𝑠2= − �1 +𝑑𝑑𝐿𝐿22� 𝑑𝑑𝑡𝑡2+ 𝑑𝑑𝑑𝑑21 + 𝑑𝑑𝐿𝐿22+ 𝑑𝑑2𝑑𝑑Ω2 (𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴) 𝑑𝑑𝑠𝑠2= − �1 −𝑑𝑑𝐿𝐿22� 𝑑𝑑𝑡𝑡2+ 𝑑𝑑𝑑𝑑2
1 − 𝑑𝑑𝐿𝐿22+ 𝑑𝑑2𝑑𝑑Ω2 (𝑑𝑑𝐴𝐴)
Trang 6+ �𝑑𝑑2+ 𝑎𝑎2
+2𝐺𝐺𝑎𝑎2𝑑𝑑 sinΣ 2𝜃𝜃� sin2𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙2
Với Σ = 𝑑𝑑2 + 𝑎𝑎2cos2𝜃𝜃, Δ =𝑑𝑑2 − 2𝐺𝐺𝑑𝑑 + 𝑎𝑎2 và 𝑎𝑎 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝐽𝐽
Bán kính chân trời ngoài và trong:
𝑑𝑑+ = 𝐺𝐺 + √𝐺𝐺2 − 𝑎𝑎2 (chân trời ngoài – chân trời sự kiện)
𝑑𝑑− = 𝐺𝐺 − √𝐺𝐺2 − 𝑎𝑎2 (chân trời trong – chân trời Cauchy)
Điều kiện tồn tại các chân trời: PT 𝑑𝑑2 − 2𝐺𝐺𝑑𝑑 + 𝑎𝑎2 = 0 có nghiệm hay 𝐺𝐺2 ≥ 𝑎𝑎2
Tốc độ góc của chân trời sự kiện hố đen Kerr:
• Phương trình động học bán kính và góc:
�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜏𝜏�2 =𝜌𝜌14[(𝐸𝐸(𝑑𝑑2+ 𝑎𝑎2)− 𝑎𝑎𝐿𝐿)2− Δ(𝑑𝑑2
+ (𝐿𝐿 − 𝑎𝑎𝐸𝐸)2
+ 𝑑𝑑)] �𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜏𝜏�
Trang 77 • Quỹ đạo cùng hướng:
𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐺𝐺�3 + 𝑍𝑍2−
�(3 − 𝑍𝑍1)(3 + 𝑍𝑍1+ 2𝑍𝑍2)�• Quỹ đạo ngược hướng:
��1 +
Δ𝜙𝜙 = 4𝐺𝐺𝐺𝐺𝑐𝑐2𝑏𝑏
Hằng số vũ trụ học 𝚲𝚲:
𝐺𝐺𝜇𝜇𝜇𝜇 + Λ𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 = 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑐𝑐4 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇
Hệ số tỷ lệ và quan hệ dịch chuyển đỏ:
1 + 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎(𝑡𝑡𝑎𝑎(𝑡𝑡)0)
Hệ phương trình Einstein tuyến tính hóa:
□ ℎ�𝜇𝜇𝜇𝜇 = −16𝜋𝜋𝐺𝐺𝑐𝑐4 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇Trong đó ℎ�𝜇𝜇𝜇𝜇 = ℎ𝜇𝜇𝜇𝜇 −12𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇ℎ
• Định luật I: 𝑑𝑑𝐺𝐺 =
8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑑𝑑𝐴𝐴 + Ω𝐻𝐻𝑑𝑑𝐽𝐽 + Φ𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑
Trang 88 • Định luật II: 𝛿𝛿𝐴𝐴 ≥ 0
• Định luật III: 𝜅𝜅 → 0 khi 𝑇𝑇 → 0
• Định luật 0: 𝜅𝜅 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 trên chân trời sự kiện
Hình thức luận ADM:
• Phép phân tích metric ADM: 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = −𝑁𝑁2𝑑𝑑𝑡𝑡2 +ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 +𝑁𝑁𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡)
• Hamiltonian ADM: 𝐻𝐻 =∫ 𝑑𝑑3𝑥𝑥(𝑁𝑁ℋ + 𝑁𝑁𝑖𝑖ℋ𝑖𝑖) trong đó ℋ và ℋ𝑖𝑖 lần lượt là ràng buộc Hamiltonian và động lượng
Biến đổi bảo giác:
𝑔𝑔�𝜇𝜇𝜇𝜇 = Ω2𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇
Khái niệm giản đồ Penrose:
Còn gọi là giản đồ Carter hay giản đồ bảo giác (conformal diagram), là một phương pháp minh họa trực quan
Penrose-cấu trúc nhân quả của không-thời gian
Trên giản đồ Penrose: mỗi điểm biểu diễn một quỹ tích dạng cầu gồm các hướng trong KTG Giản đồ gồm: trục thời gian, không gian, nón ánh sáng, điểm kì dị, chân trời sự kiện, vô cùng
Khoảng cách đồng chuyển động và khoảng cách riêng:
Trang 99 𝑑𝑑𝑠𝑠2
+ 𝑑𝑑2(𝑑𝑑𝜃𝜃2+ sin2𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙2) Trong đó Φ(𝑑𝑑) là hàm dịch
chuyển đỏ, 𝑏𝑏(𝑑𝑑) là hàm hình học của miệng hố sâu
Điều kiện của 𝒃𝒃(𝒓𝒓) để hố sâu Morris-Thorne có thể đi qua:
• 𝑏𝑏(𝑑𝑑0) = 𝑑𝑑0, với 𝑑𝑑0 là bán kính miệng hố sâu
• 𝑏𝑏′(𝑑𝑑) < 𝑏𝑏(𝑟𝑟)𝑟𝑟 ∀𝑑𝑑 > 𝑑𝑑0• 𝑏𝑏(𝑟𝑟)−𝑏𝑏′(𝑟𝑟)𝑟𝑟
2𝑏𝑏(𝑟𝑟)2 > 0∀𝑑𝑑 > 𝑑𝑑0 hay 𝑏𝑏′(𝑑𝑑0) < 1
• 𝑏𝑏(𝑟𝑟)
𝑟𝑟 → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞
• Lực ảnh hưởng lên người hoặc vật đi qua hố sâu phải ở mức hợp lý Vì vậy
�𝑏𝑏′𝑟𝑟(𝑟𝑟)2 � < một ngưỡng nào đó
Điều kiện của 𝚽𝚽(𝒓𝒓) để hố sâu Morris-Thorne có thể đi qua:
• Φ(𝑑𝑑) hữu hạn với mọi 𝑑𝑑 • Φ(𝑑𝑑) → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞ • Lực ảnh hưởng lên người
hoặc vật đi qua hố sâu phải ở mức hợp lý Vì vậy
Trang 1010 𝐴𝐴 = 16𝜋𝜋𝐺𝐺1 ∫ 𝑑𝑑4𝑥𝑥�−𝑔𝑔(𝑅𝑅 − 2Λ)
+ 𝐴𝐴𝑚𝑚
𝛿𝛿𝐴𝐴 = 0 => 𝐺𝐺𝜇𝜇𝜇𝜇 + Λ𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇= 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑐𝑐4 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇
Metric Alcubierre:
𝑑𝑑𝑠𝑠2 = −𝑐𝑐2𝑑𝑑𝑡𝑡2+ [𝑑𝑑𝑥𝑥
− 𝑣𝑣𝑠𝑠(𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑡𝑡]2
+ 𝑑𝑑𝑦𝑦2 + 𝑑𝑑𝑧𝑧2Điều kiện của 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠):
• 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞ • 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) ≈ 1 với 𝑑𝑑𝑠𝑠 trong một
vùng nhỏ xung quanh vật thể được đẩy đi (bên trong phần bong bóng warp, không-thời gian là phẳng) • 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) biến thiên mượt giữa
bên trong và bên ngoài Hàm 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) thường dùng: 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠)
= tanh�𝜎𝜎(𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑅𝑅)� − tanh�𝜎𝜎(𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑅𝑅)� 2tanh (𝜎𝜎𝑅𝑅)
Hình thức luận tham số hóa hậu Newton (Parameterized Post-Newtonian – PPN
formalism):
Tenxơ metric trong HTL PPN: 𝑔𝑔00 = −1 + 2𝑈𝑈 − 2𝛽𝛽𝑈𝑈2+ 2𝜉𝜉Φ𝑊𝑊+(2𝛾𝛾 + 2 + 𝛼𝛼3+ ζ1− 2𝜉𝜉)Φ1+ (3𝛾𝛾 +1 + 𝜁𝜁2+ 𝜉𝜉)Φ2+ (𝜁𝜁3− 2𝜉𝜉)Φ3+(𝜁𝜁4− 2𝜉𝜉)Φ4− (𝛼𝛼1− 𝛼𝛼2+ 𝛼𝛼3)𝐴𝐴 −𝛼𝛼2ℬ,
𝑔𝑔0𝑖𝑖 = −12(4𝛾𝛾 + 3 + 𝛼𝛼1− 𝛼𝛼2+ 𝜁𝜁1−2𝜉𝜉)𝑑𝑑𝑖𝑖 −12(1 + 𝛼𝛼2 − 𝜁𝜁1 + 2𝜉𝜉)𝑊𝑊𝑖𝑖, 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = (1 + 2𝛾𝛾𝑈𝑈)𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖
Trong đó các thế
𝑈𝑈, Φ1,2,3,4,𝑊𝑊, 𝐴𝐴, ℬ, 𝑑𝑑𝑖𝑖, 𝑊𝑊𝑖𝑖 được định nghĩa như sau:
• 𝑈𝑈 = ∫ 𝜈𝜈|𝒙𝒙−𝒙𝒙′𝑑𝑑3𝑣𝑣′|′• Φ1 = ∫𝜈𝜈′|𝒙𝒙−𝒙𝒙𝑣𝑣′2𝑑𝑑′3|𝑣𝑣′• Φ2 = ∫𝜈𝜈′|𝒙𝒙−𝒙𝒙𝑈𝑈′𝑑𝑑3′|𝑣𝑣′• Φ3 = ∫𝜈𝜈′|𝒙𝒙−𝒙𝒙Π′𝑑𝑑3′|𝑣𝑣′• Φ4 = ∫𝑝𝑝|𝒙𝒙−𝒙𝒙′𝑑𝑑3𝑣𝑣′|′
• Φ𝑊𝑊 = ∫𝜈𝜈′�𝒗𝒗|𝒙𝒙−𝒙𝒙′.𝒙𝒙′�′2|3𝑑𝑑3𝑣𝑣′• 𝐴𝐴 = ∫𝜈𝜈′(𝒗𝒗|𝒙𝒙−𝒙𝒙′.𝒙𝒙′)𝑑𝑑′|33𝑣𝑣′
• ℬ = ∫𝜈𝜈′𝒗𝒗′.(𝒙𝒙−𝒙𝒙′)𝑑𝑑|𝒙𝒙−𝒙𝒙′|3 3𝑣𝑣′
• 𝑑𝑑𝑖𝑖 = ∫𝜈𝜈′𝑣𝑣𝑖𝑖′𝑑𝑑3𝑣𝑣′|𝒙𝒙−𝒙𝒙′|
• 𝑊𝑊𝑖𝑖 =
∫𝜈𝜈′�𝒗𝒗′.�𝒙𝒙−𝒙𝒙|𝒙𝒙−𝒙𝒙′���𝑣𝑣′|3𝑖𝑖−𝑣𝑣𝑖𝑖′�𝑑𝑑3𝑣𝑣′
Trang 1111
Giản đồ Penrose của không-thời gian Minkowski:
Giản đồ Penrose của không-thời gian Schwarzschild: