Hệ thống công thức thuyết tương đối rộng

Tài liệu hệ thống các công thức trong thuyết tương đối rộng, bao gồm các vấn đề như: thuyết tương đối hẹp, tenxơ và phép biến đổi chỉ số, metric không-thời gian và các nghiệm tiêu biểu của phương trình Einstein, phương trình trắc địa, phương trình quỹ đạo, các phép biến đổi tọa độ, giãn nở thời gian, bán kính chân trời, vùng sinh công, kéo hệ quy chiếu, nhiệt động lực học hố đen, các khái niệm vũ trụ học, hình thức luận ADM và tham số hóa hậu Newton (PPN), khái niệm giản đồ Penrose và hai giản đồ Penrose của không-thời gian Minkowski và Schwarzschild.

1

HỆ THỐNG CÔNG THỨC THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG TỪ A-Z

Ký hiệu tổng Einstein:

Biểu thức nào mà các chỉ số

giống nhau viết cả ở trên và dưới

thì coi như lấy tổng tất cả các giá

trị tương ứng

Ví dụ: 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇 thì

giống như việc viết 𝑑𝑑𝑠𝑠2 =

∑ ∑ 𝑔𝑔𝜇𝜇 𝜇𝜇 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇

Thuyết tương đối hẹp:

𝑡𝑡′ = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡 −𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐2�, 𝑥𝑥′ = 𝛾𝛾(𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑡𝑡),

𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦, 𝑧𝑧′ = 𝑧𝑧

𝑡𝑡 = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡′ +𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐2′�, 𝑥𝑥 = 𝛾𝛾(𝑥𝑥′ +

𝑣𝑣𝑡𝑡′), 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′, 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧′

Δ𝑙𝑙 = Δ𝐿𝐿/𝛾𝛾, Δ𝑡𝑡 = 𝛾𝛾Δ𝜏𝜏, 𝛾𝛾 = 1/

�1 − 𝑣𝑣2/𝑐𝑐2

𝑑𝑑𝑠𝑠2 = −𝑐𝑐2𝑑𝑑𝑡𝑡2 + 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦2

+ 𝑑𝑑𝑧𝑧2

𝑢𝑢′ = (𝑢𝑢 − 𝑣𝑣)/(1 − 𝑢𝑢𝑣𝑣𝑐𝑐2)

𝑚𝑚(𝑣𝑣) = 𝛾𝛾𝑚𝑚0, 𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝑚𝑚0𝑣𝑣, 𝐸𝐸 =

𝛾𝛾𝑚𝑚0𝑐𝑐2

Hiệu ứng Doppler tương đối

tính:

(𝛽𝛽 = 𝑣𝑣/𝑐𝑐)

Hiệu ứng dọc:

• Khi nguồn phát chuyển động tới quan sát viên:

𝑓𝑓′ = 𝑓𝑓�1+𝛽𝛽1−𝛽𝛽

• Khi nguồn phát chuyển động khỏi quan sát viên:

𝑓𝑓′ = 𝑓𝑓�1−𝛽𝛽1+𝛽𝛽

Hiệu ứng ngang:

𝑓𝑓′ = 1 − 𝛽𝛽 cos 𝜃𝜃𝑓𝑓�1 − 𝛽𝛽2

Vectơ-4:

𝑥𝑥𝜇𝜇 = (𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧), 𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇 = (𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡, 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑑𝑑𝑧𝑧)

𝜕𝜕𝜇𝜇 = �𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 1𝑐𝑐,𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕 ,𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ,𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕�, 𝑢𝑢𝜇𝜇 =

𝑑𝑑𝑣𝑣𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝛾𝛾𝑐𝑐, 𝛾𝛾𝑢𝑢𝑣𝑣, 𝛾𝛾𝑢𝑢𝜕𝜕, 𝛾𝛾𝑢𝑢𝜕𝜕)

𝑝𝑝𝜇𝜇 = 𝑚𝑚0𝑢𝑢𝜇𝜇 = �𝐸𝐸𝑐𝑐 , 𝑝𝑝𝑣𝑣, 𝑝𝑝𝜕𝜕, 𝑝𝑝𝜕𝜕�

Tenxơ năng lượng-động lượng:

𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕𝜇𝜇𝑑𝑑𝑣𝑣𝜈𝜈, 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇

2

𝑇𝑇00 = mật độ năng lượng, 𝑇𝑇0𝑖𝑖 =

𝑇𝑇𝑖𝑖0 = dòng năng lượng theo

hướng 𝑖𝑖

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 = dòng động lượng-𝑖𝑖

theo hướng 𝑗𝑗

Tenxơ năng lượng-động lượng

đối với chất lưu hoàn hảo:

𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = �

�

Tenxơ năng lượng-động lượng

đối với điện từ:

𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜇𝜇1

0�𝐹𝐹 𝜆𝜆𝜇𝜇 𝐹𝐹𝜇𝜇𝜆𝜆

−1

4𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇𝐹𝐹𝜅𝜅𝜆𝜆𝐹𝐹𝜅𝜅𝜆𝜆�

Bảo toàn năng lượng-động

lượng:

𝜕𝜕𝜇𝜇𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 0

Phép toán trên chỉ số trong

TTĐH cho 𝑨𝑨𝝁𝝁 và 𝑩𝑩𝝁𝝁𝝁𝝁:

𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇 = �

−1 0 0 0

�

𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇, 𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇

𝐵𝐵𝜆𝜆 𝜇𝜇 = 𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵 𝜆𝜆𝜇𝜇 = 𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇,

𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝜂𝜂𝜅𝜅𝜇𝜇𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇

𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇,

𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝜂𝜂𝜅𝜅𝜇𝜇𝜂𝜂𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇

𝐴𝐴𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 và 𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇 là bất biến

Biến đổi Lorentz (𝑳𝑳) và biến đổi Lorentz ngược (𝑳𝑳�) giữa các HQC quán tính trong TTĐH:

𝐴𝐴′𝜇𝜇 = 𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇, 𝐴𝐴 𝜇𝜇′ = 𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇

𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝐿𝐿�𝜇𝜇 𝜇𝜇𝐴𝐴′𝜇𝜇, 𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝐿𝐿� 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝐴𝐴′𝜇𝜇

𝐵𝐵′𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜅𝜅𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜆𝜆𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆, 𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝐿𝐿�𝜇𝜇 𝜅𝜅𝐿𝐿�𝜇𝜇 𝜆𝜆𝐵𝐵′𝜅𝜅𝜆𝜆

𝐿𝐿𝜇𝜇 𝜇𝜇 =

�

�,

𝐿𝐿�𝜇𝜇 𝜇𝜇 = �

�

Các vectơ-4 đối với điện từ:

𝐽𝐽𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝜇𝜇 = (𝜌𝜌𝑐𝑐, 𝐽𝐽𝑣𝑣, 𝐽𝐽𝜕𝜕, 𝐽𝐽𝜕𝜕)

𝐴𝐴𝜇𝜇 = �𝑑𝑑𝑐𝑐 , 𝐴𝐴𝑣𝑣, 𝐴𝐴𝜕𝜕, 𝐴𝐴𝜕𝜕�

Tenxơ trường Maxwell:

3

𝐹𝐹𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 − 𝜕𝜕𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇

𝐹𝐹𝜇𝜇𝜇𝜇

=

⎝

⎜

⎛

0 𝐸𝐸𝑣𝑣/𝑐𝑐 𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐 𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐

−𝐸𝐸𝑣𝑣/𝑐𝑐 0 𝐵𝐵𝜕𝜕 −𝐵𝐵𝜕𝜕

−𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐 −𝐵𝐵𝜕𝜕 0 𝐵𝐵𝑣𝑣

−𝐸𝐸𝜕𝜕/𝑐𝑐 𝐵𝐵𝜕𝜕 −𝐵𝐵𝑣𝑣 0 ⎠

⎟

⎞

Hệ phương trình Maxwell:

� 𝜕𝜕𝜇𝜇𝐹𝐹𝜇𝜇𝜇𝜇 = −𝜇𝜇0𝐽𝐽𝜇𝜇

𝜕𝜕𝜆𝜆𝐹𝐹𝜇𝜇𝜇𝜇 + 𝜕𝜕𝜇𝜇𝐹𝐹𝜇𝜇𝜆𝜆 + 𝜕𝜕𝜇𝜇𝐹𝐹𝜆𝜆𝜇𝜇 = 0

Bảo toàn điện tích:

𝜕𝜕𝜇𝜇𝐽𝐽𝜇𝜇 = 0

Định luật lực Lorentz:

𝑑𝑑𝑝𝑝𝜇𝜇

𝑑𝑑𝜏𝜏 = 𝑞𝑞𝐹𝐹 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑢𝑢𝜇𝜇

Metric không-thời gian trong

thuyết tương đối rộng (TTĐR):

𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇, 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇

𝑑𝑑𝑠𝑠2 = −𝑐𝑐2𝑑𝑑𝜏𝜏2, 𝑑𝑑𝜏𝜏: khoảng thời

gian riêng

Đồng hồ đứng yên trong trọng

trường:

𝑑𝑑𝜏𝜏 = �−𝑔𝑔𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝑡𝑡

Khoảng cách riêng theo hướng

bán kính:

𝑑𝑑𝐿𝐿 = �𝑔𝑔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑

Giới hạn trường yếu:

𝑔𝑔𝜕𝜕𝜕𝜕 = −1 + 2𝜙𝜙/𝑐𝑐2, 𝜙𝜙 = thế năng trọng trường

Phép toán trên chỉ số trong TTĐR:

𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇, 𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇

𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 là nghịch đảo của 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇

𝐵𝐵𝜆𝜆 𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵 𝜆𝜆𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇,

𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜅𝜅𝜇𝜇𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇

𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇, 𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇,

𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝜅𝜅𝜇𝜇𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇

𝐴𝐴𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 và 𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇𝐵𝐵𝜇𝜇𝜇𝜇 là bất biến

Các phép biến đổi tọa độ trong TTĐR:

𝐴𝐴′𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜇𝜇𝜈𝜈 𝐴𝐴𝜇𝜇, 𝐴𝐴 𝜇𝜇′ = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜇𝜇𝜈𝜈 𝐴𝐴𝜇𝜇

𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜈𝜈𝜇𝜇 𝐴𝐴′𝜇𝜇, 𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜈𝜈𝜇𝜇 𝐴𝐴′ 𝜇𝜇

𝐵𝐵′𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜇𝜇𝜅𝜅 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣′𝜈𝜈𝜆𝜆 𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆, 𝐵𝐵 𝜇𝜇𝜇𝜇′ =

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜅𝜅

𝜕𝜕𝑣𝑣 ′𝜇𝜇

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜆𝜆

𝜕𝜕𝑣𝑣 ′𝜈𝜈𝐵𝐵𝜅𝜅𝜆𝜆

Các phương trình trắc địa:

𝑑𝑑2𝑥𝑥𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑠𝑠2 + Γ𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜅𝜅 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜆𝜆 = 0

4

𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠2𝑥𝑥2𝜇𝜇 + �𝜕𝜕𝜆𝜆𝑔𝑔𝜇𝜇𝜅𝜅

−12𝜕𝜕𝜇𝜇𝑔𝑔𝜅𝜅𝜆𝜆�𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜅𝜅 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠𝜆𝜆

= 0 Đối với tia sáng: 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 0 => dùng

tham số aphin

Ký hiệu Christoffel:

Γ𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇 = 12𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇(𝜕𝜕𝜆𝜆𝑔𝑔𝜇𝜇𝜅𝜅 + 𝜕𝜕𝜅𝜅𝑔𝑔𝜆𝜆𝜇𝜇

− 𝜕𝜕𝜇𝜇𝑔𝑔𝜅𝜅𝜆𝜆)

Metric trên mặt cầu:

𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑅𝑅2𝑑𝑑𝜃𝜃2 + (𝑅𝑅 sin 𝜃𝜃)2𝑑𝑑𝜙𝜙2

Metric Schwarzschild:

𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = − �1 −𝑅𝑅𝑑𝑑 � 𝑐𝑐𝑠𝑠 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2

1 − 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑑𝑑 2 [𝑑𝑑𝜃𝜃 2

+ (sin 𝜃𝜃) 2 𝑑𝑑𝜙𝜙 2 ]

Bán kính Schwarzschild:

𝑅𝑅𝑠𝑠 = 2𝐺𝐺𝐺𝐺𝑐𝑐2

Dịch chuyển đỏ do hấp dẫn:

1 + 𝑧𝑧 = 1/�1 − 𝑅𝑅𝑠𝑠/𝑑𝑑

Rơi tự do theo bán kính trong

metric Schwarzschild:

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝜏𝜏 =

𝐾𝐾 𝐴𝐴

1 𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜏𝜏 = �𝐾𝐾2 − 𝐴𝐴

𝐴𝐴 = 1 − 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑠𝑠

Phương trình quỹ đạo tổng quát (Schwarzschild):

�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜏𝜏�

2

+ 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑑𝑑) = 𝐸𝐸2

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑑𝑑) = �1 −2𝐺𝐺𝑑𝑑 � �1 +𝑑𝑑𝐿𝐿22�

Metric FLRW:

𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = −𝑐𝑐 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2

+ 𝑎𝑎(𝑡𝑡) 2 �1 − 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 2 + 𝑑𝑑 2 (𝑑𝑑𝜃𝜃 2

+ (sin 𝜃𝜃) 2 𝑑𝑑𝜙𝜙 2 )�

Tenxơ Riemann:

𝑑𝑑𝐴𝐴𝜅𝜅 = 𝑅𝑅 𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 𝐴𝐴𝜆𝜆𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇

𝑅𝑅 𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 = 𝜕𝜕𝜇𝜇Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜅𝜅 − 𝜕𝜕𝜇𝜇Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜅𝜅 + Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇

− Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅 Γ𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇

𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅𝜆𝜆 = 𝑅𝑅𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇

𝑅𝑅𝜆𝜆𝜅𝜅𝜇𝜇𝜇𝜇 = −𝑅𝑅𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇

Tenxơ Ricci:

𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑅𝑅 𝜇𝜇𝜆𝜆𝜇𝜇𝜆𝜆

5

𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝜆𝜆Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜆𝜆 − 𝜕𝜕𝜇𝜇Γ𝜇𝜇𝜆𝜆𝜆𝜆 + Γ𝜅𝜅𝜆𝜆𝜅𝜅 Γ𝜇𝜇𝜇𝜇𝜆𝜆

− Γ𝜇𝜇𝜆𝜆𝜅𝜅 Γ𝜇𝜇𝜅𝜅𝜆𝜆

𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 = 0 trong chân không

Vô hướng Ricci:

𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇

Tenxơ Einstein:

𝐺𝐺𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 −12𝑅𝑅𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇

Phương trình Einstein:

𝐺𝐺𝜇𝜇𝜇𝜇 = 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑐𝑐4 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇

𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 = 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑐𝑐4 �𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 −12𝑇𝑇𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇�

𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 𝜇𝜇𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇

Phương trình Friedmann:

�𝑎𝑎̇𝑎𝑎�2 = 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝜌𝜌(𝑡𝑡)3 −𝑘𝑘𝑐𝑐𝑎𝑎22

Phương trình chệch trắc địa:

𝐷𝐷2𝜉𝜉𝜇𝜇

𝑑𝑑𝜏𝜏2 + 𝑅𝑅 𝜇𝜇𝜈𝜈𝜈𝜈𝜇𝜇 𝑢𝑢𝜇𝜇𝜉𝜉𝜈𝜈𝑢𝑢𝜈𝜈 = 0

Phép phân tích Ricci (Tenxơ

Weyl):

𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇𝜈𝜈𝜈𝜈 = 𝐶𝐶𝜇𝜇𝜇𝜇𝜈𝜈𝜈𝜈

+ �𝑔𝑔 𝜇𝜇[𝜈𝜈 𝑅𝑅𝜈𝜈]𝑣𝑣

− 𝑔𝑔𝜇𝜇[𝜈𝜈𝑅𝑅𝜈𝜈]𝜇𝜇�

−𝑅𝑅3 𝑔𝑔𝜇𝜇[𝜈𝜈𝑔𝑔𝜈𝜈]𝜇𝜇

Metric Reissner-Nordström:

𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = − �1 −2𝐺𝐺𝐺𝐺𝑐𝑐2𝑑𝑑 +𝑐𝑐𝐺𝐺𝑑𝑑4𝑑𝑑22� 𝑐𝑐 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2

+ �1 −2𝐺𝐺𝐺𝐺𝑐𝑐2𝑑𝑑

+𝑐𝑐𝐺𝐺𝑑𝑑4𝑑𝑑22�

−1

𝑑𝑑𝑑𝑑 2 + 𝑑𝑑 2 𝑑𝑑Ω 2

Trong đó 𝑑𝑑Ω2 = 𝑑𝑑𝜃𝜃2 + sin2𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙2

Bán kính các chân trời của hố đen Reissner-Nordström:

𝑑𝑑± = 𝐺𝐺𝐺𝐺

𝑐𝑐2 ± ��𝐺𝐺𝐺𝐺

𝑐𝑐2 �2 − �𝐺𝐺𝑑𝑑

𝑐𝑐2 �2 Điều kiện tồn tại: 𝐺𝐺2 ≥ 𝑑𝑑2

Không-thời gian phản de Sitter (AdS) và de Sitter (dS):

𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = − �1 +𝑑𝑑𝐿𝐿22� 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2

1 + 𝑑𝑑𝐿𝐿22 + 𝑑𝑑 2 𝑑𝑑Ω 2 (𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴) 𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = − �1 −𝑑𝑑𝐿𝐿22� 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2

1 − 𝑑𝑑𝐿𝐿22 + 𝑑𝑑 2 𝑑𝑑Ω 2 (𝑑𝑑𝐴𝐴)

6

Metric Kerr trong tọa độ

Boyer-Lindquist:

𝑑𝑑𝑠𝑠 2

= − �1 −2𝐺𝐺𝑑𝑑Σ � 𝑑𝑑𝑡𝑡2

−4𝐺𝐺𝑎𝑎𝑑𝑑 sin2𝜃𝜃

Σ 𝑑𝑑𝜙𝜙𝑑𝑑𝑡𝑡 +

Σ

Δ 𝑑𝑑𝑑𝑑2 + Σ𝑑𝑑𝜃𝜃 2

+ �𝑑𝑑 2 + 𝑎𝑎 2

+2𝐺𝐺𝑎𝑎2𝑑𝑑 sinΣ 2𝜃𝜃� sin 2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙 2

Với Σ = 𝑑𝑑2 + 𝑎𝑎2cos2𝜃𝜃, Δ =

𝑑𝑑2 − 2𝐺𝐺𝑑𝑑 + 𝑎𝑎2 và 𝑎𝑎 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝐽𝐽

Bán kính chân trời ngoài và

trong:

𝑑𝑑+ = 𝐺𝐺 + √𝐺𝐺2 − 𝑎𝑎2 (chân trời

ngoài – chân trời sự kiện)

𝑑𝑑− = 𝐺𝐺 − √𝐺𝐺2 − 𝑎𝑎2 (chân trời

trong – chân trời Cauchy)

Điều kiện tồn tại các chân trời:

PT 𝑑𝑑2 − 2𝐺𝐺𝑑𝑑 + 𝑎𝑎2 = 0 có

nghiệm hay 𝐺𝐺2 ≥ 𝑎𝑎2

Tốc độ góc của chân trời sự

kiện hố đen Kerr:

Ω𝐻𝐻 = 2𝐺𝐺𝑑𝑑𝑎𝑎

+

Quá trình Penrose:

𝐸𝐸𝑜𝑜𝑜𝑜𝜕𝜕 = 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖 + |𝐸𝐸𝑖𝑖𝑒𝑒𝑛𝑛|

Kéo hệ quy chiếu (hiệu ứng Lense-Thirring):

ΩL = 𝑐𝑐2𝐺𝐺𝐽𝐽2𝑑𝑑3

Vùng sinh công:

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑟𝑟𝑛𝑛𝑜𝑜 = 𝐺𝐺 + �𝐺𝐺2 − 𝑎𝑎2cos2𝜃𝜃

Phương trình động học hạt thử

và ánh sáng với metric Kerr:

• Phương trình động học bán kính và góc:

�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜏𝜏�2 =𝜌𝜌14[(𝐸𝐸(𝑑𝑑 2 + 𝑎𝑎 2 )

− 𝑎𝑎𝐿𝐿) 2 − Δ(𝑑𝑑 2

+ (𝐿𝐿 − 𝑎𝑎𝐸𝐸) 2

+ 𝑑𝑑)]

�𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜏𝜏�

2

=𝜌𝜌14�𝑑𝑑

− cos 2 𝜃𝜃 �𝑎𝑎 2 (1

− 𝐸𝐸 2 ) +sin𝐿𝐿22𝜃𝜃��

Vùng trong cùng tồn tại quỹ đạo tròn ổn định (ISCO – Innermost Stable Circular Orbit) với hố đen Kerr:

7

• Quỹ đạo cùng hướng:

𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐺𝐺�3 + 𝑍𝑍2−

�(3 − 𝑍𝑍1)(3 + 𝑍𝑍1+ 2𝑍𝑍2)�

• Quỹ đạo ngược hướng:

𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

= 𝐺𝐺 �3 + 𝑍𝑍2

+ �(3 − 𝑍𝑍1)(3 + 𝑍𝑍1+ 2𝑍𝑍2)�

Trong đó 𝑍𝑍1 = 1 + �1 −𝑀𝑀𝑎𝑎22�

1 3

��1 +

𝑎𝑎

𝑀𝑀 �

1

3 + �1 −𝑀𝑀𝑎𝑎�

1

3 � và 𝑍𝑍2 = �3𝑎𝑎𝑀𝑀22+ 𝑍𝑍12

Hằng số Carter đối với metric

Kerr:

𝐾𝐾 = 𝑑𝑑 + (𝐿𝐿 − 𝑎𝑎𝐸𝐸)2

Định lý Birkhoff:

𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = − �1 −2𝐺𝐺𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑡𝑡2

+ �1 −2𝐺𝐺𝑑𝑑 �−1𝑑𝑑𝑑𝑑 2

+ 𝑑𝑑 2 𝑑𝑑Ω 2

Thấu kính hấp dẫn (bẻ cong

ánh sáng do hấp dẫn):

Δ𝜙𝜙 = 4𝐺𝐺𝐺𝐺𝑐𝑐2𝑏𝑏

Hằng số vũ trụ học 𝚲𝚲:

𝐺𝐺𝜇𝜇𝜇𝜇 + Λ𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 = 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑐𝑐4 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇

Hệ số tỷ lệ và quan hệ dịch chuyển đỏ:

1 + 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎(𝑡𝑡𝑎𝑎(𝑡𝑡)0)

Hệ phương trình Einstein tuyến tính hóa:

□ ℎ�𝜇𝜇𝜇𝜇 = −16𝜋𝜋𝐺𝐺

𝑐𝑐4 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 Trong đó ℎ�𝜇𝜇𝜇𝜇 = ℎ𝜇𝜇𝜇𝜇 −12𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇ℎ

Sóng hấp dẫn:

• Nhiễu loạn metric: 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 =

𝜂𝜂𝜇𝜇𝜇𝜇 + ℎ𝜇𝜇𝜇𝜇

• Công thức tứ cực: ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇 =

2𝐺𝐺

𝑐𝑐 4 𝑅𝑅𝑑𝑑̈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇

• Biên độ căng: ℎ ≈ 4𝐺𝐺𝑐𝑐4 𝑄𝑄̈𝑅𝑅

Phóng xạ Hawking:

𝑇𝑇𝐻𝐻 = 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝐺𝐺𝑘𝑘ℏ𝑐𝑐3

𝐵𝐵

Entropy Bekenstein-Hawking:

𝐴𝐴 = 𝑘𝑘4𝐺𝐺ℏ𝐵𝐵𝑐𝑐3𝐴𝐴

Các định luật nhiệt động lực học hố đen:

• Định luật I: 𝑑𝑑𝐺𝐺 =

𝜅𝜅 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑑𝑑𝐴𝐴 + Ω𝐻𝐻𝑑𝑑𝐽𝐽 + Φ𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑

8

• Định luật II: 𝛿𝛿𝐴𝐴 ≥ 0

• Định luật III: 𝜅𝜅 → 0 khi

𝑇𝑇 → 0

• Định luật 0: 𝜅𝜅 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 trên

chân trời sự kiện

Vectơ Killing:

• Phương trình vectơ Killing:

∇(𝜇𝜇𝜉𝜉𝜇𝜇) = 0

• Đại lượng bảo toàn (với

một hạt có vận tốc-4 𝑢𝑢𝜇𝜇):

𝜉𝜉𝜇𝜇𝑢𝑢𝜇𝜇 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡

Hình thức luận ADM:

• Phép phân tích metric

ADM: 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = −𝑁𝑁2𝑑𝑑𝑡𝑡2 +

ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 +

𝑁𝑁𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡)

• Hamiltonian ADM: 𝐻𝐻 =

∫ 𝑑𝑑3𝑥𝑥(𝑁𝑁ℋ + 𝑁𝑁𝑖𝑖ℋ𝑖𝑖) trong

đó ℋ và ℋ𝑖𝑖 lần lượt là ràng

buộc Hamiltonian và động

lượng

Biến đổi bảo giác:

𝑔𝑔�𝜇𝜇𝜇𝜇 = Ω2𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇

Khái niệm giản đồ Penrose:

Còn gọi là giản đồ

Penrose-Carter hay giản đồ bảo giác

(conformal diagram), là một

phương pháp minh họa trực quan

cấu trúc nhân quả của không-thời gian

Trên giản đồ Penrose: mỗi điểm biểu diễn một quỹ tích dạng cầu gồm các hướng trong KTG Giản đồ gồm: trục thời gian, không gian, nón ánh sáng, điểm

kì dị, chân trời sự kiện, vô cùng

Khoảng cách đồng chuyển động và khoảng cách riêng:

𝐷𝐷𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 �𝐻𝐻(𝑧𝑧𝑑𝑑𝑧𝑧′′)

𝜕𝜕

0

𝐷𝐷𝑝𝑝 = 𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝐷𝐷𝑐𝑐

Khoảng cách chân trời:

𝐷𝐷ℎạ𝜕𝜕 = 𝑐𝑐 �𝑎𝑎(𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡′′)

𝜕𝜕

0

𝐷𝐷𝑠𝑠ự 𝑘𝑘𝑖𝑖ệ𝑖𝑖 = 𝑐𝑐 � 𝑎𝑎(𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡′′)

∞

𝜕𝜕

Metric Kerr-Newman:

9

𝑑𝑑𝑠𝑠 2

= − �1 −2𝐺𝐺𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝜌𝜌2 2� 𝑐𝑐 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2

+𝜌𝜌Δ 𝑑𝑑𝑑𝑑2 2 + 𝜌𝜌 2 𝑑𝑑𝜃𝜃 2

+ �𝑑𝑑 2 + 𝑎𝑎 2

+ (2𝐺𝐺𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 2 )𝑎𝑎 2 sin 2 𝜃𝜃

𝜌𝜌 2 � sin 2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙 2

− (2𝐺𝐺𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 2 ) asin 2 𝜃𝜃

𝜌𝜌 2 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝜙𝜙

Khi nào dùng metric gì?

Schwarzschild Không Không

Metric Ellis:

𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = −𝑑𝑑𝑡𝑡 2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 + (𝑑𝑑 2 + 𝑏𝑏 2 )(𝑑𝑑𝜃𝜃 2

+ sin 2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙 2 )

Metric Morris-Thorne:

𝑑𝑑𝑠𝑠 2 = −𝑒𝑒 2Φ(𝑟𝑟) 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2

1 − 𝑏𝑏(𝑑𝑑)𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 2 (𝑑𝑑𝜃𝜃 2 + sin 2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙 2 ) Trong đó Φ(𝑑𝑑) là hàm dịch

chuyển đỏ, 𝑏𝑏(𝑑𝑑) là hàm hình học

của miệng hố sâu

Điều kiện của 𝒃𝒃(𝒓𝒓) để hố sâu

Morris-Thorne có thể đi qua:

• 𝑏𝑏(𝑑𝑑0) = 𝑑𝑑0, với 𝑑𝑑0 là bán kính miệng hố sâu

• 𝑏𝑏′(𝑑𝑑) < 𝑏𝑏(𝑟𝑟)𝑟𝑟 ∀𝑑𝑑 > 𝑑𝑑0

• 𝑏𝑏(𝑟𝑟)−𝑏𝑏′(𝑟𝑟)𝑟𝑟

2𝑏𝑏(𝑟𝑟) 2 > 0∀𝑑𝑑 > 𝑑𝑑0 hay

𝑏𝑏′(𝑑𝑑0) < 1

• 𝑏𝑏(𝑟𝑟)

𝑟𝑟 → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞

• Lực ảnh hưởng lên người hoặc vật đi qua hố sâu phải

ở mức hợp lý Vì vậy

�𝑏𝑏′𝑟𝑟(𝑟𝑟)2 � < một ngưỡng nào

đó

Điều kiện của 𝚽𝚽(𝒓𝒓) để hố sâu Morris-Thorne có thể đi qua:

• Φ(𝑑𝑑) hữu hạn với mọi 𝑑𝑑

• Φ(𝑑𝑑) → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞

• Lực ảnh hưởng lên người hoặc vật đi qua hố sâu phải

ở mức hợp lý Vì vậy

�𝜕𝜕𝜕𝜕𝑟𝑟2Φ2� < một ngưỡng nào đó

Tenxơ năng lượng-động lượng cho chất lưu phi đẳng hướng:

𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇 = (𝜌𝜌 + 𝜌𝜌𝜕𝜕)𝑢𝑢𝜇𝜇𝑢𝑢𝜇𝜇 + 𝑝𝑝𝜕𝜕𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇

+ (𝑝𝑝𝑟𝑟 − 𝑝𝑝𝜕𝜕)χμ𝜒𝜒𝜇𝜇

Tác động Einstein-Hilbert và Nguyên lý biến thiên:

10

𝐴𝐴 = 16𝜋𝜋𝐺𝐺1 ∫ 𝑑𝑑4𝑥𝑥�−𝑔𝑔(𝑅𝑅 − 2Λ)

+ 𝐴𝐴𝑚𝑚 𝛿𝛿𝐴𝐴 = 0 => 𝐺𝐺𝜇𝜇𝜇𝜇 + Λ𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇

= 8𝜋𝜋𝐺𝐺𝑐𝑐4 𝑇𝑇𝜇𝜇𝜇𝜇

Metric Alcubierre:

𝑑𝑑𝑠𝑠2 = −𝑐𝑐2𝑑𝑑𝑡𝑡2

+ [𝑑𝑑𝑥𝑥

− 𝑣𝑣𝑠𝑠(𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑡𝑡]2

+ 𝑑𝑑𝑦𝑦2 + 𝑑𝑑𝑧𝑧2 Điều kiện của 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠):

• 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞

• 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) ≈ 1 với 𝑑𝑑𝑠𝑠 trong một

vùng nhỏ xung quanh vật

thể được đẩy đi (bên trong

phần bong bóng warp,

không-thời gian là phẳng)

• 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) biến thiên mượt giữa

bên trong và bên ngoài

Hàm 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠) thường dùng:

𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑠𝑠)

= tanh�𝜎𝜎(𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝑅𝑅)� − tanh�𝜎𝜎(𝑑𝑑𝑠𝑠 − 𝑅𝑅)�

2tanh (𝜎𝜎𝑅𝑅)

Hình thức luận tham số hóa

hậu Newton (Parameterized

Post-Newtonian – PPN

formalism):

Tenxơ metric trong HTL PPN:

𝑔𝑔00 = −1 + 2𝑈𝑈 − 2𝛽𝛽𝑈𝑈 2 + 2𝜉𝜉Φ𝑊𝑊+ (2𝛾𝛾 + 2 + 𝛼𝛼3+ ζ1− 2𝜉𝜉)Φ1+ (3𝛾𝛾 +

1 + 𝜁𝜁2+ 𝜉𝜉)Φ2+ (𝜁𝜁3− 2𝜉𝜉)Φ3+ (𝜁𝜁4− 2𝜉𝜉)Φ4− (𝛼𝛼1− 𝛼𝛼2+ 𝛼𝛼3)𝐴𝐴 −

𝛼𝛼2ℬ,

𝑔𝑔0𝑖𝑖 = −12(4𝛾𝛾 + 3 + 𝛼𝛼1− 𝛼𝛼2+ 𝜁𝜁1− 2𝜉𝜉)𝑑𝑑𝑖𝑖 −12(1 + 𝛼𝛼2 − 𝜁𝜁1 + 2𝜉𝜉)𝑊𝑊𝑖𝑖,

𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 = (1 + 2𝛾𝛾𝑈𝑈)𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 Trong đó các thế

𝑈𝑈, Φ1,2,3,4,𝑊𝑊, 𝐴𝐴, ℬ, 𝑑𝑑𝑖𝑖, 𝑊𝑊𝑖𝑖 được định nghĩa như sau:

• 𝑈𝑈 = ∫ 𝜈𝜈|𝒙𝒙−𝒙𝒙′𝑑𝑑3𝑣𝑣′|′

• Φ1 = ∫𝜈𝜈′|𝒙𝒙−𝒙𝒙𝑣𝑣′2𝑑𝑑′3|𝑣𝑣′

• Φ2 = ∫𝜈𝜈′|𝒙𝒙−𝒙𝒙𝑈𝑈′𝑑𝑑3′|𝑣𝑣′

• Φ3 = ∫𝜈𝜈′|𝒙𝒙−𝒙𝒙Π′𝑑𝑑3′|𝑣𝑣′

• Φ4 = ∫𝑝𝑝|𝒙𝒙−𝒙𝒙′𝑑𝑑3𝑣𝑣′|′

• Φ𝑊𝑊 = ∫𝜈𝜈′�𝒗𝒗|𝒙𝒙−𝒙𝒙′.𝒙𝒙′�′2|3𝑑𝑑3𝑣𝑣′

• 𝐴𝐴 = ∫𝜈𝜈′(𝒗𝒗|𝒙𝒙−𝒙𝒙′.𝒙𝒙′)𝑑𝑑′ | 33𝑣𝑣′

• ℬ = ∫𝜈𝜈′𝒗𝒗′.(𝒙𝒙−𝒙𝒙′)𝑑𝑑|𝒙𝒙−𝒙𝒙′ | 3 3𝑣𝑣′

• 𝑑𝑑𝑖𝑖 = ∫𝜈𝜈′𝑣𝑣𝑖𝑖′𝑑𝑑3𝑣𝑣′

|𝒙𝒙−𝒙𝒙′|

• 𝑊𝑊𝑖𝑖 =

∫𝜈𝜈′�𝒗𝒗′.�𝒙𝒙−𝒙𝒙|𝒙𝒙−𝒙𝒙′���𝑣𝑣′|3𝑖𝑖−𝑣𝑣𝑖𝑖′�𝑑𝑑3𝑣𝑣′

11

Giản đồ Penrose của không-thời gian Minkowski:

Giản đồ Penrose của không-thời gian Schwarzschild: