Dhtdt ctrr lecture 03 (2)

Đề cấu trúc rời rạc năm 2023-2024 trường đại học tôn đức thắng. Question 3: Set a. Create a set Γ of characters from your case-insensitive non-diacritical full name. For example, the set corresponding with “Tôn Đức Thắng” is Δ = {A, C, D, G, H, N, O, T, U}. b. Find the union, intersect, non-symmetric difference, and symmetric difference of Γ and Δ, where Γ and Δ are from question 3a.

DISCRETE STRUCTURES

Sets Sequences_and_Recursion

TS Nguyễn Thị Huỳnh Trâm

1

Predicates Statements

1) Predicates  Statement: Assign specific values to all their variables

2) Statement predicates: removing some or all of the nouns from a statement

Nam is a student at TDTU

Statement Mệnh đề (Có thể xác định được chân

trị 1 hoặc 0)

P(x) = “x is a student at TDTU”

Q(x, y) = “x is a student at y”

R(x, y, z) = “x is z at y”

Predicate variables P(x) Biến vị từ

P,Q,R are predicate symbols

ký hiệu vị từ

2

• Definition (Predicate): A predicate is a sentence that contains a finite number of variables and becomes a statement when specific values are substituted for the

students at CS students at TDTU

students at UL

z

y

x x

3

When an element in the domain of the variable of a

one-variable predicate is substituted for the one-variable, the

resulting statement is either true or false

Predicates Statements

Definition (Truth Set)

If P(x) is a predicate and x has domain D, the truth set is the set of all elements of D that make P(x) true when they are substituted for x

The truth set of P(x) is denoted

Definition (Universal Quantifier  - Lượng từ phổ dụng )

Let P(x) be a predicate and D the domain of x A universal statement is a statement of the form ““x  D, P(x)””

It is defined to be true iff P(x) is true for every x in D

It is defined to be false iff P(x) is false for at least one x in D

A value for x for which P(x) is false is called a counterexample

Cho P(x) là một vị từ theo một biến xác định trên D

Lượng từ hóa của vị từ P(x): “Với mọi x thuộc D, P(x)

“x  D, P(x)”

Lượng từ đúng khi và chỉ khi P(x) luôn đúng với mọi giá trị x D

D={x1, x2, x3, xn}x  D, P(x) đúng P(x1) ꓥ P(x2) ꓥ … ꓥ P(xn) đúng

p  q q

p

1 1 1

0 0 1

0 1 0

0 0 0

5

1) Definition: “A set is a collection into a whole, M” (Georg Cantor )

(Tập hợp là một nhóm các đối tượng và nhìn nhận chúng thành một)

2) Describe (mô tả):

a) Roster method: Listing all members which are listed between

braces when this is possible

(Liệt kê hết tất cả các phần tử khi có thể Các phần tử được liệt

kê cách nhau bởi dấu phẩy)

Ex: F = {apple, orange, red, unicorn}

6

(Tập hợp thường được dùng để nhóm các đối tượng có cùng chung tính chất Tuy

nhiên vẫn có thể biểu diễn tập hơp gồm những đối tượng không có liên quan với

nhau)

Ex: A= {a, 2, Fred, New Jersey} is the set containing the four elements a, 2, Fred, and New Jersey

7

2) Describe (mô tả):

a) Roster method:

 Sometimes the roster method is used to describe a set without listing all its

members Some members of the set are listed, and then ellipses ( .) are used when the general pattern of the elements is obvious

(Thỉnh thoảng phương pháp này còn được sử dụng để mô tả một tập hợp nhưngkhông liệt kê hết tất cả các phần tử Thay vào đó chỉ một vài phần tử được liệt kê vàdấu …được dùng để chỉ những phần tử hiển nhiên )

Ex: The set of positive integers less than 100 can be denoted by {1, 2, 3, , 99}

Set

8

2) Describe (mô tả):

b) Set builder method:

 We characterize all those elements in the set by stating the property or properties they must have to be members (Chỉ ra tính chất chung của các phần tử)

3) Some important sets in discrete mathematics:

N = {0, 1, 2, 3, }, the set of natural numbers (số tự nhiên)

Z = { , -2, -1, 0, 1, 2, }, the set of integers (số nguyên)

Z+ = {1, 2, 3, }, the set of positive integers (nguyên dương)

Q = {p/q | p Z, q Z, and q = 0}, the set of rational numbers (số hữu tỉ)

R, the set of real numbers (số thực)

R+, the set of positive real numbers (số thực dương)

C, the set of complex numbers (số phức)

: The empty set (null set) is the set has no element (tập rỗng)

(Tập rỗng là tập duy nhất)

Singleton set: a set with one element

Set

10

Set Relation (Quan hệ giữa các tập hợp)

Subset(Tập hợp con) The set A is a subset of B if and only

if every element of A is also an element of B

(A là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều nằm trong B

Power set of a set (Tập lũy thừa )

Definition P(S), the power set of S is the set of all subsets of set S If S has n elements, then its power set has 2n elements Tập lũy thừa là tất cả các tập con của S Tập có n phần tử thì tập lũy thừa của nó có 2n phần tử

Power set of a set

Definition P(S), the power set of S is the set of all subsets of set S If a set has n

elements, then its power set has 2n elements Tập lũy thừa là tất cả các tập con của S Tập có n phần tử thì tập lũy thừa của nó có 2n phần tử

P(S) = {x | x là tập con của tập {a,b}}

Definition P (S), the power set of S is the set of all subsets of set S If a set has n

elements, then its power set has 2n elements Tập lũy thừa là tất cả các tập con của S Tập có n phần tử thì tập lũy thừa của nó có 2n phần tử

Definition 6.1.1 S is a subset of T (or S is contained in T, or T contains S, or T is a

superset of S) if all the elements of S are elements of T We write S T1

Warning: Do not confuse S T with S T

4 S

A set V is a proper subset, of T, denoted V T, iff V T and there is at least one element

in T that is not in V Therefore, a set cannot be a proper subset of itself

a b

a b

a b

e f

e f

Biểu đồ Venn

ꓦ

Ví dụ

a

b dc

e f

a b

a b

a b

e f

e f

Set Operations

ꓥ

Disjoint (Rời nhau): Two sets are called disjoint if, and only if, they have no elements in common Hai tập được gọi là rời nhau nếu giao của chúng là tập rỗng

Set Operations

Sets A1,A2,A3,…are mutually disjoint (or pairwise disjoint or nonoverlapping) if, and only if, not two set Ai and Aj with distinct subscripts have any elements in common More precisely, for all integers i and j =1,2,3… whenerver

Ex: V = { 1,2},{3},{{1},{2}}} are mutually disjoint

A finite or infinite collection of nonempty sets {A1,A2,A3,…} is a partition of a set A if, and only if

1 A is a union of all the Ai

2 The set A1,A2,A3,…are mutually disjoint

3

1 2

1 2

a b

a b

a b

e f

e f

Difference (Phép hiệu) The difference of B minus A (or relative complement of A in B) is the set

of all elements that are in B and not A (Hiệu của tập hợp B và tập hợp A thuộc tập vũ trụ U

là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử vừa thuộc B mà không thuộc B.)

e f

B \A = { e, f }

Biểu đồ Venn

Set Operations

ꓥ ∉

a b

a b

a b

e f

e f

Symmetric difference (Phép hiệu đối xứng) The symmetric difference of B and A (denoted A B) is the set whose elements belong to A or B but not both, nothing less and nothing more

e f

A⊖B = { a,b, e, f }

Biểu đồ Venn

Set Operations

Ví dụ

a

b dc

e f

a b

a b

a b

e f

e f

Complement(Phần bù) The complement of A, denoted Ac, is the set of all elements in U that are not in A (Phần bù của tập hợp A thuộc tập vũ trụ U là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tửkhông thuộc A.)

e f

e, f , g, h }



Biểu đồ Venn

g h

Set Operations

Venn diagram

a b

c

d ef ab dc ef ab cd ef ab dc ef g

h

closed interval open interval

Set Operations

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐴 ꓦ 𝑥 ∈ 𝐵 }

𝐴 = 𝐴 = 𝑈\A = {(𝑥 ∈ 𝑈/𝑥𝐴)

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐴 ꓥ 𝑥 ∈ 𝐵 } 𝐵\A = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐵 ꓥ 𝑥 𝐴 }

Phần tử trung hòa

Tính thống trị

Tính lũy đẳng

Tính giao hoán

Tính kết hợp

Tính phân phối

Luật hấp thụ

Phần bù

ꓦ

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐴 ꓥ 𝑥 ∈ 𝐵 }

(A ꓴ B)c = Ac ꓵ Bc:

1 Take any two sets: A; B

2 (Need to show that (A ꓴ B)c Ac ꓵ Bc)

3 For any x ∈ (A ꓴ B)c:

4 x ∉(A ꓴ B), by definition of complement

5 So (x ∈ A ꓦ x ∈ B), by definition of union

6 Thus x ∉ A ꓥ x ∉ B, by De Morgan’s laws

7 Thus x ∈ Ac ꓥ x ∈ Bc, by definition of complement

8 Thus x ∈ Ac ꓵ Bc, by definition of intersection

9 Thus (A ꓴ B)c Ac ꓵ Bc, by definition of subset

10 (Now, need to show that Ac ꓵ Bc (A ꓴ B)c)

11 For any x ∈ Ac ꓵ Bc:

12 x Ac ꓥ x Bc, by definition of intersection

13 Thus x A ꓥ x B, by definition of complement

14 Thus (x A ꓦ x B), by De Morgan’s laws

15 Thus x A ꓴ B, by definition of union

16 Thus x (A ꓴ B)c, by definition of complement

17 Thus Ac ꓵ Bc (A ꓴ B)c, by definition of subset

18 Hence (A ꓴ B)c = Ac ꓵ Bc, by Proposition 6.3.3

28

Definition 6.4.1 (Union)

Let S be a set of sets, then we say that T is the union of the sets in S, and write:

∈Iff each element of T belongs to some set in S, nothing less and nothing more That is,

For two sets A, B, we may simply write

Definition 6.4.3 (Intersection)

Let S be a non-empty set of sets The intersection of the sets in S is the set T whose

elements belong to all the sets in S, nothing less and nothing more

That is, given S, the set T is such that

∈For two sets A, B, we may simply write

Definition 6.4.3 (Intersection)

Let S be a non-empty set of sets The intersection of the sets in S is the set T whose

elements belong to all the sets in S, nothing less and nothing more

That is, given S, the set T is such that

∈For two sets A, B, we may simply write

32

Biểu diễn các tập hợp trên máy tính

Computer Representation of Sets

Cho tâp vũ trụ U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} và sự sắp xếp các phần tử trong U theo thứ tự tang dần, tức là ai=i Xác định chuỗi bit biểu diễn tập con các số nguyên lẻ trong U, tập con các số nguyênchẵn trong U và tập con các số nguyên không vượt quá 5 trong U

+ Tập các số nguyên lẻ trong U cụ thể là {1,3,5,7,9} có bit 1 ở các vị trí thứ nhất, thứ 3, thứ 5, thứ 7 và thứ 9, và bit 0 cho các vị trí còn lại U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tập các số nguyên lẻTập các số nguyên chẵnTập các số nguyên không vượt quá 5

0101010101

1010101010

0000011111

0101011111

0000010101

Tích descartes của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với

Ký hiệu A.B hoặc A x B

Ví dụ:Xác định tích Descartes của A ={1,2} và B = {a,b,c}

Tích descartes của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với

Ký hiệu A.B hoặc A x B

Ví dụ:Xác định tích Descartes của A ={1,2} và B = {a,b,c}

Definition 8.1.3

Let S and T be two sets The Cartesian product (or cross product) of S and T, noted S x T

Notice that the Cartesian product is neither commutative nor associative

This is a tabular representation of the Cartesian product of

×

S T ={(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Định nghĩa Cho hai tập hợp X, Y   Ánh xạ f từ tập X vào Y là phép tương ứng liên kếtvới mỗi phần tử x của X với 1 một phần tử duy nhất y của Y mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnhcủa x bởi f khi đó y = f(x)

87

6Đại

MaiNhânVân

9

Thảo

Điểm toán rời rạc

Định nghĩa Nếu f là một hàm từ A vào B thì A được gọi là miền xác định (domain) của f và B làmiền giá trị (co-domain) của f

87

6Đại

MaiNhânVân

9

Thảo

Điểm toán rời rạc

Ánh xạ

Định nghĩa Nếu f(a)=b ta nói b là ảnh của a (image of a under f) và a là một nghịch ảnh của b (a preimage of b = or an inverse image of y) Tập hợp tất cả các ảnh của các phần tử thuộc A được gọi là ảnh của A qua hàm f

87

6Đại

MaiNhânVân

6Đại

Phân loại ánh xạ:Đơn ánh (One-To-One Function)

ĐN1: Một hàm f : X  Y được gọi là đơn ánh hay một-một nếu và chỉ nếu f(x) = f(y) kéotheo x =y đối với mọi x và y trong miền xác định của hàm f

ĐN2: Một hàm f : X  Y là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mỗi x y

VD: Xác định hàm f từ {a, b, c, d} đến {1, 2, 3, 4, 5} with f (a) = 4, f (b) = 5, f (c) = 1, và f (d) = 3 có làhàm đơn ánh không

Hàm f là đơn ánh vì f nhận cácgiá trị khác nhau tại bốn phần tửcủa miền xác định

87

6Đại

Phân loại ánh xạ: One-To-One Function

ĐN1: Một hàm f : X  Y được gọi là đơn ánh hay một-một nếu và chỉ nếu f(x) = f(y) kéotheo x =y đối với mọi x và y trong miền xác định của hàm f

ĐN2: Một hàm f : X  Y là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mỗi x y VD: Xác định hàm f (x) = x2 từ tập các số nguyên đến tập các số nguyên có phải là đơnánh không?

f (x) = x2

Hàm f không là đơn ánh vì với x =1

và y =-1 mà f(1) = f(-1) = 1

Phân loại ánh xạ:One-To-One Function

ĐN1: Một hàm f : X  Y được gọi là đơn ánh hay một-một nếu và chỉ nếu f(x) = f(y) kéotheo x =y đối với mọi x và y trong miền xác định của hàm f

ĐN2: Một hàm f : X  Y là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mỗi x y

ĐN 3: Một hàm f có miền xác định và miền giá trị đều là tập con của tập các số thực

được gọi là thực sự tăng nếu f(x) < f(y) khi x<y với x và y thuộc miền xác định của f Tương tự f được gọi là thực sự giảm nếu f(x)>f(y) khi x<y với x và y thuộc miền xácđịnh của f Khi đó các hàm thực sự tăng hoặc thực sự giảm đều là các hàm đơn ánh

thực sự tăng x<y f(x) < f(y)

x f(x) thực sự giảm x<y f(x)>f(y)

Phân loại ánh xạ - Toàn ánh (OnTo Function)

ĐN4: Một hàm f : X  Y được gọi là toàn ánh nếu và chỉ nếu đối với mọi phần tử

Phân loại ánh xạ - OnTo Function

ĐN4: Một hàm f : X  Y được gọi là toàn ánh nếu và chỉ nếu đối với mọi phần tử

Hàm này không phải là toàn ánh vì không có

một số nguyên nào cho x2=-1

f (x) = x2

ĐN5: f : X  Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

VD: Hàm f đi từ {a, b, c, d} đến {1, 2, 3, 4} với f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1, và f (d) = 3 Hàm f có là song ánh không

Phân loại ánh xạ - Song ánh (Bijection)

Hàm f là song ánh vì f là đơn ánh và toàn ánh

Hàm f là đơn ánh vì luôn nhận các giá trị phân biệt

f là toàn ánh vì bốn phần tử của miền giá trị đều là ảnh của các phần tử thuộc miền xác định

Suppose that f : A → B.

To show that f is injective (One-to-One)

Show that if f (x) = f (y) for arbitrary x, y A with , then x = y

To show that f is not injective

Find particular elements x, y A such that and f (x) = f (y)

To show that f is surjective (Onto)

Consider an arbitrary element y B and find an element x A such that f (x) = y

To show that f is not surjective

Phân loại ánh xạ

Let R S × T be a binary relation from S to T

Definition 8.2.2: The domain of R is the set Dom(R) = {s S| t T (s R t)}

Definition 8.2.3 The image (or the range) of R is the set Im(R) = {t S| s S (s R t)}

Definition 8.2.4: The co-domain of R is the set coDom(R) = T

Proposition 8.2.5: Let R be a binary relation Then Im(R) coDom(R)

-3

Definition 8.2.6

Let S and T be sets Let R S × T be a binary relation The inverse of the relation R,

denoted R -1, is the relation from T to S such that: s S, t T(t R -1 s s R t)

Definition 8.2.7

Let Si, for i = 1 to n, be n sets An n-ary relation on the sets Si, denoted R, is a subset of the Cartesian product We call n the arity or degree of the relation 66

Definition 8.2.8

Let S, T and U be sets Let R S × T be a relation Let R‘ T × U be a relation The

composition of R with R‘ , denoted R‘◦R, is the relation from S to U such that:

s S, z U(x R‘◦R z ( y U (xR y ^ y R‘z)))

In other words, x S and z U are related iff there is a “path“ from x to z via some

Proposition 8.2.9 (Composition is Associative)

Let S,T, U, V be sets Let R S × T be a relation Let R‘ T × U be a relation

Let A be a set, and R A × A be a relation We say that R is a relation on A.

R is said to be transitive iff x, y, z A ((x R y ꓥ y R z) → x R z)

Properties of Relations on a Set

Definition 8.3.4

Let R be a relation on a set A R is called an equivalence relation iff R is reflexive, symmetric, and transitive

69

Let A be a set, and R A × A be a relation We say that R is a relation on A.

R is said to be transitive iff x, y, z A ((x R y ꓥ y R z) → x R z)

Properties of Relations on a Set

2 3 4 6 7 9

A

2 3 4 6 7 9

A R: x-y is divisible by 3 R: 2-2 is divisible by 3

R: 9-9 is divisible by 3

R: 4-7 is divisible by 3 R: 7-4 is divisible by 3

Example 2

Let A = {2, 3, 4, 6, 7, 9} and define a relation R on A