Dhtdt ctrr lecture 03 (2)

Đề cấu trúc rời rạc năm 2023-2024 trường đại học tôn đức thắng. Question 3: Set a. Create a set Γ of characters from your case-insensitive non-diacritical full name. For example, the set corresponding with “Tôn Đức Thắng” is Δ = {A, C, D, G, H, N, O, T, U}. b. Find the union, intersect, non-symmetric difference, and symmetric difference of Γ and Δ, where Γ and Δ are from question 3a.

DISCRETE STRUCTURES Sets

TS Nguyễn Thị Huỳnh Trâm

1

Predicates Statements

1) Predicates  Statement: Assign specific values to all their variables.

2) Statement predicates: removing some or all of the nouns from a statement

Nam is a student at TDTU

Statement Mệnh đề (Có thể xác định được chântrị 1 hoặc 0)

P(x) = “x is a student at TDTU”Q(x, y) = “x is a student at y”R(x, y, z) = “x is z at y”

Predicate variables P(x) Biến vị từ

P,Q,R are predicate symbols

ký hiệu vị từ

2

• Definition (Predicate): A predicate is a sentence that contains a finite number of variables and becomes a statement when specific values are substituted for the variables.

• The domain of a predicate variable is the set of all values that may be substituted in place of the variable

P(x) = “x is a student at TDTU”Q(x, y) = “x is a student at y”R(x, y, z) = “x is z at y”

students at CSstudents at TDTU

students at UL

z

3

When an element in the domain of the variable of a variable predicate is substituted for the variable, the

one-resulting statement is either true or false

Predicates Statements

Definition (Truth Set)

If P(x) is a predicate and x has domain D, the truth set is the set of all elements of D that make P(x) true when they are substituted for x

The truth set of P(x) is denoted

Definition (Universal Quantifier  - Lượng từ phổ dụng )

Let P(x) be a predicate and D the domain of x A universal statement is a statement of the form ““x  D, P(x)””

It is defined to be true iff P(x) is true for every x in D

It is defined to be false iff P(x) is false for at least one x in D

A value for x for which P(x) is false is called a counterexampleCho P(x) là một vị từ theo một biến xác định trên D

Lượng từ hóa của vị từ P(x): “Với mọi x thuộc D, P(x)“x  D, P(x)”

Lượng từ đúng khi và chỉ khi P(x) luôn đúng với mọi giá trị x D.

D={x1, x2, x3, xn}x  D, P(x) đúng P(x1) ꓥ P(x2) ꓥ … ꓥ P(xn) đúng

p qq

5

1) Definition: “A set is a collection into a whole, M” (Georg Cantor )(Tập hợp là một nhóm các đối tượng và nhìn nhận chúng thành một)

Ex: A= {a, 2, Fred, New Jersey} is the set containing the four elements a, 2, Fred, and New Jersey.

7

2) Describe (mô tả):

a) Roster method:

 Sometimes the roster method is used to describe a set without listing all its

members Some members of the set are listed, and then ellipses ( .) are used when the general pattern of the elements is obvious

(Thỉnh thoảng phương pháp này còn được sử dụng để mô tả một tập hợp nhưngkhông liệt kê hết tất cả các phần tử Thay vào đó chỉ một vài phần tử được liệt kê vàdấu …được dùng để chỉ những phần tử hiển nhiên )

Ex: The set of positive integers less than 100 can be denoted by {1, 2, 3, , 99}

8

2) Describe (mô tả):

b) Set builder method:

 We characterize all those elements in the set by stating the property or properties they must have to be members (Chỉ ra tính chất chung của các phần tử)

3) Some important sets in discrete mathematics:

N = {0, 1, 2, 3, }, the set of natural numbers (số tự nhiên)

Z = { , -2, -1, 0, 1, 2, }, the set of integers (số nguyên)

Z+ = {1, 2, 3, }, the set of positive integers (nguyên dương)

Q = {p/q | p Z, q Z, and q = 0}, the set of rational numbers (số hữu tỉ)

R, the set of real numbers (số thực)

R+, the set of positive real numbers (số thực dương)

C, the set of complex numbers (số phức)

: The empty set (null set) is the set has no element (tập rỗng)(Tập rỗng là tập duy nhất)

Singleton set: a set with one element

10

Set Relation (Quan hệ giữa các tập hợp)

Subset(Tập hợp con) The set A is a subset of B if and onlyif every element of A is also an element of B

(A là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều nằm trong B.

Power set of a set(Tập lũy thừa )

Definition P(S), the power set of S is the set of all subsets of set S If S has n elements, then its power set has 2n elements Tập lũy thừa là tất cả các tập con của S Tập có n phần tử thì tập lũy thừa của nó có 2n phần tử

Power set of a set

Definition P(S), the power set of S is the set of all subsets of set S If a set has n

elements, then its power set has 2n elements Tập lũy thừa là tất cả các tập con của S Tập có n phần tử thì tập lũy thừa của nó có 2n phần tử

P(S) = {x | x là tập con của tập {a,b}}

T = Ø = {} Z = {Ø}

Y = {1,2,3} P(Y) =P(T) =

Definition P (S), the power set of S is the set of all subsets of set S If a set has n

elements, then its power set has 2n elements Tập lũy thừa là tất cả các tập con của S Tập có n phần tử thì tập lũy thừa của nó có 2n phần tử

Z = {Ø}

P(Z) = {Ø ,{Ø}}

Z = {A} P(Z) = {Ø ,{A}}S = {1, 2, {3, 4}}

Power set of a set

Definition 6.1.1 S is a subset of T (or S is contained in T, or T contains S, or T is a

superset of S) if all the elements of S are elements of T We write S T1

Warning: Do not confuse S T with S T

{3, 4} S {3, 4} SEx 1: Let S = {1, 2, 3}

A B a b c d e fB c d e f

  

ab dc

Biểu đồ Venn

ꓦ

Ví dụab dc

The intersection (Phép giao) of A and B is the set of all elements that are common to both A and B (Phép giao của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử vừa thuộcA vừa thuộc B)

{ , , , }

{ , , , , , }{ , , , }

A a b c d

A B a b c d e fB c d e f

  

Set Operations

ꓥ

Disjoint (Rời nhau): Two sets are called disjoint if, and only if, they have no elements in common Hai tập được gọi là rời nhau nếu giao của chúng là tập rỗng

Set Operations

Sets A1,A2,A3,…are mutually disjoint (or pairwise disjoint or nonoverlapping) if, and only if, not two set Ai and Aj with distinct subscripts have any elements in common More precisely, for all integers i and j =1,2,3… whenerver

Ex: V = { 1,2},{3},{{1},{2}}} are mutually disjoint

A finite or infinite collection of nonempty sets {A1,A2,A3,…} is a partition of a set A if, and only if

1 A is a union of all the Ai

2 The set A1,A2,A3,…are mutually disjoint

31 2

12

Ví dụ { , , , } { , , , , , }{ , , , }

A a b c d

A B a b c d e fB c d e f

  

ab dc

Difference (Phép hiệu) The difference of B minus A (or relative complement of A in B) is the set of all elements that are in B and not A (Hiệu của tập hợp B và tập hợp A thuộc tập vũ trụ U là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử vừa thuộc B mà không thuộc B.)

B \A = { e, f }

Biểu đồ Venn

Set Operations

ꓥ∉

Ví dụ { , , , } { , , , , , }{ , , , }

A a b c d

A B a b c d e fB c d e f

  

ab dc

Symmetric difference (Phép hiệu đối xứng) The symmetric difference of B and A (denoted A B) is the set whose elements belong to A or B but not both, nothing less and nothing more

A⊖B = { a,b, e, f }

Biểu đồ Venn

Set Operations

Ví dụab dc

Complement(Phần bù) The complement of A, denoted Ac, is the set of all elements in U that are not in A (Phần bù của tập hợp A thuộc tập vũ trụ U là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tửkhông thuộc A.)

e, f , g, h }

Biểu đồ Venn

Set Operations

Venn diagram

d ef ab dc ef ab cd ef ab dc ef gh

closed intervalopen interval

Set Operations

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐴 ꓦ𝑥 ∈ 𝐵 }

𝐴 = 𝐴 = 𝑈\A = {(𝑥 ∈ 𝑈/𝑥𝐴)

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐴ꓥ𝑥 ∈ 𝐵 }𝐵\A = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐵ꓥ𝑥 𝐴 }

Phần tử trung hòa

Tính thống trị

Tính lũy đẳng

Tính giao hoán

Tính kết hợp

Tính phân phối

Luật hấp thụ

Phần bù

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈| 𝑥 ∈ 𝐴ꓥ𝑥 ∈ 𝐵 }

(A ꓴ B)c = Ac ꓵ Bc:

1 Take any two sets: A; B.

2 (Need to show that (A ꓴ B)c Ac ꓵ Bc)

3 For any x ∈ (A ꓴ B)c:

4 x ∉(A ꓴ B), by definition of complement.

5 So (x ∈ A ꓦ x ∈ B), by definition of union.

6 Thus x ∉ A ꓥ x ∉ B, by De Morgan’s laws.

7 Thus x ∈ Acꓥ x ∈ Bc, by definition of complement.

8 Thus x ∈ Acꓵ Bc, by definition of intersection.

9 Thus (A ꓴ B)c Ac ꓵ Bc, by definition of subset.

10 (Now, need to show that Ac ꓵ Bc (A ꓴ B)c)

11 For any x ∈ Ac ꓵ Bc:

12 x Acꓥ x Bc, by definition of intersection.

13 Thus x A ꓥ x B, by definition of complement.

14 Thus (x A ꓦ x B), by De Morgan’s laws.

15 Thus x A ꓴ B, by definition of union.

16 Thus x (A ꓴ B)c, by definition of complement.

17 Thus Ac ꓵ Bc (A ꓴ B)c, by definition of subset.

18 Hence (A ꓴ B)c = Ac ꓵ Bc, by Proposition 6.3.3

28

Definition 6.4.1 (Union)

Let S be a set of sets, then we say that T is the union of the sets in S, and write:

Iff each element of T belongs to some set in S, nothing less and nothing more That is,

For two sets A, B, we may simply write

Operation on Sets

Let {1,2} {3,1} = {1,2,3}Let S ={{1,2}, {3}, {1,{2}}}

30

Operation on Sets

{1, 2, 3} {1, 4, 2, 5} =S = {1,2}, {3}, {{1}, {2}}}T =

31

Operation on Sets

{1, 2, 3} {1, 4, 2, 5} =S = {1,2}, {3}, {{1}, {2}}}T =

{1, 2}

31 2

32

Biểu diễn các tập hợp trên máy tínhComputer Representation of Sets

Cho tâp vũ trụ U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} và sự sắp xếp các phần tử trong U theo thứ tự tang dần, tức là ai=i Xác định chuỗi bit biểu diễn tập con các số nguyên lẻ trong U, tập con các số nguyênchẵn trong U và tập con các số nguyên không vượt quá 5 trong U

+ Tập các số nguyên lẻ trong U cụ thể là {1,3,5,7,9} có bit 1 ở các vị trí thứ nhất, thứ 3, thứ 5, thứ 7 và thứ 9, và bit 0 cho các vị trí còn lại U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tập các số nguyên lẻTập các số nguyên chẵn

Tập các số nguyên không vượt quá 5

0000010101

Tích descartes của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với

Ký hiệu A.B hoặc A x B

Ví dụ:Xác định tích Descartes của A ={1,2} và B = {a,b,c}A x B ={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

B x A ={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}A x B ≠ B x A

xA yB

( , )x y     A B(x A y B)Tích Descartes

Dãy sắp thứ tự (a1, a2,…,an) là một tập hợp sắp thứ tự, có a1 là phần tử thứ nhất, a2 là phần tử thứ2,…, an là phần tử thứ n

Hai dãy sắp thứ tự bằng nhau, nếu và chỉ nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau

Đồ thị của hàm

The Graphs of the funtions

ĐN8 : Cho f là một hàm từ tập X đến tập Y Đồ thị của hàm f là tập các sắp thứ tự {(a,b)|

và f(a) =b}

Từ định nghĩa cho thấy đồ thị của mộthàm f từ X đến Y là một tập con của X × Y chứa các cặp sắp thứ tự với phần tửthứ 2 bằng phần tử thuộc Y được gáncho phần tử thứ nhất bởi hàm f

Tích descartes của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với

Ký hiệu A.B hoặc A x B

Ví dụ:Xác định tích Descartes của A ={1,2} và B = {a,b,c}A x B ={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

B x A ={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}A x B ≠ B x A

xA yB

( , )x y     A B(x A y B)Tích Descartes

Dãy sắp thứ tự (a1, a2,…,an) là một tập hợp sắp thứ tự, có a1 là phần tử thứ nhất, a2 là phần tử thứ2,…, an là phần tử thứ n

Hai dãy sắp thứ tự bằng nhau, nếu và chỉ nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau

Definition 8.1.3

Let S and T be two sets The Cartesian product (or cross product) of S and T, noted S x T

Notice that the Cartesian product is neither commutative nor associativeThis is a tabular representation of the Cartesian product of

S T ={(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Ví dụ: A ={0,1} và B = {1,2} và C ={0,1,2} Xác định tích Descartes của A x B x C, A x C x B, C x B x A

AxCxB={(0,0,1),(0,0,2),(0,1,1),(0,1,2),(0,2,1),(0,2,2),(1,0,1),(1,0,2),(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2)}C ={0,1,2} và B = {1,2} và A ={0,1}

CxBxA={(0,1,0),(0,1,1),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0),(1,1,1),(1,2,0),(1,2,1),(2,1,0),(2,1,1),(2,2,0),(2,2,1)}

Định nghĩa Cho hai tập hợp X, Y   Ánh xạ f từ tập X vào Y là phép tương ứng liên kếtvới mỗi phần tử x của X với 1 một phần tử duy nhất y của Y mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnhcủa x bởi f khi đó y = f(x)

( )

x f x

Nghĩa là    x X, !y Y y f x: ( )Ánh xạ

Điểm toán rời rạc

Định nghĩa Nếu f là một hàm từ A vào B thì A được gọi là miền xác định (domain) của f và B làmiền giá trị (co-domain) của f

MaiNhân

Định nghĩa Nếu f(a)=b ta nói b là ảnh của a (image of a under f) và a là một nghịch ảnh của b (a preimage of b = or an inverse image of y) Tập hợp tất cả các ảnh của các phần tử thuộc A được gọi là ảnh của A qua hàm f

• f(A) = {f(x)  x  A} = {y  Y  x  A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A

Ví dụ ảnh và ảnh ngược

Ví dụ Cho f: R R được xác định f(x)=x2 +1

Ta có

f([1,3])=[2,10] f([-2,-1])=[2,5]f([-1,3])=[1,10] f((1,5)) = (2,26)

f–1(1)={0} f–1(2)={-1,1}f–1(-5)= 

f–1([2,5])= [-2,-1] [1,2]

Điểm toán rời rạc

Ánh xạ bằng nhau

Định nghĩa Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu x  X, f(x) = g(x).Ví dụ:

Xét ánh xạ f(x)=(x-1)(x+1) và g(x) =x2-1 từ R->RTa có (x-1)(x+1) = x2 – 1 nên f(x) = g(x) x  RVậy hai ánh xạ này bằng nhau.

Phân loại ánh xạ:Đơn ánh (One-To-One Function)

ĐN1: Một hàm f : X  Y được gọi là đơn ánh hay một-một nếu và chỉ nếu f(x) = f(y) kéotheo x =y đối với mọi x và y trong miền xác định của hàm f.

ĐN2: Một hàm f : X  Y là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mỗi x y

VD: Xác định hàm f từ {a, b, c, d} đến {1, 2, 3, 4, 5} with f (a) = 4, f (b) = 5, f (c) = 1, và f (d) = 3 có làhàm đơn ánh không

Hàm f là đơn ánh vì f nhận cácgiá trị khác nhau tại bốn phần tửcủa miền xác định.

, !: ( )x Xy Y y f x   

Phân loại ánh xạ: One-To-One Function

ĐN1: Một hàm f : X  Y được gọi là đơn ánh hay một-một nếu và chỉ nếu f(x) = f(y) kéotheo x =y đối với mọi x và y trong miền xác định của hàm f.

ĐN2: Một hàm f : X  Y là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mỗi x y VD: Xác định hàm f (x) = x2 từ tập các số nguyên đến tập các số nguyên có phải là đơnánh không?

f (x) = x2

Hàm f không là đơn ánh vì với x =1 và y =-1 mà f(1) = f(-1) = 1

Phân loại ánh xạ:One-To-One Function

ĐN1: Một hàm f : X  Y được gọi là đơn ánh hay một-một nếu và chỉ nếu f(x) = f(y) kéotheo x =y đối với mọi x và y trong miền xác định của hàm f.

ĐN2: Một hàm f : X  Y là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mỗi x y ĐN 3: Một hàm f có miền xác định và miền giá trị đều là tập con của tập các số thựcđược gọi là thực sự tăng nếu f(x) < f(y) khi x<y với x và y thuộc miền xác định của f Tương tự f được gọi là thực sự giảm nếu f(x)>f(y) khi x<y với x và y thuộc miền xácđịnh của f Khi đó các hàm thực sự tăng hoặc thực sự giảm đều là các hàm đơn ánh

thực sự tăng x<y f(x) < f(y)x f(x)

thực sự giảm x<y f(x)>f(y)

Phân loại ánh xạ - Toàn ánh (OnTo Function)

ĐN4: Một hàm f : X  Y được gọi là toàn ánh nếu và chỉ nếu đối với mọi phần tửtồn tại một phần tử x X với f(x) =y

Khi miền giá trị và ảnh của miền xác định bằng nhau, tức là mọi phần tử của miền giá trịđều là ảnh của một phần tử nào đó thuộc miền xác định thì hàm được gọi là toàn ánh

VD: cho f là hàm từ {a, b, c, d} đến {1, 2, 3} được định nghĩa bởi f (a) = 3, f (b) = 2, f (c) = 1, và f (d) = 3 Hàm nàycó toàn ánh không?

Vì tất cả ba phần tử của miền giá trị đều là ảnh củaphần tử trong miền xác định nên f là một toàn ánh

Phân loại ánh xạ - OnTo Function

ĐN4: Một hàm f : X  Y được gọi là toàn ánh nếu và chỉ nếu đối với mọi phần tửtồn tại một phần tử x X với f(x) =b

Khi miền giá trị và ảnh của miền xác định bằng nhau, tức là mọi phần tử của miền giá trịđều là ảnh của một phần tử nào đó thuộc miền xác định thì hàm được gọi là toàn ánhVD: Hàm f (x) = x2 từ tập các số nguyên

đến tập các số nguyên có phải là toàn ánhkhông?

Hàm này không phải là toàn ánh vì không cómột số nguyên nào cho x2=-1

f (x) = x2

ĐN5: f : X  Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

VD: Hàm f đi từ {a, b, c, d} đến {1, 2, 3, 4} với f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1, và f (d) = 3 Hàm f có là song ánh không

Phân loại ánh xạ - Song ánh (Bijection)

Hàm f là song ánh vì f là đơn ánh và toàn ánh.

Hàm f là đơn ánh vì luôn nhận các giá trị phân biệt

f là toàn ánh vì bốn phần tử của miền giá trị đều là ảnh của các phần tử thuộc miền xác định