ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức

Các kết quả trừu tượng của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình, bất phương trình xuất phát từ Cơ họ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Đăng Quang

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1 BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁCĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACHCÓ THỨ TỰ 12

Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi 12

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất đặc trưng của bậc tôpô theo nón 12

1.1.2 Tính bậc tôpô của một số ánh xạ 15

1.1.3 Tính bậc trên các miền đặc biệt 21

1.1.4 Bậc tôpô của ánh xạ khả vi 23

1.1.5 Ứng dụng vào bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị 28

1.1.6 Ứng dụng vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị 36

1.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi 38

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ LỚPBAO HÀM THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNHVỚI ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI 45

2.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương 45

2.1.1 Giới thiệu 45

2.1.2 Các kết quả chính 47

2.2 Bài toán biên nhiều điểm liên hợp phi tuyến với điều khiển phản hồi 58

2.2.1 Giới thiệu 58

2.2.2 Các kết quả chính 62

2.3 Phương trình Logistic với điều khiển phản hồi 74

2.3.1 Giới thiệu 74

2.3.2 Chuyển về bài toán điểm bất động 78

2.3.3 Các kết quả chính 83

KẾT LUẬN 96 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO 99

MỞ ĐẦU

Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bất động của ánh xạ co được tìm ra khá sớm

và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội

tụ về nghiệm Định lý điểm bất động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả cầu tâm  (phần tử zero của không gian định chuẩn) thì không khẳng định được điểm bất động tìm được là khác  , trong khi các phương trình mô tả các hiện tượng trong

tự nhiên đã có nghiệm  và ta cần tìm nghiệm khác  Hạn chế này được khắc phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J Leray, J Schauder xây dựng và được phát triển trong các công trình của M Krasnoselskii, F Browder, P Rabinowitz, Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm (như tính liên thông, compact) Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm Ví dụ, quan hệ thứ tự đã được sử dụng vào đầu thế kỷ 20 để chứng minh các dạng tương đương của tiên đề chọn như bổ đề Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại, Các kết quả này sau đó được sử dụng để chứng minh Định lý Tychonoff về tích các không gian compact, Định lý Hahn – Banach và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hàm Tuy nhiên, Lý thuyết về các phương trình trong không gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thống vào thập niên 1940 trong công trình của M Krein – A Rutman ([45]) Lý thuyết này được phát triển mạnh mẽ trong những năm 1950 – 1970 trong các công trình của M Krasnoselskii và các học trò, của N Dancer, P Rabinowitz, R Nussbaum, S Carl, S Heikkila (xem [1, 6, 8, 10, 15, 25, 43, 44, 64, 69] và các tài liệu tham khảo trong đó) Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay

Các kết quả trừu tượng của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình, bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y – Sinh học, Kinh tế học, vì những ưu điểm sau:

- Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, là những tính chất cần có của nghiệm của các bài toán xuất phát từ các mô hình thực tế

- Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các dữ kiện không tốt như các ánh xạ không liên tục, là những tình huống thường gặp trong thực tế

- Chúng cho phép đánh giá khoảng tồn tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía

Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Toán Tài chính, mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ

tự, ví dụ như nghiên cứu các phương trình với ánh xạ đa trị (hay cũng gọi là các bao hàm thức)

Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tối ưu, Lý thuyết điều khiển, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân Sự tồn tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Định lý Banach-Caccioppoli, Định

lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz, bất đẳng thức Ky Fan, Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị lồi, tác động trong không gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên

1970 trong các công trình của Y Borisovich, R Nusbaum, W Petryshyn, P Fitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức Dựa vào nó, các Định lý điểm bất động của M Krasnoselskii, Leggett – Williams đã được chứng minh cho các ánh xạ đa trị và được ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [25, 32, 38, 60, 61] và các tài liệu tham khảo trong đó) Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế

do chưa có một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp Gần đây, với việc sử dụng các dạng thứ tự thích hợp giữa các tập hợp mà quan hệ thứ tự đã được áp dụng

có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô để thu được các kết quả có ý nghĩa [6, 7,

38, 51, 54, 57, 65, 67, 68]

Để nghiên cứu các bao hàm thức vi phân chứa các toán tử vi phân không tuyến

tính (ví dụ toán tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ có giá trị không

lồi cũng được xây dựng Nói riêng, R Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tôpô

tương đối theo một tập lồi, cho lớp ánh xạ dạng P T với T là ánh xạ đa trị lồi, P là

ánh xạ đơn trị phi tuyến và ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vì phân Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thống hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm,

sử dụng toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thể

Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết

và Ứng dụng

1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự

1.1 Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi

Ở mục này, dựa trên các tính chất đặc trưng của bậc tôpô trong nón của lớp ánh xạ

đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tôi chứng minh một số kết quả dễ áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miền đặc biệt Một kết quả đáng chú ý ở phần này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xạ compact và bậc tôpô của ánh xạ ban đầu có thể được tính qua bậc tôpô của đạo hàm của nó

Sau đó chúng tôi áp dụng các kết quả thu được về tính bậc tôpô để chứng minh các kết quả sau:

 Sự tồn tại một hoặc nhiều điểm bất động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lồi, là mở rộng các Định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M Krasnoselskii, Định lý Leggett – Williams cho ánh xạ đơn trị

 Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham

số tiến về 

Các kết quả trong mục này của luận án đã được công bố trong [TG1], [TG2]

1.2 Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi

Trong bài báo [2], R Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ

đa trị dạng P T , trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuẩn và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thể không tuyến tính), liên tục đối với

tôpô yếu và tôpô-chuẩn Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh

xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô ( ) -yếu Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô này mới được sử dụng để chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder về tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm  Kết quả này không đủ để thu được điểm bất động không tầm thường của các bao hàm thức Do đó, trong luận án, chúng tôi đã chứng minh một số kết quả về tính bậc tôpô của R Bader Các kết quả này được được công bố trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 để chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tầm thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương

2 Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển 2.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương

Trong mục này chúng tôi xét bài toán

2 1

m

i i i

+ 012  m2 1 và

2 1

1

m

i i i

m

i i i

u x   x



1 0

để chứng minh bài toán có hai nghiệm

Các kết quả về bài toán (1) – (2) được công bố trong [TG2]

2.2 Bài toán biên nhiều điểm liên hợp với điều khiển phản hồi

Trong mục này của luận án, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của hàm uC m( )I

của phương trình vi phân Lu0 có trên I ít hơn m 0-điểm, kể cả bội

Khi  là hằng số thì (3) – (4) là bài toán biên giá trị riêng và tham số  đóng vai trò là tác động bên ngoài lên hệ thống được mô tả toán học bởi hệ (3) – (4) Như vậy, trong bài toán (3) – (4) – (5) chúng tôi cho phép tham số điều khiển  không những

phụ thuộc vào biến t (có thể là biến thời gian hoặc biến không gian) mà còn phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống ở thời điểm hay vị trí t, như trong (5) Như vậy (3) – (4)

– (5) là bài toán điều khiển phản hồi (feedback control)

Khi 1 và không đòi hỏi nghiệm phải thuộc một nón, bài toán (3) – (4) đã được nghiên cứu trong [42] Sử dụng công cụ bậc tôpô Leray – Schauder và kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, tác giả của [42] đã chứng minh bài toán có số chẵn nghiệm (số nghiệm cũng có thể là 0) Khi  là hằng số và f  f t x( , ), bài toán (3) – (4) được xét trong [12, 13] Sử dụng Định lý Krasnoselskii về điểm bất động của ánh xạ giãn hoặc nén hình nón, tác giả chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm không tầm thường thuộc một món đặc biệt

Để nghiên cứu bài toán (3) – (4) – (5) chúng tôi chuyển nó về bài toán điểm bất động của một ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng Sử dụng công cụ bậc tôpô trong nón, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về thứ

tự, chúng tôi chứng minh bài toán có một hoặc hai nghiệm khác  trong một nón đặc biệt Chúng tôi cũng xây dựng một ví dụ minh họa cho các điều kiện được đưa ra trong các định lý

Các kết quả về bài toán (3) – (4) – (5) được công bố trong [TG3]

2.3 Phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi

Trong bài báo [35], M Gutin và R MacCamy đưa ra phương trình sau đây để mô

tả trạng thái dừng của sự phát tán của một loài thú trong tự nhiên

( ) ( ) trong ,

ˆ

0 tren ,

u a x u b x u u

Trong phương trình trên, uu x( ) chỉ mật độ của thú tại điểm x trong không gian

sống  còn tham số 0 đo độ tăng trưởng của thú

Sau này, phương trình (6) được gọi là phương trình logistic và được mở rộng thành

trong

ˆt

trong đó ,f g là các hàm đơn trị, F là hàm đa trị thỏa mãn một số điều kiện cần thiết

Như vậy chúng tôi cho phép độ tăng trưởng  phụ thuộc vào vị trí trong không gian sống  và vào mật độ của thú dạng (9) Chúng tôi cho rằng điều này làm cho

sự mô tả toán học về sự phát tán của thú chính xác và tự nhiên hơn

Cũng nhằm mục đích mô tả chính xác hơn quá trình phát tán của thú mà nhiều lớp phương trình phi địa phương được đưa vào nghiên cứu, như phương trình chứa số hạng Kirchhoff

trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, P là toán tử giải của bài toán biên liên kết sau

.ˆ( , ) trong , 0 tren

Sử dụng các kết quả tính bậc tôpô của ánh xạ đa trị dạng P T ở mục 1.2, kết hợp

với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự, chúng tôi chứng minh bài toán có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường trong các trường hợp   p 1 và

CHƯƠNG 1 BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁC ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

CÓ THỨ TỰ

Các ánh xạ đa trị được quan tâm nghiên cứu nhiều từ những năm 1950 do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để giải quyết một số bài toán xuất phát từ khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, Các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị của S Nadler, K Fan là sự mở rộng của các định lý của Banach và Schauder Lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị được xây dựng trong thập niên 1970 trong các công trình của

T Ma, của Y Borisovich và các cộng sự, của W Petryshyn, và đã tìm được các ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [4, 15, 25] và các tài liệu tham khảo trong đó) Gần đây, các ứng dụng mới của bậc tôpô của ánh xạ đa trị được đưa ra trong [55, 57, 68]

Trong chương này, dựa trên các kết quả tổng quát về bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thứ tự, chúng tôi chứng minh một số kết quả mới để dễ

áp dụng vào các bài toán cụ thể về bậc tôpô này và chứng minh các định lý về sự tồn tại điểm bất động trong nón, vectơ riêng trong nón của một số lớp ánh xạ đa trị Nói riêng, chúng tôi chứng minh rằng đạo hàm theo nón của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng cũng là ánh xạ compact và bậc tôpô của ánh xạ ban

đầu có thể tính dựa vào bậc tôpô của ánh xạ đạo hàm

Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi

Giả sử X là không gian Banach trên trường số thực và K  X K được gọi là nón trong X nếu:

(i) K là tập đóng trong X,

(ii) K K K,K K,  0,

(iii) K  ( K) 

Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được xác định bởi x   y y x K

Khi đó ta nói cặp (X, K) là không gian Banach có thứ tự

(iii) F được gọi là thuần nhất dương nếu F tx( )tF x( ),   t 0, x D

(iv) Với DY, ta ký hiệu lớp các tập con lồi, đóng, khác rỗng (tương ứng, lồi,

compact, khác rỗng) của D là cc D Kc D( ) ( ) 

(v) Giả sử ,A B X là các tập hợp khác rỗng, ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff

giữa A, B, ký hiệu d H( , )A B , bởi

( , ) max sup ( , ),sup ( , ) ,

Trong trường hợp X Y , điểm x X thỏa mãn xF x( ) được gọi là điểm bất

động của ánh xạ đa trị F, tập hợp tất cả các điểm bất động của F được ký hiệu là

(ii) F là nửa liên tục trên trong D khi và chỉ khi với mọi tập đóng EY thì tập

(iv) Nếu F là ánh xạ compact và có đồ thị G F ( , )x y  X Y x: D y, F x( ) là tập đóng trong X Y thì F là nửa liên tục trên

Định nghĩa 1.1.3 ([4, 25])

Cho  là tập mở, bị chặn trong không gian Banach X với thứ tự sinh bởi nón K

và A K:  cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact sao cho xA x( ),với mọi x  K (ta nói A không suy biến trên K  ) Khi đó tồn tại ánh xạ đơn trị, compact :f K K đồng luân với A trên K , nghĩa là tồn tại ánh

xạ đa trị G:[0,1]K   cc K( ) là nửa liên tục trên, compact sao cho

Mệnh đề 1.1.4 ([4])

Giả sử X K là không gian Banach có thứ tự ,   X là tập mở, bị chặn Trong các tính chất 1 – 3, ta giả sử ánh xạ A xác định trên K , còn trong các tính chất

4 – 5, ta giả sử ánh xạ A xác định trên K, nhận giá trị trong cc K và là nửa ( )

liên tục trên, compact

2 Tính chất bất biến qua đồng luân

Nếu H:[0,1]K    cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và không suy biến thì

Cho X K là không gian Banach có thứ tự, ,  K là nón trong X và 1 K1K

 là tập mở, bị chặn trong X, A K:  cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và thỏa điều kiện A K(  ) K1 Khi đó,

   A K:  cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact Giả sử xA x( ),

với mọi x   K  \ 0 Khi đó,

0

i A  i A 

Mệnh đề 1.1.7

Cho X K là không gian Banach có thứ tự, ,  K là nón trong X, 1  là tập mở, bị

chặn trong X và K  K1 A K: 1cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact

và thỏa điều kiện A K( 1)K1 đồng thời không có điểm bất động trên K1\ (K ) Khi đó, ( , ) 1 i K A  

một tập mở trong K1 thì K1 trong K1 là tập rỗng và do đó xH t x( , ),với mọi

 1( , ) [0,1]t x   K Áp dụng tính chất bất biến đồng luân của bậc tôpô choH t x , ( , )

Xét ánh xạ đa trị hằng A x1( )C, với mọi x  K Điều kiện nêu trong

Định lý 1.1.8 có thể viết lại dưới dạng:

(ii) Nếu tồn tại phần tử x0K \  sao cho

0

xA x x      x K  , thì i K( , )A  0

Nếu khẳng định nêu trên không đúng thì ta tìm được các dãy

t     x   K y A x , sao cho

Chứng minh

Xét ánh xạ H :[0,1]K   cc K( ) xác định bởi

H s x   s st A x t  , thì H s x là ánh xạ nửa liên tục trên, compact và nhận giá trị lồi, đóng Vì ( , ) t 1 nên

1  s st 1, với mọi s[0,1] do đó theo (ii) ta suy ra

       t t0, x K ,  0 :x0 x tA x( ) (1.1.4) Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại các dãy  n , n , n

t  x   K   thỏa mãn,

* 0

hoàn toàn liên tục và thỏa mãn:

1.1.3 Tính bậc trên các miền đặc biệt

( ) ( ) , 0,

t x u A x       x t x K Giả sử ngược lại, tức là

1) Tập DX gọi là một K – lân cận của x nếu tồn tại r0 sao cho xK r D

2) Cho D là một K – lân cận của x Ánh xạ đa trị 0 A D: 2 \Y   có giá trị đóng,

bị chặn gọi là khả vi Fréchet theo nón K tại x nếu tồn tại ánh xạ đa trị 0

 : 2 \Y

F X   nửa liên tục trên có giá trị lồi, đóng, bị chặn và thuần nhất dương sao cho

3) Ánh xạ đa trị A K K: \ r 2 \Y   có giá trị đóng, bị chặn gọi là khả vi Fréchet

theo nón K tại  nếu tồn tại ánh xạ đa trị F X: 2 \Y   nửa liên tục trên có giá trị lồi, đóng, bị chặn và thuần nhất dương sao cho

i) Giả sử D là một K – lân cận của x , ánh xạ đa trị 0 A D: 2 \Y   có giá trị đóng,

bị chặn khả vi Fréchet theo nón K tại x Khi đó, nếu A là ánh xạ compact thì 0

ii) Giả sử ánh xạ đa trị A K K: \ r 2 \Y   (r > 0 đủ lớn) có giá trị đóng, bị chặn

khả vi Fréchet theo nón K tại  Khi đó, nếu A là ánh xạ compact thì '

A là ánh xạ compact trên K ở dạng sau: Nếu  K là tập bị chặn và inf 0

x x

  thì A' ( ) là tập compact tương đối

Chứng minh

Đặt '0

x

B A hoặc B A' Giả sử  K là tập bị chặn và x M với mọi x 

(  x M ,  x nếu B A' ), ta chứng minh B( ) là tập compact tương đối

trong Y

Giả sử ngược lại, tức là tồn tại  y B( ) và  0 sao cho

1) Giả sử A K: r cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact, A( )   và

có đạo hàm theo nón K tại  là A' đồng thời A' không có trong K vectơ riêng với

giá trị riêng bằng 1 Khi đó,

i A B  i A B   với  0 đủ lớn

Các quan hệ giữa 2 tập hợp vừa nêu đã được nhiều nhà toán học giới thiệu và sử

dụng Các quan hệ này sẽ trùng với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K nếu các tập hợp A,

B chỉ có một phần tử

Định lý 1.1.19

Cho X K là không gian Banach có thứ tự, ,   1, 2 là các tập mở, bị chặn trong

X và    1, 1 2 A K:   2 cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact

Giả sử một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:

Vậy (1.1.12) đúng nên suy ra i K( ,A  2) 0

Áp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

i A  i A i A      Suy ra tồn tại x0   K ( 2 \ 1) sao cho x0A x( 0) (đpcm)

Hệ quả 1.1.20

Cho X K là không gian Banach có thứ tự, ,    1, 2, 3là các tập mở, bị chặn trong X và       1, 1 2, 2 3 A K:   3 cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact Giả sử

Vậy (1.1.13) đúng và do đó i ( ,A  ) 1

Tiếp theo ta sẽ chứng minh

xA x( )tu0,     x K 2, t 0 (1.1.14) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại x0  K 2,t0 0 sao cho x0A x( 0)t u0 0

( 2)

0 0

( )

A x  x , là điều vô lý Vậy (1.1.14) đúng nên suy ra i K( ,A  2) 0

Áp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

i A  i A i A      Suy ra tồn tại x0   K ( 2 \ 1) sao cho x0A x( 0) (đpcm)

Định lý 1.1.22

Cho X K là không gian Banach có thứ tự, ,   1, 2 là các tập mở, bị chặn trong

X và    1, 1 2 và A K:   2 cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact

Giả sử một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:

Khi đó, 0 x0  A x( )0 Mặt khác, từ giả thiết ta suy ra 0 1 nên

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh điều kiện (i) và (ii) của Định lý 1.1.10 thỏa mãn Vì 2

là tập mở chứa  nên 2 suy ra

      , hay điều kiện (i) đúng Sau cùng ta chứng minh điều kiện (ii) cũng đúng, tức là chứng minh

2

        Giả sử ngược lại, tức là tồn tại x0  K 2, 001 sao cho 0 0x A x( )0

Vậy điều kiện (ii) đúng Suy ra i K( ,A  2) 0

Áp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

i A   i A  i A       Suy ra tồn tại x0   K ( 2 \ 1) sao cho x0A x( 0) (đpcm)

Đặt K( , , ) a b xK ( )x a; x b (0 a b), dễ dàng chứng minh được ( , , )

K  a b là tập hợp lồi, đóng và bị chặn trong K với :K[0,) là hàm lõm, liên tục

Định lý 1.1.24

Cho A K: c cc K c là ánh xạ nửa liên tục trên, compact (với c0cho trước) Hàm số :K[0,) là hàm lõm, liên tục và thỏa mãn ( ) x  x , x K c Giả sử tồn tại các số thực dương , , , a b c d với d  a b c thỏa các điều kiện sau: (i) Tập hợp xK( , , ) a b ( )x a  và nếu xK( , , ) a b thì ( )y a , với mọi yA x( ),

(ii) Nếu xK d thì y d , với mọi yA x( ),

(iii) Nếu xK( , , ) a c và y b thì ( ) y a , với mọi yA x( )

Khi đó, A có ít nhất ba điểm bất động trên K c

Chứng minh

Đặt U1 xK c x d,U2 xK( , , ) a c ( )x a thì U U là các tập mở, 1, 2lồi, bị chặn, khác rỗng và rời nhau của K và c A U( 1)U1 Do đó

i K( ,A U1)1 (Mệnh đề 1.1.7) (1.1.16) Chọn z0K( , , ) a b với (z )0 a

Ta sẽ chứng minh

xH t x( , ),( , ) [0,1]t x    U2 (1.1.17) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại ( ,t x0 0) [0,1]   U2 sao cho

0 ( ,0 0) 0 (1 ) ( 0)

x H t x tz  t A x , khi đó ( )x a

Vì x0H t x( ,0 0) nên tồn tại y0A x( 0) sao cho x0 tz0 (1 t y) 0

+ Nếu y0 b thì suy ra (y0)a (theo (iii))

(b) Nếu xK d thì y d , với mọi yA x( ),

(c) Một trong hai điều kiện dưới đây đúng

(i) Nếu xK c và y c thì ( ) y a y

c

  , với mọi yA x( ),

(ii) Nếu xK c và y c thì y ( )y  c a , với mọi yA x( ),

Khi đó, A có ít nhất hai điểm bất động trên K c

thì B là ánh xạ nửa liên tục trên, compact nhận giá trị lồi, đóng và thỏa mãn tất cả các

điều kiện của Định lý 1.1.24 với bc Do đó, ánh xạ B có điểm bất động

Vậy y c,với mọi yA x( 2), do đó x2B x( 2) A x( 2)

+ Nếu điều kiện (ii) của c) đúng thì ta có y (y ) c a

Vậy y c,với mọi yA x( 2), do đó x2B x( 2) A x( 2).

Cho X K là không gian Banach có thứ tự ,  A K: cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục

trên, compact, A( )   và một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:

   (nếu có điều kiện (i)) và lim x 0

  (nếu có điều kiện (ii))

trong X và    r, r R Khi đó, ánh xạ đa trị 1 A

 thỏa điều kiện (i) của Định

lý 1.1.22 Do đó, tồn tại x R\ r hay x  sao cho 1

Tiếp theo ta chứng minh lim x

   Giả sử ngược lại, tức là tồn tại số thực c0

và dãy số thực  n sao cho lim n

   và

n

x c, với mọi n * Chuyển

sang dãy con nếu cần, ta có thể coi lim 0

Do bất đẳng thức thứ nhất trong (1.1.21) và n  , ta suy ra  0 Nhưng khi đó,

do bất đẳng thức thứ hai ta lại gặp mâu thuẫn

1.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi

Trong phần này chúng tôi chứng minh một số kết quả về bậc tôpô theo nón cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi, được xây dựng bởi nhà toán học R Bader Các kết quả này sẽ được ứng dụng trong nghiên cứu phương trình logistic với điều khiển phản hồi

Định nghĩa 1.2.1

I Cho E là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và không gian Banach F với

nón K1, được trang bị tôpô  , trong đó

(a)  là tôpô cảm sinh của tôpô yếu  *

Giả sử ánh xạ đa trị F K: 2 \K   là ánh xạ hợp có dạng F P T, trong đó

T là ánh xạ đa trị từ K vào K , P là ánh xạ đơn trị từ 1 K vào K Ta nói ánh xạ F là 1

phân tích được nếu

(i) F là ánh xạ compact,

(ii) T K: K1, là ánh xạ nửa liên tục trên và có giá trị lồi,  - compact,

(iii) P: (K , )  K là liên tục theo dãy, nghĩa là nếu x x với tôpô  thì

Vì F G*và G khả li nên tôpô ( ) - yếu cảm sinh trên B F ,n khả metric Do đó,

ta chỉ cần chứng minh rằng nếu x nP1( ),D x n x ( ) - yếu trong K thì 1

không gian F là phản xạ trong trường hợp (a) của tôpô 

(T2) Nếu x x y, T x( ) và y  y thì yT x( )

Khi đó,

1 T là ánh xạ compact, hơn nữa nếu BK bị chặn thì mọi dãy  n ( )

n

y T B có dãy con hội tụ

2 T là ánh xạ nửa liên tục trên và có giá trị là tập  - compact

Chứng minh

Khẳng định đầu tiên rút ra từ Định lý Kakutani và Định lý Banach – Alaoglu và

nếu không gian G khả ly thì tôpô ( ) - yếu cảm sinh trên các tập con bị chặn của G *

là khả metric Để thu được tính chất nửa liên tục trên của T ta chứng minh rằng nếu

D là tập con đóng trong (K1, ) thì tập hợp V xK T x: ( )  D  là đóng Lấy  x n n V và x n x Khi đó, tồn tại dãy  y n n thỏa mãn y nF x( n)D.Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử y n  y Do điều kiện (T2) và tính đóng

của tập hợp D nên yT x( )D Nếu ta lấy x n x với mọi n trong (T2) thì ta thu được tính đóng của tập hợp ( ).T x Do đó, tập hợp ( ) T x là  - compact với mọi

i F D i F D i F D Đặc biệt, nếu ( , ) 0 i K F D  thì Fix F( )  D

2 Tính chất bất biến qua đồng luân

Giả sử  Q S K:  K là ánh xạ phân tích được và F,  là đồng luân, theo nghĩa, tồn tại ánh xạ đa trị nửa liên tục trên R:[0,1] K K1, với giá trị lồi, 

- compact và ánh xạ liên tục theo dãy U :[0,1]K ,K sao cho