ỨNG DỤNG MAPLE HỖ TRỢ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Kiến trúc - Xây dựng ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG MAPLE HỖ TRỢ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Sinh viên thực hiện VILAYHONG KEOHAVONG MSSV: 2113010120 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC KHÓA 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. NGUYỄN THANH PHONG MSCB: ……… Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 Chương 1: Giới thiệu tổng quát về phần mềm Maple........................................... 3 1.1. Cấu trúc và giao diện...................................................................................... 3 1.2. Lưu trữ và trích xuất dữ liệu .......................................................................... 3 1.3. Các môi trường làm việc trong Maple ........................................................... 3 Chương 2: Một số lệnh của Maple liên quan đến hình học phẳng ....................... 7 2.1. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................ 7 2.1.1. Tọa độ của một điểm ................................................................................... 7 2.1.2. Trung điểm của đoạn thẳng. ........................................................................ 7 2.1.3. Trọng tâm của tam giác ............................................................................... 7 2.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm ......................................................................... 7 2.1.5. Diện tích tam giác ....................................................................................... 7 2.1.6. Phương trình tham số của đường thẳng ..................................................... 8 2.1.7. Phương trình tổng quát của đường thẳng .................................................... 8 2.1.8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ........................................ 8 2.1.9. Phương trình đường tròn ............................................................................. 9 2.1.10. Tứ giác nội tiếp ......................................................................................... 9 2.1.11. Trục đẳng phương, tâm đẳng phương ....................................................... 9 2.2. Các lệnh liên quan ........................................................................................ 10 2.2.1. Điểm .......................................................................................................... 10 2.2.2. Trung điểm của đoạn thẳng ....................................................................... 10 2.2.3. Đường thẳng .............................................................................................. 11 2.2.4. Đoạn thẳng ................................................................................................ 15 2.2.5. Tam giác và các đường đặc biệt ................................................................ 15 2.2.6. Nhóm lệnh kiểm tra. .................................................................................. 22 Chương 3: Ứng dụng Maple hỗ trợ giải một số bài toán hình học phẳng .......... 25 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 35 1 MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Giáo dục đào tạo tạo ra nền tảng cho sự phát triển kinh tế xã hội, xây dựng nên những con người là chủ nhân tương lai của một đất nước. Đổi mới, nâng cao chất lượng giáo dục là nhiệm vụ chiến lược của không riêng một quốc gia nào. Một trong các khâu then chốt của việc đổi mới giáo dục là đổi mới phương pháp dạy học, từng bước khắc phục tình trạng dạy học theo hướng áp đặt, truyền thụ kiến thức một chiều, nặng tính lý thuyết sang bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tự giải quyết vấn đề của người học. Vấn đề ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học đáp ứng được yêu cầu này. Maple là một trong các phần mềm có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như Toán học, Vật lý, Hóa học, … Đặc biệt phần mềm Maple có khả năng ứng dụng hầu hết trong các nội dung của môn Toán ở trường phổ thông. Với khả năng tính toán, minh họa của mình, phần mềm Maple là một công cụ rất tốt, giúp cho giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu và học tập môn Toán. Trong thời gian học tập tại khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức về toán học, về phương pháp và phương tiện dạy học, bả n thân nhận thấy những tính năng ưu việt của phần mềm Maple, đồng thời phù hợp vớ i khả năng nghiên cứu của mình nên tôi chọn đề tài “Ứng dụng Maple hỗ trợ giải mộ t số bài toán hình học phẳng” để làm Khóa luận tốt nghiệp. Nội dung của khóa luận gồm ba chương: Chương 1: Giới thiệu tổng quát về phần mềm Maple Chương này giới thiệu tổng quan về phần mềm. Chương 2: Một số lệnh của Maple liên quan đến hình học phẳng Nội dung chương trình bày các kiến thức cơ bản và lệnh của phần mềm Maple liên quan đến hình học phẳng (không gian 2 chiều). Chương 3: Ứng dụng Maple hỗ trợ giải một số bài toán hình học phẳng Trong chương cuối này sẽ áp dụng phần mềm Maple vào giả i các bài toán hình học cụ thể trong2 . 1.2. Mục tiêu của đề tài Thông qua việc thực hiện khóa luận này nghiên cứu ứng dụng Maple giải mộ t số bài toán hình học phẳng. 2 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ giải một số bài toán hình học phẳng. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Trên cơ sở thu thập thông tin, tài liệu sách, giáo trình và các tài liệu liên quan từ đó phân tích, tổng hợp và sắp xếp lại theo logic nội dung của đề tài. Lấy ý kiến chuyên gia. Phân loại, hệ thống hóa lý thuyết 1.5. Đóng góp của đề tài Khóa luận hoàn thành sẽ là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên và các thầ y cô nghiên cứu về phần mềm Maple và ứng dụng của nó trong hình học. 3 Chương 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích. Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại họ c Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada. 1.1. Cấu trúc và giao diện - Việc cài đặt và khởi động chương trình Maple trên môi trườ ng Windows không có gì khác biệt nhiều so với các chương trình ứng dụng khác. - Giao diện của Maple khá giống với giao diện làm việc của các chương trình ứng dụng khác trên Windows. (hình1) - Khi khởi động Maple, chương trình chỉ tự động kích hoạt nhân củ a Maple bao gồ m các phép toán và các chức năng cơ bản nhất. Phần nhân chiếm khoảng dung lượng củ a toàn bộ chương trình. Hình 1. Giao diện phần mềm Maple - Các dữ liệu và chương trình còn lại của Maple được lưu giữ trong thư việ n Maple và chia ra 2 nhóm: nhóm các lệnh cơ bản và nhóm gói lệnh. Maple có dịch vụ trợ giúp khá đầy đủ và thuận lợi bao gồm cú pháp, giả i thích cách dùng và ví dụ đi kèm. Để nhận được trợ giúp, có thể: - Gõ vào factor từ dấu nhắc >, nếu đã biết tên lệnh. - Nếu dùng một gói lệnh thì khi nạp gói lệnh, Maple sẽ hiển thị toàn bộ lệnh trong gói đó. 1.2. Lưu trữ và trích xuất dữ liệu Trang làm việc của Maple sẽ được lưu giữ bằng file có đuôi “.mws”. File được lưu giữ bằng trình FileSave, file đó được mở bằng FileOpen. Ngoài việc lưu giữ bằng định dạng của Maple như trên, dữ liệu có thể đượ c trích xuất thành các định dạng khác như LaTex, HTML, trích xuất bằng lệ nh FileExport. 1.3. Các môi trường làm việc trong Maple Maple có 2 môi trường làm việc là toán và văn bản. Sau khi khởi động, Maple tự động bật môi trường toán (hình2). Hình 2. Môi trường làm việc Toán của phần mềm Maple 4 Muốn chuyển sang môi trường văn bản (hình 3), click chuột vào hiểu tượ ng T trên thanh công cụ hay vào trình Insert- Text. Ngược lại, từ môi trường văn bả n, click chuột vào dấu > trên thanh công cụ Insert để chuyển sang môi trường toán. Hình 3. Môi trường làm việc Text của phần mềm Maple Một trang làm việc (worksheet) của Maple có thể bao gồm những thành phần cơ bản như sau: 1. Cụm xử lý (Execution Group) Cụm xử lý thành phần tính toán cơ bản trong môi trường làm việc củ a Maple, có thể bao gồm các đối tượng cơ bản của Maple như lệnh, kết quả tính toán, đồ thị, … có thể dễ dàng nhận biết một cụm xử lý bằng dấu ngoặc vuông bên trái dấu nhắc lệ nh của Maple. Để tạo một cụm xử lý mới, ta click chuột vào biểu tượng > trên thanh công cụ. 2. Lệnh và kết quả tính toán của Maple Lệnh của Maple (Maple Input) Lệnh được nhập bằng các câu lệnh và kế t thúc với dấu “:” hoặc dấu “;”. Lệnh được thực hiện nếu ta ấn phím Enter khi trỏ ở trong cụm xử lý. Nếu kết thúc lệnh bằng dấu “;” kết quả sẽ hiển thị ngay ra màn hình, còn nếu kết thúc bằng dấu “:” thì Maple vẫn tiến hành tính toán bình thường nhưng kết quả không hiển thị ra màn hình. Chú ý: Lệnh trong Maple phân biệt chữ hoa và chữ thường. Có thể viết nhiề u lệnh thành một nhóm lệnh, khi gõ Enter, Maple sẽ thực hiện cả nhóm lệnh đó. Các lệnh trong nhóm có thể viết trên cùng một dòng hoặc ngắt dòng bằng cách ấ n Shift + Enter. Maple có hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp, hai dạng lệnh này luôn đi theo cặp và cú pháp của chúng chỉ khác nhau ở chỗ chữ cái đầu tiên trong tên lệnh củ a lệnh trơ viết in hoa. Lệnh trực tiếp cho ta kết quả tính toán, còn lệnh trơ chỉ cho ta biể u thức tượng trưng. Kết quả việc tính toán (Maple Output) hiện trên màn hình được mặc định có màu xanh cơ bản. 3. Mục (Section) Một trang làm việc (worksheet) trong Maple thường bao gồm nhiều mụ c, mỗi mục có thể chứa những đoạn (paragraph) và những mục con (subsection). 5 Một mục trong trang làm việc của Maple cũng tương tự như một mục trong các văn bản thông thường. Tuy nhiên điều đặc biệt của Maple là khả năng đóng gói: ta có thể mở một mục ra đọc hoặc gói lại khi đã đọc xong bằng cách click chuộ t vào nút chỉ mục đứng ở đầu mục. Muốn đưa thêm một mục mới vào trang văn bản ta đưa con trỏ màn hình lên ngang với mục đó, sau đó sử dụng chức năng Insert Section. Muốn thêm một mụ c con vào trong một mục ta đưa con trỏ màn hình lên ngang với mục đó sử dụng chức năng Insert Subsection. 4. Siêu liên kết (Hyperlink) Một siêu liên kết là một đối tượng mà nếu ta kích hoạt vào đó thì con trỏ sẽ đượ c di chuyển đến một đoạn, một mục hay một trang làm việc khác. Để tạo siêu liên kết ta đưa con trỏ đến vị trí siêu liên kết rồi chọn Insert Hyperlink. Trong hộp thoạ i Hyperlink Properties, nhập nhóm ký tự đại diện vào ô Link Text hoặ c cho nút check box Image rồi click chuột vào nút lệnh Choose Image, ... để chọn hình ảnh đại diện cho Hyperlink. Tại hộp cuốn Type, chọn Worksheet sau đó nhập tên file cần liên kết tới vào ô Target, hoặc chọn nút lệnh Browse để duyệt tìm file. Nhập tên của bookmark (nếu có) vào ô Bookmark. Một số quy ước, kí hiệu trong Maple  Các phép toán số học: phép cộng (+), phép trừ (-), phép (), phép chia (), phép lũy thừa (^) được viết trực tiếp vào dòng lệnh và thực hiện theo thứ tự quen biế t. Cách viết các hàm sơ cấp (sin, ln,...) cũng được viết trực tiếp trong dòng lệnh, nhưng phải lưu ý là biến số phải để trong ngoặc đơn; chẳng hạn: sin(x), tan(x), ln(x), … hàm mũ viết là exp(x), số e viết là exp(1); căn bậc hai của x viết là sqrt(x).  Số có thể dùng kí hiệu “pi” hoặc “Pi”, mộ t chú ý thú vị là Maple phân biệt “pi” (viết thường) và “Pi” (viế t hoa ), chẳng hạn viế t sin(pi) và sin(Pi) sẽ cho kết quả màn hình khác nhau về hình thức.(hình 4) 6  Luôn nhớ kết thúc lệnh luôn luôn là dấu hai chấm “:” hoặc dấu chấm phấy “;” . Nếu kết thúc lệnh bằng dấu hai chấm thì kết quả không hiện ra trên màn hình, còn kết thúc bằng dấu chấm phẩy thì kết quả hiện ra trên màn hình.  Muốn thực hiện lệnh nào thì đưa con trỏ màn hình về dòng lệnh đó hoặc cụ m xử lý có dòng lệnh đó rồi nhấn Enter.  Mỗi lệnh được viết trên một dòng với độ dài tùy ý, tuy nhiên có thể ngắ t dòng bằng cách nhấn tổ hợp Ship + Enter.  Cần viết các lệnh theo thứ tự trước sau, vì lệnh sau có thể dùng kết quả của lệnh trước.  Muốn thực hiện nhiều lệnh chỉ bằng một lần nhấn Enter, ta đưa chúng vào mộ t cụm xử lý. 7 Chương 2: MỘT SỐ LỆNH CỦA MAPLE LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC PHẲNG 2.1. Tóm tắt lý thuyết 2.1.1. Tọa độ của một điểm Trong mặt phẳng tọa độ cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ đố i với hệ trục được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Như vậy, cặp số là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi . Khi đó ta viết hoặc . Số được gọi là hoành độ còn số được gọi là tung độ của điểm M. 2.1.2. Trung điểm của đoạn thẳng. Cho đoạn thẳng AB có Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: 2.1.3. Trọng tâm của tam giác Cho tam giác ABC có Khi đó tọa độ của trọng tâm của tam giác ABC được tính theo công thức: 2.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức: . 2.1.5. Diện tích tam giác Cho tam giác ABC có các cạnh Ta ký hiệu và là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C và S là diện tích tam giác đó. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và là nửa chu vi của tam giác. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:1 1 1 2 2 2 a b cS ah bh ch  1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B   84 abc S S pr (công thức Hê-rông). 2.1.6. Phương trình tham số của đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm bất kỳ trong mặt phẳng, ta có0M M . Khi đó : cùng phương với 2.1.7. Phương trình tổng quát của đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng, ta có Khi đó: Với Phương trình với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 2.1.8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng cho đường thẳng có phương trình và điểm Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , ký hiệu là được tính bởi công thức: 9 2.1.9. Phương trình đường tròn Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R Ta có: Phương trình được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R. 2.1.10. Tứ giác nội tiếp a. Khái niệm tứ giác nội tiếp Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). b. Định lý Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng c. Định lý đảo Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 2.1.11. Trục đẳng phương, tâm đẳng phương a. Trục đẳng phương Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn không đồng tâm là một đường thẳng, gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn. Định lý: Nếu ba điểm cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng. b. Tâm đẳng phương Cho 3 đường tròn có các tâm không thẳng hàng. Giả sử lần lượt là trục đẳng phương của cặp đường tròn Khi đó đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. 10 2.2. Các lệnh liên quan 2.2.1. Điểm Một điểm A trong mặt phẳng được khai báo bởi cú pháp point (A, x, y) hoặc point (A, x, y), trong đó A là tên điểm, x, y, tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm A. Muốn xem tọa độ của M ta dùng lệnh: Tọa độ điểm M: coordinates (M); Hoành độ điểm M: HorizontalCoord(M); Tung độ điểm M: VerticalCoord(M); Ví dụ: Để khai báo toạ độ điểm A(3; 6) ta dùng câu lệnh: point(A,3,6); (dấu  để chỉ hành động gõ phím Enter trên bàn phím) Để hiện tọa độ điểm A ta dùng lệnh: coordinates(A); Kết quả cho ta A=3, 6 2.2.2. Trung điểm của đoạn thẳng Lệnh tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB có cú pháp midpoint (M, A, B). Để tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB ta khai báo tọa độ hai điể m A, B rồi dùng câu lệnh: midpoint(M, A, B); Ở đây M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Để hiện tọa độ của điểm M ta dùng lệnh: coordinates(M); Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(3,6) và B(1,-2). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB. point(A,3,6); coordinates(A); 11 point(B,1,-2); midpoint(M, A, B); coordinates(M); Kết quả cho ta M=2, 2 2.2.3. Đường thẳng Khai báo đường thẳng đi qua 2 điểm line(d,A,B); ở đây d là tên đường thẳ ng, A và B là 2 điểm đường thẳng d đi qua. Đường thẳng có tên là d, muốn biết phương trình của nó, dùng lệnh equation(d); Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A(3,5), B(-9,4) with(geometry): Equation(line(d,point(A,3,5), point(B,-9,4))); enter name of the horizontal axis y; enter name of the vertical axis x; 57 y 12 x 0 12 Cấu trúc lệnh viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và vuông góc với đường thẳng m cho trước: PerpendicularLine(d,A,m); Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2,3) và vuông góc với đường thẳng m có phương trình x + y = 1. with(geometry): point(A,2,3),line(m,x + y = 1,x,y):PerpendicularLine(d,A, m): Equation(d,x,y); 1 x y 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm P cho trước và song song với đường thẳng m cho trước sử dụng lệnh: ParallelLine(d,P,m); Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(2,3) và song song với đường thẳng m có phương trình x + y = 1. with(geometry): point(A,2,3),line(m,x + y = 1,x,y):ParallelLine(d,A, m): Equation(d,x,y);  5 x y 0 13 Để nhập đường thẳng I có phương trình , dùng lệnh line(I, ax+by+c=0); Để tính khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d sử dụng lệ nh: distance(M,d); Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A(2,3) đến đường thẳng d: x + y = 1 with(geometry): point(A,2,3),line(d,x + y = 1,x,y):distance(A,d);2 2 Cấu trúc lệnh tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d: projection(H,d,A):coordinates(H); trong đó H là tên của hình chiếu. Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2,3) và đường thẳng d có phương trình x + y = 1. Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A lên đường thẳng d. with(geometry): point(A,2,3),line(d,x + y =1):projection(H,d,A):coordinates(H); ,0 1 14 Tìm điểm đối xứng của điểm P qua đường thẳng d sử dụng cấu trúc lệnh: reflection(Q,P,d);  với Q là tên điểm đối xứng của P. Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm P(2,-4) và đường thẳng d có phương trình x + y = 1. Tìm tọa độ điểm đối xứng Q của điểm P qua đường thẳng d. with(geometry): point(P,2,3),line(d,x + y =1): reflection(Q,P,d):coordinates(Q); 5,-1 Tìm giao điểm A của 2 đường thẳng m, d sử dụng lệnh: intersection(A,m,d);  Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d và k có phương trình lần lượt là x + y = 1 và 2x – y = 3. Tìm tọa độ giao điểm A của d và k. with(geo...

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Giới thiệu tổng quát về phần mềm Maple 3

1.1 Cấu trúc và giao diện 3

1.2 Lưu trữ và trích xuất dữ liệu 3

1.3 Các môi trường làm việc trong Maple 3

Chương 2: Một số lệnh của Maple liên quan đến hình học phẳng 7

2.1 Tóm tắt lý thuyết 7

2.1.1 Tọa độ của một điểm 7

2.1.2 Trung điểm của đoạn thẳng 7

2.1.3 Trọng tâm của tam giác 7

2.1.4 Khoảng cách giữa hai điểm 7

2.1.5 Diện tích tam giác 7

2.1.6 Phương trình tham số của đường thẳng 8

2.1.7 Phương trình tổng quát của đường thẳng 8

2.1.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 8

2.1.9 Phương trình đường tròn 9

2.1.10 Tứ giác nội tiếp 9

2.1.11 Trục đẳng phương, tâm đẳng phương 9

1

MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục đào tạo tạo ra nền tảng cho sự phát triển kinh tế xã hội, xây dựng nên những con người là chủ nhân tương lai của một đất nước Đổi mới, nâng cao chất lượng giáo dục là nhiệm vụ chiến lược của không riêng một quốc gia nào

Một trong các khâu then chốt của việc đổi mới giáo dục là đổi mới phương pháp dạy học, từng bước khắc phục tình trạng dạy học theo hướng áp đặt, truyền thụ kiến thức một chiều, nặng tính lý thuyết sang bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tự giải quyết vấn đề của người học Vấn đề ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học đáp ứng được yêu cầu này

Maple là một trong các phần mềm có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như Toán học, Vật lý, Hóa học, … Đặc biệt phần mềm Maple có khả năng ứng dụng hầu hết trong các nội dung của môn Toán ở trường phổ thông Với khả năng tính toán, minh họa của mình, phần mềm Maple là một công cụ rất tốt, giúp cho giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu và học tập môn Toán

Trong thời gian học tập tại khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức về toán học, về phương pháp và phương tiện dạy học, bản thân nhận thấy những tính năng ưu việt của phần mềm Maple, đồng thời phù hợp với

khả năng nghiên cứu của mình nên tôi chọn đề tài “Ứng dụng Maple hỗ trợ giải một

số bài toán hình học phẳng” để làm Khóa luận tốt nghiệp

Nội dung của khóa luận gồm ba chương: Chương 1: Giới thiệu tổng quát về phần mềm Maple

Chương này giới thiệu tổng quan về phần mềm

Chương 2: Một số lệnh của Maple liên quan đến hình học phẳng

Nội dung chương trình bày các kiến thức cơ bản và lệnh của phần mềm Maple liên quan đến hình học phẳng (không gian 2 chiều)

Chương 3: Ứng dụng Maple hỗ trợ giải một số bài toán hình học phẳng

Trong chương cuối này sẽ áp dụng phần mềm Maple vào giải các bài toán hình học cụ thể trong 2

1.2 Mục tiêu của đề tài

Thông qua việc thực hiện khóa luận này nghiên cứu ứng dụng Maple giải một số bài toán hình học phẳng

2

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ giải một số bài toán hình học phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở thu thập thông tin, tài liệu sách, giáo trình và các tài liệu liên quan từ đó phân tích, tổng hợp và sắp xếp lại theo logic nội dung của đề tài

Lấy ý kiến chuyên gia

Phân loại, hệ thống hóa lý thuyết

1.5 Đóng góp của đề tài

Khóa luận hoàn thành sẽ là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên và các thầy cô nghiên cứu về phần mềm Maple và ứng dụng của nó trong hình học

3

Chương 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE

Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích

Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada.

1.1 Cấu trúc và giao diện

- Việc cài đặt và khởi động chương trình Maple trên môi trường Windows không

có gì khác biệt nhiều so với các chương trình ứng dụng khác

- Giao diện của Maple khá giống với giao diện làm việc của các chương trình ứng dụng khác trên Windows (hình1)

- Khi khởi động Maple, chương trình chỉ tự động kích hoạt nhân của Maple bao gồm các phép toán và các chức năng cơ bản nhất Phần nhân chiếm khoảng dung lượng của toàn

bộ chương trình Hình 1 Giao diện phần mềm Maple

- Các dữ liệu và chương trình còn lại của Maple được lưu giữ trong thư viện Maple và chia ra 2 nhóm: nhóm các lệnh cơ bản và nhóm gói lệnh

Maple có dịch vụ trợ giúp khá đầy đủ và thuận lợi bao gồm cú pháp, giải thích cách dùng và ví dụ đi kèm Để nhận được trợ giúp, có thể:

- Gõ vào factor từ dấu nhắc [>, nếu đã biết tên lệnh

- Nếu dùng một gói lệnh thì khi nạp gói lệnh, Maple sẽ hiển thị toàn bộ lệnh trong gói đó

1.2 Lưu trữ và trích xuất dữ liệu

Trang làm việc của Maple sẽ được lưu giữ bằng file có đuôi “.mws” File được lưu giữ bằng trình File|Save, file đó được mở bằng File|Open

Ngoài việc lưu giữ bằng định dạng của Maple như trên, dữ liệu có thể được trích xuất thành các định dạng khác như LaTex, HTML, trích xuất bằng lệnh File|Export

1.3 Các môi trường làm việc trong Maple * Maple có 2 môi trường làm việc là

toán và văn bản Sau khi khởi động, Maple tự

động bật môi trường toán (hình2) Hình 2 Môi trường làm việc Toán của phần mềm Maple

4

Muốn chuyển sang môi trường văn

bản (hình 3), click chuột vào hiểu tượng

T trên thanh công cụ hay vào trình Text Ngược lại, từ môi trường văn bản, click chuột vào dấu [> trên thanh công cụ

Insert-Insert để chuyển sang môi trường toán Hình 3 Môi trường làm việc Text của phần mềm Maple *Một trang làm việc (worksheet) của Maple có thể bao gồm những thành phần cơ bản như sau:

1 Cụm xử lý (Execution Group)

* Cụm xử lý thành phần tính toán cơ bản trong môi trường làm việc của Maple, có thể bao gồm các đối tượng cơ bản của Maple như lệnh, kết quả tính toán, đồ thị, … có thể dễ dàng nhận biết một cụm xử lý bằng dấu ngoặc vuông bên trái dấu nhắc lệnh của Maple

* Để tạo một cụm xử lý mới, ta click chuột vào biểu tượng [> trên thanh công cụ

2 Lệnh và kết quả tính toán của Maple

* Lệnh của Maple (Maple Input) Lệnh được nhập bằng các câu lệnh và kết thúc với dấu “:” hoặc dấu “;” Lệnh được thực hiện nếu ta ấn phím Enter khi trỏ ở trong cụm xử lý Nếu kết thúc lệnh bằng dấu “;” kết quả sẽ hiển thị ngay ra màn hình, còn nếu kết thúc bằng dấu “:” thì Maple vẫn tiến hành tính toán bình thường nhưng kết quả không hiển thị ra màn hình

Chú ý: Lệnh trong Maple phân biệt chữ hoa và chữ thường Có thể viết nhiều

lệnh thành một nhóm lệnh, khi gõ Enter, Maple sẽ thực hiện cả nhóm lệnh đó Các lệnh trong nhóm có thể viết trên cùng một dòng hoặc ngắt dòng bằng cách ấn Shift + Enter

Maple có hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp, hai dạng lệnh này luôn đi theo cặp và cú pháp của chúng chỉ khác nhau ở chỗ chữ cái đầu tiên trong tên lệnh của lệnh trơ viết in hoa Lệnh trực tiếp cho ta kết quả tính toán, còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng Kết quả việc tính toán (Maple Output) hiện trên màn hình được mặc

định có màu xanh cơ bản

3 Mục (Section)

* Một trang làm việc (worksheet) trong Maple thường bao gồm nhiều mục, mỗi mục có thể chứa những đoạn (paragraph) và những mục con (subsection)

5

Một mục trong trang làm việc của Maple cũng tương tự như một mục trong các văn bản thông thường Tuy nhiên điều đặc biệt của Maple là khả năng đóng gói: ta có thể mở một mục ra đọc hoặc gói lại khi đã đọc xong bằng cách click chuột vào nút chỉ mục đứng ở đầu mục

* Muốn đưa thêm một mục mới vào trang văn bản ta đưa con trỏ màn hình lên ngang với mục đó, sau đó sử dụng chức năng Insert Section Muốn thêm một mục con vào trong một mục ta đưa con trỏ màn hình lên ngang với mục đó sử dụng chức năng Insert Subsection

4 Siêu liên kết (Hyperlink)

Một siêu liên kết là một đối tượng mà nếu ta kích hoạt vào đó thì con trỏ sẽ được di chuyển đến một đoạn, một mục hay một trang làm việc khác Để tạo siêu liên kết ta đưa con trỏ đến vị trí siêu liên kết rồi chọn Insert Hyperlink Trong hộp thoại Hyperlink Properties, nhập nhóm ký tự đại diện vào ô Link Text hoặc cho nút check box Image rồi click chuột vào nút lệnh Choose Image, để chọn hình ảnh đại diện cho Hyperlink Tại hộp cuốn Type, chọn Worksheet sau đó nhập tên file cần liên kết tới vào ô Target, hoặc chọn nút lệnh Browse để duyệt tìm file Nhập tên của bookmark (nếu có) vào ô Bookmark

Một số quy ước, kí hiệu trong Maple

 Các phép toán số học: phép cộng (+), phép trừ (-), phép (*), phép chia (/), phép lũy thừa (^) được viết trực tiếp vào dòng lệnh và thực hiện theo thứ tự quen biết Cách viết các hàm sơ cấp (sin, ln, ) cũng được viết trực tiếp trong dòng lệnh, nhưng phải lưu ý là biến số phải để trong ngoặc đơn; chẳng hạn: sin(x), tan(x), ln(x), … hàm mũ

viết là exp(x), số e viết là exp(1); căn bậc hai của x viết là sqrt(x)  Số có thể dùng kí

hiệu “pi” hoặc “Pi”, một chú ý thú vị là Maple phân biệt “pi” (viết thường) và “Pi” (viết hoa ), chẳng hạn viết sin(pi) và sin(Pi) sẽ cho kết quả màn hình khác

nhau về hình thức.(hình 4)

6  Luôn nhớ kết thúc lệnh luôn luôn là dấu hai chấm “:” hoặc dấu chấm phấy “;” Nếu kết thúc lệnh bằng dấu hai chấm thì kết quả không hiện ra trên màn hình, còn kết thúc bằng dấu chấm phẩy thì kết quả hiện ra trên màn hình

 Muốn thực hiện lệnh nào thì đưa con trỏ màn hình về dòng lệnh đó hoặc cụm xử lý có dòng lệnh đó rồi nhấn Enter

 Mỗi lệnh được viết trên một dòng với độ dài tùy ý, tuy nhiên có thể ngắt dòng bằng cách nhấn tổ hợp Ship + Enter

 Cần viết các lệnh theo thứ tự trước sau, vì lệnh sau có thể dùng kết quả của lệnh trước

 Muốn thực hiện nhiều lệnh chỉ bằng một lần nhấn Enter, ta đưa chúng vào một cụm xử lý

7

Chương 2: MỘT SỐ LỆNH CỦA MAPLE LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 Tóm tắt lý thuyết

2.1.1 Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ đối với hệ trục được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó Như vậy, cặp số là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi Khi đó ta viết hoặc

Số được gọi là hoành độ còn số được gọi là tung độ của điểm M

2.1.2 Trung điểm của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng AB có Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

2.1.3 Trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC có Khi đó tọa độ của trọng tâm của tam giác ABC được tính theo công thức:

2.1.4 Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức:

2.1.5 Diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có các cạnh

Ta ký hiệu và là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các

đỉnh A,B,C và S là diện tích tam giác đó Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và là nửa chu vi của tam giác

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

8 4

S  pr

(công thức Hê-rông)

2.1.6 Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương Với mỗi điểm bất kỳ trong mặt phẳng, ta

2.1.7 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến Với mỗi điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng, ta có

Khi đó:

Phương trình với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

2.1.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng cho đường thẳng có phương trình và điểm Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , ký hiệu là

được tính bởi công thức:

Phương trình được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R

2.1.10 Tứ giác nội tiếp

a Khái niệm tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn không đồng tâm là

một đường thẳng, gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn

Định lý: Nếu ba điểm cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng

b Tâm đẳng phương

Cho 3 đường tròn có các tâm không thẳng hàng Giả sử

lần lượt là trục đẳng phương của cặp đường tròn Khi đó đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

10

2.2 Các lệnh liên quan 2.2.1 Điểm

Một điểm A trong mặt phẳng được khai báo bởi cú pháp point (A, x, y) hoặc point (A, [ x, y]), trong đó A là tên điểm, x, y, tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm A Muốn xem tọa độ của M ta dùng lệnh:

Tọa độ điểm M: coordinates (M);

Hoành độ điểm M: HorizontalCoord(M); Tung độ điểm M: VerticalCoord(M);

Ví dụ: Để khai báo toạ độ điểm A(3; 6) ta dùng câu lệnh:

point(A,3,6); (dấu  để chỉ hành động gõ phím Enter trên bàn phím)

Để hiện tọa độ điểm A ta dùng lệnh:

coordinates(A);Kết quả cho ta A=[3, 6]

2.2.2 Trung điểm của đoạn thẳng

Lệnh tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB có cú pháp midpoint (M, A, B) Để tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB ta khai báo tọa độ hai điểm A, B rồi dùng câu lệnh:

midpoint(M, A, B);

Ở đây M là trung điểm của đoạn thẳng AB Để hiện tọa độ của điểm M ta dùng lệnh:

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(3,6) và B(1,-2) Tìm tọa độ trung

điểm M của đoạn thẳng AB

coordinates(A);

11

midpoint(M, A, B);

coordinates(M);Kết quả cho ta M=[2, 2]

enter name of the vertical axis x;

 

57 y12 x 0

 1 xy 0

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm P cho trước và song song với đường thẳng m cho trước sử dụng lệnh: ParallelLine(d,P,m);

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(2,3) và song song với

đường thẳng m có phương trình x + y = 1

with(geometry):

point(A,2,3),line(m,x + y = 1,[x,y]):ParallelLine(d,A, m): Equation(d,[x,y]);

  5 xy 0

Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2,3) và đường thẳng d có phương trình

x + y = 1 Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A lên đường thẳng d

with(geometry):

point(A,2,3),line(d,x + y =1):projection(H,d,A):coordinates(H);

[0 1,]

14

Tìm điểm đối xứng của điểm P qua đường thẳng d sử dụng cấu trúc lệnh:

reflection(Q,P,d);với Q là tên điểm đối xứng của P

Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm P(2,-4) và đường thẳng d có phương

trình x + y = 1 Tìm tọa độ điểm đối xứng Q của điểm P qua đường thẳng d

Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d và k có phương trình lần

lượt là x + y = 1 và 2x – y = 3 Tìm tọa độ giao điểm A của d và k

with(geometry):

line(d,x + y =1): line(k,2x - y =3); intersection(A,k,d);coordinates(A);

41,33  

Cho trước 2 điểm A và B: point(A,0,0), point(B,1,1):

Đoạn thẳng AB: segment(AB,[A,B]); với AB là tên đường thẳng, A và B là 2 đầu mút

Để tính độ dài đoạn AB, ta dùng lệnh: distance(A,B);

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(0,-3) và B(3,1)

Để khai báo tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C ta dùng lệnh:

triangle(ABC, [point(A,xA, yA), point(B,xB, yB), point(C,xC, yC)]);

Ví dụ: Khai báo tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(3;5), B(-9;4), C(-5;1) ta

dùng lệnh:

with(geometry):

triangle(ABC, [point(A,3,5), point(B,-4,9), point(C,5,1)]);

Để khai báo tam giác ABC có phương trình đường thẳng đi qua 3 cạnh lần lượt là d1, d2, d3 ta dùng lệnh:

 Hãy khai báo các tam giác sau:

1) Có 3 đỉnh là ABC; 2) Nhận 3 cạnh là a,b,c;

3) Có cạnh a, cạnh b và góc C1;

Giải with(geometry):

point(A,[0,0]); point(B,[5,5]); point(C,[0,10]); a:=3; b:=7; c:=9; line(AB, x+21*y-22=0, [x,y]); line(BC, 5*x-12*y+7=0, [x,y]); line(CA, 4*x-3*y+146=0,[x,y]); triangle(T1, [A, B, C]);

triangle(T2, [a, b, c]); triangle(T3,[AB, BC, CA]);

triangle(T4, [T4, [a, „angle‟=(1/2)pi, b]);