BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- NGUYỄN THỊ THU HIỀN BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện NGUYỄN THỊ THU HIỀN MSSV: 2114010120 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA: 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn ThS. HOÀNG MỸ HẠNH MSCB: 1049 Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Được sự phân công của quý thầy cô khoa Toán, Trường Đại Học Quảng Nam, sau gần ba tháng tôi đã hoàn thành Khóa luận tốt nghiệp. Lời đầu tiên xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Hoàng Mỹ Hạnh đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi hoàn thành tốt khóa luận. Ngoài ra xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán đã đóng góp những ý kiến quý báu cho khóa luận. Sau cùng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Do các điều kiện về khả năng của bản thân cũng như các điều kiện khách quan khác nên trong khóa luận này không thể tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ dẫn và góp ý của quý thầy cô cùng các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn. Một lần nữa xin chân thành cảm ơn và chúc thầy cô sức khỏe và thành công LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Biến ngẫu nhiên và một số ứng dụng” là bài nghiên cứu độc lập của cá nhân tôi với sự cố vấn của người hướng dẫn khoa học, tất cả nguồn tài liệu được công bố đầy đủ. Tam kỳ, tháng 5 năm 2018 Người cam đoan Nguyễn Thị Thu Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1 2. Mục tiêu của đề tài ............................................................................................ 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2 5. Đóng góp của đề tài .......................................................................................... 2 6. Cấu trúc đề tài .................................................................................................. 2 Chương 1 ............................................................................................................... 3 C SỞ L THU T ............................................................................................ 3 1.1. Biến cố và xác suất của biến cố ..................................................................... 3 1.1.1. Biến cố......................................................................................................... 3 1.1.2. Xác suất của biến cố .................................................................................... 3 1.1.3. Công thức xác suất nhị thức (công thức Bernoulli) .................................... 5 1.2. Biến ngẫu nhiên .............................................................................................. 6 1.2.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên ......................................................................... 6 1.2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên ........................................................................... 6 1.3. Quy luật phân phối xác suất ......................................................................... 7 1.3.1. Bảng phân phối xác suất ............................................................................. 7 1.3.2. Hàm phân phối xác suất .............................................................................. 8 1.3.3. Hàm mật độ xác suất ................................................................................. 11 1.4. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên................................................. 13 1.4.1. Kỳ vọng toán (giá trị trung bình) .............................................................. 14 1.4.2. Trung vị (median)...................................................................................... 16 1.4.3. Mốt (mod) ................................................................................................. 17 1.4.4. Phương sai ................................................................................................. 19 1.4.5. Độ lệch chuẩn ............................................................................................ 21 1.4.6. Hệ số biến thiên ......................................................................................... 21 1.5. Một số phân phối xác suất thường gặp ........................................................ 21 1.5.1. Phân phối không-một ................................................................................ 21 1.5.2. Phân phối nhị thức..................................................................................... 23 1.5.3. Phân phối Poisson ..................................................................................... 25 1.5.4. Phân phối siêu bội ..................................................................................... 28 1.5.5. Phân phối đều ............................................................................................ 29 1.5.6. Phân phối mũ ............................................................................................. 31 1.5.7. Phân phối chuẩn ........................................................................................ 32 1.5.8. Phân phối khi bình phương ....................................................................... 35 1.5.9. Phân phối Student ..................................................................................... 35 1.5.10. Phân phối F (Fisher R.A – Snedecor G.W) ............................................ 36 Chương 2 ............................................................................................................. 38 BI N NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ HÀM CÁC BI N NGẪU NHIÊN ..... 38 2.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều ........................................................... 38 2.2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều ........................ 39 2.2.1. Bảng phân phối xác suất ........................................................................... 39 2.2.2. Hàm phân phối xác suất ............................................................................ 41 2.2.3. Hàm mật độ xác suất ................................................................................. 43 2.3. Quy luật phân phối xác suất có điều kiện của các thành phần của hệ hai biến ngẫu nhiên ........................................................................................................... 44 2.4. Các tham số đặc trưng .................................................................................. 49 2.4.1. Kỳ vọng toán ............................................................................................. 49 2.4.2. Phương sai ................................................................................................. 49 2.4.3. Hiệp phương sai ........................................................................................ 50 2.4.4. Hệ số tương quan ...................................................................................... 51 2.4.5. Hàm hồi qui ............................................................................................... 53 2.5. Hàm các biến ngẫu nhiên ............................................................................. 54 2.5.1. Khái niệm .................................................................................................. 54 2.5.2. Quy luật phân phối xác suất của hàm một biến ngẫu nhiên...................... 54 2.5.3. Các tham số đặc trưng của hàm các biến ngẫu nhiên ............................... 57 Chương 3 ............................................................................................................. 60 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BI N NGẪU NHIÊN ......................................... 60 3.1. Ứng dụng trong lĩnh vực sinh học................................................................ 60 3.1.1. Ứng dụng trong lĩnh vực sinh-KTNN ....................................................... 60 3.1.2. Ứng dụng trong lĩnh vực y học ................................................................. 61 3.2. Ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế .................................................................. 67 3.3. Ứng dụng trong lĩnh vực kĩ thuật ................................................................. 78 3.4. Ứng dụng trong một số lĩnh vực khác .......................................................... 84 K T LUẬN VÀ KI N NGHỊ............................................................................. 91 1. Kết luận ........................................................................................................... 91 2. Kiến nghị ......................................................................................................... 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 92 PHỤ LỤC ............................................................................................................ 93 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ra đời từ thế kỷ 17, Xác suất thống kê là một ngành khoa học hiện đại; nó gần như xuất phát từ các hiện tượng đời sống thực tiễn; hình thành, phát triển rất nhanh và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực tự nhiên và xã hội khác nhau. Trong khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày, ta bắt gặp rất nhiều hiện tượng ngẫu nhiên mà ta không thể đoán biết được chắc chắn rằng liệu chúng có xảy ra hay không? Ngẫu nhiên phổ biến ở khắp mọi nơi, trong cả sự may mắn hay rủi ro, trong cả sự thành công hay thất bại. Ngẫu nhiên cũng chính là một phần của cuộc sống. Hiện nay ở các lĩnh vực kinh tế, quân sự và các bộ môn khoa học thực nghiệm như vật lý, sinh vật học, nông-lâm- ngư nghiệp, tâm lý xã hội học,... người ta đã xử lý các kết quả thí nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học hoặc biểu diễn các quy luật ngẫu nhiên bằng mô hình toán học. Do đó xác suất thống kê có tính ứng dụng thực tiễn rất cao, đặc biệt là nội dung biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất. Hơn 300 năm phát triển, biến ngẫu nhiên đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chẳng hạn, kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên được sử dụng nhiều trong các bài toán kinh tế, các trò chơi may rủi; biến ngẫu nhiên có phân phối không-một được dùng trong những nghiên cứu định tính có hai phạm trù luân phiên như phân tích giới tính của khách hàng trong việc xây dựng chiến lược marketing; biến ngẫu nhiên có phân phối mũ được ứng dụng trong các hệ thống phục vụ công cộng, trong các hệ thống kĩ thuật;... Có thể nói biến ngẫu nhiên có tính thực tiễn rất cao. Vì vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về biến ngẫu nhiên, chúng tôi xin chọn đề tài “Biến ngẫu nhiên và một số ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu khóa luận. 2. Mục tiêu của đề tài Đề tài nghiên cứu nhằm giúp cho người đọc có các kiến thức hữu ích về lý thuyết xác suất, đặc biệt là về biến ngẫu nhiên và các ứng dụng của nó. 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về biến ngẫu nhiên và một số ứng dụng thực tiễn của nó. Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết xác suất. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. Phân tích, tổng hợp các kiến thức. Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 5. Đóng góp của đề tài Đề tài đóng góp thiết thực trong việc làm rõ được tính ứng dụng của biến ngẫu nhiên và từ đó thúc đẩy việc ứng dụng biến ngẫu nhiên vào các lĩnh vực khoa học – xã hội. Khóa luận nếu thành công có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để các giáo viên, sinh viên, học sinh nghiên cứu, bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức về xác suất đặc biệt là về biến ngẫu nhiên. 6. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và ba chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết. Chương 2: Biến ngẫu nhiên hai chiều và hàm các biến ngẫu nhiên. Chương 3: Một số ứng dụng của biến ngẫu nhiên. 3 Chương 1 CƠ SỞ L THUYẾT 1.1. Biến cố và xác suất của biến cố 1.1.1. Biến cố Định nghĩa 1.1. Biến cố liên kết với phép thử T là sự kiện có thể xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử T. Biến cố sơ cấp là sự kiện xảy ra khi và chỉ khi có một kết quả cụ thể trong số những kết quả loại trừ nhau của phép thử T. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp tương ứng với phép thử T được gọi là không gian biến cố sơ cấp (hoặc không gian mẫu) – ký hiệu là Ω. Ví dụ 1.2. Bắn một viên đạn vào bia. Kí hiệu A là biến cố viên đạn trúng vào bia, B là biến cố viên đạn không trúng vào bia. Không gian biến cố sơ cấp là Ω = {A; B} và A, B đều là các biến cố sơ cấp. 1.1.2. Xác suất của biến cố Xác suất của biến cố là đại lượng đặc trưng cho khả năng khách quan xảy ra của biến cố khi thực hiện hiện phép thử T. Xác suất của biến cố A ký hiệu là P(A). Trong lịch sử Toán học có rất nhiều định nghĩa cho khái niệm xác suất. Trong bài khóa luận này, chúng ta s xem xét một số định nghĩa tiêu biểu. a nh ngh a á u t n Định nghĩa 1.3. Xác suất của biến cố A trong một phép thử T được xác định như sau: P(A) = m n , với0 , m n trong đó: m là số khả năng thuận lợi cho biến cố A. n là số khả năng có thể xảy ra. 4 nh ngh a á u t th t n u t Xét phép thử ngẫu nhiên nào đó. Biến cố A được quan sát trong phép thử này. Ta lặp lại độc lập n lần phép thử này với điều kiện như nhau. Gọi k là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó. Tỷ số k n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Nói chung tần suất k n bị thay đổi nếu ta thực hiện hàng loạt các phép thử khác từ n phép thử hoặc nếu số phép thử n thay đổi. Tuy nhiên người ta nhận thấy rằng nếu tiến hành các phép thử trong những điều kiện như nhau và số phép thử n càng lớn thì tỷ số k n thể hiện tính ổn định khá rõ ràng, tức là nó dao động quanh số cố định và sự khác giữa chúng càng nhỏ đi. Khi đó ta có định nghĩa xác suất theo tần suất như sau: Định nghĩa 1.4. Nếu số phép thử n càng lớn mà tần suất xuất hiện biến cố A sai khác số cố định p nào đó càng bé thì ta nói rằng biến cố A ổn định ngẫu nhiên và số p được gọi là xác suất xuất hiện biến cố A. Định nghĩa này có ưu điểm là nó giải quyết được trường hợp không gian biến cố sơ cấp gồm vô hạn biến cố sơ cấp và không cần giả thiết tính đồng khả năng, trong khi đó định nghĩa xác suất cổ điển chỉ áp dụng trong phạm vi đồng khả năng. Song định nghĩa xác suất theo tần suất cũng có nhược điểm nhiều về đặc trưng toán học. Nó không phản ánh được nhiều về đặc trưng của biến cố mà tỷ số k n có tính ổn định. nh ngh a á u t h nh h Định nghĩa 1.5. Cho miền đo được (trong đường thẳng, mặt phẳng, không gian ba chiều, ...) và miền con S đo được của . Ta lấy ngẫu nhiên một điểm trong miền . Đặt A là biến cố “M S” (đọc là điểm M thuộc miền S ). Xác suất của biến cố A được xác định như sau: 5 P(A) = ñoä ño cuûa S ñoä ño cuûa  , (miền chính là không gian biến cố sơ cấp).  Nếu miền là đường cong hay đoạn thẳng thì “độ đo” của là độ dài của nó.  Nếu miền là hình phẳng hay mặt cong thì “độ đo” của là diện tích của nó.  Nếu là hình khối ba chiều thì “độ đo” của là thể tích của nó. Ta có thể làm rõ hơn định nghĩa xác suất của biến cố thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 1.6. Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để: a) Mặt xuất hiện là mặt 3 chấm. b) Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ. G ả . a) Gọi A là biến cố “Mặt xuất hiện là mặt 3 chấm”.i B là biến cố “Mặt xuất hiện của con xúc xắc là mặt i chấm”, i =1, 6 . Vì con xúc xắc cân đối và đồng chất nên khả năng xuất hiện các mặt1 B ,2 B ,3 B ,4 B ,5 B ,6 B là như nhau. Vậy số khả năng có thể là 6 khả năng và số khả năng thuận lợi cho biến cố A là 1. Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = 1 6 . b) Đặt C là biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ”. Số khả năng thuận lợi cho biến cố C là 3. Vậy xác suất của biến cố C là P(C) = 3 6 = 1 2 . 1.1.3. Công thức xác suất nhị thức (công thức Bernoulli) Giả sử ta tiến hành n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố A không xảy ra, xác suất xảy ra của biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p và xác suất không xảy ra của 6 biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng q = 1 p. Những bài toán thỏa mãn cả ba giả thiết trên được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli. Lúc đó xác suất để trong n phép thử nói trên, biến cố A xuất hiện đúng k lần, ký hiệu( )n P k và được xác định bằng công thức Bernoulli như sau:( ) k k n k n n P k C p q   , k = 0, 1, 2, ..., n. 1.2. Biến ngẫu nhiên 1.2.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên Chúng ta có thể định nghĩa biến ngẫu nhiên như sau: Định nghĩa 1.7. Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và nhận giá trị trong không gian ( là tập hợp số thực) nếu vớix  tập hợp : ( )X x    ,  là biến cố ngẫu nhiên. Ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên bằng chữ in hoa X, Y, Z ,... Giá trị của nó ký hiệu bằng chữ thường x, y, z,... Tập hợp tất cả các giá trị mà X có thể nhận được gọi là tập giá trị của X . Kí hiệu làX D . Ta xét một số biến ngẫu nhiên thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 1.8. Gọi X là số gà mái trong 3 quả trứng sắp nở. Giá trị mà X có thể nhận là 0, 1, 2, 3. Gọi Y là số chấm ở mặt trên con xúc xắc khi gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Giá trị mà Y có thể nhận là 1, 2, 3, 4, 5, 6. Gọi Z là số người đi siêu thị Coopmart vào ngày chủ nhật. Giá trị mà Z có thể nhận là 0, 1, 2,..., n,... Một người bắn một viên đạn trúng bia (bia hình tròn và có bán kính là r). Gọi X’ là khoảng cách từ điểm chạm đến hồng tâm. Giá trị X’ có thể nhận là tất cả những giá trị nằm trong đoạn 0; r. 1.2.2. Phân loại biến ngẫu nhiên Có hai loại biến ngẫu nhiên, đó là biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. 7 a) B ến ngẫu nh ên rờ rạ Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể nhận của nó là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Trong ví dụ 1.8 đã trình bày ở phần 1.2.1, các biến ngẫu nhiên X, Y, Z là những biến ngẫu nhiên rời rạc. b) B ến ngẫu nh ên l ên tụ Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể nhận của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. Trong ví dụ 1.8 đã trình bày ở phần 1.2.1, các biến ngẫu nhiên X’ là biến ngẫu nhiên liên tục. 1.3. Quy luật phân phối xác suất Theo định nghĩa về biến ngẫu nhiên ở trên thì biến ngẫu nhiên nhận mỗi giá trị của nó tương ứng với một biến cố ngẫu nhiên nào đó và khi đó tương ứng với một xác suất của biến cố đó. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là quy tắc tương ứng giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể nhận với xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận từng giá trị đó. Các phương pháp được sử dụng phổ biến để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là:  Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc).  Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục).  Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục). 1.3.1. Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có tập giá trị 1 2 ; ; ...; ; ...X n D x x x với các xác suất tương ứngi p = P(X =i x ), i = 1, 2, ..., n, ... Khi đó bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được trình bày như sau: 8 X1 x2 x ...n x ... P1 p2 p ...n p ... trong đó0 1 1 i i i p p       (khi tập giá trịX D là tập vô hạn đếm được thì1 1 i i p    ). Bây giờ ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.9. Một phân xưởng có ba mô tơ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để mô tơ chạy tốt trong một ca làm việc là 0,7. Gọi X là số mô tơ chạy tốt trong một ca làm việc. Lập bảng phân phối xác suất của X. G ả . Tập hợp các giá trị mà X có thể nhận làX D = {0; 1; 2; 3}. Áp dụng công thức xác suất nhị thức ta có: P(X = 0) = 0 3 C (0,7)0.(0,3)3 = 0,027; P(X = 1) = 1 3 C (0,7)1.(0,3)2 = 0,189; P(X = 2) = 2 3 C (0,7)2.(0,3)1 = 0,441; P(X = 3) = 3 3 C (0,7)3.(0,3)0 = 0,343. Bảng phân phối xác suất của X là: X 0 1 2 3 P 0,027 0,189 0,441 0,343 1.3.2. Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. Ta thấy tập ω : X(ω) < x (x ∈ ) thay đổi nếu x thay đổi. Khi đó xác suất Pω : X(ω) < x cũng thay đổi, tức là xác suất này phụ thuộc vào x. Do đó ta có định nghĩa hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên như sau: 9 Gọi hàm Pω : X(ω) < x (x ∈ ) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X và ký hiệu: F(x) = Pω : X(ω) < x, x ∈ . Trong tính toán để cho đơn giản người ta thường viết( ) ( )F x P X x  . Như vậy từ định nghĩa của hàm phân phối xác suất ta thấy hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất ở về phía bên trái một số thực x nào đó. Lưu ý. Trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì từ bảng phân phối xác suất ta có thể tìm được hàm phân phối xác suất bằng cách viết lại như sau: F(x) = 1 1 1 2 1 2 2 3 0 ... khi x x p khi x x x p p khi x x x             . Tính h t hàm phân phố á u t.  F(x) 0; 1, x ∈ . Tính chất này được suy ra từ định nghĩa của hàm phân phối xác suất, vì nó là một xác suất nên giá trị của nó luôn nằm trong đoạn 0; 1.  Hàm phân phối xác suất F(x) là hàm không giảm. Điều này có nghĩa là nếu1 2 ,x x ∈ ,1 2 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) = k e k    , k = 0, 1, 2,... Khi đó hàm phân phối của X là: F(x) = k k x e k      với x . Kỳ v ng t án và phương a ủa ến ngẫu nh ên ó phân phố P n Kỳ v ng toán: E(X) = . Thật vậy, ta có E(X) =0 k k e k k       = 1 1 ( 1) k k e k          . Đặt r = k 1 ta có: E(X) =0 r r e r        =.e e     = . Vậy E(X) = . Phương a : D(X) = . Thật vậy, trước hết ta tính2 ( )E X = 2 0       k k e k k = 1 1 . ( 1)          k k k e k . Đặt r = k 1 ta có: E(2 X ) =0 ( 1)         r r r e r =0               r r r r e r r =0 0                           r r r r r e e r r =1                  r r r e e e r = 1 2 1 ( 1)               r r e r =2     e e =2 .   Khi đó phương sai của X là: D(X) =  2 2 ( ) ( )E X E X =2 2 .       26 Sự l ên hệ g ữa phân phố nh thứ vớ phân phố P n Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) với n rất lớn và p rất nhỏ thì việc tính toán các xác suất và các tham số đặc trưng của X bằng công thức nhị thức s gặp khó khăn. Vì vậy ta s sử dụng công thức của phân phối Poisson, định lý dưới đây s cho ta thấy rõ điều này. Định lý 1.30. Nếu, 0np p   khin   thì( ) k n e P k k     khin   . Tức là nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) với, 0np p   khin   thì X có phân phối Poisson. Chứng m nh. Đặt np = ta suy ra p =n  . Ta có( ) (1 )k k n k n n P k C p p   ( 1)...( ( 1)) (1 ) k n kn n n k p p k     ( 1)...( ( 1)) 1 k n k n n n k k n n                    . Giữ không đổi và chon   thì0p  và ta có:( )  n n lim P k( 1)...( ( 1)) 1                     k n k n n n n k lim k n n( 1)...( ( 1)) 1               n k k kn n n n k lim k n n1 2 1 1 1 ... 1 1                           n k k n k lim k n n n n 271 1                     n k k n n lim lim k n n 1           n k n lim k n.( ) 1 1                    n k n lim nk k e k     . Từ định lý trên ta rút ra được công thức xấp xỉ với n khá lớn và p khá bé ta có:( ) k n e P k k     ;np   . Ví dụ 1.31. Khi tiêm một loại huyết thanh, trung bình cứ 1000 ca thì có 1 ca bị phản ứng. Ta dùng loại huyết thanh trên tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để có đúng 3 ca bị phản ứng? G ả . Theo đề ta có trung bình cứ 1000 ca thì có 1 ca bị phản ứng tức là: p = 1 1000 . Ta dùng loại huyết thanh trên tiêm cho 2000 người được xem như thực hiện 2000 phép thử Bernoulli với p = 1 1000 , k =3. Gọi X là số ca bị phản ứng trong 2000 người được tiêm loại huyết thanh trên. Suy ra X 1 2000,1000 B      . Theo công thức xấp xỉ trên ta có 1 2000. 2 1000    . Khi đó xác suất để có đúng 3 ca bị phản ứng là:3 2 2000 2 (3) 3 e P   0,1804. Trong một số trường hợp, ta tiến hành n phép thử và trong mỗi phép thử cũng xảy ra hai trường hợp là hoặc A xảy ra hoặc A không xảy ra. Tuy nhiên, 28 các phép thử này không được tiến hành độc lập với nhau, tức là xác suất A xảy ra hoặc A không xảy ra trong mỗi phép thử s không bằng nhau. Do đó, số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử không phân phối theo quy luật nhị thức hoặc quy luật Poisson nữa, mà nó s phân phối theo quy luật siêu bội. 1.5.4. Phân phối siêu bội Định nghĩa 1.32. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, M, n nếu phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) =k n k M N M n N C C C    = q(k, N, M, n); k = 0, ..., M. Kỳ v ng t án và phương a ủa ến ngẫu nh ên ó phân phố êu ộ Kỳ v ng t án: E(X) = nM N . Phương a : D(X) = 1 1 1 M N M n n N N N            . Mối quan hệ giữa phân phối siêu bội và phân phối nhị thức được phát biểu như sau: Định lý 1.33. Nếu n cố định, còn N tăng lên vô hạn và tỷ sốM p N  ; 0 < p 5 thì( ) (5) 0,5  x .  Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(a,2  ) có hàm phân phối xác suất là F(x). Khi đó người ta đã chứng minh được những tính chất sau: F(x) = P(X < x) = 1 2         x a . P(X    ) =( ) ( )F F   =                    a a . P   X a =                   = 2         . Quy tắc2  : 2 2 (2)    P X a . Quy tắc3  : 3 2 (3)    P X a . Trong thực tế, quy tắc hai xích ma và quy tắc ba xích ma được ứng dụng như sau: Nếu biến ngẫu nhiên được nghiên cứu chưa xác định q uy luật phân phối xác suất, tuy nhiên nó thỏa mãn điều kiện của quy tắc hai xích ma hoặc quy tắc ba xích ma thì có thể xem như biến ngẫu nhiên đó có phân phối chuẩn. Ví dụ 1.40. Giả sử chiều cao của sinh viên trường Đại học Quảng Nam là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(160, 100). Tính xác suất để sinh viên có độ cao nằm trong khoảng (150, 170) (đơn vị: centime t và sinh viên được chọn là ngẫu nhiên). G ả . Ta có vì X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nên xác suất để sinh viên có độ cao nằm trong khoảng (150, 170) là: P(150 170 X ) =(170) (150)F F =170 160 150 160 100 100                =   1 1    = 0,3413 ( 0,3413) 35 = 0,6826 (với(1) = 0,3413). 1.5.8. Phân phối khi bình phương Định nghĩa 1.41. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối2  với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f(x) = 1 2 2 2 0 0 1 0 2 . 2 n x n khi x x e khi x n             . trong đó 1 0 ( ) x t x t e dt       là hàm Gamma. Nếu n là một số nguyên thì( 1) n n   . Mố l ên hệ g ữa phân phố kh nh phương và phân phố huẩn Nếu dãy các biến ngẫu nhiên độc lập1 X ,2 X , ...,n X có phân phối chuẩn dạng N(0, 1) thì Z = 2 1  n i i X có phân phối khi bình phương (2  ) với n bậc tự do. Cá tham ố ặ trưng ủa2  vớ n ậ tự d Kỳ v ng t án: E(2  ) = n. Phương a : D(2  ) = 2n. 1.5.9. Phân phối Student Định nghĩa 1.42. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Student với k bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f(x) = 1 2 2 1 1 1 , 2 2 k x k k k               , trong đó 1 1 1 0 ( , ) (1 )a b a b x x dx      ,0a  ,0b  , được gọi là hàm Bêta. Tính h t ủa phân phố Stud nt 36 Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập, X có phân phối2  với k bậc tự và Y có phân phối chuẩn dạng N(0, 1) thì T = Y X k có dạng phân phối Student với k bậc tự do. Cá tham ố ặ trưng ủa ến ngẫu nh ên X vớ n ậ tự d Kỳ v ng t án: E(X) = 0. Phương a : D(X) =2 n n  . 1.5.10. Phân ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

- -

NGUYỄN THỊ THU HIỀN

BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

- -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN THỊ THU HIỀN

MSSV: 2114010120

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN

KHÓA: 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn

ThS HOÀNG MỸ HẠNH

MSCB: 1049

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

Sau cùng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Do các điều kiện về khả năng của bản thân cũng như các điều kiện khách quan khác nên trong khóa luận này không thể tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong nhận được sự chỉ dẫn và góp ý của quý thầy cô cùng các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn và chúc thầy cô sức khỏe và thành công!

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Biến ngẫu nhiên và một số ứng dụng” là bài nghiên cứu độc lập của cá nhân tôi với sự cố vấn của người hướng dẫn khoa học, tất cả nguồn tài liệu được công bố đầy đủ

Tam kỳ, tháng 5 năm 2018 Người cam đoan

Nguyễn Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.1.2 Xác suất của biến cố 3

1.1.3 Công thức xác suất nhị thức (công thức Bernoulli) 5

1.2 Biến ngẫu nhiên 6

1.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 6

1.2.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 6

1.3 Quy luật phân phối xác suất 7

1.3.1 Bảng phân phối xác suất 7

1.3.2 Hàm phân phối xác suất 8

1.3.3 Hàm mật độ xác suất 11

1.4 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 13

1.4.1 Kỳ vọng toán (giá trị trung bình) 14

1.5.1 Phân phối không-một 21

1.5.2 Phân phối nhị thức 23

1.5.3 Phân phối Poisson 25

1.5.4 Phân phối siêu bội 28

1.5.5 Phân phối đều 29

1.5.6 Phân phối mũ 31

1.5.7 Phân phối chuẩn 32

1.5.8 Phân phối khi bình phương 35

1.5.9 Phân phối Student 35

1.5.10 Phân phối F (Fisher R.A – Snedecor G.W) 36

Chương 2 38

BI N NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ HÀM CÁC BI N NGẪU NHIÊN 38

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều 38

2.2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều 39

2.2.1 Bảng phân phối xác suất 39

2.2.2 Hàm phân phối xác suất 41

2.5.2 Quy luật phân phối xác suất của hàm một biến ngẫu nhiên 54

2.5.3 Các tham số đặc trưng của hàm các biến ngẫu nhiên 57

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Ra đời từ thế kỷ 17, Xác suất thống kê là một ngành khoa học hiện đại; nó gần như xuất phát từ các hiện tượng đời sống thực tiễn; hình thành, phát triển rất nhanh và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực tự nhiên và xã hội khác nhau

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày, ta bắt gặp rất nhiều hiện tượng ngẫu nhiên mà ta không thể đoán biết được chắc chắn rằng liệu chúng có xảy ra hay không? Ngẫu nhiên phổ biến ở khắp mọi nơi, trong cả sự may mắn hay rủi ro, trong cả sự thành công hay thất bại Ngẫu nhiên cũng chính là một phần của cuộc sống Hiện nay ở các lĩnh vực kinh tế, quân sự và các bộ môn khoa học thực nghiệm như vật lý, sinh vật học, nông-lâm-ngư nghiệp, tâm lý xã hội học, người ta đã xử lý các kết quả thí nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học hoặc biểu diễn các quy luật ngẫu nhiên bằng mô hình toán học Do đó xác suất thống kê có tính ứng dụng thực tiễn rất cao, đặc biệt là nội dung biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Hơn 300 năm phát triển, biến ngẫu nhiên đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Chẳng hạn, kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên được sử dụng nhiều trong các bài toán kinh tế, các trò chơi may rủi; biến ngẫu nhiên có phân phối không-một được dùng trong những nghiên cứu định tính có hai phạm trù luân phiên như phân tích giới tính của khách hàng trong việc xây dựng chiến lược marketing; biến ngẫu nhiên có phân phối mũ được ứng dụng trong các hệ thống phục vụ công cộng, trong các hệ thống kĩ thuật; Có thể nói biến ngẫu nhiên có tính thực tiễn rất cao Vì vậy với mong muốn tìm

hiểu sâu hơn về biến ngẫu nhiên, chúng tôi xin chọn đề tài “Biến ngẫu nhiên và

một số ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu khóa luận

2 Mục tiêu của đề tài

Đề tài nghiên cứu nhằm giúp cho người đọc có các kiến thức hữu ích về lý

thuyết xác suất, đặc biệt là về biến ngẫu nhiên và các ứng dụng của nó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về biến ngẫu nhiên và một số ứng dụng thực tiễn của nó

Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết xác suất

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu Phân tích, tổng hợp các kiến thức Trao đổi, thảo luận với chuyên gia

5 Đóng góp của đề tài

Đề tài đóng góp thiết thực trong việc làm rõ được tính ứng dụng của biến ngẫu nhiên và từ đó thúc đẩy việc ứng dụng biến ngẫu nhiên vào các lĩnh vực khoa học – xã hội

Khóa luận nếu thành công có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để các giáo viên, sinh viên, học sinh nghiên cứu, bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức về xác suất đặc biệt là về biến ngẫu nhiên

6 Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Biến ngẫu nhiên hai chiều và hàm các biến ngẫu nhiên Chương 3: Một số ứng dụng của biến ngẫu nhiên

Chương 1

CƠ SỞ L THUYẾT 1.1 Biến cố và xác suất của biến cố

1.1.1 Biến cố

Định nghĩa 1.1 Biến cố liên kết với phép thử T là sự kiện có thể xảy ra hay

không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử T

Biến cố sơ cấp là sự kiện xảy ra khi và chỉ khi có một kết quả cụ thể trong

số những kết quả loại trừ nhau của phép thử T

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp tương ứng với phép thử T được gọi là

không gian biến cố sơ cấp (hoặc không gian mẫu) – ký hiệu là Ω

Ví dụ 1.2 Bắn một viên đạn vào bia Kí hiệu A là biến cố viên đạn trúng vào

bia, B là biến cố viên đạn không trúng vào bia Không gian biến cố sơ cấp là Ω = {A; B} và A, B đều là các biến cố sơ cấp

1.1.2 Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố là đại lượng đặc trưng cho khả năng khách quan xảy

ra của biến cố khi thực hiện hiện phép thử T Xác suất của biến cố A ký hiệu là

nh ngh a á u t th t n u t

Xét phép thử ngẫu nhiên nào đó Biến cố A được quan sát trong phép thử này Ta lặp lại độc lập n lần phép thử này với điều kiện như nhau Gọi k là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó

Tỷ số k

khác từ n phép thử hoặc nếu số phép thử n thay đổi Tuy nhiên người ta nhận

thấy rằng nếu tiến hành các phép thử trong những điều kiện như nhau và số phép

thử n càng lớn thì tỷ số k

quanh số cố định và sự khác giữa chúng càng nhỏ đi Khi đó ta có định nghĩa xác suất theo tần suất như sau:

Định nghĩa 1.4 Nếu số phép thử n càng lớn mà tần suất xuất hiện biến cố A sai

khác số cố định p nào đó càng bé thì ta nói rằng biến cố A ổn định ngẫu nhiên và số p được gọi là xác suất xuất hiện biến cố A

Định nghĩa này có ưu điểm là nó giải quyết được trường hợp không gian biến cố sơ cấp gồm vô hạn biến cố sơ cấp và không cần giả thiết tính đồng khả năng, trong khi đó định nghĩa xác suất cổ điển chỉ áp dụng trong phạm vi đồng khả năng Song định nghĩa xác suất theo tần suất cũng có nhược điểm nhiều về đặc trưng toán học Nó không phản ánh được nhiều về đặc trưng của biến cố mà

tỷ số k

n có tính ổn định

nh ngh a á u t h nh h

trong miền  Đặt A là biến cố “M  S” (đọc là điểm M thuộc miền S) Xác

suất của biến cố A được xác định như sau:

P(A) =

độ đo của Sđộ đo của,

của nĩ

của nĩ

Ta cĩ thể làm rõ hơn định nghĩa xác suất của biến cố thơng qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1.6 Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất Tính xác suất để:

a) Mặt xuất hiện là mặt 3 chấm b) Mặt xuất hiện cĩ số chấm là số lẻ

G ả

a) Gọi A là biến cố “Mặt xuất hiện là mặt 3 chấm”

B là biến cố “Mặt xuất hiện của con xúc xắc là mặt i chấm”, i = 1, 6

B , B3, B4, B5, B6 là như nhau Vậy số khả năng cĩ thể là 6 khả năng và số khả

năng thuận lợi cho biến cố A là 1

1.1.3 Cơng thức xác suất nhị thức (cơng thức Bernoulli)

Giả sử ta tiến hành n phép thử độc lập Trong mỗi phép thử chỉ cĩ hai

trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố A khơng xảy ra, xác suất xảy

ra của biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p và xác suất khơng xảy ra của

biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng q = 1 p Những bài toán thỏa mãn cả

ba giả thiết trên được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli Lúc đó xác suất để

trong n phép thử nói trên, biến cố A xuất hiện đúng k lần, ký hiệu P k và được n( )xác định bằng công thức Bernoulli như sau:

( ) kk n k

P k C p q  , k = 0, 1, 2, , n

1.2 Biến ngẫu nhiên

1.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Chúng ta có thể định nghĩa biến ngẫu nhiên như sau:

Định nghĩa 1.7 Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và nhận giá

:X( )  x,  là biến cố ngẫu nhiên

Ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên bằng chữ in hoa X, Y, Z, Giá trị của nó ký hiệu bằng chữ thường x, y, z,

Tập hợp tất cả các giá trị mà X có thể nhận được gọi là tập giá trị của X

Kí hiệu là DX

Ta xét một số biến ngẫu nhiên thông qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1.8 Gọi X là số gà mái trong 3 quả trứng sắp nở Giá trị mà X có thể nhận

1.2.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

Có hai loại biến ngẫu nhiên, đó là biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu

a) B ến ngẫu nh ên rờ rạ

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể nhận của nó là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Trong ví dụ 1.8 đã trình bày ở phần 1.2.1, các biến ngẫu nhiên X, Y, Z là

những biến ngẫu nhiên rời rạc

b) B ến ngẫu nh ên l ên tụ

Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể nhận của nó lấp đầy một khoảng trên trục số

Trong ví dụ 1.8 đã trình bày ở phần 1.2.1, các biến ngẫu nhiên X’ là biến

ngẫu nhiên liên tục

1.3 Quy luật phân phối xác suất

Theo định nghĩa về biến ngẫu nhiên ở trên thì biến ngẫu nhiên nhận mỗi giá trị của nó tương ứng với một biến cố ngẫu nhiên nào đó và khi đó tương ứng với một xác suất của biến cố đó Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên X là quy tắc tương ứng giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể nhận với xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận từng giá trị đó

Các phương pháp được sử dụng phổ biến để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là:

 Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục)

1.3.1 Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có tập giá trị DX x x1; ; ; ; 2 xn với các xác suất tương ứng pi = P(X =xi), i = 1, 2, , n, Khi đó bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được trình bày như sau:

 ) Bây giờ ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.9 Một phân xưởng có ba mô tơ hoạt động độc lập với nhau Xác suất để

mô tơ chạy tốt trong một ca làm việc là 0,7 Gọi X là số mô tơ chạy tốt trong một ca làm việc Lập bảng phân phối xác suất của X

G ả

Tập hợp các giá trị mà X có thể nhận là DX = {0; 1; 2; 3} Áp dụng công thức xác suất nhị thức ta có:

P(X = 0) = 03

C (0,7)0.(0,3)3 = 0,027;

P(X = 1) = 13

C (0,7)1.(0,3)2 = 0,189;

P(X = 2) = 23

C (0,7)2.(0,3)1 = 0,441;

P(X = 3) = 33

C (0,7)3.(0,3)0 = 0,343

Bảng phân phối xác suất của X là:

1.3.2 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục

Ta thấy tập [ω : X(ω) < x] (x ∈ ) thay đổi nếu x thay đổi Khi đó xác

suất P[ω : X(ω) < x] cũng thay đổi, tức là xác suất này phụ thuộc vào x Do đó

Gọi hàm P[ω : X(ω) < x] (x ∈ ) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

Lưu ý Trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì từ bảng phân phối xác

suất ta có thể tìm được hàm phân phối xác suất bằng cách viết lại như sau:

khi xx

ppkhi xxx

Điều này có nghĩa là nếu x x1, 2 ∈ , x1< x2  F x( ) 1  ( ).F x2

Thật vậy, giả sử x1< x2ta xét biến cố X x 2 Biến cố này có thể được phân tích thành tổng của hai biến cố xung khắc là X x 1 và x1 X x2 Theo định lý cộng xác suất ta có:

PX x 2 = PX x 1 + Px1 X x2

Khi đó F(x2) = F(x1) + Px1 X x2

Hay F(x2)  F(x1) = Px1 X x2 0

Suy ra F(x1)  F(x2)

Cũng từ chứng minh trên ta suy ra công thức:

của nó có dạng bậc thang với số điểm gián đoạn chính bằng số giá trị có thể có

của X, còn đồ thị của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt

đối có dạng một đường liền nét

 F(x) là hàm liên tục  P( X= x) = 0

nghĩa của tính chất này là trong quá trình nghiên cứu về biến ngẫu nhiên liên tục người ta không quan tâm đến xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị tại một điểm mà chỉ quan tâm đến xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một khoảng nào đó dù là rất nhỏ

 P(a X < b) = P(a < X b)

= P(a  X  b) = P(a < X < b) = F(b)  F(a)

nghĩa của tính chất này là đối với biến ngẫu nhiên liên tục thì ta không cần phân biệt xác suất để nó nhận giá trị trong đoạn hay khoảng giá trị nào đó

Ví dụ 1.10 Một phân xưởng có ba mô tơ hoạt động độc lập với nhau Xác suất

để mô tơ chạy tốt trong một ca làm việc là 0,7 Gọi X là số mô tơ chạy tốt trong một ca làm việc Lập hàm phân phối xác suất của X Tính xác suất để số mô tơ

chạy tốt trong một ca làm việc lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn 3

khi xkhixkhixkhixkhi x

gọi là hàm mật độ xác suất của X

( )

F x = f(x) Như vậy trong

định nghĩa trên F(x) phải là hàm khả vi, tức là F(x) phải liên tục Do đó X phải là

biến ngẫu nhiên liên tục Chính vì vậy hàm mật độ xác suất chỉ dùng được cho biến ngẫu nhiên liên tục

Từ tính chất của hàm phân phối xác suất ta suy ra tính chất của hàm mật độ xác suất như sau:

 f(x)  0

Vì hàm phân phối xác suất F(x) là một hàm không giảm nên đạo hàm của

nó, tức là F x'( ) f x( )là một hàm không âm  f x dx( )

f x dx

Về mặt hình học thì kết quả trên có thể được minh họa như sau: Xác suất

để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a; b) chính là bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, đường cong f(x) và các đường thẳng

x = a, x = b

Hình 1.1

Như vậy hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm x cho

biết mức độ tập trung xác suất tại điểm đó

Tiếp theo chúng ta xét một số ví dụ về hàm mật độ xác suất

Ví dụ 1.11 Thời gian (phút) để một bệnh nhân chờ khám bệnh là một biến ngẫu

nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất như sau:

F(x) = 2



0 , (0; 4)

Như vậy, với một biến ngẫu nhiên cho trước, nếu ta đã xác định được quy luật phân phối xác suất của nó thì coi như ta đã nắm được các thông tin về biến ngẫu nhiên Tuy nhiên trong thực tế, đối với một biến ngẫu nhiên cho trước, ta còn cần biết nhiều thông tin hơn nữa như độ tập trung, độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên Để biết các thông tin này cần phải có các giá trị đại diện được gọi là các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.4 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Người ta có thể phân loại các tham số đặc trưng theo các nhóm:

mốt,

 Các tham số đặc trưng cho độ phân tán: phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên,

1.4.1 Kỳ vọng toán (giá trị trung bình)

Định nghĩa 1.12 Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X là một số, kí hiệu là E(X),

được xác định như sau:

 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hữu hạn giá trị x x1, , ,2 xn với xác suất tương ứng p p1, , ,2 pn thì:

E(X) =

niii

Ví dụ 1.14 Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là:

f(x) =

0 1

0

khi xakhi axbba

khi xb

 

ba = 2

Ý ngh a ủa kỳ v ng t án Kỳ vọng toán là đại lượng phản ánh giá trị trung tâm

của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có một số tính chất như sau:

biến ngẫu nhiên thành phần, tức là:

E(X + Y) = E(X) + E(Y), với X, Y là hai biến ngẫu nhiên

Một cách tổng quát, với n biến ngẫu nhiên X X1, , ,2 Xn, ta có:

1.4.2 Trung vị (median)

hoặc med(X) và được xác định như sau:

Ý ngh a ủa trung v : Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị mà tại đó nó chia

phân phối của X thành hai phần bằng nhau

Lưu ý Trung vị có thể có vô số giá trị

Ví dụ 1.16 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

khixkhi x



3 3 3 23 3 3

   

2

1.4.3 Mốt (mod)

mod(X), là đại lượng được xác định như sau:

tại đó xác suất lớn nhất

 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Mod(X) là giá trị sao cho f(x) đạt

giá trị lớn nhất

Lưu ý Trong thực tế, ta có thể gặp biến ngẫu nhiên không có mốt hoặc biến

ngẫu nhiên có nhiều mốt

Ví dụ 1.19 Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

 

Ta thấy f(x) đơn điệu trên [0;4] và f(0) = 0, f(4) = 0, f 8

3    =

49 Do đó

 0;4

4( )

max f x khi x = 8

3 8

Trong thực tế nhiều trường hợp nếu chỉ xét kỳ vọng toán, trung vị, của

biến ngẫu nhiên X thì chưa đủ để xác định biến ngẫu nhiên đó Ta còn phải xác

định mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị

trung bình của nó Chẳng hạn, khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên X là năng suất lúa

của một xã A thì năng suất lúa trung bình (kỳ vọng toán) mới chỉ phản ánh được

một khía cạnh của X Mức độ biến động về năng suất của các thửa ruộng khác

cũng là một vấn đề cần nghiên cứu Dưới đây chúng tôi s trình bày một số tham số đặc trưng cho mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên

1.4.4 Phương sai

hiệu D(X)

Ý ngh a Từ định nghĩa trên ta thấy phương sai của biến ngẫu nhiên X là trung

bình của bình phương sai lệch giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên X và trung

bình của nó Do đó phương sai đặc trưng cho độ phân tán các giá trị của biến

ngẫu nhiên quanh E(X) Nếu D(X) lớn chứng tỏ sự biến động của X lớn, ngược lại nếu D(X) nhỏ thì X biến động ít và tương đối ổn định

Từ định nghĩa phương sai, chúng ta có một số lưu ý như sau:

D(X) = E(X 2) (E(X))2

Ví dụ 1.22 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất như sau:

f(x) =

0 01 0 < 1

0 x > 1

khi xkhixkhi

Tính phương sai của X

x dx

 =

= 13

= 12

Vậy phương sai của X là:

D(X) = E(X 2)  (E(X))2 = 13

14 = 1

12 Ta có một số tính chất của phương sai như sau:

= E(X 2+2XY+Y 2) [E(X)+E(Y)]2

= E(X 2) [E(X)]2+E(Y 2)[E(Y)]2= D(X) + D(Y)

Một cách tổng quát, với n biến ngẫu nhiên độc lập X X1, , ,2 Xn, ta có:

D(X1X2   Xn) = D(X )+ D(1 X )+ +D(2 X ) n

 D(CX) = C2D(X), với C là hằng số

= E[C2(X  E(X))2] = C2E(X  E(X))2 = C2D(X)

1.4.5 Độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.23 Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn của

biến ngẫu nhiên X, ký hiệu ( ) X Như vậy ( ) X  D X( )

Đơn vị của độ lệch chuẩn trùng với đơn vị của X

Nhận ét Ta thấy phương sai có đơn vị đo bằng bình phương đơn vị đo của biến

ngẫu nhiên X còn độ lệch chuẩn thì có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên Vì

vậy khi cần đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó

người ta thường sử dụng độ lệch chuẩn chứ không phải là phương sai

1.4.6 Hệ số biến thiên

( )

D XM

E X

thiên của biến ngẫu nhiên X

Hệ số biến thiên thường được dùng để so sánh độ biến động của nhiều đám đông với nhau Giá trị của nó càng nhỏ thì mức độ thuần nhất càng lớn

Như vậy, trong phần trên chúng tôi đã trình bày các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên và một số ý nghĩa của từng tham số Chúng tôi s phân tích kỹ hơn về ý nghĩa các tham số này thông qua các ví dụ trình bày trong chương 3 Trong phần tiếp theo, chúng tôi trình bày về một số phân phối xác suất thường gặp

1.5 Một số phân phối xác suất thường gặp

Trong phần này, đối với biến ngẫu nhiên rời rạc thì có một số phân phối xác suất như: phân phối không-một, phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối siêu bội Còn đối với biến ngẫu nhiên liên tục có các phân phối xác suất như: phân phối đều, phân phối mũ, phân phối chuẩn,

1.5.1 Phân phối không-một

Định nghĩa 1.25 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có

là 0 và 1 với xác suất tương ứng được cho bởi công thức:

P X x  p p  , trong đó 0 p 1 và x = 0; 1

được gọi là có phân phối không-một A(p) với tham số p

Như vậy bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có phân phối

Ví dụ 1.26 Tỷ lệ các thí nghiệm thành công trong một viện nghiên cứu là 45%

Chọn ngẫu nhiên một cuộc thí nghiệm, tính xác suất để thí nghiệm đó là thí nghiệm thành công

G ả

Gọi X là số thí nghiệm thành công khi chọn ngẫu nhiên một cuộc thí

nghiệm

Khi đó X là biến ngẫu nhiên có phân phối không-một A(0,45) Do đó X là

biến ngẫu nhiên nhận một trong hai giá trị 0 và 1

Vậy xác suất để thí nghiệm được chọn là thí nghiệm thành công là:

P(X = 1) = (0,45) (0,55) = 0,45 1 0

Trong thực tế, phân phối không-một dùng trong những nghiên cứu định tính có hai phạm trù luân phiên như phân tích giới tính của khách hàng trong việc xây dựng chiến lược marketing, nghiên cứu tỷ lệ chính/ phế phẩm trong dây chuyền sản xuất, Chẳng hạn, khi muốn điều tra tình trạng sử dụng điện thoại cố định của nhà mạng FPT trong xã A ta có thể đặc trưng bằng biến ngẫu nhiên

với hai giá trị bằng 0 (không) và bằng 1 (có) Lúc đó, xác suất p s đặc trưng cho

tỷ lệ nhà có sử dụng điện thoại cố định của nhà mạng FPT trong xã A

Quy luật không-một có thể làm cơ sở để tìm quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên khác Chẳng hạn nếu dấu hiệu định tính nhiều hơn hai phạm trù thì có thể dùng nhiều biến ngẫu nhiên phân phối không-một cùng một lúc Dưới đây, chúng tôi s trình bày phân phối nhị thức để làm rõ điều này

1.5.2 Phân phối nhị thức

Định nghĩa 1.27 Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức

B(n, p) với tham số n và p nếu X nhận một trong các giá trị 0, 1, 2, , n và với

xác suất tương ứng được xác định bởi công thức Bernoulli (công thức xác suất nhị thức):

Thật vậy, bây giờ chúng ta xét X ii( 1,2, , ) n là những biến ngẫu nhiên

độc lập cùng có phân phối không-một A(p)

Do đó E X( )i  p và D X( )i  p(1p),  i 1,2, , n Khi đó:



Ví dụ 1.28 Sản phẩm xuất xưởng của một nhà máy có đến 75% sản phẩm loại I

Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra (lấy lần lượt, có hoàn lại) Gọi X là số

sản phẩm loại I được lấy ra

a) Tính phương sai và kỳ vọng toán của X

b) Nếu muốn trung bình có 15 sản phẩm loại I thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

G ả

a) Ta thấy xác suất để lấy ra 1 sản phẩm loại I (lấy lần lượt, có hoàn lại) là

0,75 tức là p = 0,75 và n = 10

Khi đó:

Phương sai của X là D(X) = np(1 p) = 10.0,75(1 0,75) = 1,875

Kỳ vọng toán của X là E(X) = np = 10.0,75 = 7,5

b) Trung bình có 15 sản phẩm loại I được lấy ra tức là E(X) = 15

Khi đó số sản phẩm cần phải kiểm tra để có 15 sản phẩm loại I được lấy ra là:

n = E X( )p =

0,75 = 20

1.5.3 Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.29 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phân phối Poisson với

tham số  > 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng:

P(X = k) =

 

 

  

  

  

    

* Sự l ên hệ g ữa phân phố nh thứ vớ phân phố P n

Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) với n rất lớn và p rất nhỏ thì việc tính toán các xác suất và các tham số đặc trưng của X bằng công

thức nhị thức s gặp khó khăn Vì vậy ta s sử dụng công thức của phân phối Poisson, định lý dưới đây s cho ta thấy rõ điều này

Định lý 1.30 Nếu np, p0 khi n  thì ( )

eP k

n kk

klim

1 1!

eP k

 

 ;  np

Ví dụ 1.31 Khi tiêm một loại huyết thanh, trung bình cứ 1000 ca thì có 1 ca bị

phản ứng Ta dùng loại huyết thanh trên tiêm cho 2000 người Tính xác suất để có đúng 3 ca bị phản ứng?

G ả

Theo đề ta có trung bình cứ 1000 ca thì có 1 ca bị phản ứng tức là:

p = 1

Ta dùng loại huyết thanh trên tiêm cho 2000 người được xem như thực

Trong một số trường hợp, ta tiến hành n phép thử và trong mỗi phép thử cũng xảy ra hai trường hợp là hoặc A xảy ra hoặc A không xảy ra Tuy nhiên,

các phép thử này không được tiến hành độc lập với nhau, tức là xác suất A xảy ra hoặc A không xảy ra trong mỗi phép thử s không bằng nhau Do đó, số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử không phân phối theo quy luật nhị thức

hoặc quy luật Poisson nữa, mà nó s phân phối theo quy luật siêu bội

1.5.4 Phân phối siêu bội

Định nghĩa 1.32 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham

số N, M, n nếu phân phối xác suất của nó có dạng:

P(X = k) =

kn kMN M

= q(k, N, M, n); k = 0, , M

* Kỳ v ng t án và phương a ủa ến ngẫu nh ên ó phân phố êu ộ

Kỳ v ng t án: E(X) = nMN

q(k, N, M, n)P kn( ) = C pnkk(1 p)n k khi N 

Ví dụ 1.34 Một chiếc hộp có chứa 40 bi đỏ, 30 bi xanh Lấy ngẫu nhiên ra 20

viên bi Gọi X là số bi đỏ được lấy ra Tính kỳ vọng và phương sai của X

Phương sai của X: D(X) = 20.40 70 40 1 20 1 4000

không hoàn lại Chẳng hạn, để kiểm tra chất lượng của một lô sản phẩm người ta

lấy ngẫu nhiên từ lô đó n sản phẩm, không hoàn lại và đánh giá xác suất để trong đó có k phế phẩm hoặc chính phẩm

Trên đây chúng tôi đã xét một số quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc Tuy nhiên, trong thực tế nhiều đại lượng nghiên cứu lại là biến ngẫu nhiên liên tục Do đó, sau đây chúng tôi s xét một số quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục

1.5.5 Phân phối đều

Định nghĩa 1.35 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên

[a; b] nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

khi xa b

ba

khi xkhi x

= 8

Phương sai của X: D(X) =

(6 10)12

= 43

Trên thực tế, phân phối đều có ứng dụng rộng trong thống kê toán, đôi khi còn được sử dụng trong lý thuyết ước lượng thống kê Chẳng hạn, nếu chúng ta không biết gì về giá trị của tham số cần ước lượng thì mỗi giá trị có thể có của tham số là như nhau Điều đó có nghĩa là tham số cần ước lượng được coi như một biến ngẫu nhiên có phân phối đều

Ví dụ 1.38 Gọi X là thời gian nói chuyện điện thoại của khách (đơn vị: phút)

3 a) Giá trị 3 cho ta biết điều gì?

b) Tìm hàm phân phối xác suất của X

1 00 0

ekhi xkhi x

1.5.7 Phân phối chuẩn

Định nghĩa 1.39 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn dạng tổng

quátN a( , )2 nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

f(x) =

x a

e 

, với x

Khi đó hàm phân phối xác suất của X là:

F(x) =

x ax

e  dx

 

e dt



* Kỳ v ng t án và phương a ủa ến ngẫu nh ên ó phân phố huẩn

x a

xe  dx

 

 

 t

e dt = 22

a 

( )2

2