Biến ngẫu nhiên và ứng dụng trong xác suất thống kê

Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể nhận của nó là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể nhận của nó lấp đầy một khoảng trên trục số.

Quy luật phân phối xác suất

 Đối với hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X thì đồ thị của nó có dạng bậc thang với số điểm gián đoạn chính bằng số giá trị có thể có của X, còn đồ thị của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối có dạng một đường liền nét. Về mặt hình học thì kết quả trên có thể được minh họa như sau: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a; b) chính là bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, đường cong f(x) và các đường thẳng x = a, x = b.

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Tuy nhiên trong thực tế, đối với một biến ngẫu nhiên cho trước, ta còn cần biết nhiều thông tin hơn nữa như độ tập trung, độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên. Ý ngh a Từ định nghĩa trên ta thấy phương sai của biến ngẫu nhiên X là trung bình của bình phương sai lệch giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên X và trung bình của nó.

Một số phân phối xác suất thường gặp

Tức là nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) với. Từ định lý trên ta rút ra được công thức xấp xỉ với n khá lớn và p khá bé ta có:. Ta dùng loại huyết thanh trên tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để có đúng 3 ca bị phản ứng?. Gọi X là số ca bị phản ứng trong 2000 người được tiêm loại huyết thanh trên. Theo công thức xấp xỉ trên ta có 1. Khi đó xác suất để có đúng 3 ca bị phản ứng là:. Trong một số trường hợp, ta tiến hành n phép thử và trong mỗi phép thử cũng xảy ra hai trường hợp là hoặc A xảy ra hoặc A không xảy ra. các phép thử này không được tiến hành độc lập với nhau, tức là xác suất A xảy ra hoặc A không xảy ra trong mỗi phép thử s không bằng nhau. Do đó, số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử không phân phối theo quy luật nhị thức hoặc quy luật Poisson nữa, mà nó s phân phối theo quy luật siêu bội. Phân phối siêu bội. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, M, n nếu phân phối xác suất của nó có dạng:. Mối quan hệ giữa phân phối siêu bội và phân phối nhị thức được phát biểu như sau:. Lấy ngẫu nhiên ra 20 viên bi. Gọi X là số bi đỏ được lấy ra. Tính kỳ vọng và phương sai của X. Trong thực tế, quy luật siêu bội được áp dụng để tính xác suất xuất hiện k lần biến cố khi lấy một cách ngẫu nhiên n đơn vị từ một tập hợp nào đó và lấy không hoàn lại. Chẳng hạn, để kiểm tra chất lượng của một lô sản phẩm người ta lấy ngẫu nhiên từ lô đó n sản phẩm, không hoàn lại và đánh giá xác suất để trong đó có k phế phẩm hoặc chính phẩm. Trên đây chúng tôi đã xét một số quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc. Tuy nhiên, trong thực tế nhiều đại lượng nghiên cứu lại là biến ngẫu nhiên liên tục. Do đó, sau đây chúng tôi s xét một số quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục. Phân phối đều. Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên [a; b] nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:. Thật vậy, ta có X là biến ngẫu nhiên liên tục nên kỳ vọng toán của X là:. Khi đó phương sai của X là:. b) Tính kỳ vọng toán và phương sai của X. Trong thực tế, quy tắc hai xích ma và quy tắc ba xích ma được ứng dụng như sau: Nếu biến ngẫu nhiên được nghiên cứu chưa xác định quy luật phân phối xác suất, tuy nhiên nó thỏa mãn điều kiện của quy tắc hai xích ma hoặc quy tắc ba xích ma thì có thể xem như biến ngẫu nhiên đó có phân phối chuẩn.

Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều

BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Do phạm vi khóa luận nên trong chương này, chúng tôi chỉ nghiên cứu về biến ngẫu nhiên hai chiều và hàm các biến ngẫu nhiên.

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều 1. Bảng phân phối xác suất

Với tính chất này cho phép ta luôn tìm được hàm phân phối xác suất của mỗi thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều khi biết hàm phân phối xác suất đồng thời của hệ hai biến ngẫu nhiên. Với tính chất này ta thấy hàm mật độ xác suất của một thành phần nào đó bằng tích phân suy rộng của hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ với biến lấy tích phân là thành phần kia của hệ.

Quy luật phân phối xác suất có điều kiện của các thành phần của hệ hai biến ngẫu nhiên

Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là tương quan nếu hiệp phương sai (cũng là hệ số tương quan) khác không, ngược lại nếu hiệp phương sai (cũng là hệ số tương quan) bằng không thì X, Y không tương quan. Nếu hai biến ngẫu nhiên tương quan với nhau thì cũng phụ thuộc nhau, song điều ngược lại chưa chắc đúng, nghĩa là nếu các biến ngẫu nhiên phụ thuộc thì chúng có thể tương quan hoặc không tương quan với nhau.

Hàm các biến ngẫu nhiên 1. Khái niệm

Mặt khác, trong thực tế nhiều trường hợp ta chỉ quan tâm đến các tham số đặc trưng của các biến ngẫu nhiên mà không quan tâm đến quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên đó. Trong chương tiếp theo, chúng tôi s trình bày một số ứng dụng của biến ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên một chiều và biến ngẫu nhiên nhiều chiều) vào các lĩnh vực như: sinh học, KTNN, y học, kỹ thuật,.

Một cặp vợ chồng có tính trạng của bệnh hồng cầu liềm (AS nghĩa là dị hợp tự của gen hemoglobin hồng cầu liềm [S] và bình thường [A]) có 4 người

Một cặp vợ chồng có tính trạng của bệnh hồng cầu liềm (AS nghĩa là dị.

Gen p gây chứng Phennylketonuria về phương diện di truyền đây là bệnh gây ra do rối loạn sự chuyển hóa phenyalanin. Alen P quy định sự chuyển hóa

Ta chỉ xét trường hợp a1 vì hiển nhiên nếu a = 0 thì xác suất để con của cặp vợ chồng trên mắc bệnh là 0. Người số 5 có xác suất mang mầm bệnh là 1 vì gen lặn do bố truyền cho.

Người ta cần chuyển 3000 chai rượi vang từ công ty A đến công ty B

Vậy trong quá trình vận chuyển số chai có khả năng bị vỡ nhiều nhất là 3 chai. Từ đó các công ty vận chuyển dự trù được các rủi ro để có sự chuẩn bị hoặc có cách xử lý kịp thời khi rủi ro xảy ra.

Gọi X là biến ngẫu nhiên thể hiện thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiền của khách hàng tại một ngân hàng. Giả sử X có phân phối chuẩn

Khi dự trù được khả năng hoàn lại vốn của khách hàng, các ngân hàng có thể đưa ra các chương trình khuyến mãi, các gói dịch vụ kích thích khách hàng giao dịch với ngân hàng hoặc xây dựng các dự án đầu tư khác. Do đó các nhà sản xuất cần tính toán thời gian làm việc của sản phẩm sau đó đưa ra thời gian bảo hành hợp lý sao cho trong khoảng thời gian bảo hành, sản phẩm ít bị lỗi hay hư hỏng nhất và cũng không quá ngắn, đủ sức cạnh tranh trên thị trường.

Giả sử một cửa hàng sách dự định nhập vào một số cuốn sách “Xác suất thống kê”. Nhu cầu hàng năm về loại sách này cho như trong bảng phân phối

Các nhà kinh tế căn cứ vào đây để có những phương án sao cho vẫn đạt doanh số bán hàng mà chi phí quảng cáo phù hợp nhất. Chiến lược của hàng là cần phải chọn số sách cần nhập sao cho lợi nhuận trung bình là lớn nhất.

Lãi suất hàng năm của trái phiếu T và cổ phiếu S của một công ty có bảng phân phối xác suất như sau

Từ bảng trên ta thấy chiến lược mang lại lợi nhuận trung bình lớn nhất là nhập 24 quyển sách. Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai dự án A và B. Một nhà đầu tư muốn đầu tư tiền vào cả trái phiếu và cổ phiếu thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào để:. a) Lãi suất trung bình thu được là lớn nhất. b) Độ rủi ro về lãi suất là nhỏ nhất. Từ bảng phân phối xác suất trên ta có:. b) Độ rủi ro về lãi suất được đặc trưng bởi phương sai hoặc độ lệch chuẩn của X. Các vòng bi do một máy tự động sản xuất ra được coi là đạt tiêu chuẩn.

Các vòng bi do một máy tự động sản xuất ra được coi là đạt tiêu chuẩn nếu đường kính của nó sai lệch so với đường kính thiết kế không quá 0,7 mm

Trước hết ta cần xác định tỉ lệ ốc vít đáp ứng được yêu cầu của nhà sản xuất trong mỗi hộp sản phẩm của cửa hàng A và B. Như vậy ốc vít ở cửa hàng B đáp ứng được yêu cầu của nhà sản xuất cao hơn cửa hàng A đồng thời giá tiền của mỗi ốc vít dùng được cũng thấp hơn bên cửa hàng A do đó nhà sản xuất nên mua ốc vít của cửa hàng B.

Một nhà máy nhập về một lô thiết bị mới, kỹ thuật viên nhận định: “Thiết bị này hoạt động tốt trong khoảng thời gian t s không phụ thuộc gì vào khoảng

Bây giờ chúng ta tính xác suất để thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian t to; o t với điều kiện nó đã hoạt động tốt trong khoảng thời gian  0; to. Điều đó chứng tỏ xác suất để thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian t s không phụ thuộc gì vào khoảng thời gian hoạt động tốt diễn ra trước đó, mà chỉ phụ thuộc vào độ dài khoảng thời gian đang xét mà thôi.

Những chiếc lốp của hãng Wearever đã ghi nhận một kỷ lục khủng khiếp là đi được trung bình 56000 dặm với độ lệch chuẩn 8000 dặm và có phân phối

Hai người A và B hẹn gặp nhau ở thư viện trong khoảng thời gian từ 17h đến 18h. Họ hẹn nhau nếu người nào đến trước s đợi người kia trong vòng 10