Chương 3 các nguyên lý và cấu hình tổ hợp cơ bản

toán rời rạc,chương 3,các quy tắc đếm cơ bản,vku công nghệ thông tin và truyền thông việt hàn,Toán rời rạc là một nhánh của toán học tập trung vào các cấu trúc rời rạc, trái ngược với các cấu trúc liên tục như trong giải tích. Các đối tượng nghiên cứu chính của toán rời rạc bao gồm tập hợp, đồ thị, và các cấu trúc tổ hợp. Môn học này cung cấp nền tảng lý thuyết cho nhiều lĩnh vực khoa học máy tính, bao gồm thuật toán, lý thuyết đồ thị, lý thuyết số, và mật mã học.

CHƯƠNG 3.

CÁC NGUYÊN LÝ VÀ CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN

3.1 Các nguyên lý cơ bản

3.1.1 Nguyên lý cộng3.1.2 Nguyên lý nhân3.1.3 Nguyên lý tồn tại

3.2 Các cấu hình tổ hợp cơ bản

3.2.1 Cấu hình không lặp3.2.2 Cấu hình lặp

3.1.1 Nguyên lý cộng3.1.2 Nguyên lý nhân3.1.3 Nguyên lý tồn tại

3.1.1 Nguyên lý cộng

- Nguyên lý công được phát biểu bằng lời như sau:

+ Cho hai đối tượng cần chọn lựa x và y.

thì có m1+ m2+…+ mncách chọn x1hoặc chọn x2hoặc … hoặc chọn xn.

- Lưu ý: Dấu hiệu để nhận biết nguyên lý cộng là việc chọn các đối tượngđộc lập với nhau.

3.1.1 Nguyên lý cộng

- Ví dụ: Trên bàn có hai cái rổ đựng trái cây, một rổ đựng 15 trái táo và mộtrổ đựng 20 trái cam Hãy cho biết có bao nhiêu cách chọn 1 trái táo hoặc 1 trái cam, biết rằng chỉ được chọn 1 trái?

Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng có 15 cách chọn 1 trái táovà có 20 cách chọn 1 trái cam, mà trong đó việc chọn trái táo và chọn trái cam là độc lập nhau.

Do đó áp dụng nguyên lý cộng, ta có số lượng cách chọn theo yêu cầu là15+20=35.

3.1.1 Nguyên lý cộng

- Ví dụ: Trong một đợt làm đồ án cơ sở, bộ môn Tin học đưa ra 4 nhóm đềtài cho sinh viên chọn Nhóm 1 có 15 đề tài, nhóm 2 có 20 đề tài, nhóm 3 có 30 đề tài, nhóm 4 có 25 đề tài Hãy cho biết mỗi sinh viên có bao nhiêucách chọn 1 đề tài để làm đồ án cơ sở, biết rằng các sinh viên có thể chọnđề tài trùng nhau?

Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng mỗi sinh viên có 15 cáchchọn 1 đề tài thuộc nhóm 1, có 20 cách chọn 1 đề tài thuộc nhóm 2, có 30 cáchchọn 1 đề tài thuộc nhóm 3 và có 25 cách chọn 1 đề tài thuộc nhóm 4, mà trongđó việc chọn 1 đề tài thuộc mỗi nhóm là độc lập với nhau.

Do đó áp dụng nguyên lý cộng, ta có số lượng cách chọn theo yêu cầu là15+20+30+25=90.

3.1.1 Nguyên lý cộng

- Phát biểu bằng tập hợp (theo “ngôn ngữ tập hợp”):

Nguyên lý công được phát biểu bằng lời trong các trường hợp nêu trên cóthể được phát biểu bằng tập hợp như sau:

+ Cho A, B là 2 tập hợp gồm hữu hạn phần tử và A∩B=∅.Lúc đó: |A∪B|=|A|+|B|



Lúc đó A1∪A2∪A3 là tập hợp các số nguyên dương có các chữ số khác nhauđược tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3.

Do đó số lượng số tạo được theo yêu cầu là |A1∪A2∪A3|.Rõ ràng:

A1={1,2,3},A2={12,21,13,31,23,32},A3={123,132,213,231,312,321}và A1∩Ạ2=∅, A1∩Ạ3=∅, A2∩Ạ3=∅.

Suy ra |A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|=3+6+6=15Vậy số lượng số tạo được theo yêu cầu là 15.

3.1.1 Nguyên lý cộng

- Nguyên lý cộng mở rộng:+ Nguyên lý bù trừ:

Cho A, B là 2 tập hợp gồm hữu hạn phần tử và B⊆A Lúc đó: |A\B|=|A|-|B|

+ Cho A, B là 2 tập hợp gồm hữu hạn phần tử.

Lúc đó: |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

+ Cho A, B, C là 3 tập hợp gồm hữu hạn phần tử.

Lúc đó: |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B ∩C|

3.1.1 Nguyên lý cộng

- Ví dụ: Trong một kỳ thi tuyển sinh vào đại học, đề thi môn Toán có 3 câu(1 câu giải tích, 1 câu đại số và 1 câu hình học) Kết quả chấm 1000 bài thicho thấy: có 800 bài thi giải được câu giải tích, có 700 bài thi giải được câuđại số, có 600 bài thi giải được câu hình học, có 600 bài thi giải được câugiải tích và câu đại số, có 500 bài thi giải được câu giải tích và câu hìnhhọc, có 400 bài thi giải được câu đại số và câu hình học, có 300 bài thi giảiđược cả 3 câu Hãy cho biết trong số 1000 bài thi được chấm có bao nhiêubài thi không giải được câu nào?

3.1.1 Nguyên lý cộng

Xét tập hợp T gồm 1000 bài thi được chấm.

Gọi A là tập hợp các bài thi giải được câu giải tích, B là tập hợp các bài thigiải được câu đại số và C là tập hợp các bài thi giải được câu hình học.

Lúc đó A∩B là tập hợp các bài thi giải được câu giải tích và câu đại số,A∩C là tập hợp các bài thi giải được câu giải tích và câu hình học,

B∩C là tập hợp các bài thi giải được câu đại số và câu hình học,A∩B∩C là tập hợp các bài thi giải được cả 3 câu,

và A∪B∪C là tập hợp các bài thi giải được ít nhất 1 câu.

Suy ra T\(A∪B∪C) là tập hợp các bài thi không giải được câu nào.Do đó số lượng bài thi không giải được câu nào là |T\(A∪B∪C)|.Ta có: |T\(A∪B∪C)| = |T| - | A∪B∪C|

= |T| - (|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B ∩C|)= 1000-(800+700+600-600-500-400+300)=100

Vậy số lượng bài thi không giải được câu nào là 100.

rồi sau đó với mỗi cách chọn x1như vậy x2 có m2cách chọn,

rồi sau đó với mỗi cách chọn x1, rồi chọn x2như vậy x3 có m3cách chọn,rồi sau đó…,

rồi sau với mỗi cách chọn x1, rồi chọn x2, …., rồi chọn xn-1như vậy xncómncách chọn,

thì có m1x m2x…x mn-1x mncách chọn x1, rồi chọn x2, rồi … rồi chọn xn.

3.1.2 Nguyên lý nhân

- Lưu ý: Dấu hiệu để nhận biết nguyên lý nhân là viêc chọn các đối tượngphụ thuộc với nhau.

- Trường hợp tổng quát có thể phát biểu như sau:

Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, mà trong đó:

bước thứ nhất có m1cách chọn, bước thứ hai có m2cách chọn, …, bước thứn có mncách chọn,

thì phép chọn đó có thể được thực hiện theo m1x m2x … x mncách.

3.1.2 Nguyên lý nhân

- Ví dụ: Từ Hà Nội vào Đà Nẵng có 3 cách chọn loại phương tiện để đi(đường sắt, đường bộ, đường không) Từ Đà Nẵng lên Đà Lạt có 2 cáchchọn loại phương tiện để đi (đường bộ, đường không) Hãy cho biết từ HàNội vào Đà Nẵng, rồi sau đó từ Đà Nẵng lên Đà Lạt có bao nhiêu cáchchọn loại phương tiện để đi?

Do đó áp dụng nguyên lý nhân, ta có số lượng số nguyên dương tạo đượctheo yêu cầu là 3x5x2=30.

3.1.2 Nguyên lý nhân

- Phát biểu bằng tập hợp (theo “ngôn ngữ tập hợp”):

Nguyên lý nhân được phát biểu bằng lời trong các trường hợp nêu trên cóthể được phát biểu bằng tập hợp như sau:

+ Cho A, B là 2 tập hợp gồm hữu hạn phần tử.

Lúc đó: |AxB|=|A|x|B|+ Tổng quát:

Cho A1, A2, …, An-1, An là n tập hợp gồm hữu hạn phần tử.Lúc đó: |A1xA2x…xAn-1xAn|=|A1|x|A2|x…x|An-1|x|An|

 n

11

3.1.3 Nguyên lý tồn tại (Nguyên lý Dirichlet)

- Có một số phát biểu: Nguyên lý chuồng thỏ, Nguyên lý chuồng chim,…- Nguyên lý ngăn kéo:

Khi cho các đồ vật vào các ngăn kéo, nếu số lượng đồ vật nhiều hơn sốlượng ngăn kéo thì có ít nhất 2 đồ vật được chứa trong cùng một ngăn kéo(hay có ngăn kéo chứa từ 2 đồ vật trở lên).

- Phát biểu cụ thể hơn như sau:

Khi cho n đồ vật vào m ngăn kéo, nếu n>m thì có ít nhất 2 đồ vật đượcchứa trong cùng một ngăn kéo (hay có ngăn kéo chứa từ 2 đồ vật trở lên).

- Lưu ý:

+ Có thể sử dụng nguyên lý này để chứng minh sự tồn tại của đối tượngnào đó (có thể không liên quan đến đồ vật và ngăn kéo) bằng cách chỉ ra sựtương ứng phù hợp.

+ Muốn sử dụng được nguyên lý này phải có 2 số lượng khác nhau (1 sốtương ứng số lượng đồ vật, 1 số tương ứng số lượng ngăn kéo).

3.1.3 Nguyên lý tồn tại (Nguyên lý Dirichlet)

- Ví dụ: Lớp Toán rời rạc có 60 sinh viên Hãy chứng tỏ rằng trong lớpToán rời rạc có ít nhất 2 sinh viên có ngày của ngày sinh nhật trùng nhau.

Giải: Cho 31 ngăn kéo đánh số thứ tự từ 1 đến 31 Mỗi sinh viên của lớp

Toán rời rạc được “đặt vào” ngăn kéo có số thứ tự trùng với ngày của ngày sinhnhật của sinh viên đó Rõ ràng số lượng sinh viên nhiều hơn số lượng ngăn kéo(60>31) Do đó có ít nhất 2 sinh viên “được chứa” trong cùng một ngăn kéo, tức là có ít nhất 2 sinh viên có ngày của ngày sinh nhật trùng nhau.

3.1.3 Nguyên lý tồn tại (Nguyên lý Dirichlet)

- Phát biểu bằng tập hợp (theo “ngôn ngữ tập hợp”):

Nguyên lý tồn tại được phát biểu bằng lời nêu trên có thể được phát biểubằng tập hợp như sau:

3.1.3 Nguyên lý tồn tại (Nguyên lý Dirichlet)

- Ví dụ: Lớp Toán rời rạc có 60 sinh viên Hãy chứng tỏ rằng trong lớpToán rời rạc có ít nhất 2 sinh viên có ngày của ngày sinh nhật trùng nhau.

Rõ ràng |A|>|B| (60>31), do đó có ít nhất 2 phần tử của A tương ứng vớicùng một phần tử của B, tức là có ít nhất 2 sinh viên có ngày của ngày sinhnhật trùng nhau.

3 Trong một giải bóng đá có 8 đội tham gia thi đấu Cơ cấu giải thưởng gồm 1 huy chương vàng, 1 huy chương bạc và 1 huy chương đồng Hãy cho biết cóbao nhiêu cách phân phối bộ huy chương vàng, bạc, đồng cho các đội tham giathi đấu.

4 Hãy cho biết có bao nhiêu số nguyên dương chẵn có 3 chữ số.

9 Trong một giải bóng đá có 16 đội tham dự Thể thức thi đấu của giải là 2 độibất kỳ phải thi đấu với nhau và chỉ thi đấu với nhau 1 lần (vòng tròn một lượt) Hãy chứng tỏ rằng, tại mỗi thời điểm của giải có ít nhất 2 đội có số lượng trậnđã thi đấu bằng nhau.

10 Hãy chứng tỏ rằng, trong một nhóm gồm 10 người có ít nhất 2 người cócùng số lượng người quen giữa những người trong nhóm đó.

3.2.1 Cấu hình không lặp3.2.2 Cấu hình lặp

3.2.1 Cấu hình không lặp

• Chỉnh hợp không lặp• Hoán vị không lặp• Tổ hợp không lặp

ứng là một bộ có thứ tự (t1,t2,…,tk) với ti∈T ( ) và ti≠ tj (i≠j).- Số lượng chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử:

hay

- Ví dụ: Hãy cho biết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo được bao nhiêusố nguyên dương có 3 chữ số mà các chữ số khác nhau?

Giải: Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng mỗi số nguyên

dương cần tạo tương ứng là một chỉnh hợp không lặp chập 3 của 5 phần tử Do đó số lượng số nguyên dương cần tạo theo yêu cầu là

ki 1,

A

- Số lượng hoán vị không lặp của n phần tử:

- Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 cái đèn khác nhau thành một hàngngang?

Giải: Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng mỗi cách sắp xếp

đèn theo yêu cầu tương ứng là một hoán vị không lặp của 5 phần tử Do đó sốlượng cách sắp xếp đèn theo yêu cầu là

nPn 

P

Giải: Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng mỗi cách chọn đại

biểu theo yêu cầu tương ứng là một tổ hợp không lặp chập 3 của 5 phần tử Do đó số lượng cách chọn đại biểu theo yêu cầu là

5 xx 

P

C  11  1

10 n

C0  1  2  2 1 2

3.2.2 Cấu hình lặp

• Chỉnh hợp lặp• Hoán vị lặp• Tổ hợp lặp

3.2.2 Cấu hình lặp

• Chỉnh hợp lặp

- Cho T là tập hợp gồm n phần tử (n∈ℤ+).

- Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc T là một cách chọn k phầntử thuộc T (có thể trùng nhau) và các phần tử được sắp xếp theo thứ tự.- Như vậy một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc T tương ứng làmột bộ có thứ tự (t1,t2,…,tk) với ti∈T ( ).

- Số lượng chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:

- Ví dụ: Hãy cho biết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo được bao nhiêusố nguyên dương có 3 chữ số?

Giải: Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng mỗi số nguyên

dương cần tạo tương ứng là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 5 phần tử Do đó sốlượng số nguyên dương cần tạo theo yêu cầu là

ki 1,

A

3.2.2 Cấu hình lặp

• Hoán vị lặp

- Cho T là tập hợp gồm n phần tử (n∈ℤ+).- Ví dụ: Cho T={a,b,c}

+ Hoán vị không lặp của 3 phần tử thuộc T: abc, acb, bac, bca, cab, cba

+ Hoán vị lặp của 3 phần tử thuộc T, trong đó a xuất hiện 2 lần, b xuất

hiện 1 lần, c xuất hiện 3 lần: aabccc, abaccc, abcacc, abccac, abccca, ….

baaccc, bacacc, baccac, baccca, bcccaa, ….

- Hoán vị lặp ví dụ ở trên được gọi là một hoán vị lặp kiểu (2,1,3) của 3

phần tử thuộc T, trong đó thứ tự các số trong (2,1,3) tùy ý.

- Một hoán vị lặp kiểu (k1,k2,…,kn) của n phần tử thuộc T là một hoán vịmà trong đó các phần tử của T: có phần tử xuất hiện k1 lần, có phần tử xuấthiện k2 lần, …, có phần tử xuất hiện kn lần.

- Số lượng hoán vị lặp kiểu (k1,k2,…,kn) của n phần tử:



3.2.2 Cấu hình lặp

- Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 cái đèn khác nhau thành một hàngngang nhưng theo màu, biết rằng có 2 đèn màu đỏ và 3 đèn màu xanh?

Giải: Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng mỗi cách sắp xếp

đèn theo yêu cầu tương ứng là một hoán vị lặp kiểu (2,3) của 2 phần tử Do đósố lượng cách sắp xếp đèn theo yêu cầu là

P

3.2.2 Cấu hình lặp

• Tổ hợp lặp

- Cho T là tập hợp gồm n phần tử (n∈ℤ+).

- Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử thuộc T là một cách chọn k phần tửthuộc T (có thể trùng nhau).

- Số lượng tổ hợp lặp chập k của n phần tử:hay

- Ví dụ: Trên bàn có 5 cái khay đựng 5 loại bánh ngọt khác nhau Hãy chobiết có bao nhiêu cách chọn 3 cái bánh ngọt trong 5 loại bánh ngọt đó?

Giải: Với thông tin bài toán đã cho, dễ dàng thấy rằng mỗi cách chọn bánh

ngọt theo yêu cầu tương ứng là một tổ hợp lặp chập 3 của 5 phần tử Do đó sốlượng cách chọn bánh ngọt theo yêu cầu là

5 C    C  xx 

 nknk

CC

Bài tập:

1 Trong một giải bóng đá có 16 đội tham dự Thể thức thi đấu của giải là 2 độibất kỳ phải thi đấu với nhau và chỉ thi đấu với nhau 1 lần (vòng tròn một lượt) Hãy cho biết cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

2 Hãy cho biết từ 2 bit 0, 1 có thể tạo được bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8?3 Hãy cho biết từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 có thể tạo được bao nhiêu số nguyêndương có 5 chữ số mà các chữ số khác nhau?

4 Hãy cho biết có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số mà trong đó có 2 chữ số 4, có 3 chữ số 5 và 1 chữ số 7?

5 Hãy cho biết có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn từ một chi đoàn có 15 đoàn viên, biết rằng mỗi ban chấp hành chi đoàn gồm 3 người: 1 bíthư, 1 phó bí thư và 1 ủy viên?

6 Hãy cho biết từ các chữ số 1, 2, 4, 5 có thể tạo được bao nhiêu số điện thoại, biết rằng mỗi số điện thoại là một số nguyên dương có 8 chữ số?

7 Hãy cho biết có bao nhiêu hoán vị của các chứ cái trong từ HOANTOAN?

11 Hãy cho biết có bao nhiêu cách chọn 7 đồng tiền xu trong 3 loại đồng tiềnxu: 1000 đồng, 2000 đồng, 5000 đồng?

12 Một sinh viên có họ và tên là NGUYỄN VĂN AN, sinh ngày 20/01/1999 và được biểu diễn lại như sau:

Họ và tên: NGUYENVANANNgày sinh: 20011999

Hãy cho biết có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái trong họ và tên và bao nhiêuhoán vị của các chữ số trong ngày sinh của sinh viên?