Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Lập trình TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA – SINH ---------- TRẦN THỊ LỆ CHI NGHIÊN CỨU VỀ EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Quảng Nam, tháng 05 năm 2016 Họ tên tác giả Trần Thị Lệ Chi ii LỜI CẢM ƠN Để được làm khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Quảng Nam, Ban chủ nhiệm khoa Lý – Hóa – Sinh, cùng toàn thể quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp Đại học Sư phạm Vật Lý K12 đã tận tình dạy dỗ tôi trong suốt 4 năm học vừa qua. Và để hoàn thành khóa luận này, tôi xin kính gởi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến TS. VÕ THỊ HOA, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và sửa chữa những sai sót mà tôi mắc phải trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân và bạn bè trong lớp Đại học Sư phạm Vật Lý K12 đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Mặc dù đã đầu tư công sức, cố gắng và cẩn thận, nhưng do điều kiện về thời gian và đây là lần đầu tiên đi sâu nghiên cứu một đề tài khóa luận nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp chân tình của quý thầy cô và các bạn để đề tài khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ 0D (Zero dimension) Không chiều 1D (One dimension) Một chiều 2D (Two dimensions) Hai chiều. 3D (Three dimensions) Ba chiều. GS (Ground state) Trạng thái cơ bản QD (Quantum dots) Chấm lượng tử QW (Quantum well) Giếng lượng tử QWs (Quantum wires) Dây lượng tử CB (Conduction band) Vùng dẫn VB (Valence band) Vùng hoá trị iv DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1.Hình ảnh giếng lượng tử GaAs, ống nanô Cacbon và chấm lượng tử PbSe........................................................................................................................ 6 Hình 1.2. Một gói sóng bên ngoài di chuyển với vận tốc nhóm vg , bên trong di chuyển với vận tốc pha vph. .................................................................................... 9 Hình 1.3. Mật độ trạng thái theo năng lượng trong các hệ lượng tử với số chiều khác nhau:a. Hệ ba chiều (bán dẫn khối); b. Hệ hai chiều (giếng lượng tử);c. Hệ một chiều (dây lượng tử); d. Hệ không chiều (chấm lượng tử). .......................... 22 Hình 2.1. Hình ảnh về chấm lượng tử (Quantum Dot) ........................................ 24 Hình 2.2. Sơ đồ dải năng lượng của chấm lượng tử. ........................................... 26 Hình 2.3. Hiệu ứng thông hầm lượng tử ................................................................ 29 Hình 2.4. Hiệu ứng khóa Coulomb........................................................................ 29 Hình 2.5: Các mức năng lượng của exciton. ........................................................ 35 Hình 2.6: Exciton Mott-Wannier ......................................................................... 36 Hình 2.7: Exciton Prenkel .................................................................................... 36 Hình 3.1. Mô hình exciton loại I trong chấm lượng tử (a) và cấu trúc thế giam nhốt (b). ................................................................................................................ 41 Hình 3.2. Hệ exciton trong chấm lượng tử cầu. ................................................... 41 Hình 3.3. Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối a (ߛ =ܽ 0ܽ ). .................................................. 45 Hình 3.4. Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào hằng số điện môi߳ . ........................................................................................................................... 46 v MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................................................... iii DANH MỤC CÁC HÌNH ..................................................................................... iv MỤC LỤC .............................................................................................................. v A. MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 B. NỘI DUNG ....................................................................................................... 5 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU ............................................ 5 1.1. KHÁI NIỆM HỆ THẤP CHIỀU..................................................................... 5 1.2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU ....................................................... 7 1.2.1. Phương trình Schrodinger ............................................................................ 7 1.2.2. Hạt tự do ....................................................................................................... 8 1.2.3. Hạt chuyển động trong giếng thế ............................................................... 10 1.2.4. Điện tử và mật độ dòng .............................................................................. 11 1.2.5. Toán tử và các phép đo .............................................................................. 13 1.2.6. Các đặc tính toán học của trạng thái riêng ................................................. 14 1.3. MÔ TẢ CÁC HỆ THẤP CHIỀU .................................................................. 16 1.3.1. Hệ ba chiều (vật liệu khối) ......................................................................... 16 1.3.2. Hệ hai chiều (giếng lượng tử) .................................................................... 17 1.3.3. Hệ một chiều (sợi hoặc dây lượng tử) ........................................................ 19 1.3.4. Hệ không chiều (chấm lượng tử) ............................................................... 20 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1..................................................................................... 23 Chương 2. TỔNG QUAN VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ ........................................... 24 2.1. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ ......................................... 24 2.2. CÁC HIỆU ỨNG CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ .............................. 26 2.2.1.Hiệu ứng bề mặt .......................................................................................... 26 2.2.2. Hiệu ứng giam giữ lượng tử ....................................................................... 27 2.2.3. Hiệu ứng thông hầm lượng tử .................................................................... 28 2.2.4. Hiệu ứng khóa Coulomb (Coulomb blockade) .......................................... 29 2.3. CẤU TRÚC ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ ..................... 30 vi 2.3.1. Chế độ giam giữ mạnh ............................................................................... 31 2.3.2. Chế độ giam giữ trung gian ........................................................................ 33 2.3.3. Chế độ giam giữ yếu .................................................................................. 33 2.4. ĐẠI CƯƠNG VỀ EXCITON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ...................... 35 2.4.1.Khái niệm .................................................................................................... 35 2.4.2. Phân loại ..................................................................................................... 36 2.4.3. Tính chất..................................................................................................... 36 2.5. ỨNG DỤNG CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ ..................................................... 37 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2..................................................................................... 40 CHƯƠNG 3. EXCITON LOẠI 1 TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ....................... 41 3.1. MÔ HÌNH EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ .................... 41 3.2. BÀI TOÁN EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ................... 41 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3..................................................................................... 47 C. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 50 1 A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đã và đang bước những bước đầu tiên của thế kỉ XXI – thế kỉ của hội nhập và hợp tác toàn cầu. Trước xu thế toàn cầu hóa, cùng với sự phát triển vũ bão của khoa học kĩ thuật, vấn đề đặt ra cho các quốc gia trên thế giới đó là không ngừng phát triển đất nước, phát triển kĩ thuật để không bị tụt hậu so với thế giới. Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, nhiều ngành khoa học công nghệ đã ra đời, trong đó có ngành công nghệ nano. Tuy mới xuất hiện nhưng ngành công nghệ nano đã có những thành tựu hết sức to lớn trên hầu hết các lĩnh vực: điện tử, y học, công nghiệp, môi trường…và đang có rất nhiều triển vọng. Chính vì những ứng dụng kì diệu như vậy đã thúc đẩy các nhà khoa học nói chung và các nhà vật lý nói riêng tập trung nghiên cứu nhiều về ngành công nghệ này. Đối tượng nghiên cứu của ngành công nghệ nano là các vật liệu có kích thước cỡ nanomet. Thành tựu của khoa học vật lý cuối những năm 80 của thế kỉ 20 được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Vật liệu hệ thấp chiều gần đây đã trở thành một mũi nhọn nghiên cứu trên thế giới, mặc dù ý tưởng về các hệ thấp chiều đã được manh nha ngay từ những năm đầu của thập kỷ 70. Đến những năm 90 của thế kỷ trước, những ứng dụng đầu tiên của nó đã gây chấn động trong giới khoa học và kinh doanh. Những ứng dụng đó đều xuất phát từ những tı́nh chất vật lý thú vị của hệ thấp chiều, trong đó biểu hiện rõ nhất là “hành vi” của điện tử khi cho số chiều hiệu dụng giảm dần. Đó là các bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng,…); bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu). Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của các hạt tải (điện tử, lỗ trống,…) bị giới hạn mạnh theo một, hai, hoặc cả ba chiều 2 trong không gian mạng tinh thể. Hạt tải điện chỉ có thể chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặc một chiều (hệ một chiều, 1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không chiều, 0D). Các hệ thấp chiều (hay các hệ có cấu trúc nanô) là các hệ thống có kích cỡ thuộc thang nanô (khoảng từ 1nm đến 100nm) gồm các nguyên tử, phân tử được sắp đặt vị trí sao cho cả hệ thống thực hiện được các chức năng định trước. Việc chuyển từ hệ vật liệu có cấu trúc ba chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất vật lý của vật liệu. Việc nghiên cứu và tạo ra các bán dẫn có cấu trúc thấp chiều, chính là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính, các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới siêu nhỏ, thông minh và đa năng như hiện nay. Nghiên cứu hệ thấp chiều chính là tìm hiểu bức tranh vùng năng lượng của nó, hay nói cách khác chính là đi tìm hiểu về các giả hạt exciton, biexciton trong các hệ trên. Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp Đại học, chúng tôi chọn đề tài: “Nghiên cứu về exciton loại I trong chấm lượng tử”. 2. Mục tiêu của đề tài - Khái quát các kiến thức vật lý về chấm lượng tử. - Nghiên cứu về exciton trong chấm lượng tử. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Cơ sở lý thuyết của vật lý hệ thấp chiều. - Exciton loại 1 trong chấm lượng tử. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về hệ thấp chiều. - Tổng quan về chấm lượng tử. - Mô phỏng exciton. 5. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành các nội dung nghiên cứu đã nêu ở trên, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: 5.1. Phương pháp lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu và một số công trình khoa học đã công bố có liên 3 quan đến các nội dung trong đề tài. - Nghiên cứu các tài liệu về: Vật lý chất rắn, cơ học lượng tử…Tham khảo ý kiến của các nhà khoa học giáo dục trên các tạp chí giáo dục và các luận văn có liên quan đến exciton trong chấm lượng tử. - Sưu tầm và dịch các tài liệu nước ngoài liên quan. 5.2. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Tìm hiểu các tài liệu (sách và tạp chí chuyên ngành) trong và ngoài nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài. 5.3. Phương pháp phân tích tổng hợp - Trên cơ sở phương pháp nghiên cứu lý luận phân tích khái quát tổng hợp thành cơ sở lý luận làm công cụ nghiên cứu đề tài. 5.4. Phương pháp tính số. - Phương pháp sử dụng trong việc giải các bài toán của luận án là phương pháp tính số minh họa trên máy tính sử dụng phần mềm Mathematica. 6. Giả thuyết nghiên cứu - Nếu nghiên cứu thành công đề tài này thì chúng ta sẽ hiểu rõ hơn về hệ bán dẫn thấp chiều, cụ thể là exciton loại 1 trong chấm lượng tử để áp dụng vào ngành khoa học kỹ thuật của nước ta hiện nay. 7. Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm có 3 phần chính: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần mở đầu : chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu và giả thuyết nghiên cứu trong luận văn. Phần nội dung : phần này gồm 3 chương. Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản về cơ sở lí thuyết và mô tả về hệ thấp chiều. Chương 2: Trình bày tổng quan giới thiệu chung về chấm lượng tử, đặc điểm, các hiệu ứng cơ bản, các điện tử cơ bản và ứng dụng của chấm lượng tử. Chương 3: Trình bày khái niệm về exciton, phân loại và tính chất của 4 exciton. Mô hình, năng lượng của exciton loại 1 và một số bài toán về exciton loại 1 trong chấm lượng tử. Phần kết luận : chúng tôi trình bày tóm lược lại những kết quả đạt được, kết luận và đồng thời đưa ra hướng nghiên cứu tiếp theo. Tài liệu tham khảo 5 B. NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU 1.1. KHÁI NIỆM HỆ THẤP CHIỀU Cấu trúc thấp chiều hình thành khi ta hạn chế không gian thành một mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là ta hạn chế chuyển động của các điện tử theo ít nhất là một hướng trong phạm vi khoảng cách cỡ bước sóng de Broglie của nó (cỡ nm). Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của vật rắn giảm xuống một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều, các tính chất vật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang có thể thay đổi một cách đột ngột. Các tính chất của nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình dạng và kích thước cỡ nanomét của chúng. Sự giảm kích thước xuống cỡ nanomét xảy ra hiệu ứng giam giữ lượng tử mà ở đó các trạng thái điện tử cũng như các trạng thái dao động trong hạt nano bị lượng tử hoá. Các trạng thái bị lượng tử hoá trong cấu trúc nano sẽ quyết định tính chất điện và quang nói riêng, tính chất hoá học nói chung của cấu trúc đó. Trong những thập kỷ qua, bước tiến nổi bật trong việc xây dựng cấu trúc hệ thấp chiều là tạo ra khả năng hạn chế số chiều hiệu dụng của các vật liệu khối. Từ vật liệu khối ba chiều thành vật liệu có cấu trúc hai chiều như giếng lượng tử (quantum well (QW)), người ta tạo một lớp bán dẫn mỏng, phẳng, nằm kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn. Các điện tử bị giam trong lớp mỏng ở giữa (cỡ vài lớp đơn tinh thể) và như vậy, chuyển động của chúng là chuyển động tự do trên mặt phẳng hai chiều, còn sự chuyển động theo chiều thứ ba đã bị lượng tử hóa mạnh. Tiếp tục giảm số chiều như vậy, ta có thể thu được cấu trúc một chiều như dây lượng tử (quantum wires (QWs)) và thậm chí là cấu trúc không chiều như chấm lượng tử (quantum dots (QD)) 4. 6 Hình 1.1.Hình ảnh giếng lượng tử GaAs, ống nanô Cacbon và chấm lượng tử PbSe. Để đặc trưng cho các hệ thấp chiều, người ta đưa ra các thông số như: Bước sóng Fecmi ߣሺ ி ሻ: ߣி= ଶగ ಷ = const (1.1) Trong đó݇ ி : vectơ sóng Fecmi. Hệ thức giữa vectơ sóng Fecmi݇ ி và mật độ điện tử n: ଶ ሺଶగሻ య ସ ଷ ݇ߨ ி ଷ khi d = 3, n = ଶ ሺଶగሻ మ ݇ߨ ி ଶ khi d = 2, (1.2) ଶ ݇ଶగ ி khi d = 1, Với d là số chiều khả dĩ của hệ, hệ số 2 chính là số trạng khả dĩ của spin. Quãng đường tự do trung bình (݈ ): Quãng đường tự do trung bình là khoảng cách trung bình mà điện tử dịch chuyển trước khi trạng thái ban đầu bị thay đổi. Khi ở nhiệt độ thấp, các điện tử có vectơ sóng gần với vectơ sóng Fecmi, do đó quãng đường tự do trung bình sẽ là:݈ = ߥி ܶ. (1.3) trong đó: ߥி = ಷ là vận tốc Fecmi ܶ là thời gian hồi chuyển năng lượng. Độ dài kết hợp pha (݈ ఝ ሻ : Thời gian kết hợp pha (ܶ ఝ ሻlà thời gian điện tử còn lưu ký ức về pha. 7 + Khiܶ ఝ ≫T m : thường gặp ở các bán dẫn có độ linh động thấp hay các đa tinh thể, độ dài kết hợp pha được xác định bởi công thức: ݈ ఝ ଶ = D.ܶ ఝ (1.4) với D là hệ số khuyếch tán. + Khiܶ ఝ T m : thường gặp ở các bán dẫn có độ linh động cao. Độ dài kết hợp pha (݈ ఝ) được xác định bởi công thức sau: ݈ ఝ = ߥி ܶ. ఝ (1.5) Một hệ có kích thước nhỏ hơn một hoặc cả ba độ dài đặc trưng này được gọi là hệ thấp chiều (mesoscopic). Tỷ đối giữa ߣ ி,݈ ,݈ ఝ là phụ thuộc vào loại vật liệu, các kích thước này cỡ nanomet (ở giữa kích thước microcopic và marcoscopic). Năng lượng đặc trưng của hệ tính theo đơn vị mili-electron Volt (meV), thời gian đặc trưng tính theo đơn vị picro-giây (ps). 1.2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU 1.2.1. Phương trình Schrodinger Xét chuyển động của hạt, ví dụ như electron, chuyển động trong một chiều đơn giản. Theo định luật Newton ta có phương trình sóng chi phối sự tiến triển của ψ(x,t). Trong một chiều, phương trình sóng có dạng: െ మ ଶ డ మ డ௫ మ ψሺx, tሻ Vሺxሻ. ψሺx, tሻ ൌ i. డ డ௧ ψሺx, tሻ (1.6) Đó là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian. Phương trình này mô tả một hạt chuyển động trong một khu vực có năng lượng tiềm tàng V(x) khác nhau. Năng lượng tiềm tàng có thể phát sinh từ một điện trường được thể hiện như một thế vô hướng, nhưng với từ trường phức tạp hơn. Đơn giản hóa phương trình ψ(x,t), tách phương trình thành hai phần, phụ thuộc độc lập vào x và t. Suy ra phương trình: ψ(x,t) = ψ(x).T(t). Sử dụng ψ độc lập với thời gian. Thay các giá trị vào (1.6) và chia cho ψ(x).T(t) ta được: ଵ ሺ୲ሻ iୢ ሺ୲ሻୢ ୲ ൌ ଵ ψሺ୶ሻ ቂെ ଶ୫ୢ మψ ሺ୶ሻୢ ୶ మ Vሺxሻ ψሺxሻቃ (1.7) Vế trái của phương trình (1.7) là hàm theo t, vế phải là hàm theo x. Hai vế bằng nhau và bằng E với E liên tục. Vế trái của phương trình (1.7) là: 8 ଵ ሺ୲ሻi ୢ ሺ୲ሻୢ ୲ = E ⇔ୢ ሺ୲ሻ ሺ୲ሻ ൌ ି ୧ dt ⇔lnT(t) = ି ୧୲ ⇔T(t) = exp(െ ா௧ ) = exp(-i߱ሻݐ (1.8) với E = ߱ . Đây là phương trình biến thiên điều hòa theo thời gian. Chúng ta không thể lựa chọn theo hàm mũ phức tạp. Nó không thể thay thế bởi sin hoặc cosin, cũng không thể chấp nhận là exp(i߱ݐ ). Dạng của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là exp(-i߱ሻݐ và được quy ước trong cơ học lượng tử. Nó độc lập với các phạm vi khác của vật lý, nơi mà exp(+i߱ ሻݐ có thể sử dụng trong các dao động phụ thuộc thời gian hoặc kỹ thuật, nơi mà exp(+i߱ ሻݐ là bình thường. Sự lựa chọn này có ảnh hưởng sâu rộng. Vế phải của phương trình (1.7) là: ଵ நሺ୶ሻ ቂെ మ ଶ୫ୢ మ நሺ୶ሻୢ ୶ మ Vሺxሻ ψሺxሻቃ = E ⇔െ మ ଶ୫ୢ మψ ሺ୶ሻୢ ୶ మ Vሺxሻ. ψሺxሻ ൌ E. ψሺxሻ (1.9) Đây là phương trình Schrodinger độc lập thời gian trong một chiều. Phương trình có dạng trong ba chiều với ப మ ப୶మ thay thế bởi 2 = ப మ ப୶మ + ப మ ப୷మ + ப మ ப మ . (1.10) Do đó, nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian có dạng: ψ(x,t) = ψ(x) exp(െ ா௧ ሻ (1.11) Vậy, nghiệm của phương trinh Schrodinger độc lập thời gian mô tả trạng thái của hạt với năng lượng xác định, liên tục. 1.2.2. Hạt tự do Xét một hạt tự do trong không gian V(x) = 0 với mọi x. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là: െ మ ଶ୫ ப మ நሺ୶ሻ ப୶మ = E ψ(x) (1.12) 9 Đây là phương trình sóng tiêu chuẩn đơn giản và chúng ta có thể đoán được phương pháp giải. Lựa chọn hàm sóng phẳng ψ(x) = exp(- ikx) thay vào (1.12) ta được: െ మ ଶ୫ ப మ ப୶మexp(-ikx) = E.exp(-ikx) ⇔െ మ ଶ୫ i 2k 2exp(-ikx) = E.exp(-ikx) ⇔ E = మ ୩ మ ଶ୫ = ε(k) (1.13) E 0 nếu k là một số thực. E < 0 nếu k → ik là một số ảo. Theo cơ học cổ điển động năng là: E = ୮ మ ଶ୫ . Vì vậy, xung lượng p = k. Kết hợp điều này với các mối quan hệ giữa năng lượng và tần số mang lại hai mối quan hệ trung tâm của lý thuyết cũ: E = ߱ = ν (Einstein) (1.14) Và p = k = ୦ (De Broglie) (1.15) Chia năng lượng bởi h cung cấp cho các mối quan hệ phân tán giữa tần số và số sóng là ω = ଶ୫k2 , điều này là phi tuyến tính, có nghĩa rằng vận tốc của sóng hạt là một hàm của tần số và phải được xác định kỹ lưỡng. Hai định nghĩa tiêu chuẩn là: Vận tốc pha: vph = ன ୩ = ୩ ଶ୫ (1.16) Vận tốc nhóm: vg = ୢ னୢ ୩ = ୩ ୫ = ୮ ୫ = vcl (1.17) Với vcl là vận tốc cổ điển. Hình 1.2. Một gói sóng bên ngoài di chuyển với vận tốc nhóm vg , bên trong di chuyển với vận tốc pha v ph. Hình 1.2 cho thấy tầm quan trọng của hai vận tốc. Các sóng bên trong di chuyển dọc theo với vận tốc pha vph trong khi các vận tốc nhóm vg di chuyển bao quanh. 10 Nếu sóng này đại diện cho một hạt như electron chúng ta thường quan tâm đến hành vi của hàm sóng như một toàn bộ chứ không phải chuyển động nội bộ của chúng. Vận tốc nhóm là kết quả thích hợp và gần giống với kết quả của vận tốc cổ điển. Ngay cả khi nếu chúng ta sử dụng sóng để đại diện cho một electron, nó vẫn lan truyền trong không gian chứ không cô lập giới hạn như trong cơ học cổ điển. Điều này không thể tránh khỏi trong hình ảnh dựa trên sóng, nghĩa là không thể cung cấp vị trí các hạt một cách chính xác. 1.2.3. Hạt chuyển động trong giếng thế Xét hạt chuyển động trong giếng thế sâu vô hạn một chiều. Thế năng của hệ là: V(x) =ቄ 0, 0 ݔܽ ∞, ݔ൏ 0 ݒàܽ ݔ (1.18) Phương trình Schrodinger dừng một chiều: ப మ நሺ୶ሻ ப୶మ + ଶ୫ మ E ψ(x) = 0 (1.19) Đặt k2 = ଶ୫ మ (1.20) Phương trình (1.19) trở thành: ψ''''''''(x) + k 2 ψ(x) = 0 (1.21) Nghiệm tổng quát ψ(x) có dạng: ψ(x) = C1 cos kx + C2 sin kx (1.22) Điều kiện biên: ൜ ψሺ0ሻ ൌ 0 ψሺaሻ ൌ 0 (1.23) ⇒൜ ܥଵ ൌ 0 ܥଶ sin ܽ݇ൌ 0 (1.24) Để nghiệm không tầm thường, ψ(x) ് 0→ C 2് 0 ⇒sin ka = 0 ⇒ k = ୬ ୟ (1.25) ⇒ψ(x) = C 2 sin kx Chuẩn hóa hàm sóng ψ(x) = C2 sin kx, ta được: ψ(x) = ට ଶ ୟ sin kx 11 Từ (1.20) và (1.25), suy ra năng lượng của hạt: E = మ మ ଶ୫ୟమ n2 (1.26) Với n = 1,2,3,…; m là khối lượng của hạt; a là độ rộng của giếng thế. 1.2.4. Điện tử và mật độ dòng Phương trình Schrodinger mang hàm sóng ψ(x,t) . Xác định vị trí của hạt, ta có phương trình modulus của hàm sóng: ψሺx, tሻ 2 mật độ xác suất tìm thấy hạt tại x (1.27) Nếu hạt có điện tích q thì mật độ điện tử của hạt là: qψሺx, tሻ 2 (1.28) Hay điện tử trong khu vực dx xung quanh x là: qψሺx, tሻ 2 dx (1.29) Nếu điện tích được giới hạn trong một số thể tích, với tổng số điện tích là q thì ta có phương trình mật độ điện tích của hạt là: qψሺx, tሻ 2 =ρሺxሻ (1.30) Với ρሺxሻ là mật độ điện tích. Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.30) theo dx ta được: ρሺxሻdx = q ψሺx, tሻ 2 dx = q (1.31) Loại bỏ các điện tích q từ phương trình trên ta được: ψሺx, tሻ 2 dx=1 (1.32) Đây là điều kiện tiêu chuẩn để chuẩn hóa hàm sóng. Không phải tất cả các hàm sóng đều được chuẩn hóa theo cách này. Ví dụ đối với các điện tử tự do, tích phân trên mọi không gian sẽ phân kỳ. Trong trường hợp này, người ta chỉ nói đến xác suất tương đối. Trong thực tế, chúng ta có thể bắt đầu với các điện tử trong một không gian hữu hạn và cho phép không gian đi đến vô cực ở cuối của phép tính. Chuẩn hóa cho kích thước vật lý của hàm sóng. Hàm sóng ϕn (x) = Ansinሺ ୬୶ ୟ ሻ và điều kiện chuẩn hóa là: A ୬ ୟ 2 sin2 ୬୶ ୟ dx = 1 ⇔ ଵ ଶ A ୬ ୟ 2 ቀ1 െ cos ଶ୬୶ ୟ ቁ dx = 1 ⇔ ଵ ଶ A ୬ 2x ୟ = 1 12 ⇔An = ට ଶ ୟ (1.33) Do đó, hàm sóng chuẩn hóa, nếu A n có giá trị thực thì: ϕn (x) = ට ଶ ୟ sinሺ ୬୶ ୟ ሻ (1.34) Chuẩn hóa cho kích thước hàm sóng (chiều dài)-12 trong một chiều. Điều này là hữu ích để kiểm tra. Một hàm sóng phẳng như ϕk (x) = Ae ikx trong một thể tích vô hạn có thể được chuẩn hóa theo cách khác. Mật độ ϕ୩ ሺxሻ 2 = A2 , có thể được thiết lập mật độ của các hạt. Bây giờ chúng ta có một mật độ điện tích, cần có mật độ dòng J (hay chỉ là dòng một chiều) liên kết với nó. Phương trình liên tục với mật độ dòng một chiều là: ப ப୶+ ப ப୶= 0 (1.35) Trong không gian ba chiều ப ப୶ trở thành divJ. Để xây dựng mật độ dòng điện, bắt đầu với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: െ మ ଶ୫ ப మ ப୶మ ψሺx, tሻ Vሺx, tሻ. ψሺx, tሻ ൌ i. ப ப୲ ψሺx, tሻ (1.36) Nhân về bên trái cả hai vế của phương trình (1.36) với liên hợp phức của hàm sóng ψ , ta được: െ మ ଶ୫ ψ ∗ ப మ ப୶మ ψ ψ∗ V. ψ ൌ iψ ∗ . ப ப୲ ψ (1.37) Có được một phương trình thứ hai sẽ trở lại phương trình Schrodinger, lấy liên hợp phức của nó rồi nhân về bên trái cả hai vế với ψ, ta được: െ మ ଶ୫ ψ ப మ ப୶మ ψ ∗ ψV ∗ . ψ∗ ൌ െiψ. ப ப୲ ψ ∗ (1.38) Lấy phương trình (1.37) trừ phương trình (1.38) ta được: െ మ ଶ୫ ሺψ ∗ ப మ ப୶మ ψ െ ψ ப మ ப୶మ ψ ∗ ሻ ൌ i. ப ப୲ ψ2 (1.39) Ta có: ப ப୶ (ψ ப ப୶ ψ) =( பந∗ ப୶ ) ሺ பந ப୶ ሻ + ψ ப మ ப୶ మ ψ (1.40) ப ப୶ (ψ ப ப୶ ψ ) =( பந∗ ப୶ ) ሺ பந ப୶ ሻ + ψ ப మ ப୶మψ (1.41) 13 Thay (1.40) và (1.41) vào (1.39), ta được: െ మ ଶ୫ ப ப୶ ሺψ ∗ ப ப୶ ψ െ ψ ப ப୶ ψ ∗ ሻ ൌ i. ப ப୲ ψ2 (1.42) Cuối cùng di chuyển các yếu tố của i bên trái và nhân với q lần lượt mật độ xác suất vào mật độ điện tử cho: - ப ப୶ ቂ ୯ ଶ୧୫ ሺψ∗ ப ப୶ ψ െ ψ ப ப୶ ψ ∗ ሻቃ= ப ப୲(qψሺx, tሻ2 ) = ப ப୲ (1.43) So sánh điều này với phương trình liên tục (1.35) cho thấy mật độ dòng điện được cho bởi: J(x,t) = ୯ ଶ୧୫ ሺψ ∗ ப ப୶ ψ െ ψ ப ப୶ ψ ∗ ሻ (1.44) 1.2.5. Toán tử và các phép đo Theo tiên đề về hàm sóng của cơ học lượng tử: “Trạng thái của một hạt (hoặc một hệ hạt) ở tại một thời điểm t được biểu diễn bởi một hàm sóng ψ(ݎԦ ,t)”. Trong không gian một chiều, vị trí, xung lượng và năng lượng toàn phần có thể được biểu diễn bằng các toán tử trên ψ(x,t): x → xො = x (1.45) p → pො = - i ப ப୲ (1.46) E → E = i ப ப୲ (1.47) Một tính năng quan trọng là xung lượng ̂ xuất hiện như một đạo hàm không gian. Những toán tử phức tạp hơn có thể được xây dựng từ các thành phần này. Ví dụ, hàm Hamiltonian H = ୮ మ ଶ୫ + V(x) cho năng lượng toàn phần của hạt cổ điển, năng lượng đã từng được nghiên cứu. Nó trở thành một toán tử Hamiltonian ܪ trong cơ học lượng tử được cho bởi: H = H(xො, pො) = - మ ଶ୫ ப మ ப୶ మ + V(x) (1.48) Đặt thành phương trình tác dụng của toán tử này với toán tử năng lượng cho Hψ = Eψ, hay: ቂെ మ ଶ୫ ப మ ப୶మ Vሺxሻቃψ(x,t) = i ப ப୲ ψ(x,t) (1.49) Chúng ta trở lại phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian (1.6). 14 Vậy, phương trình Schrodinger được viết ngắn gọn H ψ = Eψ, với E là một số, không phải toán tử. Tương tự như phương trình ma trận có một giá trị riêng: có một toán tử tác dụng lên một hàm sóng trên một mặt và nhân với một hằng số khác. Những ý tưởng để xây dựng vecto riêng và giá trị riêng cho các toán tử khác nhau như đối với ma trận, và cách sử dụng các thuật ngữ tương tự. Với ψ được gọi là hàm riêng hay trạng thái riêng và E là giá trị riêng tương ứng của H . Mật độ dòng điện có thể được viết lại dưới dạng toán tử xung lượng, cho J(x,t) = ୯ ଶ ቂψ ∗ ቀ ୮ ෝ ୫ ψቁ ቀ ୮ ෝ ୫ ψቁ ∗ ψቃ (1.50) Điều này cho thấy dòng điện có liên quan đến vận tốc ୮ ୫ . Tác dụng của toán tử xung lượng lên hàm sóng phẳng ψ(x) = Aexp(ikx), ta được: pොψ = (- i ୢୢ ୶ ) (Ae ikx ) = kAe ikx = (k)ψ (1.51) Phương trình trên trở thành phương trình giá trị riêng. Nghĩa là xung lượng có giá trị xác định p = k, tương tự kết quả được suy ra từ cơ học cổ điển. Cần thêm một tiên đề của cơ học lượng tử là trạng thái mà các giá trị duy nhất có thể quan sát của đại lượng vật lý là những giá trị riêng của toán tử tương ứng của nó. Nếu hàm sóng là một hàm riêng của toán tử này, như một sóng phẳng và động lượng có thể có một giá trị xác định. Nói chung đây không phải là một trường hợp. Xét tác dụng của toán tử xung lượng lên một hạt trong một không gian hữu hạn: pොɸ୬(x) = - i ୢୢ ୶ A nsin ୬୶ ୟ = ି ୧୬ ୟ cos ୬୶ ୟ (1.52) Các hàm sóng này không phải là hàm riêng của ̂ , do đó không có giá trị xung lượng nhất định. Các phép đo của xung lượng sẽ mạng lại một loạt các giá trị mà chúng ta có thể mô tả về một giá trị trung bình (không có ở đây) và phổ biến. Lấy một đạo hàm khác ta thấy rằng ɸ(x) là hàm riêng của pො ଶ . Do đó, nó có một giá trị xác định năng lượng động lực, có toán tử T= ୮ෝ మ ଶ୫. 1.2.6. Các đặc tính toán học của trạng thái riêng Các hàm sóng trong các giếng thế vô hạn cũng có thể được chuẩn hóa. Giả 15 sử giếng thế hữu hạn, chúng ta có thể bỏ qua những vấn đề đặt ra bởi sóng phẳng và các sóng tương tự. Trạng thái riêng (hàm sóng) của Hamiltonian là ɸ (x) tương ứng giá trị riêng (năng lượng) và chuẫn hóa mỗi trạng thái như sau: ɸ୬ ሺxሻ 2 dx = 1 (1.53) Trong đó, hạt di chuyển trong không gian 0 < x < a. Trạng thái riêng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao, nghĩa là: ɸ ୫ ∗ ሺxሻɸ୬ ሺxሻdx = 0 nếu εm് ε n (1.54) Các trạng thái khác nhau với một giá trị riêng được cho là suy biến. Trong trường hợp này có thể lựa chọn trạng thái riêng để chúng là trực giao khi m ് n dù εm= εn ɸ ୫ ∗ ሺxሻɸ୬ ሺxሻdx = δm,n (1.55) Delta Kronecker được định nghĩa δm,n = 1 nếu m = n và δm,n = 0 nếu m ് n. Giả sử ɸ trực giao, giống như trạng thái giếng lượng tử (1.29). Nó có thể biểu diễn các trạng thái riêng thành một tập hợp hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là: ψ(x) = ∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻ (1.56) Với a n là hệ số chuẩn hóa hàm sóng. Nhân cả hai vế phương trình (1.56) với ɸ ୫ ∗ ሺxሻ sau đó lấy tích phân, ta được: ɸ ୫ ∗ ሺxሻψ(x)dx = ɸ ୫ ∗ ሺxሻ ∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻdx ɸ ⇔ ୫ ∗ ሺxሻψ(x)dx = ∑ a ஶ ୬ୀଵ n ɸ ୫ ∗ ሺxሻ ɸ୬ ሺxሻdx (1.57) Từ điều kiện chuẩn hóa (1.55) tất cả các điều kiện đều bằng 0, trừ trường hợp m = n, ta được: a m =ɸ ୫ ∗ ሺxሻψ(x)dx (1.58) Thay thế hệ số từ phương trình (1.58) vào (1.56), ta được: ∑ ɸ୬ ሺxሻɸ ୬ ∗ ሺx′ሻ ஶ ୬ୀଵ = δ(x – x’) (1.59) Việc tìm hàm sóng ψ(x, t) bao giờ cũng được suy ra từ trạng thái ban đầu ψ(x, t=0). Với ψ(x, t=0) dựa vào trạng thái riêng của phương trình Schrodinger độc lập thời gian ɸ ሺxሻ : 16 ψ(x, t=0) =∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻ (1.60) Chúng ta biết rằng mỗi trạng thái riêng là ɸ ሺxሻexp(- ୧க ୲ ) và do đó, trạng thái ψ(x, t) là: ψ(x, t) =∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻ exp(- ୧க ୲ ) (1.61) Với εn là năng lượng riêng tương ứng. 1.3. MÔ TẢ CÁC HỆ THẤP CHIỀU 1.3.1. Hệ ba chiều (vật liệu khối) Xét một vật rắn ba chiều có kích thước Lx , L y , L z chứa N electron tự do. “Tự do” ở đây được hiểu là các electron này không định xứ, nghĩa là không liên kết với một nguyên tử riêng biệt. Ta giả thuyết, trong gần đúng bậc một, tương tác giữa các electron, cũng như tương tác giữa electron với trường thế tinh thể có thể bỏ qua. Hệ hạt electron như vậy được gọi là “khí electron tự do”. Trong mô hình này, chuyển động của các electron được mô tả bằng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng có bước sóng ߣ rất nhỏ hơn kích thước của vật rắn. Phép tính trạng thái năng lượng đối với tinh thể khối dựa trên giả thuyết về điều kiện biên tuần hoàn. (Điều kiện biên tuần hoàn là một thủ thuật toán học để mô tả vật rắn vô hạn (L → ∞ )). Theo giả thuyết này, các điều kiện tại các mặt biên đối diện nhau của vật rắn là hoàn toàn giống nhau. Như vậy, các electron ở gần mặt biên sẽ không “cảm nhận” thấy mặt biên. Nói cách khác, các electron ở gần mặt biên sẽ không chịu ảnh hưởng của mặt này, do đó, các electron ở trên mặt biên sẽ thể hiện tính chất giống hệt như khi chúng ở trong lòng khối vật rắn, nghĩa là hàm sóng của electron phải thỏa mãn điều kiện 6: ψ(x, y,z) = ψ(x +Lx , y, z) ψ(x, y, z) = ψ(x, y + Ly , z) (1.62) ψ(x, y,z) = ψ(x , y, z + L z ) Nghiệm của phương trình Schrodinger với điều kiện biên như thế sẽ là tích của ba hàm sóng độc lập: ψ(x, y,z) = ψ(x) ψ(y) ψ(z) = A.exp(ik x x). exp(ik y y). exp(ikzz) (1.63) Mỗi hàm sóng mô tả một electron tự do chuyển động dọc theo một trục 17 tọa độ Decac, với các thành phần của vecto sóng kx,y,z = േn∆k = േn2πL x,y,z trong đó n là số nguyên. Các nghiệm này là các sóng truyền theo hướng dương và hướng âm, tương ứng kx,y,z > 0 và kx,y,z < 0. Như vậy, mỗi trạng thái electron với các vecto sóng (k x, ky , kz )có thể được biểu diễn bằng một điểm trong không gian đảo k; các điểm này cũng được phân bố một cách tuần hoàn trong không gian k. Một hệ quả quan trọng của điều kiện biên tuần hoàn là tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k đều được phân bố (electron) như nhau, nghĩa là mỗi trạng thái (k x , ky , kz ) = (േnx∆k, േny∆k, േnz∆k) với nx,y,z là các số nguyên, đều có thể bị chiếm bởi hai electron (ms = േ ଵ ଶ ). Ở nhiệt độ 0K, tất cả các trạng thái có năng lượng E EF (EF là mức Ferme) đều bị chiếm, trong khi đó, tất cả các trạng thái có năng lượng E > EF đều trống. Trong không gian݇ ሬԦ, mặt Fermi là mặt cầu bán kính kF . Vì vecto sóng của hai trạng thái liền kề khác nhau một lượng ∆k = 2π Lx,y,z nên trong vật rắn khối có kích thước Lx,y,z lớn, ∆ k rất nhỏ. Khi đó, các trạng thái bên trong mặt cầu được phân bố gần như liên tục, như vậy, số các trạng thái bên trong mặt cầu sẽ tỉ lệ với k3 . Mặt khác, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào k theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục. Đối với khí electron tự do trong vật rắn ba chiều, mật độ trạng thái tỷ lệ với căn bậc hai của năng lượng: g3d (E) ~√E (1.64) 1.3.2. Hệ hai chiều (giếng lượng tử) Ta khảo sát một vật rắn có kích thước rất lớn theo các phương x và y, nhưng kích thước (chiều dày) của nó theo phương z (Lz ) chỉ vào cỡ vài nanomet. Như vậy, các electron có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng x-y, nhưng chuyển động của chúng theo phương z sẽ bị giới hạn. Hệ như thế tạo thành hệ electron hai chiều. Khi kích thước của vật rắn theo phương z giảm xuống vào vỡ nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn với bước sóng De Broglie của hạt tải điện), thì hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt chuyển động trong giếng thế V(z), với V(z) = 0 bên trong giếng và 18 V(z) = ∞ tại các mặt biên z = േ ଶ . Vì không một electron nào có thể ra khỏi vật rắn theo phương z, nên có thể nói electron bị giam trong giếng thế. Nghiệm của phương trình Schrodinger đối với electron trong giếng thế V(z) là các sóng dừng bị giam trong giếng thế. Như vậy, năng lượng ứng với hai hàm sóng riêng biệt, nói chung, là khác nhau và không liên tuc. Điều đó có nghĩa là năng lượng của hạt không thể nhận năng lượng tùy ý, mà chỉ nhận các giá trị gián đoạn. Năng lượng của hạt là: E nz = మ ୩ మ ଶ୫ = ୦మ ୩ మ଼ మ ୫ (1.65) Nếu thay kz = nz ∆kz với ∆kz = , ta được: Enz = ୦మ ୬ మ଼ ୫ మ (1.66) với nz = 1, 2, 3, … Như đã nêu ở trên, các electron vẫn có thể chuyển động tự do dọc theo các phương x và y, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào kx , ky theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục. Trong khi đó, chuyển động của các electron theo phương z bị giới hạn, các electron bị giam giữ trong “hộp”. Chỉ có một số nhất định các trạng thái lượng tử hóa theo phương z (nz = 1, 2,…) là được phép. Như vậy, trong không gian k ba chiều, phân bố các trạng thái được mô tả như một dãy các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa các trục kx và ky , khoảng cách gilữa hai mặt phẳng là ∆kz . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ứng với hai giá trị kz liên tiếp là rất lớn (vì Lz rất nhỏ nên ∆kz = ≫ 0). Vì trong không gian k số trạng thái trong một mặt phẳng tỉ lệ với diện tích của mặt phẳng, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk bằng số trạng thái của một hình vành khăn có bán kính k và chiều rộng dk sẽ tỉ lệ với k.dk: g2d(k)dk ~ kdk (1.67) với g2d (k) là mật độ trạng thái trong không gian k. Từ (1.67) suy ra: g2d(k) ~ k (1.68) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E 19 và E + dE. g2d(E)dE = g2d(k)dk = k ୢ ୩ୢ dE (1.69) g2d(E) = k ୢ ୩ୢ (1.70) Vì E(k) ~ k2 nên k ~ E 12 và ୢ ୩ୢ ~ E 12 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng có dạng: g2d(E) = k ୢ ୩ୢ ~ E 12 .E-12~ 1 (1.71) Như vậy, mật độ trạng thái trong vật rắn hai chiều rất khác nhau với trường hợp ba chiều, trong vật rắn hai chiều mật độ trạng thái đối với một trạng thái kz cho trước không phụ thuộc vào năng lượng và có dạng hàm bậc thang. 1.3.3. Hệ một chiều (sợi hoặc dây lượng tử) Xét trường hợp kích thước của vật rắn theo phương y cũng co lại còn vài nanomet. Khi đó, electron chỉ chuyển động tự do theo phương x, còn chuyển động của chúng theo phương y và z bị giới hạn bởi các mặt biên của vật. Một hệ như thế gọi là dây lượng tử hay hệ electron một chiều (nếu hạt tải điện là electron). Trong hệ này, các hạt tải điện có thể chuyển động chỉ theo một chiều và chiếm các trạng thái lượng tử hóa ở hai chiều còn lại. Trong hệ này, phân bố các trạng thái cũng như phân bố các mức năng lượng tương ứng, theo phương song song với trục kx và liên tục (∆kx→ 0). Trong khi đó, chuyển động của các electron dọc theo phương còn lại (phương y và z) bị giới hạn và các trạng thái của chúng có thể tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger sử dụng mô hình “hạt trong hộp thế”. Kết quả là các trạng thái ky, k z bị lượng tử hóa, nhận các giá trị gián đoạn. Có thể hình dung tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k được phân bố trên các đường thẳng song song với trục kx . Các đường thẳng này cách nhau những khoảng gián đoạn tỷ lệ với ∆ky và ∆kz. Vì trên mỗi đường thẳng phân bố các trạng thái kx là liên tục, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk sẽ tỉ lệ với chiều dài dk trên đường thẳng: g1d (k)dk ~ dk (1.72) với g1d(k) là mật độ trạng thái trong không gian k . Từ (1.72) suy ra: 20 g1d (k) ~ 1 (1.73) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E và E + dE: g1d (E)dE = g1d (k)dk ~ୢ ୩ୢ dE (1.74) g1d (E) ~ୢ ୩ୢ (1.75) Vì E(k) ~ k2 nên k ~ E 12 và ୢ ୩ୢ ~ E -12 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng g1d (E) có dạng: g1d (E) ~ୢ ୩ୢ ~ E -12 (1.76) Từ biểu thức (1.76), ta nhận thấy rằng mật độ trạng thái trong một đường thẳng dọc theo trục kx phụ thuộc vào năng lượng theo hàm E -12 . 1.3.4. Hệ không chiều (chấm lượng tử) Giả sử ta có chấm lượng tử có kích thước Lx , L y , L z . Hàm sóng của hạt ψ(x, y,z) là nghiệm của phương trình Schrodinger 1. - మ ଶ୫ ∆ψ(x, y,z) + V(x, y, z) ψ(x, y,z) = E ψ(x, y,z) (1.77) Hàm sóng ψ(x, y,z) được phân ly thành: ψ(x, y,z) =ܺ ೣ (x).ܻ (y).ܼ (z) Có nghĩa là phương trình (1.77) phụ thuộc độc lập vào từng biến x, y, z và có nghiệm: ψ(x, y,z) = ට ଶ ౮ . sin ୬ ౮ ୶ ౮ ൨.ቈට ଶ ౯ . sin ୬౯ ୷ ౯ .ට ଶ . sin ୬ ൨ (1.78) Với ݊ ௫ ൌ 1, 2, 3, …݊ ௬ ൌ 1, 2, 3, …݊ ௭ ൌ 1, 2, 3, … m: khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn theo phương x, y, z. Khi các hạt tải điện và các trạng thái kích thích bị giam giữ trong cả ba chiều thì hệ này được gọi là một “chấm lượng tử ”. Trong một chấm lượng tử, chuyển động của các electron bị giới hạn trong cả ba chiều, vì thế trong không gian k chỉ tồn tại các trạng thái gián đoạn (k x, ky, kz ). Mỗi một trạng thái trong không gian k có thể được biểu diễn bằng một điểm. Như vậy, chỉ có các mức 21 năng lượng gián đoạn là được cho phép. Các mức năng lượng này có thể được biểu diễn như ở đỉnh ߜ (delta) trong hàm phân bố một chiều đối với mật độ trạng thái g0d (E) 6. Như chúng ta đã thấy, các vùng năng lượng hội tụ về các mức năng lượng giống như trong nguyên tử. Sự biến đổi này đặc biệt lớn tại các bờ vùng năng lượng, do đó ảnh hưởng đến các chất bán dẫn nhiều hơn đến các kim loại. Trong các chất bán dẫn, các tính chất electron trên thực tế liên quan mật thiết với các chuyển dời giữa bờ vùng hóa trị với bờ vùng dẫn điện. Ngoài tính chất gián đoạn của các mức năng lượng, còn cần phải nhấn mạnh đến sự tồn tại của mức nă ng lượng điểm không (zero – point energy). Trong chấm lượng tử, ngay cả trong trạng thái cơ bản, các electron cũng có năng lượng lớn hơn năng lượng của các electron tại bờ vùng dẫn trong vật liệu khối. Khi một electron từ vùng hóa trị bị kích thích lên vùng dẫn, thì tập hợp các electron trong vùng hóa trị với một trạng thái electron bị trống được coi tương đương với một hạt tải điện dương gọi là lỗ trống. Khoảng cách giữa vùng dẫn và vùng hóa trị được gọi là vùng cấm. Trong chấm lượng tử, các hạt tải điện bị giam giữ trong cả ba chiều và hệ này có thể được mô tả như một biến thế ba chiều vô hạn, thế năng bằng 0 tại mọi nơi bên trong giếng thế, nhưng bằng vô cùng tại các thành của giếng. Chúng ta gọi giếng thế này là “hộp thế”. Dạng đơn giản nhất của hộp thế ba chiều có thể là một hình cầu hay một hình lập phương. Nếu hộp thế có dạng hình lập phương cạnh L, thì phương trình Schrodinger đối với một trong ba bậc tự do tịnh tiến có thể giải một cách độc lập với nhau và khi đó năng lượng điểm không toàn phần sẽ đơn giản bằng tổng năng lượng điểm không ứng với từng bậc tự do 6: Ew,3d(c) = 3Ew,1d = ଷ୦ మ଼ ୫ మ (1.79) Nếu hộp thế có dạng hình cầu đường kính L, thì phương trình Schrodinger có thể giải bằng cách sử dụng tọa độ cầu và tách phương trình thành hai phần, đó là phần xuyên tâm và phần chứa xung lượng. Khi đó, mức năng lượng thấp nhất (ứng với xung lượng bằng 0) bằng 6: Ew,3d(s) = ୦ మ ଶ୫మ (1.80) 22 Một cặp điện tử - lỗ trống liên kết (exciton) có thể được tạo ra trong lượng tử bằng quá trình kích thích quang học hoặc quá trình tiêm hạt tải điện. Năng lượng tối thiểu E g cần thiết để tạo ra một cặp electron – lỗ trống trong một chấm lượng tử hình thành từ một số đóng góp. Đóng góp thứ nhất là năng lượng cần thiết để vượt qua vùng cấm của vật liệu khối Eg (b). Đóng góp quan trọng khác là năng lượng giam giữ các hạt tải điện (electron và lỗ trống): Ew = Ew (e- ) + E w (h+ ) Năng lượng giam giữ toàn phần đối với một exciton trong một chấm lượng tử hình cầu – năng lượng thấp nhất hay là năng lượng điểm không trong giếng thế: Ew = ୦ మ ଶ୫ మ (1.81) Trong đó m là khối lượng rút gọn của exciton, được tính bằng biểu thức: ଵ ୫ = ଵ ୫ + ଵ ୫ Với me, mh là khối lượng hiệu dụng của electron và lỗ trống. Các cấu trúc thấp chiều có nhiều tích chất mới lạ so với cấu trúc thông thường, cả về tính chất quang, điện cũng như mật độ trạng thái. Hình 1.3. Mật độ trạng thái theo năng lượng trong các hệ lượng tử với số chiều khác nhau: a. Hệ ba chiều (bán dẫn khối); b. Hệ hai chiều (giếng lượng tử);c. Hệ một chiều (dây lượng tử); d. Hệ không chiều (chấm lượng tử). 23 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Chương này trình bày về cơ sở vật lý hệ th...
NỘI DUNG
1.1 KHÁI NIỆM HỆ THẤP CHIỀU
Cấu trúc thấp chiều hình thành khi ta hạn chế không gian thành một mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là ta hạn chế chuyển động của các điện tử theo ít nhất là một hướng trong phạm vi khoảng cách cỡ bước sóng de Broglie của nó (cỡ nm)
Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của vật rắn giảm xuống một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều, các tính chất vật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang có thể thay đổi một cách đột ngột Các tính chất của nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình dạng và kích thước cỡ nanomét của chúng Sự giảm kích thước xuống cỡ nanomét xảy ra hiệu ứng giam giữ lượng tử mà ở đó các trạng thái điện tử cũng như các trạng thái dao động trong hạt nano bị lượng tử hoá Các trạng thái bị lượng tử hoá trong cấu trúc nano sẽ quyết định tính chất điện và quang nói riêng, tính chất hoá học nói chung của cấu trúc đó
Trong những thập kỷ qua, bước tiến nổi bật trong việc xây dựng cấu trúc hệ thấp chiều là tạo ra khả năng hạn chế số chiều hiệu dụng của các vật liệu khối
Từ vật liệu khối ba chiều thành vật liệu có cấu trúc hai chiều như giếng lượng tử (quantum well (QW)), người ta tạo một lớp bán dẫn mỏng, phẳng, nằm kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn Các điện tử bị giam trong lớp mỏng ở giữa (cỡ vài lớp đơn tinh thể) và như vậy, chuyển động của chúng là chuyển động tự do trên mặt phẳng hai chiều, còn sự chuyển động theo chiều thứ ba đã bị lượng tử hóa mạnh Tiếp tục giảm số chiều như vậy, ta có thể thu được cấu trúc một chiều như dây lượng tử (quantum wires (QWs)) và thậm chí là cấu trúc không chiều như chấm lượng tử (quantum dots (QD)) [4].
CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU
KHÁI NIỆM HỆ THẤP CHIỀU
Cấu trúc thấp chiều hình thành khi ta hạn chế không gian thành một mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là ta hạn chế chuyển động của các điện tử theo ít nhất là một hướng trong phạm vi khoảng cách cỡ bước sóng de Broglie của nó (cỡ nm)
Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của vật rắn giảm xuống một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều, các tính chất vật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang có thể thay đổi một cách đột ngột Các tính chất của nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình dạng và kích thước cỡ nanomét của chúng Sự giảm kích thước xuống cỡ nanomét xảy ra hiệu ứng giam giữ lượng tử mà ở đó các trạng thái điện tử cũng như các trạng thái dao động trong hạt nano bị lượng tử hoá Các trạng thái bị lượng tử hoá trong cấu trúc nano sẽ quyết định tính chất điện và quang nói riêng, tính chất hoá học nói chung của cấu trúc đó
Trong những thập kỷ qua, bước tiến nổi bật trong việc xây dựng cấu trúc hệ thấp chiều là tạo ra khả năng hạn chế số chiều hiệu dụng của các vật liệu khối
Từ vật liệu khối ba chiều thành vật liệu có cấu trúc hai chiều như giếng lượng tử (quantum well (QW)), người ta tạo một lớp bán dẫn mỏng, phẳng, nằm kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn Các điện tử bị giam trong lớp mỏng ở giữa (cỡ vài lớp đơn tinh thể) và như vậy, chuyển động của chúng là chuyển động tự do trên mặt phẳng hai chiều, còn sự chuyển động theo chiều thứ ba đã bị lượng tử hóa mạnh Tiếp tục giảm số chiều như vậy, ta có thể thu được cấu trúc một chiều như dây lượng tử (quantum wires (QWs)) và thậm chí là cấu trúc không chiều như chấm lượng tử (quantum dots (QD)) [4]
Hình 1.1.Hình ảnh giếng lượng tử GaAs, ống nanô Cacbon và chấm lượng tử
PbSe Để đặc trưng cho các hệ thấp chiều, người ta đưa ra các thông số như:
Trong đó : vectơ sóng Fecmi
Hệ thức giữa vectơ sóng Fecmi và mật độ điện tử n: khi d = 3, n = khi d = 2, (1.2) khi d = 1,
Với d là số chiều khả dĩ của hệ, hệ số 2 chính là số trạng khả dĩ của spin
Quãng đường tự do trung bình ( ):
Quãng đường tự do trung bình là khoảng cách trung bình mà điện tử dịch chuyển trước khi trạng thái ban đầu bị thay đổi
Khi ở nhiệt độ thấp, các điện tử có vectơ sóng gần với vectơ sóng Fecmi, do đó quãng đường tự do trung bình sẽ là:
= (1.3) trong đó: = là vận tốc Fecmi là thời gian hồi chuyển năng lượng
Độ dài kết hợp pha ( :
Thời gian kết hợp pha ( là thời gian điện tử còn lưu ký ức về pha
+ Khi ≫Tm: thường gặp ở các bán dẫn có độ linh động thấp hay các đa tinh thể, độ dài kết hợp pha được xác định bởi công thức:
= D (1.4) với D là hệ số khuyếch tán
+ Khi Tm: thường gặp ở các bán dẫn có độ linh động cao Độ dài kết hợp pha ( ) được xác định bởi công thức sau:
Một hệ có kích thước nhỏ hơn một hoặc cả ba độ dài đặc trưng này được gọi là hệ thấp chiều (mesoscopic) Tỷ đối giữa , , là phụ thuộc vào loại vật liệu, các kích thước này cỡ nanomet (ở giữa kích thước microcopic và marcoscopic) Năng lượng đặc trưng của hệ tính theo đơn vị mili-electron Volt (meV), thời gian đặc trưng tính theo đơn vị picro-giây (ps).
CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU
1.2.1 Ph ươ ng trình Schrodinger
Xét chuyển động của hạt, ví dụ như electron, chuyển động trong một chiều đơn giản Theo định luật Newton ta có phương trình sóng chi phối sự tiến triển của ψ(x,t) Trong một chiều, phương trình sóng có dạng: ψ x, t V x ψ x, t i ψ x, t (1.6) Đó là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian Phương trình này mô tả một hạt chuyển động trong một khu vực có năng lượng tiềm tàng V(x) khác nhau Năng lượng tiềm tàng có thể phát sinh từ một điện trường được thể hiện như một thế vô hướng, nhưng với từ trường phức tạp hơn Đơn giản hóa phương trình ψ(x,t), tách phương trình thành hai phần, phụ thuộc độc lập vào x và t Suy ra phương trình: ψ(x,t) = ψ(x).T(t) Sử dụng ψ độc lập với thời gian Thay các giá trị vào (1.6) và chia cho ψ(x).T(t) ta được: i ψ ψ V x ψ x (1.7)
Vế trái của phương trình (1.7) là hàm theo t, vế phải là hàm theo x Hai vế bằng nhau và bằng E với E liên tục Vế trái của phương trình (1.7) là: i = E
⇔ln[T(t)] ⇔T(t) = exp( ) = exp(-i (1.8) với E = Đây là phương trình biến thiên điều hòa theo thời gian
Chúng ta không thể lựa chọn theo hàm mũ phức tạp Nó không thể thay thế bởi sin hoặc cosin, cũng không thể chấp nhận là exp(i ) Dạng của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là exp(-i và được quy ước trong cơ học lượng tử Nó độc lập với các phạm vi khác của vật lý, nơi mà exp(+i có thể sử dụng trong các dao động phụ thuộc thời gian hoặc kỹ thuật, nơi mà exp(+i là bình thường Sự lựa chọn này có ảnh hưởng sâu rộng
Vế phải của phương trình (1.7) là:
⇔ ψ V x ψ x E ψ x (1.9) Đây là phương trình Schrodinger độc lập thời gian trong một chiều Phương trình có dạng trong ba chiều với thay thế bởi
Do đó, nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian có dạng: ψ(x,t) = ψ(x) exp( (1.11) Vậy, nghiệm của phương trinh Schrodinger độc lập thời gian mô tả trạng thái của hạt với năng lượng xác định, liên tục
Xét một hạt tự do trong không gian V(x) = 0 với mọi x Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là:
= E ψ(x) (1.12) Đây là phương trình sóng tiêu chuẩn đơn giản và chúng ta có thể đoán được phương pháp giải Lựa chọn hàm sóng phẳng ψ(x) = exp(- ikx) thay vào (1.12) ta được:
* E 0 nếu k là một số thực
* E < 0 nếu k → ik là một số ảo
Theo cơ học cổ điển động năng là: E = Vì vậy, xung lượng p = k
Kết hợp điều này với các mối quan hệ giữa năng lượng và tần số mang lại hai mối quan hệ trung tâm của lý thuyết cũ:
Và p = k = (De Broglie) (1.15) Chia năng lượng bởi h cung cấp cho các mối quan hệ phân tán giữa tần số và số sóng là ω = k 2 , điều này là phi tuyến tính, có nghĩa rằng vận tốc của sóng hạt là một hàm của tần số và phải được xác định kỹ lưỡng Hai định nghĩa tiêu chuẩn là:
Vận tốc nhóm: vg = = = = vcl (1.17) Với vcl là vận tốc cổ điển
Hình 1.2 Một gói sóng bên ngoài di chuyển với vận tốc nhóm vg, bên trong di chuyển với vận tốc pha vph.
Hình 1.2 cho thấy tầm quan trọng của hai vận tốc Các sóng bên trong di chuyển dọc theo với vận tốc pha vph trong khi các vận tốc nhóm vg di chuyển bao quanh
Nếu sóng này đại diện cho một hạt như electron chúng ta thường quan tâm đến hành vi của hàm sóng như một toàn bộ chứ không phải chuyển động nội bộ của chúng Vận tốc nhóm là kết quả thích hợp và gần giống với kết quả của vận tốc cổ điển Ngay cả khi nếu chúng ta sử dụng sóng để đại diện cho một electron, nó vẫn lan truyền trong không gian chứ không cô lập giới hạn như trong cơ học cổ điển Điều này không thể tránh khỏi trong hình ảnh dựa trên sóng, nghĩa là không thể cung cấp vị trí các hạt một cách chính xác
1.2.3 H ạ t chuy ể n độ ng trong gi ế ng th ế
Xét hạt chuyển động trong giếng thế sâu vô hạn một chiều
Thế năng của hệ là:
Phương trình Schrodinger dừng một chiều:
Phương trình (1.19) trở thành: ψ''(x) + k 2 ψ(x) = 0 (1.21) Nghiệm tổng quát ψ(x) có dạng: ψ(x) = C1 cos kx + C2 sin kx (1.22) Điều kiện biên: ψ 0 0 ψ a 0 (1.23)
⇒ 0 sin 0 (1.24) Để nghiệm không tầm thường, ψ(x) 0→ C2 0
⇒ψ(x) = C2 sin kx Chuẩn hóa hàm sóng ψ(x) = C2 sin kx, ta được: ψ(x) = sin kx
Từ (1.20) và (1.25), suy ra năng lượng của hạt:
E = n 2 (1.26) Với n = 1,2,3,…; m là khối lượng của hạt; a là độ rộng của giếng thế
Phương trình Schrodinger mang hàm sóng ψ(x,t)
Xác định vị trí của hạt, ta có phương trình modulus của hàm sóng:
|ψ x, t | 2 mật độ xác suất tìm thấy hạt tại x (1.27) Nếu hạt có điện tích q thì mật độ điện tử của hạt là: q|ψ x, t | 2 (1.28)
Hay điện tử trong khu vực dx xung quanh x là: q|ψ x, t | 2 dx (1.29)
Nếu điện tích được giới hạn trong một số thể tích, với tổng số điện tích là q thì ta có phương trình mật độ điện tích của hạt là: q|ψ x, t | 2 =ρ x (1.30) Với ρ x là mật độ điện tích
Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.30) theo dx ta được: ρ x dx = q |ψ x, t | 2 dx = q (1.31) Loại bỏ các điện tích q từ phương trình trên ta được:
|ψ x, t | 2 dx=1 (1.32) Đây là điều kiện tiêu chuẩn để chuẩn hóa hàm sóng
Không phải tất cả các hàm sóng đều được chuẩn hóa theo cách này Ví dụ đối với các điện tử tự do, tích phân trên mọi không gian sẽ phân kỳ Trong trường hợp này, người ta chỉ nói đến xác suất tương đối Trong thực tế, chúng ta có thể bắt đầu với các điện tử trong một không gian hữu hạn và cho phép không gian đi đến vô cực ở cuối của phép tính
Chuẩn hóa cho kích thước vật lý của hàm sóng Hàm sóng ϕn(x) = Ansin và điều kiện chuẩn hóa là:
Do đó, hàm sóng chuẩn hóa, nếu Ancó giá trị thực thì: ϕn(x) = sin (1.34)
Chuẩn hóa cho kích thước hàm sóng (chiều dài) -1/2 trong một chiều Điều này là hữu ích để kiểm tra
Một hàm sóng phẳng như ϕk(x) = Ae ikx trong một thể tích vô hạn có thể được chuẩn hóa theo cách khác Mật độ |ϕ x | 2 = |A| 2 , có thể được thiết lập mật độ của các hạt
Bây giờ chúng ta có một mật độ điện tích, cần có mật độ dòng J (hay chỉ là dòng một chiều) liên kết với nó Phương trình liên tục với mật độ dòng một chiều là:
+ = 0 (1.35) Trong không gian ba chiều trở thành divJ Để xây dựng mật độ dòng điện, bắt đầu với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: ψ x, t V x, t ψ x, t i ψ x, t (1.36) Nhân về bên trái cả hai vế của phương trình (1.36) với liên hợp phức của hàm sóng ψ * , ta được: ψ ∗ ψ ψ ∗ V ψ i ψ ∗ ψ (1.37)
Có được một phương trình thứ hai sẽ trở lại phương trình Schrodinger, lấy liên hợp phức của nó rồi nhân về bên trái cả hai vế với ψ, ta được: ψ ψ ∗ ψV ∗ ψ ∗ i ψ ψ ∗ (1.38) Lấy phương trình (1.37) trừ phương trình (1.38) ta được: ψ ∗ ψ ψ ψ ∗ i |ψ| 2 (1.39)
Thay (1.40) và (1.41) vào (1.39), ta được: ψ ∗ ψ ψ ψ ∗ i |ψ| 2 (1.42) Cuối cùng di chuyển các yếu tố của i bên trái và nhân với q lần lượt mật độ xác suất vào mật độ điện tử cho:
So sánh điều này với phương trình liên tục (1.35) cho thấy mật độ dòng điện được cho bởi:
Theo tiên đề về hàm sóng của cơ học lượng tử: “Trạng thái của một hạt (hoặc một hệ hạt) ở tại một thời điểm t được biểu diễn bởi một hàm sóng ψ( ,t)” Trong không gian một chiều, vị trí, xung lượng và năng lượng toàn phần có thể được biểu diễn bằng các toán tử trên ψ(x,t): x → x = x (1.45) p → p = - i (1.46)
Một tính năng quan trọng là xung lượng ̂ xuất hiện như một đạo hàm không gian
MÔ TẢ CÁC HỆ THẤP CHIỀU
Xét một vật rắn ba chiều có kích thước Lx, Ly, Lz chứa N electron tự do
“Tự do” ở đây được hiểu là các electron này không định xứ, nghĩa là không liên kết với một nguyên tử riêng biệt Ta giả thuyết, trong gần đúng bậc một, tương tác giữa các electron, cũng như tương tác giữa electron với trường thế tinh thể có thể bỏ qua Hệ hạt electron như vậy được gọi là “khí electron tự do” Trong mô hình này, chuyển động của các electron được mô tả bằng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng có bước sóng rất nhỏ hơn kích thước của vật rắn Phép tính trạng thái năng lượng đối với tinh thể khối dựa trên giả thuyết về điều kiện biên tuần hoàn (Điều kiện biên tuần hoàn là một thủ thuật toán học để mô tả vật rắn vô hạn (L → ∞)) Theo giả thuyết này, các điều kiện tại các mặt biên đối diện nhau của vật rắn là hoàn toàn giống nhau Như vậy, các electron ở gần mặt biên sẽ không “cảm nhận” thấy mặt biên Nói cách khác, các electron ở gần mặt biên sẽ không chịu ảnh hưởng của mặt này, do đó, các electron ở trên mặt biên sẽ thể hiện tính chất giống hệt như khi chúng ở trong lòng khối vật rắn, nghĩa là hàm sóng của electron phải thỏa mãn điều kiện [6]: ψ(x, y,z) = ψ(x +Lx, y, z) ψ(x, y, z) = ψ(x, y + Ly, z) (1.62) ψ(x, y,z) = ψ(x , y, z + Lz)
Nghiệm của phương trình Schrodinger với điều kiện biên như thế sẽ là tích của ba hàm sóng độc lập: ψ(x, y,z) = ψ(x) ψ(y) ψ(z) = A.exp(ikxx) exp(ikyy) exp(ikzz) (1.63) Mỗi hàm sóng mô tả một electron tự do chuyển động dọc theo một trục tọa độ Decac, với các thành phần của vecto sóng kx,y,z = n∆k = n2π/Lx,y,z trong đó n là số nguyên Các nghiệm này là các sóng truyền theo hướng dương và hướng âm, tương ứng kx,y,z> 0 và kx,y,z< 0
Như vậy, mỗi trạng thái electron với các vecto sóng (kx, ky, kz)có thể được biểu diễn bằng một điểm trong không gian đảo k; các điểm này cũng được phân bố một cách tuần hoàn trong không gian k Một hệ quả quan trọng của điều kiện biên tuần hoàn là tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k đều được phân bố (electron) như nhau, nghĩa là mỗi trạng thái (kx, ky, kz) = ( nx∆k, ny∆k, nz∆k) với nx,y,z là các số nguyên, đều có thể bị chiếm bởi hai electron (ms = ) Ở nhiệt độ 0K, tất cả các trạng thái có năng lượng E EF (EF là mức Ferme) đều bị chiếm, trong khi đó, tất cả các trạng thái có năng lượng E > EF đều trống
Trong không gian , mặt Fermi là mặt cầu bán kính kF Vì vecto sóng của hai trạng thái liền kề khác nhau một lượng ∆k = 2π/ Lx,y,z nên trong vật rắn khối có kích thước Lx,y,z lớn, ∆k rất nhỏ Khi đó, các trạng thái bên trong mặt cầu được phân bố gần như liên tục, như vậy, số các trạng thái bên trong mặt cầu sẽ tỉ lệ với k 3 Mặt khác, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào k theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục Đối với khí electron tự do trong vật rắn ba chiều, mật độ trạng thái tỷ lệ với căn bậc hai của năng lượng: g3d(E) ~√E (1.64)
1.3.2 H ệ hai chi ề u (gi ế ng l ượ ng t ử )
Ta khảo sát một vật rắn có kích thước rất lớn theo các phương x và y, nhưng kích thước (chiều dày) của nó theo phương z (Lz) chỉ vào cỡ vài nanomet Như vậy, các electron có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng x-y, nhưng chuyển động của chúng theo phương z sẽ bị giới hạn Hệ như thế tạo thành hệ electron hai chiều Khi kích thước của vật rắn theo phương z giảm xuống vào vỡ nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn với bước sóng De Broglie của hạt tải điện), thì hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt chuyển động trong giếng thế V(z), với V(z) = 0 bên trong giếng và
V(z) = ∞ tại các mặt biên z = Vì không một electron nào có thể ra khỏi vật rắn theo phương z, nên có thể nói electron bị giam trong giếng thế
Nghiệm của phương trình Schrodinger đối với electron trong giếng thế V(z) là các sóng dừng bị giam trong giếng thế Như vậy, năng lượng ứng với hai hàm sóng riêng biệt, nói chung, là khác nhau và không liên tuc Điều đó có nghĩa là năng lượng của hạt không thể nhận năng lượng tùy ý, mà chỉ nhận các giá trị gián đoạn Năng lượng của hạt là:
Enz = = (1.65) Nếu thay kz = nz ∆kz với ∆kz = , ta được:
Như đã nêu ở trên, các electron vẫn có thể chuyển động tự do dọc theo các phương x và y, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào kx, ky theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục Trong khi đó, chuyển động của các electron theo phương z bị giới hạn, các electron bị giam giữ trong “hộp” Chỉ có một số nhất định các trạng thái lượng tử hóa theo phương z (nz = 1, 2,…) là được phép Như vậy, trong không gian k ba chiều, phân bố các trạng thái được mô tả như một dãy các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa các trục kx và ky, khoảng cách gilữa hai mặt phẳng là ∆kz Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ứng với hai giá trị kz liên tiếp là rất lớn (vì Lz rất nhỏ nên ∆kz = ≫ 0)
Vì trong không gian k số trạng thái trong một mặt phẳng tỉ lệ với diện tích của mặt phẳng, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk bằng số trạng thái của một hình vành khăn có bán kính k và chiều rộng dk sẽ tỉ lệ với k.dk: g2d(k)dk ~ kdk (1.67) với g2d(k) là mật độ trạng thái trong không gian k Từ (1.67) suy ra: g2d(k) ~ k (1.68) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E và E + dE g2d(E)dE = g2d(k)dk = k dE (1.69) g2d(E) = k (1.70)
Vì E(k) ~ k 2 nên k ~ E 1/2 và ~ E 1/2 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng có dạng: g2d(E) = k ~ E 1/2 E -1/2 ~ 1 (1.71) Như vậy, mật độ trạng thái trong vật rắn hai chiều rất khác nhau với trường hợp ba chiều, trong vật rắn hai chiều mật độ trạng thái đối với một trạng thái kz cho trước không phụ thuộc vào năng lượng và có dạng hàm bậc thang
1.3.3 H ệ m ộ t chi ề u (s ợ i ho ặ c dây l ượ ng t ử )
Xét trường hợp kích thước của vật rắn theo phương y cũng co lại còn vài nanomet Khi đó, electron chỉ chuyển động tự do theo phương x, còn chuyển động của chúng theo phương y và z bị giới hạn bởi các mặt biên của vật Một hệ như thế gọi là dây lượng tử hay hệ electron một chiều (nếu hạt tải điện là electron) Trong hệ này, các hạt tải điện có thể chuyển động chỉ theo một chiều và chiếm các trạng thái lượng tử hóa ở hai chiều còn lại
Trong hệ này, phân bố các trạng thái cũng như phân bố các mức năng lượng tương ứng, theo phương song song với trục kx và liên tục (∆kx→ 0) Trong khi đó, chuyển động của các electron dọc theo phương còn lại (phương y và z) bị giới hạn và các trạng thái của chúng có thể tìm được bằng cách giải phương trình
Schrodinger sử dụng mô hình “hạt trong hộp thế” Kết quả là các trạng thái ky, kz bị lượng tử hóa, nhận các giá trị gián đoạn Có thể hình dung tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k được phân bố trên các đường thẳng song song với trục kx Các đường thẳng này cách nhau những khoảng gián đoạn tỷ lệ với ∆ky và
∆kz Vì trên mỗi đường thẳng phân bố các trạng thái kx là liên tục, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk sẽ tỉ lệ với chiều dài dk trên đường thẳng: g1d(k)dk ~ dk (1.72) với g1d(k) là mật độ trạng thái trong không gian k Từ (1.72) suy ra: g1d(k) ~ 1 (1.73) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E và E + dE: g1d(E)dE = g1d(k)dk ~ dE (1.74) g1d(E) ~ (1.75)
Vì E(k) ~ k 2 nên k ~ E 1/2 và ~ E -1/2 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng g1d(E) có dạng: g1d(E) ~ ~ E -1/2 (1.76)
Từ biểu thức (1.76), ta nhận thấy rằng mật độ trạng thái trong một đường thẳng dọc theo trục kx phụ thuộc vào năng lượng theo hàm E -1/2
1.3.4 H ệ không chi ề u (ch ấ m l ượ ng t ử )
Giả sử ta có chấm lượng tử có kích thước Lx, Ly, Lz Hàm sóng của hạt ψ(x, y,z) là nghiệm của phương trình Schrodinger [1]
- ∆ψ(x, y,z) + V(x, y, z) ψ(x, y,z) = E ψ(x, y,z) (1.77) Hàm sóng ψ(x, y,z) được phân ly thành: ψ(x, y,z) = (x) (y) (z)
Có nghĩa là phương trình (1.77) phụ thuộc độc lập vào từng biến x, y, z và có nghiệm: ψ(x, y,z) = sin sin sin (1.78)
1, 2, 3, … m: khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn theo phương x, y, z
Khi các hạt tải điện và các trạng thái kích thích bị giam giữ trong cả ba chiều thì hệ này được gọi là một “chấm lượng tử” Trong một chấm lượng tử, chuyển động của các electron bị giới hạn trong cả ba chiều, vì thế trong không gian k chỉ tồn tại các trạng thái gián đoạn (kx, ky, kz) Mỗi một trạng thái trong không gian k có thể được biểu diễn bằng một điểm Như vậy, chỉ có các mức năng lượng gián đoạn là được cho phép Các mức năng lượng này có thể được biểu diễn như ở đỉnh (delta) trong hàm phân bố một chiều đối với mật độ trạng thái g0d(E) [6]
Như chúng ta đã thấy, các vùng năng lượng hội tụ về các mức năng lượng giống như trong nguyên tử Sự biến đổi này đặc biệt lớn tại các bờ vùng năng lượng, do đó ảnh hưởng đến các chất bán dẫn nhiều hơn đến các kim loại Trong các chất bán dẫn, các tính chất electron trên thực tế liên quan mật thiết với các chuyển dời giữa bờ vùng hóa trị với bờ vùng dẫn điện Ngoài tính chất gián đoạn của các mức năng lượng, còn cần phải nhấn mạnh đến sự tồn tại của mức năng lượng điểm không (zero – point energy) Trong chấm lượng tử, ngay cả trong trạng thái cơ bản, các electron cũng có năng lượng lớn hơn năng lượng của các electron tại bờ vùng dẫn trong vật liệu khối
TỔNG QUAN VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ
Hình 2.1 Hình ảnh về chấm lượng tử (Quantum Dot)
Chấm lượng tử là một hạt nhỏ, kích thước cỡ nm (10 -9 m), có thể chứa từ 1-1000 electron Hay chấm lượng tử (QD) là một tinh thể nano được làm từ vật liệu chất bán dẫn mà kích thước của nó đủ nhỏ để làm xuất hiện các đặc tính cơ học lượng tử Người ta có thể điều khiển cấu tạo, kích thước, hình dáng của chấm lượng tử, và số lượng các electron bên trong nó, cũng như điều khiển sự tương tác giữa các chấm lượng tử một cách chính xác nhờ sử dụng các kỹ thuật tiên tiến của công nghệ chế tạo nano Trong chấm lượng tử, electron bị giam giữ theo cả ba chiều gần giống như các nguyên tử và do đó, chấm lượng tử thường được gọi là nguyên tử nhân tạo, siêu nguyên tử hay nguyên tử quantum dot
Ngoài tính chất là có thể điều chỉnh được độ đa dạng của màu sắc phát xạ, chấm lượng tử còn có thể được chế tạo sao cho có một quang phổ tối ưu với nhiều màu sắc mà ta muốn có Ta có thể điều chỉnh để chấm lượng tử có thể hấp thụ ánh sáng cho trước trong một dải phổ rộng, do đó chỉ cần dùng những nguồn sáng đơn giản, rẻ tiền như đèn, laser, LED… để làm nguồn kích thích cho chấm lượng tử Ngược lại, bằng một từ trường thích hợp, ta lại có thể điều khiển chấm lượng tử chỉ hấp thụ và phát xạ ánh sáng trong một dải phổ rất hẹp
Chấm lượng tử hình học của nó có thể được chia thành: chấm lượng tử hình hộp, chấm lượng tử hình cầu, chấm lượng tử tứ diện, chấm lượng tử hình trụ, chấm lượng tử khối,…
Chấm lượng tử gồm những thuộc tính như sau:
Giống như nguyên tử, các mức năng lượng trong chấm lượng tử bị lượng tử hóa hoàn toàn Tuy nhiên, chấm lượng tử có ưu điểm nổi bật so với nguyên tử là có thể thay đổi kích thước, hình dạng, cũng như số lượng electron trong nó Và do đó, với chấm lượng tử, ta có thể mô phỏng toàn bộ bảng hệ thống tuần hoàn
Chấm lượng tử có nhiều tính chất quang học kì lạ: chấm lượng tử hấp thụ ánh sáng rồi lại nhanh chóng phát xạ nhưng với màu sắc khác… Vì kích thước bé nên chỉ điều chỉnh kích thước một chút thì khả năng hấp thụ và phát xạ ánh sáng của chấm lượng tử đã biến đổi khá rõ Bởi vậy nên chấm lượng tử có độ nhạy và khả năng phát quang cao hơn nhiều so với các vật liệu chế tạo ra nó
Phổ phát xạ của các chấm lượng tử có thể được thay đổi bởi kích thước của các chấm lượng tử được kiểm soát Bằng cách thay đổi kích thước của các chấm lượng tử và thành phần hóa học của nó có thể làm cho nó bao gồm toàn bộ quang phổ phát xạ ánh sáng nhìn thấy
Chấm lượng tử với một sự ổn định tốt ánh sáng lượng tử Chấm lượng tử có cường độ huỳnh quang hơn so với vật liệu huỳnh quang hữu cơ phổ biến nhất,
“Rhodamine 6G” 20 lần, tính ổn định của nó hơn “Rhodamine 6G” 100 lần Vì vậy, các chấm lượng tử có thể đánh dấu các đối tượng cho một thời gian dài quan sát, cũng cung cấp một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu sự tương tác di động dài hạn giữa các phân tử sinh học
Chấm lượng tử là một hạt nhỏ (bán dẫn, kim loại, polime), có bán kính một hoặc vài nanomet Một hạt như vậy có thể chứa từ 1 1000 điện tử Người ta có thể điều khiển cấu tạo, kích thước, hình dáng của chấm lượng tử, số lượng các điện tử bên trong cũng như điều khiển sự tương tác giữa các chấm một cách chính xác nhờ sử dụng các kỹ thuật tiên tiến Trong chấm, điện tử được giam giữ theo cả 3D gần giống như các nguyên tử nên chấm lượng tử còn được gọi là nguyên tử nhân tạo
Giống như nguyên tử, các mức năng lượng trong chấm lượng tử bị lượng tử hóa hoàn toàn Có một số mức năng lượng mà ở đó có thể điền vào một điện tử Ưu điểm nổi bật của chấm lượng tử là có thể thay đổi kích thước, hình dạng, cũng như số lượng điện tử bên trong chấm
Hình 2.2 Sơ đồ dải năng lượng của chấm lượng tử
Năng lượng phát xạ của chấm lượng tử được cho bởi sự tách năng lượng giữa các trạng thái giam giữ lượng tử cơ bản đối với các điện tử và lỗ trống Khi bỏ qua năng lượng liên kết của exciton, ta có: E = E + E + E (3.1)
Trong đó: là năng lượng vùng cấm của chấm, và là năng lượng giam cầm của điện tử và lỗ trống tính từ mép của giới hạn dải tương ứng (Hình 2.2) phụ thuộc vào cấu tạo của chấm lượng tử, năng lượng giam cầm chủ yếu phụ thuộc vào các gián đoạn của dải năng lượng Việc điều chỉnh sự phát xạ có thể đạt được bằng cách thay đổi cấu trúc.
CÁC HIỆU ỨNG CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ
Tính chất độc đáo của các chấm lượng tử dựa trên hiệu ứng lượng tử riêng của chúng, khi kích thước hạt vào quy mô nanomet, lĩnh vực giới hạn kích thước sẽ gây ra hiệu ứng kích thước, hiệu ứng giam giữ lượng tử, vĩ mô lượng tử hiệu ứng đường hầm và hiệu ứng bề mặt…
Khi vật liệu có kích thước càng nhỏ thì tỉ số giữa số nguyên tử trên bề mặt và tổng số nguyên tử của vật liệu gia tăng Ví dụ, xét vật liệu tạo thành từ các hạt nano hình cầu Nếu gọi ns là số nguyên tử nằm trên bề mặt, n là tổng số nguyên tử thì mối liên hệ giữa hai con số trên sẽ là ns = Tỉ số giữa số nguyên tử trên bề mặt và tổng số nguyên tử sẽ là f = = = , trong đó r0 là bán kính của nguyên tử và r là bán kính của hạt nano Như vậy, nếu kích thước của vật liệu giảm (r giảm) thì tỉ số f tăng lên Do nguyên tử trên bề mặt có nhiều tính chất khác biệt so với tính chất của các nguyên tử ở bên trong lòng vật liệu, nên khi kích thước vật liệu giảm thì hiệu ứng có liên quan đến các nguyên tử bề mặt, hay còn gọi là hiệu ứng bề mặt tăng lên do tỉ số f tăng Khi kích thước của vật liệu giảm đến nanomet thì giá trị f này tăng lên đáng kể Sự thay đổi về kích thước theo một hàm liên tục vì f tỉ lệ nghịch với r [12] Hiệu ứng bề mặt luôn có tác dụng với tất cả các giá trị kích thước, hạt càng bé thì hiệu ứng càng lớn và ngược lại Ở đây không có giới hạn nào cả, ngay cả vật liệu khối truyền thống cũng có hiệu ứng bề mặt, chỉ có điều hiệu ứng này nhỏ thường bị bỏ qua Với một hạt nano có đường kính 5nm thì số nguyên tử mà hạt đó chứa là
4000 nguyên tử, tỉ số f là 40%, năng lượng bề mặt là 8,16.10 11 và tỉ số năng lượng bề mặt trên năng lượng toàn phần là 82,2% Tuy nhiên các giá trị vật lý giảm đi một nữa khi kích thước của hạt nano tăng gấp hai lần lên 10nm
Hiệu ứng bề mặt đóng một vai trò quan trọng đối với quá trình hóa học, đặc biệt trong các vật liệu xúc tác.Sự tiếp xúc giữa bề mặt các hạt và môi trường xung quanh tạo điều kiện cho hiệu ứng xúc tác hiệu quả Sự tiếp xúc nhiều giữa bề mặt các hạt nano với môi trường xung quanh có thể ảnh hưởng đáng kể tới tính chất của hạt Sự không hoàn hảo của bề mặt các hạt có thể tác động như các bẫy điện tử hoặc lỗ trống dưới kích thích quang và làm biến đổi các tính chất quang của các hạt Trong rất nhiều trường hợp, các trạng thái bề mặt trở thành kênh tiêu tán năng lượng không phát quang, làm giảm hiệu suất huỳnh quang của vật liệu cấu trúc nano Để hạn chế ảnh hưởng của các trạng thái bề mặt tới tính chất huỳnh quang cũng như độ bền của vật liệu trong các môi trường khác nhau, người ta đã sử dụng loại vật liệu có cấu trúc tinh thể tương tự nhưng có năng lượng vùng cấm lớn hơn, bền với môi trường và ít độc hại đối với môi trường hơn để có tác dụng như một lớp vỏ bọc bảo vệ vật liệu
2.2.2 Hi ệ u ứ ng giam gi ữ l ượ ng t ử
Khác với hiệu ứng bề mặt, hiệu ứng kích thước của vật liệu nano đã làm cho vật liệu này trở nên kì lạ hơn nhiều so với các vật liệu truyền thống Đối với một vật liệu, mỗi một tính chất của vật liệu này đều có mật độ dài tới hạn Ở vật liệu khối, kích thước vật liệu lớn hơn nhiều so với độ dài đặc trưng này dẫn đến các tính chất vật lý đã biết Nhưng khi kích thước của vật liệu có thể so sánh được với độ dài đặc trưng đó thì tính chất có liên quan đến độ dài đặc trưng bị thay đổi đột ngột, khác hẳn so với tính chất đã biết trước đó [12]
Khi vật liệu càng nhỏ, các đặc trưng quan và điện có sự khác xa so với vật liệu khối Một hạt lớn coi như là tự do khi các chiều giam giữ là lớn khi đem so sánh với bước sóng của hạt Lúc này vùng cấm vẫn giữ nguyên ở mức cũ do các mức năng lượng liên tiếp Tuy nhiên, khi các chiều giam giữ giảm và tiến dần đến một giới hạn nào đó, phổ năng lượng trở nên tách biệt, dẫn đến vùng cấm phụ thuộc vào kích thước Hiệu ứng miêu tả kết quả hiện tượng electron và lỗ trống bị dồn lại một chiều trở thành bán kính exciton Bohr Nói cách khác khi hạt nano càng nhỏ thì độ rộng vùng cấm càng mở rộng, bước sóng ánh sáng phát ra khi được chiếu tử ngoại dịch về phía bước sóng của ánh sáng tím Các hạt lớn thì độ rộng vùng cấm nhỏ hơn nên có bước sóng ánh sáng đỏ phát ra khi chiếu tử ngoại
Trong các chất bán dẫn A II B VI như CdS, CdSe, CdTe, ZnSe,…, vùng dẫn và vùng hóa trị đã được hình thành từ sự lai hóa giữa các orbital s của các ion kim loại nhóm II và các orbital p của các nguyên tố nhóm VI như S, Se, Te,… Trong vùng dẫn, mức năng lượng được biểu diễn bởi hàm parabol theo số sóng k và chỉ suy biến spin bậc hai tại tâm vùng Brillouin Đỉnh vùng hóa trị tại tâm vùng Brillouin có sự suy biến bậc 6 bởi orbital p
2.2.3 Hi ệ u ứ ng thông h ầ m l ượ ng t ử
Hiệu ứng thông hầm lượng tử là hiện tượng các electron đã “di chuyển” qua được bờ rào thế năng chắn giữa hai vùng chứa electron ngay cả khi động năng của electron thấp hơn chiều cao của hàng rào thế
Hiện tượng thông hầm lượng tử cộng hưởng là hiện tượng khi một electron đến bờ rào thế năng của một hố thế, nếu năng lượng của nó “trùng khít” với một mức năng lượng rời rạc nào đó trong hố thế thì electron đó sẽ vượt qua bờ rào vào hố thế với xác suất tăng vọt Nếu trong hố thế không tồn tại mức năng lượng nào bằng với năng lượng của electron thì electron đó không thể vượt qua rào thế để vào trong hố thế Điều chỉnh các mức năng lượng trong hố thế lên xuống, ta có thể điều khiển quá trình thông hầm của các electron
Hình 2.3 Hiệu ứng thông hầm lượng tử
2.2.4 Hi ệ u ứ ng khóa Coulomb (Coulomb blockade)
Xét hai điện cực tích điện q1, q2 và cách nhau một khoảng 100nm – khoảng cách đủ nhỏ để hiện tượng thông hầm có thể xảy ra Cả hệ thống được đặt trong môi trường chân không và ở gần 0 o K Ở điều kiện như vậy, hệ có năng lượng nhỏ nhất và phụ thuộc vào độ chênh lệch điện tích giữa hai cực Nếu ban đầu điện tích ở hai cực là bằng nhau thì theo định luật bảo toàn năng lượng, electron không thể di chuyển từ cực bên trái sang cực bên phải Ta nói đó là khóa Coulomb
Hình 2.4 Hiệu ứng khóa Coulomb
Nhưng khi có sự chênh lệch điện tích giữa hai cực, giả sử q1 = - và q2 = , thì sẽ có duy nhất một electron chuyển từ cực bên trái sang cực bên phải Nếu giả sử có thêm một electron nữa thông hầm từ cực bên trái sang cực bên phải thì hiệu điện tích |q q | giữa hai cực sau đó sẽ tăng, nên tổng năng lượng của toàn hệ tăng và không còn ở trạng thái ổn định nữa Do đó chỉ có thể có một electron duy nhất thông hầm giữa hai điện cực Như vậy, ta hoàn toàn có thể chuyển dịch từng electron giữa hai cực bằng cách điều khiển chính xác điện tích trên hai cực.
CẤU TRÚC ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ
Một chấm lượng tử thường được miêu tả như là một nguyên tử nhân tạo bởi vì điện tử bị giam giữ về mặt chiều thì giống như là trong một nguyên tử và có các trạng thái năng lượng gián đoạn Gần đây, đã có nhiều nỗ lực được tiến hành để có thể chế tạo ra các chấm lượng tử với các hình dạng hình học khác nhau, để có thể khống chế được hàng rào thế giam giữ các điện tử (và các lỗ trống) (Williamson, 2002) Các mức năng lượng gián đoạn sinh ra các phổ hấp thụ, các phổ phát xạ hẹp và nhọn đối với các chấm lượng tử, thậm chí ngay tại nhiệt độ phòng Tuy nhiên, cũng cần phải lưu ý rằng điều này là lý tưởng, và các phổ do dịch chuyển quang học cũng bị mở rộng đồng nhất và bất đồng nhất Do tỷ lệ lớn giữa thể tích và diện tích bề mặt của các nguyên tử của các chấm lượng tử, nên các chấm lượng từ còn biểu lộ các hiện tượng liên quan đến bề mặt Các chấm lượng tử thường được miêu tả theo ngôn ngữ của mức độ giam giữ
Sự phụ thuộc của tính chất quang của các nano tinh thể bán dẫn vào kích thước đã được phát hiện ra một cách độc lập từ cách đây 30 năm trong hai loại vật liệu khác nhau, đó là trong các thủy tinh pha các chấm lượng tử bán dẫn và trong các dung dich huyền phù chứa các chấm lượng tử Cả hai nghiên cứu này đều chỉ ra rằng màu sắc của các chấm lượng tử phụ thuộc mạnh vào kích thước của chúng Kích thước của các tinh thể nano – là các hạt nhân của pha mới – được điều khiển bởi sự khuếch tán của các nguyên tử hoặc các ion vào hạt nhân đang lớn dần lên và bởi độ quá bão hòa Phân bố kích thước cuối cùng của chấm lượng tử được xác định bởi độ dài của khoảng thời gian của quá trình phân chia pha và được cố định vào lúc quán trình này bị dừng lại
Phổ hấp thụ và phát xạ huỳnh quang phụ thuộc vào kích thước, được xác định bởi hiệu ứng kích thước lượng tử, hiệu ứng này làm thay đổi một cách cơ bản toàn bộ phổ năng lượng của các giả hạt bị giam giữ theo cả ba chiều Cả hai tính chất quang tuyến tính và quang phi tuyến của các chấm lượng tử nhỏ là kết quả của các chuyển dời giữa các mức điện tử và lỗ trống bị lượng tử hóa do kích thước Đối với các chấm lượng tử, ta giả thuyết các điện tử và lỗ trống có khối lượng hiệu dụng đẳng hướng, tùy thuộc vào tỷ lệ giữa bán kính R của chấm lượng tử và bán kính Borh aB của exciton, ta sẽ xét ba trường hợp giam giữ, đó là chế độ giam giữ mạnh, chế độ giam giữ trung gian và chế độ giam giữ yếu Hiệu ứng giam giữ lượng tử thể hiện khác nhau trong mỗi chế độ giam giữ
2.3.1 Ch ế độ giam gi ữ m ạ nh
Chế độ giam giữ mạnh được xác định cho trường hợp khi kíchthước của chấm lượng tử nhỏ hơn bán kính Bohr exciton (aB), tương ứng với điều kiện
R < aB Điều kiện đó có nghĩa là điện tử và lỗ trống bị giam giữ không có trạng thái liên kết tương ứng với exciton kiểu hydro và động năng điểm không của điện tử và lỗ trống lớn hơn đáng kể giá trị ∗ do giam giữ Trong trường hợp này, chuyển động không tương quan của điện tử và lỗ trống có thể được xem như phép gần đúng bậc 1 và tương tác Coulomb có thể bỏ qua Khi đó, điện tử và lỗ trống tự do có phổ năng lượng cho bởi phương trình:
Các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng đưa đến kết quả trong các quy tắc chọn lọc là các dịch chuyển quang học được phép, là các dịch chuyển giữa các trạng thái của cặp điện tử - lỗ trống có cùng các số lượng tử chính và số lượng tử quỹ đạo Do đó phổ hấp thụ quay về một tập hợp của các dải rời rạc có các đỉnh tại giá trị năng lượng:
Tương tự như phổ năng lượng của nguyên tử Do đó, các chấm lượng tử trong giới hạn giam giữ mạnh đôi khi được gọi là những nguyên tử nhân tạo hay các nguyên tử lớn khi các chấm lượng tử thể hiện phổ quang học rời rạc được khống chế bởi kích thước, trong khi đó nguyên tử có phổ rời rạc được quy định bởi số các nucleon
Tuy nhiên, điện tử và lỗ trống bị giam giữ trong không gian có thể so sánh với kích thước của exciton ở trạng thái cơ bản trong tinh thể vô hạn lý tưởng Do đó phải tính đến Hamillton hai hạt với các số hạng động năng, thế năng, thế
Coulomb và thế giam giữ:
Sự có mặt của thế năng V(r) không cho phép nghiên cứu độc lập chuyển động của khối tâm và chuyển động của hạt với khối lượng rút gọn Dựa vào phương pháp gần đúng biến thiên người ta tìm thấy năng lượng ở trạng thái cơ bản (1s1s) của cặp điện tử - lỗ trống có thể biểu diễn dưới dạng:
Trong đó số hạng tỉ lệ với biểu diễn tương tác Coulomb hiệu dụng của điện tử - lỗ trống
So sánh số hạng này với năng lượng Rydberg của exciton R ∗ = và chú ý đến giới hạn giam giữ mạnh (R < aB), ta thấy tương tác Coulomb không bị triệt tiêu trong chấm lượng tử nhỏ, mà đóng góp của số hạng này vào năng lượng trạng thái cơ bản thậm chí còn lớn hơn trong tinh thể khối Đây là sự khác nhau cơ bản của chấm lượng tử với tinh thể khối, giếng lượng tử và dây lượng tử Ở các hệ đó, năng lượng Coulomb của các cặp điện tử - lỗ trống tự do bằng không
Khi coi thế Coulomb là một nhiễu loạn, người ta tìm thấy năng lượng trạng thái thấp nhất của cặp điện tử - lỗ trống:
Khi khai triển độ lệch giữa năng lượng của cặp điện tử - lỗ trống và độ rộng vùng cấm của bán dẫn Eg dưới dạng chuỗi, Schmit, Weller và Kaynuma (1986) đã tìm ra biểu thức năng lượng của đỉnh hấp thụ thứ nhất là:
E1s1s = Eg + π 2 R ∗ - 1,786 R ∗ - 0,248R ∗ (2.6) Hay có thể viết:
Với R là bán kính của chấm lượng tử, Eg là độ rộng vùng cấm
Số hạng thứ hai là động năng chứa khối lượng hiệu dụng me và mh của điện tử và lỗ trống Số hạng thứ ba thể hiện tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống Số hạng thứ ba xuất hiện do việc tính đến lực hút Coulomb giữa điện tử và lỗ trống Số hạng thứ tư liên quan đến không gian giữa điện tử và lỗ trống và thường nhỏ hơn nhiều so với số hạng hai và ba ∗ là năng lượng liên kết exciton (năng lượng Rydberg) tính theo eV
2.3.2 Ch ế độ giam gi ữ trung gian
Chế độ giam giữ trung gian ứng với trường hợp bán kính chấm lượng tử nằm trong khoảng aB < R < 4aB Trong trường hợp này, năng lượng của điện tử lớn hơn rất nhiều so với tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống, nặng lượng của lỗ trống lại nhỏ hơn nhiều so với khối lượng lỗ trống ( ≪1), cho nên điện tử bị lượng tử hóa bởi thế giam giữ và lỗ trống có thể coi như không dịch chuyển mà định xứ tại tâm của chấm lượng tử
Với chế độ giam giữ trung gian, các trạng thái năng lượng và phổ hấp thụ của chấm được xác định chủ yếu bởi sự lượng tử hóa chuyển động của điện tử Tuy nhiên do tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống, mỗi mức điện tử bị tách thành vài mức con Vị trí cực đại hấp thụ đầu tiên của chấm có thể được mô tả bởi biểu thức:
2.3.3 Ch ế độ giam gi ữ y ế u Đối với trường hợp chế độ giam giữ yếu thì bán kính chấm lượng tử R là nhỏ nhưng vẫn lớn hơn vài lần so với bán kính Borh exciton aB = 5,6nm (cụ thể là R > aB) Trong trường hợp này xuất hiện sự lượng tử hóa chuyển động của khối tâm Xuất phát từ định luật tán sắc:
E(k) = Eg - ∗ + (2.9) và thay giá trị động năng của exciton vào, ta có năng lượng của exciton trong trường hợp giam giữ yếu có dạng:
Như vậy, exciton trong chấm lượng tử cũng được đặc trưng bởi các số lượng tử n mô tả các trạng thái exciton nội tại do tương tác Coulomb điện tử - lỗ trống (1s, 2s, 2p, 3s,3p, …) và bởi số lượng tử m, mô tả các trạng thái liên quan đến chuyển động khối tâm khi có mặt cảu trường ngoài (1s, 2s, 2p,2d, …) của exciton trong tinh thể, ta có năng lượng ở trạng thái thấp nhất (ứng với n = 1, m = 1, = 1) là:
Như vậy, cộng hưởng exciton đầu tiên dịch về phía năng lượng cao một giá trị là:
Là nhỏ so với ∗ do R ≫ aB Điều này chứng minh một cách định lượng thuật ngữ “giam giữ yếu”
ĐẠI CƯƠNG VỀ EXCITON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ
Khái niệm exciton đầu tiên được đưa ra năm 1931 bởi Frenkel, sau đó làPieirls, Wannier, Elliot, Knox… Khi chiếu chùm tia sáng vào bán dẫn thì một số điện tử ở vùng hóa trị hấp thụ ánh sáng nhảy lên vùng dẫn, để lại vùng hóa trị các lỗ trống mang điện tích dương Do tương tác Coulomb giữa lỗ trống ở cùng hóa trị và điện tử ở vùng dẫn mà hình thành trạng thái liên kết cặp điện tử - lỗ trống được gọi là giả hạt exciton
Trong chất bán dẫn thông thường, độ sai khác năng lượng Eg giữa vùng dẫn (CB) và vùng hóa trị (VB) ở khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến Một photon năng lượng h > Eg có thể kích thích một điện tử trong vùng hóa trị (VB) nhảy lên vùng dẫn (CB) và để lại trong vùng hóa trị một lỗ trống thể hiện như một điện tích dương Một điện tử liên kết với một lỗ trống bởi tương tác Coulomb sẽ cho ra một hệ tương tự như nguyên tử Hydro Ở giới hạn mật độ thấp, khi đó ta bỏ qua hiệu ứng nhiều hạt, cặp điện tử - lỗ trống được coi như một giả hạt tự do gọi là exciton
Hay, exciton là loại chuẩn hạt được hình thành trong trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống bởi lực hút Coulomb trong tinh thể (điện môi và bán dẫn) khi tinh thể hấp thụ photon Exciton đóng vai trò quyết định tính chất quang của vật liệu
Hình 2.5: Các mức năng lượng của exciton
Trong chất bán dẫn: điện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn hơn nhiều lần hằng số mạng, cộng thêm thế màng chắn (thế tương tác) của môi trường mạng nên năng lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của hydro, loại này gọi là exciton Mott-Wannier, thường xảy ra trong tinh thể đồng hóa trị
Hình 2.6: Exciton Mott-Wannier Trong chất cách điện: hằng số điện môi lớn nên điện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách phân tử, loại exciton này được gọi là exciton Prenkel, do kích thước nhỏ nên tương tác Coulomb lớn ít ảnh hưởng trường mạng (tinh thể) nên năng lượng liên kết của nó lớn (cỡ 1,5 eV)
Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi
Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử hydro, tuy nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn Tương tự, các exciton dương hay âm cho ta hình ảnh ion phân tử hay nguyên tử He
Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cấm (exciton Mott-Wannier) rất giống với việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn Ở mức cơ bản năng lượng liên kết exciton trùng với mức năng lượng tạp chất donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên tố nhóm IV như Si, Ge (cỡ 0,005 eV)
Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián đoạn Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ của hydro
Sự tồn tại của exciton được chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện một vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi nhọn (peak) hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm thay đổi nồng độ hạt dẫn Phổ vạch dạng giống như nguyên tử hydro đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như: CdS, HgI2, PbI2, CdI2, CuO2,…
ỨNG DỤNG CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ
Vật lý các hệ thấp chiều nói chung và chấm lượng tử nói riêng đươ ̣c phát triển từ những năm đầu của thập kỷ 70 Khi nghiên cứu các cấu trúc thấp chiều, cụ thể là cấu trúc không chiều, các nhà khoa học đã phát hiện ra nhiều tính chất kì lạ và hữu dụng của vật liệu để có thể tạo nên những phần tử cơ bản của vi điện tử trong tương lai, như chấm lượng tử, transistor một điện tử… Mặc dù với khoảng thời gian không dài, nhưng việc nghiên cứu các hệ thấp chiều (hay các hệ có cấu trúc nanô) bước đầu đã đạt được những thành tựu đáng kể và hứa he ̣nđem la ̣i nhiều ứng dụng to lớn trong các lı̃nh vực như: quang điê ̣n tử (pin mă ̣t trời, lazer, màn hı̀nh cảm ứng, tấm chắn sáng ), công nghê ̣ thông tin và truyền tin (máy tı́nh lượng tử quang, máy tı́nh lượng tử spin, linh kiê ̣n điê ̣n tử, sensor, ), y ho ̣c (nghiên cứu cấu trúc ADN, đuốc phân tử dùng để phát hiê ̣n ung thư, chế ta ̣o và điều khiển các ha ̣t thuốc cực nhỏ trong điều tri ̣ ung thư,…), thiết bi ̣ bảo vê ̣ (bảo quản thực phẩm, bảo vê ̣ các linh kiê ̣n điê ̣n tử), năng lượng (pin năng lượng, pin mă ̣t trời),
Chấm lượng tử thực chất là tinh thể bán dẫn có đường kính một vài nanomet (một nanomet bằng một phần tỷ của một mét) Cùng một chất nhưng những chấm lượng tử có kích thước khác nhau sẽ phát xạ ra các màu khác nhau dưới ánh sáng hồng ngoại hoặc tử ngoại Lợi dụng tính chất này, nhiều nước trên thế giới đã sử dụng chấm lượng tử để đánh dấu hàng hóa, chứng từ hoặc tiền giấy nhằm chống làm giả, tiêm chấm lượng tử vào cơ thể động vật để quan sát, chụp ảnh các cơ quan, tế bào… Ngoài ra, chấm lượng tử còn có tiềm năng được sử dụng để dò ung thư, đưa thuốc tới tế bào ung thư…
Chấm lượng tử là đặc biệt quan trọng cho các ứng dụng quang học do hệ số dập tắt cao Trong các ứng dụng điện tử, nó đã được chứng minh để hoạt động như một bóng bán dẫn đơn điện tử và hiển thị phong tỏa Coulomb có hiệu lực Các chấm lượng tử cũng đã được đề xuất như là hiện thực của qubit cho xử lý thông tin lượng tử Ưu điểm nổi bật của các linh kiện chấm lượng tử là kích thước vô cùng nhỏ, tiêu thụ rất ít năng lượng và tốc độ hoạt động cực nhanh Với các mạch điện tử nano, chúng ta không còn gặp phải các vấn đề về tỏa nhiệt, cách điện và đặc biệt là hiện tượng thông hầm giữa các bộ phận hay phần tử trong mạch như là đối với các mạch điện truyền thống
Trong tính toán lượng tử: công nghệ chấm lượng tử là một trong những ứng cử viên hứa hẹn nhất để sử dụng trong trạng thái rắn tính toán lượng tử Bằng cách áp dụng điện áp nhỏ để các tiềm năng, dòng điện tử thông qua các chấm lượng tử có thể được kiểm soát và đo lường chính xác do đó các spin và các tài sản khác trong đó có thể được thực hiện Với một số vướng chấm lượng tử, hay qubit, cộng với một cách thực hiện các hoạt động, tính toán lượng tử và máy tính sẽ thực hiện chúng có thể thực hiện được
Trong sinh học: một ứng dụng cắt-cạnh tiềm năng của các chấm lượng tử đang được nghiên cứu, có các chấm lượng tử hoạt động như các chất vô cơ huỳnh quang để phát hiện lúc mổ khối u bằng huỳnh quang phổ
Ngoài ra, ứng dụng tiềm năng của hệ không chiều còn để: nghiên cứu, phát hiện ma túy, chuẩn đoán, thuốc thử sinh học, phân tích di truyền, ánh sáng trạng thái rắn, cảm biến, chống hàng giả, màn hình hiển thị, mỹ phẩm và các tế bào năng lượng mặt trời Với những ưu điểm nổi bật, chúng sẽ làm thay đổi bộ mặt của ngành điện tử viễn thông, công nghệ thông tin, sinh học, y học cũng như các ngành khác… tạo ra một cuộc cách mạng mới trong tương lai
Trong chương này tập trung nghiên cứu về chấm lượng tử, các đặc điểm và ứng dụng của chấm lượng tử trong đời sống
Chương này chủ yếu mô tả về chấm lượng tử (Quantum Dot) là một tinh thể nano được làm từ vật liệu chất bán dẫn mà kích thước của nó đủ nhỏ để làm xuất hiện các đặc tính cơ học lượng tử Hay chấm lượng tử là một bán không chiều vật liệu nano (gần như không chiều), được thành lập bởi một số lượng nhỏ các nguyên tử Cụ thể, exciton của nó được giới hạn trong cả ba chiều không gian Đặc tính lượng tử của một chấm lượng tử có liên quan chặt chẽ đến kích thước và hình dạng của nó Với các hiệu ứng cơ bản:
- Hiệu ứng giam giữ lượng tử
- Hiệu ứng thông hầm lượng tử
Ngoài ra, chấm lượng tử còn có nhiều ứng dụng to lớn trong các lĩnh vực trong đời sống được nêu ở trên hứa hẹn sẽ đem đến những bước phát triển lớn cho các ngành khoa học kỹ thuật nước nhà.
EXCITON LOẠI 1 TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ
MÔ HÌNH EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ
Hình 3.1 Mô hình exciton loại I trong chấm lượng tử (a) và cấu trúc thế giam nhốt (b)
Exciton lo ạ i 1 (exciton th ẳ ng, exciton truy ề n th ố ng): được hình thành bởi liên kết cặp điện tử và lỗ trống, trong đó không gian pha của điện tử hoàn toàn trùng với không gian pha của lỗ trống, ở đây pe, re là xung lượng và toạ độ của điện tử, ph, rh là xung lượng và toạ độ của lỗ trống.
BÀI TOÁN EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ
Xét bài toán exciton nằm trong chấm lượng tử hình cầu bán kính R, thế giam giữ đặt lên chấm có dạng parabolic
Hệ exciton trong chấm lượng tử cầu có thể được mô tả như sau:
Hình 3.2 Hệ exciton trong chấm lượng tử cầu
Tương tác giữa điện tử e và lỗ trống h trong chấm được xác định qua hàm Hamiltonian có dạng như sau:
H(r , r = + + U (r r + V (r )+ V (r ) (3.1) Trong đó, U (r r là thế năng tương tác giữa điện tử và lỗ trống m là khối lượng hiệu dụng của e và h (để đơn giản ta xét: m = me = mh)
V (r ) là thế cầm tù lên điện tử e
V (r ) là thế cầm tù lên lỗ trống h
Thế cầm tù có dạng parabolic:
V (r ) = m ω r ; V (r ) = m ω r (3.2) Thế tương tác Coulomb giữa hai hạt có dạng:
U (r r = - | | (3.3) với e là độ lớn điện tích của điện tử, là hằng số điện thẩm chân không, là hằng số điện môi tương đối
Lý thuyết khối lượng hiệu dụng cung cấp mô hình đơn giản để tính toán năng lượng liên kết của exciton trong chấm lượng tử Tuy nhiên trong chấm lượng tử nhỏ,năng lượng liên kết của exciton tính theo phương pháp trên lại cho sai lệch khá lớn [7] Nguyên nhân là do thế tương tác Coulomb không còn chính xác khi r → ∞, bởi lẽ hằng số điện môi được sử dụng là hàm phụ thuộc vào tọa độ tươngđối giữa điện tử và lỗ trống
Thế tương tác Central-cell giữa hai hạt có dạng:
U ( = - | | ( 1+ U0 exp{- (3.4) Với U0 và là các tham số đặc trưng cho cường độ và phạm vi của thế Bây giờ, ta biểu diễn và qua hai tọa độ: tọa độ khối tâm và tọa độ tương ứng :
R r r r r r (3.5) Khi đó Hamiltonian của hệ trong chấm sẽ là:
Thế tương tác Central-cell giữa hai hạt được viết lại:
H có dạng phân ly biến số R và r: H = H(R) + H(r)
Phần chuyển động khối tâm: H (R) = + Mω R
Phần chuyển động tương đối: H (r) = + μω r + U(r)
Khi đó phương trình Schrodinger cho phần tọa độ khối tâm và phần toạ độ tương đối có dạng:
Mω R ψ(R) = ERψ(R) (3.8) μω r U r ϕ(r) = Er ϕ(r) (3.9) Hàm sóng của hệ được biểu diễn là tích của hai hàm sóng: hàm sóng khối tâm ψ( ) và hàm sóng tương đối ϕ( ) Năng lượng toàn phần của exciton sẽ là tổng của hai năng lượng ER và Er
Phương trình (3.8) là phương trình mô tả dao động tử điều hòa Như vậy hàm sóng ψ( ) và năng lượng ER được xác định, đó chính là nghiệm của phương trình dao động tử điều hòa ΨN(R) ! √ e HN (3.10)
Trong đó HN là đa thức Hermit: HN (ξ) = (-1) N e (3.11) Với ξ = ; A = : là bán kính hiệu dụng của chuyển động khối tâm
Với N là số lượng tử chính: N = 0, 1,2,…
Trạng thái cơ bản của exciton đối với chuyển động khối tâm là:
Phương trình (3.9) không thể giải chính xác Ta dùng phương pháp nhiễu loạn để xác định năng lượng của phần chuyển động tương đối của exciton trong chấm lượng tử ở trạng thái cơ bản
Giả sử thế cầm tù là mạnh, thế tương tác U(r) giữa điện tử và lỗ trống được coi là một nhiễu loạn Khi chưa tính đến thế tương tác U(r) thì (3.9) có dạng: μω r ϕ(r) = Er ϕ(r) (3.14) Phương trình (3.14) cũng là phương trình mô tả dao động tử điều hòa:
Với a = là bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối Ở trạng thái cơ bản (n =0):
Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để tính yếu tố ma trận củaU Đây cũng chínhlà năng lượng liên kết của cặp điện tử - lỗ trống trong chấm lượng tử(năng lượng liên kếtcủa exciton loại 1)
Elk = dr|ϕ r | U r = dr|φ r | U r (3.18) Thay (3.7), (3.17) vào (3.18):
√ exp [ 1+ U0 exp{-λr (3.19) Chuyển qua hệ tọa độ cầu ta có: dr → r 2 sin θ dr dθ dφ (3.20) Đưa vào hệ không thứ nguyên:
Với là bán kính Borh hiệu dụng của exciton khối
Khi đó (3.19) có thể được viết lại như sau:
Hay Elk √ 1 U exp kR exp R dR (3.22) Chúng tôi chọn giá trị của các thông số: U0 = 3.85; k = 0.05; γ = 1, tính toán thu được giá trị năng lượng liên kết của exciton trong chấm lượng tử là 5.26577E0 (với E0 là năng lượng của exciton khối E0 = )
Biểu thức (3.22) cho thấy năng lượng liên kết của exciton loại một trong chấm lượng tử phụ thuộc vào bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối a (thể hiện qua ) và hằng số điện môi
Trong hệ đơn vị là năng lượng của exciton khối (E0= ), năng lượng liên kết của exciton loại I trong QD phụ thuộc vào bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối a (thể hiện qua ) thể hiện bằng đồ thị như trên Hình 3.6 Chúng tôi chọn giá trị của các thông số như sau: U0 = 3.85; k = 0.05
Hình 3.3 Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối a ( = )
Năng lượng liên kết của exciton loại I trong QD còn phụ thuộc vào hằng số điện môi (bản chất của vật liệu) thể hiện qua kết quả tính số ở Hình 3.7 Chúng tôi chọn giá trị của các thông số như sau: U0 = 3.85; k = 0.05; γ = 1; a0 300A 0
Hình 3.4 Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào hằng số điện môi
Hình 3.4 cho thấy năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào hằng số điện môi Giá trị này tăng khi hằng số điện môi giảm
Như vậy năng lượng liên kết của exciton loại 1 trong QD tỉ lệ nghịch với bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối và hằng số điện môi chấm mạng Dựa vào điều này cho thấy, có thể điều chỉnh cấu trúc của vật liệu thấp chiều để tăng năng lượng liên kết của exciton
Với mô hình exciton loại 1 [1] , các tác giả Banyai, L and S W Kock xem lỗ trống chuyển động trong trường của điện tử, đã cho kết quả năng lượng liên kết của exciton loại 1 trong chấm lượng tử như sau:
Vì R ≪ a0, do đó E(0D)>5 , nghĩa là năng lượng liên kết này lớn hơn 5 lần so với năng lượng liên kết của exciton ở trạng thái cơ bản trong hệ 3D ( )
Như vậy kết quả chúng tôi thu được cũng gần với kết quả của các tác giả khác [1] với kết quả 5.26577E0, ngoài việc cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng liên kết của exciton loại 1 vào bán kı́nh hiê ̣u du ̣ng của chuyển đô ̣ng tương đối, kết quả còn cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng này vào hằng số điện môi chấm mạng
Chương này ta nghiên cứu kĩ hơn về exciton nói chung và exciton loại 1 nói riêng trong chấm lượng tử Khi chiếu chùm tia sáng vào bán dẫn thì một số điện tử ở vùng hóa trị hấp thụ ánh sáng nhảy lên vùng dẫn, để lại vùng hóa trị các lỗ trống mang điện tích dương Do tương tác Coulomb giữa lỗ trống ở cùng hóa trị và điện tử ở vùng dẫn mà hình thành trạng thái liên kết cặp điện tử - lỗ trống được gọi là giả hạt exciton Exciton được phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất và vật liệu đang xét: Exciton Mott-Wannier và Exciton Prenkel
KẾT LUẬN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, chúng tôi đã thực hiện được một số việc như sau: Ở chương I, khóa luận đã nghiên cứu cơ sở vật lý hệ thấp chiều Nghiên cứu khái niệm, các cơ sở lý thuyết và mô tả cấu trúc hệ thấp chiều Cấu trúc thấp chiều hình thành khi ta hạn chế không gian thành một mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là ta hạn chế chuyển động của các điện tửtheo ít nhất là một hướng trong phạm vi khoảng cách cỡ bước sóng de Broglie của nó (cỡ nm) Nếu hạn chế chuyển động của electron theo một chiều ta được hệ hai chiều (giếng lượng tử), hạn chế theo hai chiều ta được hệ một chiều (dây lượng tử) và hạn chế theo ba chiều ta được hệ không chiều (chấm lượng tử)
Trong chương II khóa luận đã trình bày tổng quan về chấm lượng tử Khái quát chung về chấm lượng tử, đặc điểm, các hiệu ứng cơ bản của chấm lượng tử bao gồm: hiệu ứng bề mặt, hiệu ứng giam giữ lượng tử, hiệu ứng đường hầm và hiệu ứng khóa Coulomb
Ngoài ra, chương II còn trình bày cấu trúc điện tử cơ bản và ứng dụng của chấm lượng tử trong cuộc sống hứa hẹn đem đến những bước phát triển lớn cho các ngành khoa học kỹ thuật nước nhà
Chương III là chương chính của đề tài đề cập đến exciton và cụ thể là exciton loại I trong chấm lượng tử Chương này trình bày khái niệm, phân loại, tính chất của exciton; mô hình, năng lượng và bài toán cụ thể của exciton loại I trong chấm lượng tử
Chúng tôi đã đưa ra biểu thức năng lượng liên kết của exciton thẳng, exciton truyền thống (exciton loại 1) phụ thuộc vào bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối a (thể hiện qua ) và hằng số điện môi So sánh cho thấy, kết quả luận án đạt được gần với các tác giả khác
Dựa trên việc tìm hiểu về các giả hạt exciton nói trên tạo cơ sở cho việc nghiên cứu và tạo ra các bán dẫn có cấu trúc thấp chiều, chính là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính, các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới siêu nhỏ, thông minh và đa năng như hiện nay
Qua thời gian tìm hiểu và nghiên cứu, chúng tôi thấy rằng công nghệ nano hứa hẹn một thời kì phát triển mới của khoa học-công nghệ Đối với Việt Nam chúng ta nếu có sự đầu tư đúng mức, thì nó sẽ mang lại những lợi ích to lớn cho sự phát triển của ngành điện tử - viễn thông và công nghệ thông tin nước nhà Đó cũng chính là những vấn đề mà chúng tôi mong muốn được mở rộng nghiên cứu đối với hệ thấp chiều nói chung.
