ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1

ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1 Thời gian: 100 phút . Ca thi : CA 2 Hình thức thi tự luận: Đề gồm 09 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4.

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng Dụng

ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1

Ngày thi: 06/01/2020 Thời gian: 100 phút

Ca thi : CA 2 Hình thức thi tự luận: Đề gồm 09 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số







x(t) = t

t − 2 y(t) = t

2+ et−2

t2− 2t Câu 2: (1.0 điểm) Một cái chảo có hình dạng là 1 phần mặt cầu, với kích thước mặt ngoài như hình vẽ và có độ dày 1.5mm Người ta phủ thêm lớp chống dính phía trong chảo có độ dày 0.2mm Tính thể tích lớp chống dính theo cm3

Câu 3: (1.0 điểm) Khi bơm nước vào một bể chứa , thể tích nước trong bể thay đổi theo thời gian t (tính bằng phút) như công thức dưới đây

V (t) = πt

t

R

0

e−0.02s2ds (m3)

Tìm thời điểm thể tích nước trong bể tăng nhanh nhất kể từ khi bắt đầu bơm nước vào bể (Ban đầu bể không chứa nước)

Câu 4: (1.0 điểm) Tìm nghiệm phương trình vi phân:

(x − 3y)y0 = (2x − 6y + 1)2− 1 thỏa y(−2) = −1

Câu 5: (1.5 điểm) Giải phương trình vi phân: y00− 2y0+ 2y = (2x − 3) cos(2x) + 3 sin(2x)

Câu 6: (1.5 điểm) Dân số thành phố A tính từ đầu năm 2009 là một hàm số P (t), đơn vị triệu người, trong đó t tính bằng năm Biết rằng tốc độ gia tăng dân số phụ thuộc vào tốc độ tăng tự nhiên là k%/năm và số dân thay đổi do nhập cư và di cư là I ngàn người mỗi năm Giả sử dân

số thành phố A vào đầu năm 2009 là P0 (triệu người)

1 Tính P (t) theo P0, k và t

2 Đầu năm 2009, thành phố Hồ Chí Minh có 7.1 (triệu người), tốc độ gia tăng dân số tự nhiên là 1.1%/năm, số dân tăng do nhập cư và di cư là 126 ngàn người mỗi năm Áp dụng

mô hình trên để ước tính dân số thành phố vào đầu năm 2021

Câu 7: (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

+∞

R

3

xα

√

x + e−x+ 1 2x2− x + 1 dx Câu 8: (1.0 điểm) Một lon nước ngọt có nhiệt độ 28◦C được đặt vào ngăn mát tủ lạnh ở nhiệt

độ 8◦C Sau 15 phút, nhiệt độ của lon nước giảm còn 18◦C Theo định luật về sự thay đổi nhiệt của Newton, nhiệt độ của lon nước ngọt thay đổi theo thời gian t (tính bằng phút)thỏa:

T (t) = 20e−0.05t+ 8, t ≥ 0

Tìm nhiệt độ trung bình của lon nước ngọt từ phút thứ 5 đến phút thứ 8

Câu 9: (1.0 điểm) Tính diện tích miền giới hạn bởi phần đường cong y2 = x

2

1 − x với 0 ≤ x < 1

và đường thẳng x = 1 (phần tô màu sậm trong hình vẽ)

Giảng viên phụ trách ra đề

TS.Phùng Trọng Thực

CN Bộ môn duyệt

TS.Nguyễn Tiến Dũng

ĐÁP ÁN CA 2 Câu 1: Tiệm cận đứng : x = 1 (khi t → +∞), x = 0 (khi t → 0) (0.25Đ+0.25Đ)

Tiệm cận xiên phải: Y = 5

4x (khi t → 2) (0.5Đ).

Câu 2: Sinh viên có thể làm 1 trong 2 cách:

(a) Tính bằng công thức thể tích

V = π

 −4

R

−9.85

(9.852− y2) dy −

−4

R

−9.83

(9.832− y2) dy



≈ 7.22 (0.75Đ + 0.25Đ) (b) V = 0.02 × 2π

−4

R

−9.85

p9.852− y2

s

2

9.852− y2dy

≈ 7.24 (0.75Đ + 0.25Đ) Câu 3: V0(t) = π

t

R

0

e−0.02s2ds + πte−0.02t2 (0.25Đ)

V00(t) = 2πe−0.02t2 + πt(−0.04t)e−0.02t2 (0.25Đ)

V00(t) = 0 ⇐⇒ t = 5√

2, giải thích lý do V0 đạt gtln tại t = 5√

2 (0.5Đ) Câu 4: Đặt u = x − 3y, pt trở thành u1 − u

0

3 = (2u + 1)

2− 1 (0.5Đ) 12u + 11 = Ce−12x (0.25Đ)

12(x − 3y) + 11 = 23e−12(x+2) (0.25Đ)

Câu 5: y0 = ex(C1cos x + C2sin x) (0.5Đ)

yr = (Ax + B) cos(2x) + (Cx + D) sin(2x) (0.5Đ)

y = ex(C1cos x + C2sin x) − 1

5



x − 23 10

 cos(2x) −1

5

 2x −11 10

 sin(2x) (0.5Đ) Câu 6: 1/ P0(t) = 10−2kP + 10−3I (triệu người/năm) (0.5Đ)

P (t) =



P0+ I 10k



e10−2kt− I

10k (0.5Đ) 2/ P (12) ≈ 9.72 (triệu người) (0.5Đ)

Nếu Câu a viết phương trình dạng P0(t) = kP + I nhưng xuống dưới tính đúng vẫn cho trọn điểm

Câu 7: 0 < f (x) ∼ 1

2x3/2−α (0.5Đ),

α < 1

2 (0.5Đ) Câu 8: Ttb = 1

3

8

R

5

T (t)dt (0.5Đ) = 22.46◦C (0.5Đ)

Câu 9: S = 2

1

R

0

x

√

1 − xdx (0.5Đ) Đặt √

1 − x = t, S = 4

1

R (1 − t2)dt (0.25Đ) = 8

3 (0.25Đ)