Mảng Học tập và NCKH BCH LCĐ LCH Viện Toán Ứng dụng và Tin học REACH THE TOP STOP THE F ĐỀ THI THỬ MÔN GIẢI TÍCH I Câu 1 (2 điểm) Tính giới hạn lim n→∞ n2 ( n √ x− n+1 √ x ) , x > 0 a) lim (x,y)→(0,0)[.]
Mảng Học tập NCKH REACH THE TOP STOP THE F BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng Tin học ĐỀ THI THỬ MƠN GIẢI TÍCH I Câu (2 điểm) Tính giới hạn: a) lim n2 n→∞ √ n x− √ x , x > b) n+1 lim (x,y)→(0,0) √ xy √ xy + − xy + Câu (1 điểm) Tính giới hạn tổng sau: 1 1 + + + I = lim n + n→∞ n (n + 1)(n + 2m) (n + 2)(n + 4m) 2n (1 + 2m) với m tham số, m ≥ 0, m 6= π Z2 dx Câu (2 điểm) Tính: + sin x + cos x Câu (1 điểm) Tính thể tích vật thể quay hình giới hạn đồ thị (x − 2)2 + y = quanh trục Oy Câu (1 điểm) Xét tính hội tụ, phân kỳ: Z+∞ √ 2+x· √ xdx √ √ + x2 · 4 + x3 · 5 + x4 Câu (1 điểm) Tính vi phân cấp cấp hàm số: z x = ln + 10 z y 1, 05 0, 99 Câu (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số sau: Câu (1 điểm) Tính gần đúng: arctan u=x+y+z π Z2 Câu (1 điểm) Tính tích phân: √ với x2 + y ≤ z ≤ √ sin x dx √ sin x + cos x Soạn tài liệu: Huỳnh Văn Thuần, Nguyễn Văn Đại, Nguyễn Hải Yến, Lê Minh Đức Link group Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Mảng Học tập NCKH REACH THE TOP STOP THE F BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng Tin học HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: điểm a) điểm lim n2 n→∞ √ n x− √ 1 x = lim n2 · x n+1 · x n(n+1) − n+1 0.5đ n→∞ = lim n2 · x n→∞ n+1 · x n(n+1) − 1 n(n+1) · n(n + 1) 1 n e · x n+1 · n→∞ n + = lim ln x n(n+1) n(n+1) −1 = ln x (x > 0) 0.5đ b) điểm Cách 1: Đặt t = x · y, (x, y) → (0, 0) ⇔ t → Ta có: t xy √ √ √ = lim √ (x,y)→(0,0) xy + − xy + t→0 t + − t + lim 0.5đ = lim t→0 1 √ − p t + 3 (t + 8)2 Cách 2: Đặt t = x · y, (x, y) → (0, 0) ⇔ t → Ta có: xy t √ √ = lim √ (x,y)→(0,0) xy + − xy + t→0 t + − t + p p √ √ 3 t · t + + t + · t + + (t + 8) · (t + 4) + t + = lim t→0 (t + 4)3 − (t + 8)2 p p √ √ 3 t · t + + t + · t + + (t + 8) · (t + 4) + t + = lim t→0 t3 + 11t2 + 32t p p √ √ t + + t + · t + + (t + 8)2 · (t + 4)3 + t + = lim =6 t→0 t2 + 11t + 32 lim = 60.5đ 0.5đ √ 0.5đ Câu 2: điểm Soạn tài liệu: Huỳnh Văn Thuần, Nguyễn Văn Đại, Nguyễn Hải Yến, Lê Minh Đức Link group Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Mảng Học tập NCKH REACH THE TOP STOP THE F BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng Tin học 1 1 I = lim + n · + + + n→∞ n (n + 1)(n + 2m) (n + 2)(n + 4m) 2n (1 + 2m) n n X X 1 = lim · = lim n · n→∞ n n→∞ i i (n + i)(n + 2im) + 2m i=1 + i=1 n n 1 , với m ≥ 0, m 6= ta có hàm số liên tục [0, 1] (1 + x)(1 + 2mx) ⇒ hàm số khả tích [0, 1] i i−1 Đặt xi = , xi−1 = , ∆x = xi − xi−1 = , với xi , xi−1 ∈ [0, 1] n n n i i−1 i Chọn δi = ∈ , , ta có: f (δi ) = n n n (1 + δi )(1 + 2mδi ) Theo định nghĩa tích phân, ta có: Xét hàm số f (x) = I = lim ∆x · n X n→∞ i=1 Z1 = (1 + xi )(1 + 2mxi ) Z1 dx (1 + x)(1 + 2mx) 2m − dx + x + 2mx 1 = ln (x + 1) − ln (2mx + 1) − 2m = · − 2m · ln = − 2m 2m + Câu 3: điểm x ⇔ dx = dt t +1 2t − t2 sin x = ; cos x = + t2 + t2 Đặtt = tan π Z2 dx = + sin x + cos x Z1 Z1 = Z1 = 1+ 0.5đ t2 +1 dt 2t 1−t2 1+t2 + 1+t2 2dt t2 + + 2t + − t2 dt = ln t+1 0.5đ Soạn tài liệu: Huỳnh Văn Thuần, Nguyễn Văn Đại, Nguyễn Hải Yến, Lê Minh Đức Link group Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Mảng Học tập NCKH REACH THE TOP STOP THE F BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng Tin học Câu 4: điểm y Ta có: (xp − 2)2 + y = √ ⇔ y = ± − (x − 2)2 = ± −x2 + 4x − −1 x Áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể quay quanh Oy Z3 p Z3 p V1 = 2π x −x2 + 4x − 3dx = 2π x − (x − 2)2 dx 1 Z3 = 2π Z p p (x − 2) − (x − 2)2 dx + 2π − (x − 2)2 dx Z3 +) 2π 0.5đ h i 32 p −1 (x − 2) − (x − 2)2 dx = 2π · · − (x − 2) = π Z1 p Z3 p Z2 − t2 dt = 4π cos2 a · da = 2π +)2π − (x − 2)2 dx = 4π −1 −π ⇒ V1 = 2π ⇒ V = 2V1 = 4π (đvtt) 0.5đ Câu 5: điểm √ Khi x → +∞, + x ∼ x p 3 + x2 ∼ x p 4 + x3 ∼ x p 5 + x4 ∼ x ⇒√ mà 2+x· Z+∞ dx 103 x 60 √ 0.5đ x x √ √ ∼ = 103 + x2 · + x3 · + x4 x2 · x3 · x4 · x5 x 60 hội tụ ⇒ Tích phân cho hội tụ 0.5đ Câu 6: điểm Ta có: z = z(x, y) Lấy vi phân vế ta có: zdx − xdz y ydz − zdy = · z2 z y2 Soạn tài liệu: Huỳnh Văn Thuần, Nguyễn Văn Đại, Nguyễn Hải Yến, Lê Minh Đức Link group Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Mảng Học tập NCKH REACH THE TOP STOP THE F BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng Tin học hay yzdx − xydz − yzdz + z dy = (1) z(ydx + zdy) ⇒ dz = (x 6= −z) (2) 0.5đ y(x + z) Tiếp tục lấy vi phân (1) ta có: zdx.dy + ydx.dz − ydx.dz − xdy.dz − xyd2 z − zdy.dz − ydz − yzd2 z + 2zdy.dz = ⇔ y(x + z)d2 z = zdx.dy − xdy.dz + zdy.dz − ydz ⇔ y(x + z)d2 z = zdx.dy + (z − x)dy.dz − ydz (3) Từ (2) (3) z · (ydx − xdy)2 ⇒ d2 z = − (x 6= −z) 0.5đ y · (x + z)3 Câu 7: 1điểm ( f (x, y) = arctan xy Chọn x0 = 1, ∆x = 0, 05, y0 = 1, ∆y = −0, 01 y fx0 = ⇒ f (x , y ) = 0 x x + y2 −x fy0 = ⇒ fy0 (x0 , y0 ) = − x +y arctan 0.5đ 1, 05 = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + ∆x · fx0 (x0 , y0 ) + ∆y · fy0 (x0 , y0 ) 0, 99 1 = arctan + 0, 05 · + 0, 01 · 2 π = + 0, 03 0.5đ Câu 8: điểm z ux = Ta có: u0y = u0z = z = x2 + y u khơng có điểm dừng V Xét biên V Trên đáy (trên) V Ta có: z = 1, ≤ x2 + y ≤ Ta xét hàm phụ Langrange 2 φ = x + y + + λ(1 − x −y ) φx = − 2λx = Giải hệ Phương trình: φ0y = − 2λy = φ0 = x2 + y = λ O y x Soạn tài liệu: Huỳnh Văn Thuần, Nguyễn Văn Đại, Nguyễn Hải Yến, Lê Minh Đức Link group Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Mảng Học tập NCKH REACH THE TOP STOP THE F BCH LCĐ-LCH Viện Toán Ứng dụng Tin học √ ! √ 2 − ;− ; ; M2 2 Ta có điểm dừng: M1 ! √ √ 2 ;− ;1 M4 2 √ ! ! √ √ √ 2 2 ; ; ; M3 − ; ;1 ; 2 2 0.5đ Trên mặt xung quanh miền V : z = x2 + y ta có u = x + y + z = x + y + x2 + y ( với ≤ x2 + y ≤ u0x = + 2x = u0y = + 2y = 1 ⇔x=y=− ⇒z= ⇒ Giải hệ phương trình 2 1 M5 − ; − ; 2 So sánh giá trị u(M1 );√u(M2 ); u(M3 ); u(M4 ); u(M5 ) ta thấy: GTLN: M ax = u(M2 ) = + 1 GTNN: M in = u(M5 ) = − Câu 9: điểm π Z2 √ Ta có I = √ sin x dx √ sin x + cos x q π π √ Z2 Z sin π − x cos x q √ q Lại có I = dx = dx √ 1 sin x + cos x sin π − x + cos π − x 0 0.5đ (1) (2) 0.5đ Từ (1) (2) ta có: π π √ √ Z2 Z2 sin x cos x √ dx + √ dx 2I = √ √ sin x + cos x sin x + cos x 0 π √ Z √ sin x + cos x √ 2I = dx √ sin x + cos x π Z2 2I = ⇒I= · dx = π π Soạn tài liệu: Huỳnh Văn Thuần, Nguyễn Văn Đại, Nguyễn Hải Yến, Lê Minh Đức Link group Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI 0.5đ ... học HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: điểm a) điểm lim n2 n→∞ √ n x− √ 1 x = lim n2 · x n +1 · x n(n +1) − n +1 0.5đ n→∞ = lim n2 · x n→∞ n +1 · x n(n +1) − 1 n(n +1) · n(n + 1) 1 n e · x n +1 · n→∞ n + =... tục [0, 1] (1 + x) (1 + 2mx) ⇒ hàm số khả tích [0, 1] i i? ?1 Đặt xi = , xi? ?1 = , ∆x = xi − xi? ?1 = , với xi , xi? ?1 ∈ [0, 1] n n n i i? ?1 i Chọn δi = ∈ , , ta có: f (δi ) = n n n (1 + δi ) (1 + 2mδi... Theo định nghĩa tích phân, ta có: Xét hàm số f (x) = I = lim ∆x · n X n→∞ i =1 Z1 = (1 + xi ) (1 + 2mxi ) Z1 dx (1 + x) (1 + 2mx) 2m − dx + x + 2mx 1 = ln (x + 1) − ln (2mx + 1) − 2m = · −