Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 22 1 x y x có đồ thị ()C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng :2d y x m cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt ,AB sao cho 5AB . Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: 3 sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos sin 3 3x x x x x x Câu 3: (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 1y e x và 1 x y e x Câu 4: (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 50 49 1 3 i z i Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z và các đường thẳng: 12 1 3 5 5 : ; : 2 1 2 3 4 2 x y z x y z dd . Tìm các điểm 12 ,A d B d sao cho //AB P và AB cách P một khoảng bằng 1. Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi ,,M N P lần luowjt là trung điểm của các cạnh ,,SB BC CD . Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CM N P . Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy , cho hai đường thẳng 1 : 3 5 0d x y và 2 : 3 1 0d x y , điểm 1; 2I . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt 12 ,dd lần lượt tại ,AB sao cho 22AB . Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình: 7 2 5 22 x y x y x y x y Câu 9: (1 điểm) ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 7 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Cho ,,x y z là các số thực thỏa mãn 2 2 2 5x y z và 3x y z . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 xy P z HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: 1. Tập xác định: \ { 1}D . Ta có: 2 0, ( 1) 4 y x D x Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và ( 1; ) Ta có: lim lim 2 xx y nên hàm số có tiệm cận ngang 2y . 11 lim ; lim xx y nên hàm số có tiệm cận đứng 1x . Bảng biến thiên: x -1 'y || y 2 2 Đồ thị: 2. Phương trình hoành độ giao điểm là: 2 22 2 2 2 0 1 1 x x m x m x m x x Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3 Đường thẳng d cắt C tại 2 điểm phân biệt ,AB phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt 12 ,xx khác -1 2 8 16 0mm Theo định lý Viète, ta có: 12 12 2 2 2 m xx m xx Gọi tọa độ ,AB là 1 1 2 2 ; 2 , ; 2A x x m B x x m . 22 2 1 2 1 2 5 4 5AB x x x x 2 1 2 1 2 41x x x x 2 10 8 20 0 2 m mm m (thỏa mãn) Vậy 10; 2m Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị. Trong dạng bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến trong đề số 5). Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Cho hàm số 1x y xm có đồ thị () m C . Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :2d y x tại 2 điểm A và B sao cho 22AB . Đáp số: 7m 2. Cho hàm số 2 1 x y x có đồ thị ()C . Tìm m để đường thẳng :2d y m x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm ,AB phân biệt sao cho độ dài AB ngắn nhất. Đáp số: 1m Câu 2: Phương trình đã cho tương đương với: 23 2 sin cos 6 sin cos 2 3 cos 6 3 cos 3 3 8 3 cos sin 3 3x x x x x x x x 2 2 cos sin 3 cos 6 cos sin 3 cos 8 sin 3 cos 0x x x x x x x x 2 sin 3 cos 2 cos 6 cos 8 0x x x x 2 sin 3 cos 0 2 cos 6 co s 8 0 xx xx , vì cos 0x Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4 , tan 3 3 cos 1 2 xk k x x xk . Vậy nghiệm của phương trình là: ; 2 , 3 x k k k . Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Giải phương trình: 2 cos 2 cos 2 tan 1 2x x x . Đáp số: 2 ; 2 , 3 x k k k . 2. Giải phương trình: 2 tan tan tan 3 2x x x . Đáp số: 42 , k xk . Câu 3: Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình: 0 1 1 0 1 xx x e x e x x e e x Vậy diện tích hình phẳng cần tính là: 11 00 xx S x e e dx x e e dx 1 1 1 2 0 0 0 1 0 2 xx ex e xdx xe dx xd e 1 0 11 1 00 2 2 2 x x x e e e xe e d x e e (đvdt) Nhắc lại kiến thức và phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; , y f x y g x x a x b Khi đó diện tích hình phẳng là: b a S f x g x dx Khi đề bài chưa cho ,x a x b thì khi đó ,x a x b có thể được tìm ra bằng cách giải phương trình: f x g x Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong lny x x với trục hoành và đường thẳng xe Đáp số: 2 1 4 e S 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2 4yx và 2 3 x y Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5 Đáp số: 43 3 S Câu 4: Sử dụng công thức Moivre ta có: 50 50 49 49 2 cos sin 1 44 3 2 co s sin 66 i i z i i 25 49 2 5 25 2 co s sin 22 4 9 4 9 2 co s sin 66 i i 24 1 co s sin 2 3 3 i Suy ra: 24 1 co s sin 2 3 3 zi Vậy số phức z có phần thực là 24 2 5 11 cos 2 3 2 và phần ảo là 24 25 13 sin 2 3 2 Nhận xét: Đối với các biểu thức số phức với lũy thừa bậc cao, ta thường sử dụng dạng lượng giác của số phức cùng công thức Moivre. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: Số phức z x yi có dạng lượng giác cos sinz r i với 22 r x y và góc được xác định như sau: 2 2 2 2 cos ; sin xy x y x y Công thức Moivre: cos sin cos sin n i n i n Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 9 6 co s sin 1 3 33 z i i i Đáp số: Phần thực là 8 23 , phần ảo là 8 2 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 10 10 1 z biết 1 1 . Đáp số: Phần thực là 1 , phần ảo là 0 Câu 5: Vì 1 Ad nên tọa độ A có dạng 2 1; 3; 2A a a a Vì 2 Bd nên tọa độ B có dạng 3 5; 4 ; 2 5B b b b Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 6 Ta có: 3 2 4; 4 3; 2 2 5AB b a b a b a Vì //AB P nên ta có: .0 P AB n 2 3 2 4 4 3 2 2 2 5 0 6 1 0b a b a b a a b Ta có: 5 4 2 3 4 1 2 , , 1 1 1 33 a a a a a d A P d A B P b Với 2 5 3 ab , ta có: 8 11 9; 2;10 , 7; ; 33 AB Với 1 1 3 ab , ta có: 4 17 3; 4; 2 , 4; ; 33 AB Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z và hai đường thẳng 12 1 9 1 3 1 : ; : 1 1 6 2 1 2 x y z x y z dd . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 d và khoảng cách từ M đến mặt phẳng P bằng nhau. Đáp số: 2; 4;1M hoặc 1;1; 4M . 2. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho điểm 0;1; 3A và đường thẳng 1 : 22 3 xt d yt z . Tìm trên d hai điểm ,BC sao cho tam giác ABC đều. Đáp số: 6 3 8 2 3 ; ; 3 55 và 6 3 8 2 3 ; ; 3 55 Câu 6: Gọi O là trung điểm của AD . Vì tam giác SA D đều và SAD ABC D nên SO ABC D . Chọn hệ trục tọa độ O xyz sao cho tọa độ các đỉnh là: 0;0;0O , 3 0; 0; 4 a S , ; 0; 0 2 a D , ; 0; 0 2 a A , ; ; 0 2 a Ca , và ; ; 0 2 a Ba Từ đó suy ra tọa độ các điểm ,,M N P là: 3 ;; 4 2 4 aaa M , 0; ; 0Na , ; ; 0 22 aa P Ta có: 3 ;; 4 2 4 aaa AM , ; ; 0 2 a B P a nên .0A M B P . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7 Suy ra AM vuông góc với BP . Lại có: 3 ;; 4 2 4 a a a NM , ; 0; 0 2 a NC , ; ; 0 22 aa NP Suy ra: 2 2 3 3 1 3 , 0; ; , . 8 4 6 96 C M N P a a a N M N C V N M N C N P Nhận xét: Phương pháp tọa độ hóa là một phương pháp “chắc chắn” sẽ giải quyết được “tất cả” các bài hình học phẳng cũng như hình học không gian. Tuy nhiên, để tránh những tính toán cồng kềnh, phức tạp và xấu xí, không phải bài toán nào chúng ta cũng sử dụng phương pháp này, vì đa phần các bài toán trong đề thi không thuận lợi cho phương pháp này. Vậy khi nào ta sẽ tọa độ hóa trong các bài toán hình học không gian? Câu trả lời là khi tồn tại 3 đường đôi một vuông góc với nhau và thường là không xuất hiện mặt cầu, mặt nón. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: 1 ,. 6 A BC D V A B A C A D Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB AC a , '2A A a . Gọi ,MN lần lượt là trung điểm của đoạn 'AA và 'BC . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của 'AA và 'BC . Tính thể tích khối tứ diện ''M A BC . Đáp số: 3 2 2 a V . 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , 60 o BAD . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABC D và 3 4 a SO . Gọi ,EF lần lượt là trung điểm ,B C BE . Mặt phẳng chứa AD và vuông góc với SBC cắt hình chóp .S ABCD theo một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó. Đáp án: 2 9 16 a S . Câu 7: Giả sử 12 ; 3 5 ; ; 3 1A a a d B b b d Khi đó ta có: 1; 3 3 ; 1; 3 1IA a a IB b b Ta có: ,,I A B thẳng hàng 11 3 1 3 3 b k a IB k IA b k a Nếu 1a thì 14b AB (loại) Nếu 1a thì 1 3 1 3 3 3 2 1 b b a a b a Ta có: 2 2 2 2 3 4 2 2A B b a a b Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 8 2 2 5 12 4 0 2 5 ab a b a b ab Với 2t ta có: 3 2 2 : 1 0 20 a b a xy a b b Với 2 5 t ta có: 2 32 5 : 7 9 0 2 4 5 5 ab a xy ab b Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: : 1 0xy hoặc : 7 9 0xy Nhắc lại kiến thức và phương pháp: ,,M A B thẳng hàng M B k M A , với k là số thực nào đó. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Trong mặt phẳng O xy , cho hai đường thẳng 12 : 3 5 0, : 4 0d x y d x y và điểm 1;1I . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt 12 ,dd lần lượt tại ,AB sao cho 23IA IB . Đáp số: :0xy hoặc : 1 0x 2. Trong mặt phẳng O xy , cho hai đường thẳng 12 : 1 0, : 2 2 0d x y d x y và điểm 1; 0I . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt 12 ,dd lần lượt tại ,AB sao cho 30IB IA . Đáp số: : 5 1 0xy hoặc : 1 0xy . Câu 8: Điều kiện: 70 20 xy xy Đặt 7 ; 2 ; , 0x y u x y v u v . Khi đó ta có: 22 2 22 2 22 7 38 5 5 2 72 5 uv x xyu uv xy x y v vu y Hệ phương trình đã cho trở thành: 22 5 38 2 5 uv uv v 15 7 7 2 77 5 2 u v (vì ,0uv ) Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 9 Từ đó suy ra nghiệm của hệ là: 11 77 ; 1 0 7 7 ; 2 xy Nhận xét: Không quá khó khăn để chúng ta xác định được sẽ đặt các ẩn phụ như trên. Công việc quan trọng sau khi đã đặt ẩn phụ là biểu diễn các biểu thức chứa biến trong hệ đã cho theo các ẩn phụ mới. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Giải hệ phương trình: 5 2 2 2 5 2 4 3 3 x y x y x y x y Đáp số: 7 7 31 11 23 41 18 8 2 23 4 1 ;; 25 45 0 xy . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 5 7 3 5 2 3 1 x y x y x y x y Đáp số: ; 3;1xy Câu 9: Từ điều kiện ta có: 22 2 2 2 5 2 x y x y z x y 2 2 2 2 2 2 ( ) 10 2 ( ) 10 2 3 1 6 3x y z x y z z z z Dễ thấy 0z . Ta có: ( 2) 2P z x y 2 2 2 2 1 6 3P z z z 2 2 2 2 3 4 4 6 4 8 3 0P z P P z P P Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi ' 0 z 2 2 2 2 36 2 2 3 3 4 8 3 0 0 23 P P P P P P Giá trị nhỏ nhất của P là 36 23 , xảy ra chẳng hạn khi: 20 6 6 7 ;; 31 31 31 x y z Giá trị lớn nhất của P là 0 , xảy ra chẳng hạn khi: 2; y 0; z 1x Nhận xét: Bài toán trên là một ví dụ mẫu mực cho phương pháp sử dụng tính chất của tam thức bậc hai. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Cho ,,x y z là các số thực không âm thỏa mãn: 1x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 9 10 11P xy yz zx Hướng dẫn: Từ giả thiết 1x y z suy ra: 22 11 10 11 1 0 1 2P x y x y xy hay 22 11 12 11 10 10 0x y x y y P Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10 Ta có: 2 74 2 2 12 1 7 4 5 4 4 5 49 5 0. 11 37 29 6 1 1 1 0 95 2 1 4 8 x P y y Giá trị lớn nhất của P là 495 148 , đạt được khi 11 25 27 ;; 37 7 4 74 y x z 2. Cho , , ,a b c d là các số thực. Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 36a b c d a b c d ab Hướng dẫn: Viết lại bất đẳng thức dưới dạng: 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 3 0f a a c d b a b c d b c d Dễ dàng chứng minh được: 2 ' 3 0 ( ) 0, , , , a c d f a a b c d . điểm) Giải hệ phương trình: 7 2 5 22 x y x y x y x y Câu 9: (1 điểm) ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 7 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Cho ,,x y z là các số thực. Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 22 1 x y x có đồ thị ()C . 1. Khảo sát sự biến thi n. thẳng xe Đáp số: 2 1 4 e S 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2 4yx và 2 3 x y Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5 Đáp số: 43 3 S