1 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 32 3 2 3y x x m x m (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C khi 2m . b) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số C đã cho vuông góc với đường thẳng : – 2 0d x y . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 2 1 cos2 sin 2cos2 2sin2 x xx x . Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 3 1 0 1 3 xx I dx x . Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức z thỏa mãn phương trình 1 2 1 3 4 1 7i z i iz i i . b) Cho tập hợp A tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được bao số tự nhiên từ tập A mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 3 41 : 3 1 2 y xz d ; 2 d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 0x y z và : 3 12 0xy . Mặt phẳng Oyz cắt hai đường thẳng 1 d , 2 d lần lượt tại các điểm ,AB . Tính diện tích tam giác MAB , biết 1;2;3M . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , BD a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 2BM AM . Biết rằng hai mặt phẳng SAC và SDM cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD và mặt bên SAB tạo với mặt đáy một góc 0 60 . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn 22 : 2 6 15 0S x y x y ngoại tiếp tam giác ABC có 4;7A . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết 4;5H là trực tâm của tam giác. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 22 3 23 4 1 2 12 10 2 2 1 x x y y y y x ,xyR . Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương ,,xyz bất kỳ. Chứng minh rằng 1 11 1 1 1 yy x z x z y z x y z x . HẾT ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 3 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. Với 2m , hàm số trở thành 32 36y x x . - Tập xác định: DR . - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 ' 3 6y x x ; 0 '0 2 x y x . ' 0, ;0 2;yx , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 2; . ' 0, 0;2yx , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 . + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0; 6 CD xy . Hàm số đạt cực tiểu tại 2; 2 CT xy . + Giới hạn: lim ; lim xx yy . + Bảng biến thiên x 0 2 'y 0 0 y 6 2 - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm 0;6 . + Đồ thị hàm số nhận điểm uốn 1;4I làm tâm đối xứng. + Đồ thị hàm số đi qua các điểm 1;2 , 3;6 . - Vẽ đồ thị: Câu 1.b. Ta có 2 ' 3 6 2y x x m . Tiếp tuyến tại điểm M thuộc C có hệ số góc 2 2 3 6 2 3 1 5 5k x x m x m m Dấu đẳng thức xảy ra khi 1x . Suy ra min 5km tại điểm 1;4 – 4Mm Tiếp tuyến ( 5).1 1 4d m m . Kết luận: 4m . Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm hệ sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc. 3 Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm , AA A x y thuộc đồ thị hàm số y f x là ' A k f x . Hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 12 ,kk vuông góc với nhau khi và chỉ khi 12 .1kk . -Biểu thức 2 P a b b . Dấu bằng xảy ra 0a . Áp dụng cho bài toán : - Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 2 2 ' 3 6 2 3 1 5 5k y x x m x m m . Suy ra hệ số góc tiếp tiếp nhỏ nhất là 5km . - Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng : 2 0d x y có hệ số góc 1 d k nên theo tính chất hai đường thẳng vuông góc ta có phương trình 5 .1 1 4mm . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hàm số 32 2 1 2y x x m x m . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông góc với đường thẳng : 2 1d y x . Đáp số: 11 6 m . b. Cho hàm số 1 21 x y x . Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng : 9 1 0xy . Đáp số: 9 1; 9 7y x y x . Câu 2. Điều kiện ; 2 x k k Z . Phương trình tương đương với 4 22 4cos 1 cos 2 2cos 1 4sin cos x xx xx 3 2 2 cos cos 3 5cos 3 0 5 0 sin sin cos xx x xx x (do cos 0x ). 2 2 3 1 cot 5 3 1 tan 0 3tan 2 0 3tan 2tan 1 0 tan x x x x x x 2 tan 1 3tan 3tan 1 0 tan 1 , 4 x x x x x k k . Phương trình có nghiệm: ; 4 x k k . Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ sin x với cosx , tanx với cot x , phân tích nhân tử. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Sử dụng các công thức biến đổi 2 2 2 sin 1 cos ,1 cos2 2cosx x x x thu được phương trình: 3 3 cos 5cot 3 0 sin x x x . -Do cos 0x không là nghiệm của phương trình , chia 2 vế cho 2 cos x ta có 2 cos 3 50 sin cos x x x . -Thay 2 2 1 cos 1 1 tan , sin cos x x x tanx x có phương trình theo ẩn tanx . - Giải phương trình theo tanx thu được x , kiểm tra điều kiện ta có đáp án. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Giải phương trình: 2 4cos 1 sin 2 3 cos cos2 1 2sinx x x x x . 4 Đáp số: 5 5 2 ; 2 ; 3 6 18 3 x k x k x k . b. Giải phương trình: 2 1 sin2 2 3 sin 3 2 sin cos 0x x x x .(Thi thử THPT Phan Đăng Lưu). Đáp số: 7 2 ; 2 ; 2 ; 2 6 6 3 x k x k x k x k . Câu 3. Ta có 3 1 1 1 1 2 0 0 0 0 27 27 1 27 1 39 3 3 3 x x x I dx x x dx dx dx x x x 1 1 11 32 00 0 0 1 3 1 47 4 1 9 27ln 3 27ln 3 2 3 6 3 3 xx x x x x dx dx xx . Tính 1 0 1 3 x A dx x . Đặt 2 1 1 ; 2t x x t dx tdt . Khi 01 10 xt xt . Suy ra 2 2 2 0 1 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 0 44 2 2 2 2 8 22 4 4 4 t t t dt A dt dt dt dt tt t t t 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 2ln 2 2ln3 2 2 2 t dt t t t . Vậy 59 27ln4 25ln 3 6 I . Nhận xét: Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta có thể sử dụng ngay đổi biến số 1tx , tuy nhiên đổi biến số ngay từ đầu sẽ dẫn tới một tích phân mới sử dụng phép chia đa thức. Để đơn giản ta sử dụng kĩ thuật phân tích đa thức cơ sở. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Sử dụng phân tích tử biểu thức dưới dấu tích phân ta có: 33 1 27 27 1x x x x chuyển tích phân thành 3 tích phân nhỏ. - Tính 1 2 0 39xx sử dụng công thức 1 1 n n x x dx C n . - Tính 1 0 27 3 dx x bằng sử dụng công thức ' ln u du u C u . - Tính 1 0 1 3 x A dx x bằng phương pháp đổi biến số 1tx . Tách thành hai tích phân 11 00 28 22 dt dt tt . Sử dụng khai triển dạng ln tính được 1 1 0 0 2 8 2ln 2 22 dt t t tt . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Tính tích phân 4 3 2 1 x x x x I dx x . Đáp số: 19 ln 4 2 I . 5 b. Tính tích phân 6 2 1 2 1 4 1 I dx xx . Đáp số: 31 ln 2 12 I . Câu 4.a. Phương trình tương đương với 2 1 2 3 4 4 3 1 7i i z i i z i 5 5 10i z i 21 2 1 12 ii i zi i Vậy phương trình có nghiệm: 1zi . Nhận xét: Bài toán giải số phức cơ bản với các phép biến đổi tương đương. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Số phức 2 2 2 2 2 2 a bi c di a bi ac bd bc ad zi c di c d c d c d . -Khai triển biểu thức 1 2 1 3 4 1 7i z i iz i i được 2 5 5 10 1 1 i i z i z i i . Lưu ý: Ta có thể đặt z a bi thay vào biểu thức để tìm z . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Tìm số phức z x yi thỏa mãn 23 2 3 2 1 1 35 50x i y i i . Đáp số: 52zi . b. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 3 4 1 3i z z i i . Đáp số: 25zi . Câu 4.b. Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là 3 9 C . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau đây: Trường hợp 1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 5! 3. 60 3! số tự nhiên. Trường hợp 2. Một trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 5! 3. 90 2!2! số tự nhiên. Vậy có 150 số. Nhận xét: Bài toán tìm số các số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau. Để giải dạng toán này ta chia các trường hợp cụ thể, sau đó lấy tổng các trường hợp để được đáp án. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Tìm số cách chọn 3 chữ số phân biệt ,,a b c từ 9 chữ số khác 0. Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó. - Trường hợp 1: Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số ,,a b c có 3 cách , mỗi hoán vị của 5 chữ số tạo ra số tụ nhiên n. - Trường hợp 2 : Một trong 2 chữ số còn lại bằng một trong các chữ số ,,a b c và số còn lại bằng 1 chữ số khác trong 3 số đó. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đáp số: 840. 6 b. Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số đều phải có mặt số 6. Đáp số: 1630. Câu 5. Vì ,A B Oyz nên 0 AB xx . Do 1 Ad nên 31 0 4 5 5 5 5 ; 0; ; 3 1 2 3 3 3 3 AA AA yz y z A . 2 Bd nên 2 0 4 0; 4; 2 3 12 0 2 B B B BB y z y B yz . 11 14 11 17 1; ; ; 1;2; 1 ; 13; ; 3 3 3 3 MA MB MA MB . 11 ; 1931 26 MAB S MA MB (đvdt). Nhận xét: Để tính diện tích một tam giác trong không gian 3 chiều Oxy z ta lập tọa độ 2 vector hai cạnh kề nhau rồi sử dụng công thức tính diện tích. Với bài toán ta tìm các đỉnh ,,M A B với giải phương trình cơ bản. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Diện tích tam giác MNP trong hệ trục tọa độ Oxyz cho bởi công thức : 1 . 2 MNP S MN MP . - Mặt phẳng Oyz có phương trình 0x . Thay hoành độ các điểm ,AB vào phương trình 12 ,dd tính được ,AB . - Tính vector ,;MA MB MA MB . - Sử dụng công thức tính diện tích tam giác 1 ; 2 MAB S MA MB . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 1; 5;0 , 3 ;3;6AB và đường thẳng 1 1 : 2 1 2 y xz d . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Đáp số: 1;0; 2M . b. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm 0;1;3A và đường thẳng 1 : 2 2 3 xt d y t z . Hãy tìm các điểm ,BC thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC đều. Đáp số: 6 3 8 2 3 6 3 8 2 3 ; ;3 , ; ;3 5 5 5 5 6 3 8 2 3 6 3 8 2 3 ; ; 3 , ; ;3 5 5 5 5 BC BC . Câu 6. Gọi H AC DM vì SAC ABCD , SDM ABCD , suy ra SH ABCD . 7 Từ H kẻ HK ⊥ AB SK AB , suy ra là góc giữa hai mặt phẳng 0 60SKH là góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD . Do 11 // 3 4 2 HA AM AO AM CD AH AC HC CD . Mà ABD đều, AO là đường cao. Suy ra 0 3 3 1 3 3 .sin . .tan60 4 4 2 8 8 a a a a AH HK AH HAK SH HK . Vậy 33 . 1 1 3 3 3 . . . 3 3 8 2 16 S ABCD ABCD a a a V SH S Ta có . cos ; OM HA AM SA OM SA . Mà 20 1 . . . . .cos30 2 OM SA OA AM SH HA AO AH AM AH AO AM AH 2 2 1 3 3 3 2 2 3 4 2 4 a a a a . Vậy 2 12 4 cos ; 13 21 273 68 a OM SA aa . Nhận xét: Yếu tố hình học lớp 11 về góc giữa hai mặt phẳng , tính chất hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng khác được khai thác triệt để trong bài toán. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Hai mặt phẳng ; cùng vuông góc với mặt phẳng d . - Gọi H AC DM SH ABCD . -Dựng góc tạo bởi ,SAB ABCD :Kẻ 0 60HK AB SKH . - Tính thể tích khối chóp:Tính SH ,áp dụng công thức tính thể tích khối chóp . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S . - Tính cosin giữa hai đường thẳng ,OM SA :Sử dụng phương pháp vector . cos ; . OM HA AM SA OM SA . Mặt khác . cos ;OM SA OA AM SH HA OM SA . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hình chóp .S ABC có ,2SA SB SC CA CB a AB a . Tính thể tích khối chóp .S ABC và cosin góc giữa hai măt phẳng ,SAC SBC . Đáp số: 3 . 2 12 S ABC a V (đvtt) và 1 cosin , 3 SAC SBC . 8 b. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng ,ABC SC a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng SCB và ABC trong trường hợp thể tích khối chóp 3 . 93 S ABC a V . Đáp số: 1 , arcsin 3 SCB ABC . Câu 7. Gọi ' 2; 1A là điểm đối xứng với A qua tâm 1;3I của S . Khi đó / / , ’' //AC BH A B CH 'A BHC là hình bình hành. Gọi M là giao điểm của BC với ’ 2;1A H M . Suy ra đường thẳng qua M vuông góc với 0; 2AH là đường thẳng BC có phương trình – 2 0y . Giao điểm của đường thẳng 2y với đường tròn S là hai điểm ,BC có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 22 1 2 6 2 6 15 0 2 23 0 1 2 6 y yy x x y x y x x x . Vậy 1 2 6;2B và 1 2 6;2C . Nhận xét: Để giải bài toán ta cần chú ý tới tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác, trực tâm của tam giác. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Đường tròn S ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I là giao của 3 đường trung trực nên IA IB IC . -Phương trình tổng quát đường thẳng d qua ;M a b nhận 22 ;0n làm một vector pháp tuyến: 0x a y b . -Tính chất song song với các trục ,Ox Oy . Áp dụng cho bài toán: - Gọi 'A là điểm đối xứng của A qua tâm 'IA . Ta có ' / / , ' / / 'A C BH A B CH A BHC là hình bình hành. Gọi 'M BC A H M . Vector AH vuông góc với vector chỉ phương của BC hay BC nhận AH làm một vector pháp tuyến, suy ra phương trình BC . -Tọa độ các điểm ,BC là nghiệm của hệ phương trình , , B C BC B C S . Lưu ý: Từ vector 0;2AH ta dẫn tới phương trình BC . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: 9 a. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết 1;0 , 0; 2AB và giao điểm của hai đường chéo là I thuộc đường thẳng yx . Tìm tọa độ đỉnh ,CD . Đáp số: 5 8 8 2 ; , ; 3 3 3 3 CD hoặc 1;0 , 0; 2CD . b. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác từ A , trung tuyến từ B , đường cao kẻ từ C phương trình lần lượt là 3 0; 1 0;2 1 0x y x y x y . Tìm tọa độ các đỉnh tam giác. Đáp số: 12 39 32 49 8 6 ; , ; , ; 17 17 17 17 17 17 A B C . Câu 8. Phương trình thứ nhất tương đương với 2 2 4 2 4 2x x y y . Xét hàm số 2 4y f t t t trên R . Ta có 2 2 2 2 4 ' 1 , 4 4 4 tt t t t f t o t t t t , suy ra ft là đồng biến trên ℝ. Nhận thấy 22f x f y x y là nghiệm duy nhất của phương trình. Thế 2xy vào phương trình thứ hai, ta được 3 33 2 3 3 3 3 5 2 2 1 1 2 1 1 2 1x x x x x x x . Xét hàm số 3 2y g s s s trên R . Ta có 2 ' 3 2 0,g s s s , suy ra gs là đồng biến trên ℝ. Nhận thấy 33 33 1 1 1 1g x g x x x là nghiệm duy nhất của phương trình. 3 32 12 1 1 3 3 0 00 xy x x x x xy . Hệ phương trình có nghiệm: 1; 2 , 0;0 . Nhận xét: Phương pháp dùng hàm đặc trưng tìm ra mối quan hệ giữa ,xy giải hệ phương trình. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Hàm số fx đồng biến(nghịch biến ) trên D f u f v u v . - Sử dụng nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ. Nhận thấy cùng dạng 2 4tt . Xét hàm số 2 4;f t t t t R . Ta có hàm ft đồng biến trên R nên 22f x f y x y . - Thay vào phương trình thứ hai suy ra phương trình 3 23 3 5 2 2 1x x x . Tới đây thêm bớt ra hàm đặc trưng với hàm 3 2g s s s đồng biến trên R . Giải phương trình vô tỉ cơ bản ta được nghiệm của hệ. Bài tập tương tự: a. Giải phương trình 2 2 1 1x x x x x . Đáp số: 1 33 1; 16 xx . 10 b. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 4 1 4 3 1 2 1 6 17 x y x y y x x y x x y . Đáp số: ; 0;1 , 1;2 , 3;0xy . c. Giải hệ phương trình 22 2 1 1 1 35 12 1 x x y y y y x . Đáp số: 5 5 5 5 ; ; , ; 3 3 4 4 xy . Câu 9. Bất đẳng thức tương đương 1 11 00 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) y y y x z y x x z z x z y y z z x x y y z z x x Giả sử max , ,x x y z . Nếu yz thì 11 x y x y x x y y và 11 y z y z x x z z . Suy ra 0 1 1 1 1 1 1 x y y z y x z y x z x z x x y y z z y y z z x x (điều phải chứng minh). Nếu yz thì 11 z y z y z z y y và 11 x z x z x x y y . Suy ra 0 1 1 1 1 1 1 z y x y y x z y x z x z z z x x y y y y z z x x (điều phải chứng minh). Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng các phép so sánh của tập số thực R . Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Biến đổi bất đẳng thức đã cho, phân tích ta được 0 1 1 1 y x z y xz y y z z x x . Giả sử ax , ,x m x y z . + Nếu , 1 1 1 1 x y x y y z y z yz x x y y x x z z (Sử dụng phép so sánh cơ bản). + Nếu yz ta có , 1 1 1 1 1 1 1 z y z y z y x y x z x z x z z z y y x x y y z z x x y y . Chuyển vế ta có 0 1 1 1 y x z y xz y y z z x x . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho các số ,,xyz không âm. Chứng minh rằng 3 2 9 7x y z xyz x y z xy yz zx (England-1999). b. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng a b c a b c a b b c c a b c c a a b . . điểm ,BC thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC đều. Đáp số: 6 3 8 2 3 6 3 8 2 3 ; ;3 , ; ;3 5 5 5 5 6 3 8 2 3 6 3 8 2 3 ; ; 3 , ; ;3 5 5 5 5 BC BC . . Câu 3. Ta có 3 1 1 1 1 2 0 0 0 0 27 27 1 27 1 39 3 3 3 x x x I dx x x dx dx dx x x x 1 1 11 32 00 0 0 1 3 1 47 4 1 9 27ln 3 27ln 3 2 3 6 3 3 xx x. một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 5! 3. 60 3! số tự nhiên. Trường hợp 2. Một trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số