ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN HỌC THPT 2015 KÈM LỜI GIẢI VÀ ĐÁP SỐ - ĐỀ SỐ 8

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 32 31y x x   có đồ thị   C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số. 2. Tìm hai điểm ,AB thuộc đồ thị   C sao cho tiếp tuyến của   C tại A và B song song với nhau và độ dài 42AB  . Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình:   cos 2 cos 2 4 sin 2 2 1 sin 44 x x x x                     Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân: 32 ln 3 0 2 4 3 1 xx xx ee ee I dx     Câu 4: (1 điểm) Giải hệ phương trình: 11 1 6 5 2 y y y x x x C C C    Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho hai đường thẳng 12 ,dd lần lượt có phương trình: 12 1 2 1 1 : , : 2 1 2 2 1 xt x y z dd yt z              . Viết phương trình mặt phẳng   P song song với 1 d và 2 d sao cho khoảng cách từ 1 d đến   P gấp 2 lần khoảng cách từ 2 d đến   P Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng   ABC là điểm H thuộc AB sao cho 2H A H B . Góc tạo bởi SC và mặt phẳng   ABC bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng ,SA B C theo a . Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy , cho hình thang AB CD vuông tại A và D có đáy lớn là CD , đường thẳng AD có phương trình 1 : 3 0d x y , đường thẳng BD có phương trình 2 : 2 0d x y , góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45 o . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương. Câu 8: (1 điểm) Giải phương trình:   22 3 2 1 3x x x x     ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 8 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Câu 9: (1 điểm) Cho ,,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 0xy yz zx và   max , ,z x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 23 x y z P y z z x x y       HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: 1. Tập xác định: D  . Ta có: 2 0 3 6 ; ' 0 2 x y x x y x             '' 6 6; '' 0 0; ''(2) 0y x y y    Suy ra hàm số đạt cực đại tại 0x  và đạt cực tiểu tại 2x  . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ;0 và (2; ) , hàm số đồng biến trên khoảng   0; 2 Tính giới hạn: lim ; lim xx y            Bảng biến thiên: x  0 2  'y + 0  0 + y 1   -3 Đồ thị: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3 2. Gọi tọa độ của ,AB là     3 2 3 2 ; 3 1 , ; 3 1A a a a B b b b    với ab . Vì tiếp tuyến của   C tại A và B song song với nhau nên ta có:         22 ' ' 3 6 3 6 2 0y a y b a a b b a b a b          20ab    , vì ab . Mà ab nên ta có: 21a a a    . Ta có:     2 2 2 3 2 3 2 33A B b a b b a a                2 23 33b a b a ab b a b a b a                  2 2 2 2 36b a b a b a ab                2 2 2 2 6b a b a b a ab              22 12b a ab            2 2 2 2 2 1 2 2a a a               6 4 2 4 1 24 1 40 1a a a      Ta có:       6 4 2 4 2 4 1 24 1 40 1 32AB a a a              6 4 2 1 6 1 10 1 8 0a a a          2 3 14 1 a a a          Với 3a  , ta có hai điểm     3;1 , 1; 3AB Với 1a  , ta có hai điểm     1; 3 , 3;1AB Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4 Vậy hai điểm cần tìm là:     3;1 ; 1; 3 . Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Cho hàm số 32 6 9 3y x x x    có đồ thị ()C . Tìm tất cả các giá trị k sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến với   C phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục ,O x O y tương ứng tại ,AB sao cho 2015.O A OB . Đáp số: 9 ; 60 51 2 k     2. Cho hàm số 3 1y x m x m    có đồ thị () m C . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị   m C tại điểm M có hoành độ 1x  cắt đường tròn       22 : 2 3 4C x y    theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Đáp số: 2m  Câu 2: Phương trình đã cho tương đương với:   2 2 2 2 4 4 4 4 2 co s cos 4 sin 2 2 1 sin 22 x x x x xx               2 co s 2 cos 4 sin 2 2 2 sin 0 4 x x x         2 cos 2 4 2 sin 2 2 0xx      2 2 2 sin 4 2 sin 2 0xx    1 sin 2 x 2 6 , 5 6 2 xk k xk              . Vậy nghiệm của phương trình là: 6 2, 6 5 2;x k k k          . Nhận xét: Đây là dạng phương trình lượng giác dễ, chỉ cần các phép biến đổi đơn giản để đưa về phương trình bậc hai theo một biến. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Giải phương trình: 2 2 2 2 3 cos cos 2 co s 3 cos 4 2 x x x x    . Đáp số: 2 ; ; , 8 4 5 5 k x k k k                . 2. Giải phương trình: 5 5 2 4 sin cos 4 cos sin sin 4x x x x x . Đáp số: ;, 4 8 2 kk xk           . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5 Câu 3: Đặt   3 2 2 3 2 3 2 4 3 4 3 2 12 6 x x x x x x t e e t e e tdt e e dx        Đổi cận: 01xt   ln 3 9xt   Khi đó ta có: 99 11 9 ln 1 1 1 1 8 ln 5 1 1 3 1 3 1 3 3 tt tdt I dt tt             Vậy 8 ln 5 3 I   Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Tính tích phân: ln 2 2 3 ln 12 x xx e e Id e x      Đáp số: 2 ln 3 1I  2. Tính tích phân: 2 1 ln 3 ln 1 ln e x I x x dx xx       Đáp số: 3 5 2 2 2 3 e I   3. Tính tích phân:     1 2 ln 1 ln e x x x dx x I x     Đáp số: 3 2 ln 2Ie   Câu 4: Điều kiện: , , 01 1 01 1 01 xy xy yx y yx xy yx                        Ta có: 11 1 6 5 2 y y y x x x C C C    1 1 11 1 ( 1) ! 1 ( )! 6 !( 1 )! 5 ( 1) !( 1) ! 65 1 ( )! 1 ( )! 5 ( 1) !( 1) ! 2 ( 1) !( 1) ! 52 yy xx yy xx xx CC y x y y x y xx CC y x y y x y                                   5( 1)( 1) 6( )( 1) 2( )( 1) 5 ( 1) x y x y x y x y x y y y                5( 1)( 1) 15 ( 1) 1 3 2( )( 1) 5 ( 1) 2( )( 1) 5 ( 1) x y y y x y x y x y y y x y x y y y                     Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 6 2 3 1 3 1 3 1 8 2(3 1 )(3 1 1) 5 ( 1) 3 9 3 3 x y x y x y x y y y y y y y y y y                                  Vậy nghiệm của hệ là:     ; 8; 3xy  . Nhận xét: Các phương trình, bất phương trình tổ hợp thường không khó để giải quyết. Chúng ta chỉ cần sử dụng công thức xác định của các biểu thức chỉnh hợp, tổ hợp hay hoán vị để rút gọn và tìm ra mối quan hệ đơn giản giữa các biến. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Giải bất phương trình: 2 2 3 2 16 10 2 x x x A A C x    Đáp số:   3; 4x  . 2. Giải hệ phương trình: 1 1 1 11 10 2 1 y y y y x x x x A yA A C       Đáp số:     ; 7;3xy . Câu 5: Đường thẳng 1 d có vectơ chỉ phương là   1 1; 1; 0u  và đi qua   1; 2;1A Đường thẳng 2 d có vectơ chỉ phương là   2 1; 2; 2u  và đi qua   2;1; 1B  Gọi n là vectơ pháp tuyến của   P . Vì   P song song với 1 d và 2 d nên ta có:   12 , 2; 2; 1n u u        Suy ra phương trình   P có dạng 2 2 0x y z m    . Ta có:         1 7 ,, 3 m d d P d A P           2 5 ,, 3 m d d P d B P   Mà             12 3 7 2 5 , 2 , 7 2 5 17 7 2 5 3 m mm d d P d d P m m mm m                         Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn đó là: 2 2 3 0x y z    và 17 2 2 0 3 x y z    . Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho hai đường thẳng 12 ,dd lần lượt có phương trình là 12 2 2 3 1 2 1 : , : 2 1 3 2 1 4 x y z x y z dd            . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng 12 ,dd . Đáp số: 14 4 8 3 0x y z    . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7 2. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho ba điểm       1;1; 1 , 1;1; 2 ,C 1; 2; 2AB   và mặt phẳng   : 2 2 1 0P x y z    . Viết phương trình mặt phẳng   Q đi qua A , vuông góc với mặt phẳng   P , cắt đường thẳng BC tại I sao cho 2IB IC . Đáp số: 2 2 3 0x y z    hoặc 2 3 2 3 0x y z    . Câu 6: Vì   SH ABC nên HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng   ABC . Góc tạo bởi SC và mặt phẳng   ABC là 60 o SC H  . Xét tam giác BHC , ta có: 2 2 2 2 7 2 . . cos 60 9 o a H C H B H C H B H C    7 3 a HC 7 2 1 . tan . 3 33 aa SH H C S C H    Suy ra: 23 . 1 1 21 3 7 . . . . 3 3 3 4 1 2 S AB C A BC a a a V S H S   Gọi E là trung điểm của BC và D là đỉnh thứ tư của hình bình hành AB CD . Ta có:           3 // , , , 2 A D B C d SA B C d B C SA D d H SA D   Kẻ       ,,HF AD H K SF H K SAD d H SAD H K      . Ta có: 23 33 a H F A E Trong tam giác vuông SHF , ta có: 2 2 2 22 1 1 1 . 42 12 H F H S a HK H K H F H S H F H S       Suy ra:       3 4 2 , . , 28 a d S A B C d H SA D Nhắc lại kiến thức và phương pháp:  Định lý hàm số cosin: 2 2 2 2 . .cosB C A B A C A B A C B A C    Góc tạo bởi một đường thẳng và một mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của đường thẳng này trên mặt phẳng đó. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 8 1. Cho hình chóp .S ABCD , đáy AB CD là hình thang có 90 o A B C BA D , BA BC a , 2AD a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2SA a , góc tạo bởi SC và   SAD bằng 30 o . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng   SC D . Đáp số: da . 2. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh huyển 2BC a , cạnh bên '2AA a , biết 'A cách đều các đỉnh ,,A B C . Gọi ,MN lần lượt là trung điểm của ',A A A C . Tính thể tích khối chóp 'C MN B và khoảng cách từ 'C đến mặt phẳng   M NB . Đáp án: 3 1 4 3 9 94 ; 1 6 7 1 aa Vd . Câu 7: Ta có: D là giao điểm của 12 ,dd , suy ra tọa độ D là   0; 0D . Vectơ pháp tuyến của AD và BD lần lượt là:     12 3; 1 ; 1; 2nn    Suy ra: 1 cos 45 2 o A D B A D B A D A B     Lại có:   , 45 o BC AB  nên 45 o B C D BC D   vuông cân tại 2B CD AB . Ta có:   2 13 24 24 24 4 4 2 22 A BC D S A B C D A D A B A B BD          Giả sử tọa độ B có dạng   2;B b b với 0b  . Ta có: 2 4 1 0 4 2 5 4 2 5 B D b b     (vì 0b  ). Vậy tọa độ điểm B là 8 10 4 10 ; 55 B     . Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với 2 d nên phương trình đường thẳng BC là: 2 4 1 0 0xy   . Nhận xét: Đối với các bài toán tọa độ trong mặt phẳng về các tứ giác đặc biệt, chúng ta cần tập trung khai thác các tính chất hình học phẳng thuần túy của tứ giác đó để giải quyết bài toán và hạn chế được số biến cần gọi. Khi giải quyết các bài toán này không yêu cầu chúng ta phải có hình vẽ, tuy nhiên sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta có một hình vẽ minh họa “rõ ràng và chính xác”. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho hình thang cân AB CD ( // ,AB C D AB C D ). Biết tọa độ các đỉnh ,AD là     0; 2 , 2; 2AD và giao điểm I của AC và BD nằm trên đường thẳng có phương trình : 4 0d x y   . Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình thang biết góc 45 o A ID  . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 9 Đáp số:     2 2; 2 2 , 2 4 2 ; 2 4 2BC    hoặc     4 3 2 ; 2 2 , 4 4 2 ; 2 2BC    2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho đường tròn 22 ( ) : 2 2 0C x y x y    và hai điểm     0; 4 , 4; 0AB . Tìm tọa độ hai điểm ,CD sao cho đường tròn   C nội tiếp hình thang AB CD có đáy là AB và CD . Đáp số: 1 1 1 1 ; , ; 2 2 2 2 CD              . Câu 8: Định hướng: Phương trình đã cho hoàn toàn có thể giải quyết bằng cách nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc 4 của x . Tuy nhiên, bằng việc nhẩm nghiệm ta thấy 0x  là nghiệm của phương trình, nên ta sẽ thử dùng phương pháp nhân lượng liên hợp để xử lý bài toán. Lời giải: Dễ thấy 3x  không là nghiệm của phương trình. Xét 3x  , phương trình đã cho tương đương với: 2 2 3 21 3 xx x x    2 2 2 1 1 3 x x x      22 2 2 3 2 1 1 xx x x    2 0 21 (*) 3 2 1 1 x x x           Ta sẽ giải phương trình   * :   2 * 2 1 1 2 6xx     2 2 1 2 5xx    22 5 5 1 3 2 2 1 4 20 2 5 x x x x x               Vậy phương trình có nghiệm:   0; 5 13x    Nhận xét: Phương pháp nhân lượng liên hợp là phương pháp rất mạnh để giải quyết các phương trình vô tỷ. Để giải quyết bài toán bằng phương pháp này, ta phải nhẩm được một nghiệm nào đó (có thể là nghiệm duy nhất) của phương trình. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: Phương pháp nhân lượng liên hợp: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10 Giả sử trong phương trình chúng ta có biểu thức có dạng   Px với   Px là một đa thức nào đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được xa là nghiệm của phương trình. Ta sẽ sử dụng đẳng thức:             P x P a P x P a P x P a    để làm xuất hiện đại lượng xa ở tử số. Một điều cần chú ý khi sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp là ta phải xét điều kiện để đảm bảo mẫu số của biểu thức liên hợp khác 0. Một số hằng đẳng thức hay dùng:  22 ab ab ab     33 22 ab ab a ab b     1 2 2 1 nn n n n n ab ab a a b a b b           Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Giải phương trình: 1 4 9 16 2 5 2 25x x x x x x           Đáp số: 0x  . 2. Giải phương trình: 3 2 2 2 15 3 8 2x x x     Đáp số: 1x  . 3. Giải phương trình: 3 2 2 3 1 3 1 5 6 x x x x x x           Đáp số: 3x  . Câu 9: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 3 1 2 2 3 1 x x x y z P y z y z y z z x x y                 Giả sử xy . Ta sẽ chứng minh: (*) x y z y z z x x y     Thật vậy,         (*) 1 xz yz x y y z x z x y        Ta có:         22 2 2. xz xz xz x y y z xy yz xz z x y x y z       Tương tự ta có:     22 22 yz yz yz x z x y xy yz xz xy yz xz        Suy ra:         22 11 22 xz yz xz yz yz xy x y y z x z x y xy yz xz xy yz xz               [...]... là 4, đạt được khi P 3 x  z; y  0 Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán đẹp và khó Sẽ rất khó khăn nếu chúng ta không biết đến bất đẳng thức (* ) Sau khi đã sử dụng kết quả của bất đẳng thức (* ) thì công việc khảo sát hàm số cuối cùng trở nên khá đơn giản Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1 (Khối B – 2014) Cho a , b , c là các số thực không âm thỏa mãn:  a  b  c của biểu thức:... 0; b  c  0 2 là các số thực thỏa mãn 1  x, y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4  x  y  1 Hướng dẫn: Sử dụng đánh giá Suy ra:  b c 2  Tìm giá trị lớn nhất c Hướng dẫn: Sử dụng các đánh giá: Suy ra:  0 x 2  3 x  2; y 2  3y  2 1 4  x  y  1 , xét hàm f (t )  t t 1  1 4  t  1 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 nhận được m in P  f (3 )  7 8 11 . hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương. Câu 8: (1 điểm) Giải phương trình:   22 3 2 1 3x x x x     ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 8 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Câu 9:. Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 32 31y x x   có đồ thị   C . 1. Khảo sát sự biến thi n.    . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng 12 ,dd . Đáp số: 14 4 8 3 0x y z    . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7 2. Trong không gian với hệ tọa độ