BÀI TẬP ĐẠO HÀM B1 – CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Bài 1: Tính đạo hàm cấp 1 f (x)  ln 3 3. Tính f’(1) của hàm , x   (2n 1), n   f(x) x(x1)3x2 1 f(x)x24x3 1. ex 1cosx 2. f (x)  2x 1sinx f (x)  3 2 15 x 1. x2 5. Tính 8. Cho biết yx(x1)arcsin  x 1   . Tính f’(3) f''''(1)f''''(3)   4. 6. Cho 17 x3  2 f x x2 x x1 . Tính f’(1) f1x 1x2 x 7. Cho 9. Cho hàm f (x)  x(x 1)(x  2)...(x 100) . Tí

BÀI TẬP ĐẠO HÀM B1 – CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Bài 1: Tính đạo hàm cấp 1

1 cos

x e

3 Tính f’(1) của hàm f x( )x x( 1) 3 x21 4

1 2 ( )

2

f x

x





5 Tính ' '

(1) (3)

f  f biết f x( )x2 4x3 6 Cho 2

1

x

x





  Tính f’(3)

8 Cho ( 1) arcsin

1

x

x

  

 Tính f’(1) 7 Cho 1 2

1

x

 

 

9 Cho hàm f x( )x x( 1)(x 2) (x100) Tính f’(0)

10

1 2

y



  Tính f’(0)

Bài 2: Tính đạo hàm hàm ngược:

1 Cho f x( ) arctan( ) 2 x  x Tính  1

'(2)

f

( ) ln( ) 2 3

f x  e x  x Tính  f 1'(5)

3 Cho f x( )e xarctanx Tính  1

'(1)

f

4 Cho f x( ) ln(ln ). x Tính  f 1'(x)

tại 1

5 Cho f x( )x13arctanx Tính  1

'(x)

f

tại 1

( ) x x

f x e e Tính  f 1'(x)

tại 2

Bài 3: Tính đạo hàm hàm hợp:

1 Cho y x g arctan 1 1

x

  Tính y’(-1), biết g(0) = 2, g’(0) = 1

2 Cho ( ) x 2sin( 3) , g(0) 2, '(0) 3

f x e g x  g  Tính f’(3)

3 Cho f x( ) ln( (e 1)). f x Tính f’(x)

4 Cho 2 cos

( ) ( 2) , '(1) 3, f(1) 2

1

x

x



( ) x 1 , (0) 2, '(0) 5

6 Cho ylne f x( )1 Tính y’

1

x

x





  Tính f’(3)

1

x

 

  

 

Bài 3: Tính đạo hàm hàm tham số

1 ( ) arctan

ln(1 t)

y x

y

 





2

( )

sinh( 2)

y x





3 Viết phương tình tiếp tuyến đường cong tham số   2 2

t





  

4 Tìm hệ số góc tiếp tuyến k của đường cong tham số

3 2

( ) sinh( 1) 2 ( ) 6 3







Bài 4: Tìm các tham số sao cho:

1

( )

sinh( 2) 2 , 2

f x



 để hàm số liên tục và khả vi tại x = -2

, 1

x

f x

ax b x





 có đạo hàm tại x = -1

1, 0

bx

y







 có các tiếp tuyến trái và phải tại x = 0 trùng nhau

4

2

, 0 ( ) ln(1 )

, 0

x x









khả vi tại x = 0

Bài 5: Ứng dụng

1 (C) có phương trình y(mx n e ). x m, biết M(0,1) ( ) C Tìm m, n để tiếp tuyến tại M(0,1) song song với y = 2x+1

2 Phương trình chuyển động của chất điểm được cho bởi 1 5 2

sin

t



bằng giây (s), s tính theo mét (m)) Tốc độ của chất điểm tại giây thứ 2 là bao nhiêu?

3 Cá hồi bơi ngược dòng để vượt quãng đường 300km Vậ tốc dòng chảy là 6km/h Giả sử năng lượng tiêu hao của cá khi bơi trên dòng nước đứng yên trong t giờ là

3

E v cv t Jun , trong đó c là hằng số, v là vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên Tốc độ tiêu hao năng lượng ( đơn vị: J – km/h) của cá theo vận tốc v khi

12 /

v km hlà bao nhiêu? HD: 300

6

t v





4 Cho cung (C) được cho bởi phương trình:

2

x t

t

y t

 



 





 Tìm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M song song với AB, A(1,1), B(9,27)

BÀI TẬP B2 – CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Bài 1:

(x) x.arccos x

2

  Tính df(0)

2 Cho hàm số y sinx

x

 Tính

2 2

d y dx

( ) (tan ) ln cos 2

2

16

df  

 

4 Cho hàm số ( ) sinh

1

x

f x

x



  Tìm vi phân của f khi x giảm từ 0 xuống -0,001

5 Cho hàm số

2

ln(10 )

f x

x



 Tìm vi phân của f khi x tăng từ 3 đến 3,001

( ) ln(1 x 2 x ), sinh

4

t

yf x    x  Tính dy theo dt tại t = 2

Bài 2:

1 Tìm tham số a, b để ( ) b

f x ax khi x  0, biết f x( )31 3 x cosx ln(1x)

2 Tìm a để

2

 

 khi x  

3 Tìm a b  , sao cho lim 1

x b x

x

e

x a



 







2 2

sin( 2) lim

4

a x x

x

e x













( ) cosh 1 sinh

2

b

f x  x  x ax khi x  0

6 Tìm a   để 0 2

ax-ln(1+x) 1 lim

2

7 Tìm a,b để f x( ) arcsin(e x2 e) lnx a x( 1)b 1



( ) 5 cos 5sin b

9 Tìm   để ( ) x 1

f x e  x là VCB bậc 2 khi x  0

Bài 3:

1 Tìm hệ số x4trong khai triển Maclaurint của f x ( ) ln(cosx)

2 Tìm hệ số x4trong khai triển Maclaurint của 2 2

( ) x x



3 Khai triển Taylor của hàm ( ) 1

2 3

f x

x



 tại x 0 2 đến bậc 2

4 Khai triển Maclaurint của hàm f x( ) cos sinx x2 đến cấp 4

5 Tìm hệ số x3 trong khai triển Maclaurint

2

ln(3 ) ( )

1 arctan(2 )

x

f x

x







6 Khai triển Taylor hàm 2 1

( ) x ln

 đến bậc 2 tại x 0 2

7 Tìm hệ số x3 trong khai triển Maclaurint f x( ) (1 3 ) arctan(  x e2x1)

8 Khai triển Maclaurint cùa hàm

100 40

(1 ) (1 2 )

x y

x





 đến x2

9 Khai triển Maclaurint hàm ( )

1

x

x

f x

e



 đến cấp 4 Bài 4:

1 Cho hàm số f x( )31 sin x3 Tính f(5)(0)

2 Cho hàm số

2 2

1 ( ) 1

x x

f x

x x

 



  Tính f(4)(0)

3 Cho hàm số f x( ) ( x41) ln(1x) Tính f(10)(0)

Bài 5: Tìm giới hạn bằng các phướng pháp đã học:

1 lim0 1 1

arcsin



  2

1

1 lim

x x

x

x x





  3 lim ln 2arctan



 

2

4 0

cos 1

2 lim

x

x x

x



 

5 lim0arctan arcsin

tan sinx

x

x





 6

arctan

3 0

ln(1 ) 1 lim

x x

x



1 2

0

cosh 2 x 1 3

lim

ln(1 tan ) arcsin

2

x

x





   8 lim0 arcsin2

x x

x xe





 

9

1

lim tan

2 1

x x

x x



 



  10  

1 1

1 lim

x x x

x e

 

Bài toán thực tế

Câu 1 : Với mỗi loại vải có khổ ( kích thước chiều ngang) cố định, chi phí để sản xuất

x mét (m) là C = f(x), đơn vị là đồng (đ)

 Hãy cho biết đơn vị của f x'( )

 Về mặt thực tế f '(9000) có ý nghĩa gì ?

 f '(2000) 20 nói lên điều gì ?

Câu 2 : Một thùng hình trụ chứa 1000l nước Thùng bị thủng ở đáy và thoát nước ra ngoài Thể tích nước còn lại sau t giây được cho bởi phương trình :

( ) 1000(1 ),0 60

60

t

a) Tìm tốc độ nước thoát ra ngoài theo thời gian t

b) Tại các thời điểm 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, xác định vận tốc dòng nước thoát và lượng nước còn lại

Câu 3 : Phân bón có thể làm thay đổi sản lượng cây trồng Một nghiên cứu ở Kenya trên ngô cho biết sản lượng của ngô ( tại một địa phương cụ thể) theo số kg phân bón (x) được biểu diễn dưới dạng yf x( ), trong đó f tính theo kilogam

a) Nêu ý nghĩa f(5) 11500 và f '(5) 350

b) Ước tính sản lượng ngô theo các giá trị đã cho ở câu trên nếu sử dụng 5,2 kg phân bón

Câu 4 : Với 1 mol khí lý tưởng , phương trình trạng thái là PV  8.31T trong đó P ( kPascal), V (lit) , T ( Kenvin) Tại thời điểm nhiệt độ đạt được 300 K0 và thể tích khí đạt 100L, Vân tốc tăng nhiệt là 0,1 /K s và vận tốc tăng thể tích là 0, 2 /L s, tính tốc độ thay đổi của áp suất P

Câu 5 : Chi phí ( đô la ) khi sản xuất x đơn vị hàng hóa cụ thể nào đó là

2

( ) 5000 10 0.05

a) Hãy tìm tốc độ biến thiên trung bình của C theo x khi mức sản xuất thay đổi

I, từ x = 100 đến x =105

II, từ x = 100 đến x =101

b, Hãy tìm tốc độ biến thiên tức thời của C tương ứng với x khi x = 100 ( Điều này được gọi là chi phí biên.)

Câu 6 : Chi phí sản xuất x ao-xơ vàng từ một mỏ vàng mới là C = f(x) đô la

a) Ý nghĩa của đạo hàm f '(x) là gì ? Đơn vị tính của nó là gì ?

b) f '(800) 17 có nghĩa là gì?

c) Bạn nghĩ các giá trị của f '(x) sẽ tăng hay giảm trong thời gian ngắn ? Trong thời gian dài thì sao ? Giải thích

Câu 7 : Số lượng vi khuẩn sau t giờ trong một thí nghiệm có kiểm soát là n =f(t) a) Ý nghĩa của đạo hàm f '(5) là gì ? Đơn vị tính của nó là gì ?

b) Giả sử không giới hạn không gian và chất dinh dưỡng cho vi khuẩn Bạn nghĩ cái nào lớn hơn f '(5) , '(10)f Nếu nguồn cung ứng chất dinh dưỡng bị giới hạn thì điều đó có ảnh hưởng điến kết quả của bạn ko? Giải thích

Câu 8 : Số lượng ( tính bằng pound) của cà fe xay đặc biệt được bán bởi một công ty

cà phê với giá p đô la/pound là Q = f (p)

a) Ý nghĩa của đạo hàm f '(8) là gì? đơn vị tính của nó là gì?

b) f(8) là dương hay âm ? giải thích

Câu 9 : Lượng oxy có thể hòa tan trong nước tùy thuộc vào nhiệt độ của nước ( Vì vậy sự ô nhiễm nhiệt ảnh hưởng đến hàm lượng ô-xy của nước) Đồ thị cho thấy làm thế nào độ hòa tan o-xy S biến thiên

Câu 10 : Hãy tìm những điểm trên đường cong 4 2

y x  x  mà tại đó tiếp tuyến nằm ngang

Câu 11: Phương trình chuyển động của một hạt là s t( ) 2 t3 5t23t4, trong đó s được tính bằng centimet và t được tính bằng giây Hãy tìm gia tốc của hạt như một hàm số theo thời gian Gia tốc sau 2 s là bao nhiêu?

Câu 12 : Phương trình chuyển động của một hạt là s t( ) t3 3t, trong đó s được tính bằng m và t được tính bằng giây Hãy tìm :

a) Vận tốc và gia tốc như các hàm theo t

b) Gia tốc sau 2 s và ,

c) Gia tốc khi vận tốc bằng 0

Câu 13 : Phương trình chuyển động của một hạt là : 4 3 2

s t  t t t  t

Trong đó s được tính bằng mét và t được tính bằng giây

a) Hãy tìm vận tốc và gia tốc như các hàm số theo t

b) Tìm gia tốc sau 1 giây

c) Vẽ đồ thị hàm vị trí, vận tốc, gia tốc trên cùng một màn hình hiển thị

Câu 14 : Định luật Boyle phát biểu rằng khi một lượng khí được nén tại áp suất không đổi, thì áp suất P của khí tỷ lệ nghịch với thể tích V của khí

a) Giả sử rằng áp suất của lượng khí chiếm 0,106 3

m tại 0

25 C là 50 kPa Hãy viết

V như một hàm số theo P

b) Hãy tính dV dP/ khi P = 50kPa Ý nghĩa của đạo hàm là gì? Đơn vị tính của

nó là gì?

Câu 15 : Tìm phương trình các tiếp tuyến của đường cong 1

1

x y x





 mà nó song song với đường thẳng x – 2y = 2

Câu 16 : Một nhà máy sản xuất các súc vải với chiều rộng cố định Lượng q vải này ( theo yard) được bán là một hàm theo giá bán p ( đơn vị là đôla / yard), vì vậy chúng

ta có thể viết q = f(p) Lúc đó tổng thu nhập với giá bán p là R p( )p f p ( )

a) Có ý nghĩa gì khi phát biểu rằng f(20) = 10,000 và f '(20)350

b) Giả sử có các thông số như câu a, tìm R’ (20) và giải thích cho đáp án của bạn Câu 17 : Một vật có trọng lượng W được kéo lê dọc theo mặt phẳng bởi một lực tác động dọc theo sợi dây thừng nối với vật Nếu dây thừng tạo một góc  với mặt phẳng, lúc đó độ lớn của lực là

F sinWcos



 Trong đó  là hằng số được gọi là hệ số ma sát

a) Tìm tốc độ biến thiên của F theo 

b) Khi nào tốc độ biến thiên bằng 0?

c) Nếu W = 50 lb và  0.6, hãy vẽ đồ thị của F như là hàm số theo  và sử dụng nó để xác định giá trị của  sao cho dF d/   0 Giá trị đó có phù hợp với kết quả của bạn trong câu b không?

Câu 18: Nếu f và g là các hàm số mà đồ thị của chúng được biểu diễn bên dưới, cho u x( )f g x v x( ( )), ( )g f x( ( )), andw( )x g g x( ( )) Tìm mỗi đạo hàm, nếu nó tồn tại Nếu nó không tồn tại, giải thích tại sao

a) u'(1) b) v'(1) c) w '(1)

Hình bài 65/ 155

Câu 19: Nếu f là hàm số mà đồ thị của nó được biểu diễn bên dưới, cho

2

( ) ( ( )) ( ) ( )

h x f f x and g x f x Sử dụng đồ thị f để ước tính giá trị của mỗi đạo hàm

a) h'(2) b) g'(2)

Hình bài 66/155

Câu 20: Nếu cho f x( ) f x( ),trong đó đồ thị f được biểu diễn bên dưới, tìm giá trị g'(3)

Hình bài 67/155

Câu 21 : Sự dịch chuyển của một hạt trên một dây rung được cho bởi phương trình

1 ( ) 10 sin(10 )

4

s t   t trong đó s được tính bằng centimet và t được tính bằng giây Tìm vận tốc của hạt sau t giây

Câu 22 : Nếu phương trình chuyển động của vật được cho là s t( )Acos( t ), người ta nói rằng hạt đó có chuyển động điều hòa đơn

(a) Tìm vận tốc của hạt tại thời gian t

(b) Vận tốc bằng 0 khi nào?

Câu 23 : Ngôi sao biến quang kiểu Thiên Vương là ngôi sao mà ánh sáng của nó luôn phiên tăng và giảm Ngôi sao dễ dàng nhìn thấy nhất kiểu đó là ngôi sao Delta Cephei, có khoảng thời gian giữa những lần độ sáng của nó đạt cực đại là 5,4 ngày

Độ sáng trung bình của ngôi sao nào là 4,0 và độ sáng của nó biến đổi 0,35 Khi xem xét các dữ liệu này, độ sáng của Delta Cephei tại thời gian t, trong đó t được tính theo ngày, đã được mô phỏng qua hàm số

( ) 4 0.35sin(2 )

5.4

t

a) Tìm tốc độ biến thiên của độ sáng sau t ngày

b) Tìm tốc độ tăng ( có 2 chữ số thập phân) sau một ngày

Câu 24 : Chúng ta có công thức tính độ dài chiếu sáng ban ngày theo giờ ở Philadelphia vào ngày thứ t của năm : ( ) 12 2.8sin(2 ( 80))

365

Sử dụng công thức này để so sánh số lượng giờ chiếu sáng ban ngày tăng như thế nào

ở Philadelphia vào ngày 21 tháng 3 và ngày 21 tháng 5

Câu 25 : Một hạt chuyển động dọc theo một đường thẳng với độ dịch chuyển s(t), vận tốc v(t) và gia tốc a(t) Chứng minh :

a t( ) v t( ).dv

ds

 Giải thích sự khác nhau giữa ý nghĩa đạo hàm của dv dt and dv ds/ /

Câu 26 : Không khí đang được bơm vào một quả bóng dự báo thời tiết Tại thời điểm t bất kì, thể tích của quả bóng là V(t) và bán kính của nó là r(t)

a) Đạo hàm của dV/dt và dV/dr biểu thị cho điều gì?

b) Biểu diễn dV/dt dưới dạng dr/dt

VI PHÂN

Câu 27 : Cạnh của một hình lập phương đo được là 30 cm với sai số cho phép của phép đo là 0.1 cm Sử dụng vi phân để ước tính sai số khả dĩ tối đa, sai số tương đối

và sai số theo tỉ lệ phần trăm để tính (a) thể tích của hình lập phương và (b) diện tích

bề mặt của hình lập phương

Câu 28 : Bán kính của một đĩa hình tròn được tính là 24 cm với sai số tối đa là 0.2 cm a) Sử dụng vi phân để ước tính sai số tối đa của diện tích cái đĩa

b) Sai số tương đối là bao nhiêu ? Sai số theo tỉ lệ phần trăm là bao nhiêu?

Câu 29 : Chu vi của một hình cầu đo được là 84 cm và sai số khả dĩ là 0.5 cm

a) Sự dụng vi phân để ước tính sai số tối đa của diện tích bề mặt Sai số tương đối

là bao nhiêu?

b) Sự dụng vi phân để ước tính sai số tối đa của diện tích bề mặt Sai số tương đối

là bao nhiêu?

c) Sự dụng vi phân để ước tính sai số tối đa của thể tích Sai số tương đối là bao nhiêu?

Câu 30: Sử dụng vi phân để ước tính lượng sơn dùng để sơn một lớp dày 0.05 cm lên một mái vòm hình bán cầu có đường kính 50m

Câu 31 : a) Sử dụng vi phân để tìm công thức tính thể tích xấp xỉ của một cái vỏ hình trụ có chiều cao h, bán kính trong r, độ dày r

b)Sai số tiến triển bao nhiêu khi sử dụng công thức từ câu a

Câu 32 : Một cạnh của hình tam giác vuông dài 20 cm và góc đối đỉnh đo được là 30

độ, với sai số khả dĩ là 0.1 độ

a) Sử dụng vi phân để ước tính sai số để tính chiều dài của cạnh huyền

b) Sai số theo tỉ lệ phần trăm là bao nhiêu?

Câu 33: Nếu một dòng điện I đi qua một cái điện trở có điện trở R, Định luật Ôm phát biểu rằng độ sụt áp là V = IR Nếu V không đổi và R được đo với một sai số nào đó,

sử dụng vi phân để chứng tỏ rằng sai số tương đối khi tính I xấp xỉ bằng ( về độ lớn ) với sai số tương đối của R

Câu 34 : Khi máu chảy vào mạch máu, thông lượng F ( thể tích máu trên mỗi đơn vị thời gian chảy qua một điểm được cho) được cho bởi công thức:

F k R 4

Trong đó k là hằng số, R là bán kính mạch máu

Chứng minh rằng độ biến thiên tương đối của F gấp độ biến thiên tương đối của R khoảng 4 lần Bán kính tăng 5% ảnh hưởng như thế nào đến lưu lượng máu

Max -Min

Câu 1 : Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày

24/04/1990 Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng t = 0 cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được cho bởi

v t( ) 0.001302 t3 0.09029t223.61 3.083t ( đv là feet/giây)

Hãy sử dụng mô hình này để ước tính các giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối gia tốc của tàu giữa lúc cất cánh và lúc phóng đi hoàn toàn

Câu 2 : Tìm các điểm tới hạn của hàm số

2

2

4

5

1

1

y



 

Câu 3 : Giữa 0 C0 và 30 C0 , thể tích V (cm khối) của 1 kg nước ở nhiệt độ T được cho gần đúng bởi công thức sau :

V 999.87 0.06426 T0.0085043T2 0.0000679T3

Tìm nhiệt độ mà tại đó nước có mật độ lớn nhất

Câu 4 : Mô hình giá trung bình (USD) một pound đường trắng từ năm 1993 đến năm

2003 được cho bởi hàm số sau :

S t( ) 0.4074 0.04458  t0.03629t2 0.008956t30.0009037t4 0.00003237t5

Trong đó t được tính theo năm kể từ tháng 8 năm 1993.Ước tính thời điểm khi đường

có giá rẻ nhất và đắt nhất trong quãng thời gian từ năm 1993- 2003