ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ PHÙNG THỊ THU HUYỀNTHUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC
Mởt số kián thực cỡ bÊn vã GiÊi tẵch lỗi
Cho x v y l hai phƯn tỷ thuởc R n , khoÊng õng [x, y] ữủc ành nghắa nh÷ sau:
[x, y] :={λx+ (1−λ)y :λ ∈[0,1]}. ành nghắa 1.1 [2, 4] Mởt têp conΩcừaR ữủc gồi l têp lỗi náu [x, y] ⊆Ω khi m x, y ∈Ω Nõi cĂch khĂc, têpΩữủc gồi l têp lỗi náuλx+(1−λ)y ∈Ω,
Vẵ dử 1.1 i) Têp Ω 1 ={x∈ R n : ∥x∥ ≤1} l têp lỗi. ii) Têp Ω 2 ={x∈R n : ⟨v, x⟩ ≤r} trong õ v ∈R n l mởt phƯn tỷ cho trữợc v r∈R.
Thêt vêy, i) lĐy x, y ∈Ω 1 , λ ∈[0,1] Ta cõ
Suy ra λx+ (1−λ)y ∈ Ω 1 Vêy Ω 1 l têp lỗi. ii) L§y x, y ∈Ω 1 , λ∈[0,1],
Vêy Ω 2 l têp lỗi. ành nghắa 1.2 [1] Cho K ⊆ R n l mởt têp lỗi v mởt iºm x ∈ K Nõn phĂp tuyán (ngo i) cừa K tÔi x xĂc ành bði
N K (x) ={v ∈R n : ⟨v, x−x⟩ ≤ 0, ∀x∈K}. ành nghắa 1.3 [2] Cho f : Ω → R = R∪ {+∞} l mởt h m nhên giĂ trà trong têp số thỹc mð rởng xĂc ành trản têp con lỗi Ω cừa R n H m f ữủc gồi l h m lỗi trản Ω náu f(λx+ (1−λ)y)≤ λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x, y∈ Ω, λ ∈(0,1).
Vẵ dử 1.2 H m g(x) =∥Ax+b∥ vợi A∈ R pìn v b∈ R p l h m lỗi.
Mởt khĂi niằm tờng quĂt hỡn tẵnh lỗi ữủc trẳnh b y bði ành nghắa sau ¥y. ành nghắa 1.4 [5] Cho Ωl têp con lỗi trong R n , mởt h mg : Ω → Rữủc gồi l lỗi mÔnh vợi hơng số τ trản Ω, náu vợi mội τ >0, x, y ∈Ω v λ ∈[0,1] thọa mÂn g(λx+ (1−λ)y) ≤λg(x) + (1−λ)g(y)− τ
2λ(1−λ)∥x−y∥ 2 Náu g l h m lỗi mÔnh thẳ suy ra g l h m lỗi.
Vẵ dử 1.3 H m g(x) = 2x 2 trong khổng gian R l h m lỗi mÔnh vợi hơng số l 4. ành nghắa 1.5 [1] Cho f : R n → (−∞,+∞) l mởt h m lỗi v x ∈ domf (tực l f(x) 0 tỗn tÔi số δ > 0 sao chof(x)−ε ≤f(x) vợi mồi x ∈Ω, ∥x−x∥< δ H m f ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi trản Ω náu f nỷa liản tửc dữợi tÔi mồi iºm x ∈Ω.
H mf : Ω →R ữủc gồi l nỷa liản tửc trản tÔi iºmx∈ Ωnáu vợi mộiε > 0 tỗn tÔi số δ > 0 sao cho f(x) ≤ f(x) +ε vợi mồi x ∈ Ω, ∥x−x∥ < δ H m f ữủc gồi l nỷa liản tửc trản trản Ω náu f nỷa liản tửc trản tÔi mồi iºm x∈Ω.
H m f nỷa liản tửc trản khi v ch¿ khi −f nỷa liản tửc dữợi H m f liản tửc náu nõ vứa nỷa liản tửc dữợi, vứa nỷa liản tửc trản.
−2náu x = 0. l h m nỷa liản tửc dữợi trản R.
4 náu x= 0. l h m nỷa liản tửc trản trản R. ành nghắa 1.7 [2] ChoΩ l mởt têp con cừaR n H m khoÊng cĂch liản kát vợi têp Ω xĂc ành bði d(x; Ω) := inf{∥x−ω∥ : ω ∈Ω}.
Vợi mội x∈R n , ph²p chiáu Euclide tứ x tợi têp Ω ữủc xĂc ành bði
Tẵnh ỡn iằu cừa song h m cƠn bơng
Cho song h m f :KìK → R∪ {+∞} Song h m f thọa mÂn f(x, x) = 0 vợi mồi x ∈ K gồi l song h m cƠn bơng Tẵnh ỡn iằu cừa song h m cƠn bơng ữủc cho bði ành nghắa sau. ành nghắa 1.8 [2] Cho U v V l cĂc têp lỗi khĂc rộng trong khổng gian
R n , U ⊆ K v f : K ìK → R∪ {+∞} Song h m f ữủc gồi l i) ỡn iằu mÔnh trản U vợi hơng số β >0 náu vợi mội c°p u, v ∈U, ta cõ f(u, v) +f(v, u) ≤ −β∥u−v∥ 2 ; ii) ỡn iằu trản U náu vợi mội c°p u, v ∈U, ta cõ f(u, v) +f(v, u) ≤ 0; iii) giÊ ỡn iằu trản U náu vợi mội c°p u, v ∈U ta cõ f(u, v) ≥ 0→f(v, u)≤ 0;
Tứ ành nghắa trản ta suy ra: i) →ii) → iii).
Vẵ dử 1.5 H m f : K ìK → R∪ {+∞} f(u, v) =⟨P u+Qv+q, vưu⟩, vợi P, Q ữủc chồn sao cho Q ối xựng, nỷa xĂc ành dữỡng v Q−P l nỷa xĂc ành Ơm, q ∈R n Khi õ, f l song h m ỡn iằu.
Thêt vêy, vợi mội u, v ∈K, do Q−P l nỷa xĂc ành Ơm nản f(u, v) +f(v, u) =⟨(QưP)(vưu), vưu⟩ ≤0.
B i toĂn cƠn bơng v cĂc b i toĂn liản quan
ành nghắa 1.9 [2] Cho K l têp con lỗi õng khĂc rộng trong khổng gian Eucliden chiãu v f : KìK → R∪ {+∞} B i toĂn cƠn bơng ữủc phĂt biºu nh÷ sau:
8 X²t b i toĂn ội ngău vợi b i toĂn cƠn bơng (PEP), kẵ hiằu l b i toĂn (DEP) nh÷ sau:
Khi õ, x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn (DEP) náu v ch¿ náu x ∗ ∈ ∩ x∈K L f (x). Kẵ hiằu K ∗ v K d lƯn lữủt l cĂc têp nghiằm cừa b i toĂn (PEP) v (DEP).
Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa hai b i toĂn n y  ữủc nhiãu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu Vẳ K d =∩ x∈K L f (x) nản têp nghiằm K d l têp lỗi õng náu f(x, ) l têp lỗi õng trản K Trong trữớng hủp tờng quĂt, K ∗ cõ thº khổng lỗi Tuy nhiản náu f lỗi õng trản K ối vợi bián thự hai v hemi-liản tửc ối vợi bián thự nhĐt, thẳ K ∗ l têp lỗi v K d ⊆ K ∗ Hỡn nỳa, náu f giÊ ỡn iằu trản K, thẳ
K ∗ =K d Trong ch÷ìng sau, ta gi£ sû K d ̸=∅.
B i toĂn cƠn bơng bao gỗm nhiãu lợp b i toĂn quen thuởc nhữ b i toĂn tối ữu, b i toĂn b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn, b i toĂn iºm bĐt ởng, b i toĂn cƠn bơng Nash Sau Ơy l mởt số b i toĂn liản quan án b i toĂn cƠn bơng.
Cho g : K → R vợi K l têp con lỗi õng trong khổng gian R n B i toĂn tối ÷u l b i to¡n:
Bơng cĂch °t f(x, y) =g(y)−g(x) ta thĐy b i toĂn tối ữu tữỡng ữỡng vợi b i toĂn cƠn bơng theo nghắa têp nghiằm cừa hai b i toĂn trũng nhau.
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn
Cho K ⊆ R n l têp con lỗi õng v Ănh xÔ G : R n → R n , b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn cõ dÔng:
Khi õ, theo [2] giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn tữỡng ữỡng vợi giÊi b i toĂn cƠn bơng vợi f(x, y) =⟨G(x), y−x⟩.
ChoK ⊆ R n l têp con lỗi õng v Ănh xÔG :K → K, b i toĂn tẳm iºm bĐt ởng l b i toĂn:
Khi õ, theo [2] giÊi b i toĂn tẳm iºm bĐt ởng tữỡng ữỡng vợi giÊi b i toĂn cƠn bơng vợi f(x, y) =⟨x−G(x), y−x⟩.
Thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng giÊi b i toĂn cƠn bơng
Trong chữỡng n y, chúng tổi trẳnh b y thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng giÊi b i toĂn cƠn bơng Nởi dung chẵnh ữủc tham khÊo trong t i liằu [11].
Tẳm x ∗ ∈K sao cho f(x ∗ , y) ≥0, vợi mồi y ∈ K, trong õK l têp con lỗi õng, khĂc rộng trong khổng gianR n v f : KìK →
X²t h m L : K ìK → R l mởt song h m lỗi khÊ vi, khổng Ơm trản K theo bián thự hai y (vợi mội x∈K cố ành) sao cho i) L(x, x) = 0 vợi mồi x∈K, ii) ∇ 2 L(x, x) = 0 vợi mồi x ∈ K, trong õ ∇ 2 L(x, x) l Ôo h m theo bián thự hai cừa h m L(x, ) tÔi x Ch¯ng hÔn, mởt vẵ dử cừa h m L l
B i toĂn cƠn bơng phử ữủc ành nghắa nhữ sau:
Tẳm x ∗ ∈ K sao cho ρf(x ∗ , y) +L(x ∗ , y) ≥ 0, vợi mồi y ∈K (AuPEP) trong õ ρ >0 l tham số hiằu ch¿nh.
Bờ ã 2.1 [8] Cho f : K ìK → R∪ {+∞} l mởt song h m cƠn bơng Khi â, c¡c ph¡t biºu sau t÷ìng ÷ìng:
10 i) x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng (PEP); ii) x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn miny∈Kf(x ∗ , y). p dửng Bờ ã 2.1 cho song h m cƠn bơng ρf +L ta cõ x ∗ l cỹc tiºu cừa b i toĂn tối ữu lỗi miny∈K{ρf(x ∗ , y) +L(x ∗ , y)}.
Sỹ tữỡng ữỡng giỳa b i toĂn cƠn bơng v b i toĂn cƠn bơng phử ữủc cho bði bờ ã sau.
Bờ ã 2.2 [8] Cho f : K ì K → R ∪ {+∞} l mởt song h m cƠn bơng, v cho x ∗ ∈ K GiÊ sỷ f(x ∗ , ) : K → R l h m lỗi, khÊ vi trản K Cho
L :K ìK →R + l mởt h m lỗi khÊ vi trản K ối vợi bián thự hai sao cho i) L(x ∗ , x ∗ ) = 0, ii) ∇ 2 L(x ∗ , x ∗ ) = 0.
Khi õ x ∗ ∈ K l nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng (PEP) náu v ch¿ náu x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng phử (AuPEP).
Trong thuêt toĂn sau, song h m phử ữủc cho bði
L(x, y) := G(y)− G(x)− ⟨∇G(x), y−x⟩, (2.1) trong õ G : R n → R l h m lỗi mÔnh (vợi hơng số β > 0) v khÊ vi liản tửc, ch¯ng h¤n h m G(x) = 1 2 x 2
Vẳ h m G l h m lỗi mÔnh trản têp lỗi õng K nản b i toĂn miny∈K{ρf(x, y) +G(y)− G(x)− ⟨G(x), y−x⟩} (Cx) cõ nghiằm duy nhĐt.
Tứ Bờ ã 2.2, ta thĐy cổng thực dÔng iºm bĐt ởng cho b i toĂn cƠn bơng(PEP) gủi ỵ phữỡng phĂp l°p º giÊi b i toĂn (PEP) ữủc cho bðix k+1 =s(x k ) trong õ s(x k ) l nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn tối ữu lỗi mÔnh (Cx k ) Tuy nhiản, ối vợi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn ỡn iằu, l mởt trữớng hủp riảng cừa b i toĂn cƠn bơng ỡn iằu (PEP), dÂy l°p {x k } cõ thº khổng hởi
12 tử Nôm 1976, Korpelevich [6] lƯn Ưu tiản giợi thiằu thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng º tẳm iºm yản ngỹa, sau õ ữủc mð rởng cho b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn ỡn iằu, xem [4] ối vợi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn ỡn trà cho bði
Tẳm x ∗ ∈K sao cho ⟨F(x ∗ ), x−x ∗ ⟩ ≥0, vợi mồi x∈ K thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng (cỏn gồi l thuêt toĂn chiáu hai lƯn) xƠy dỹng hai d¢y {x k } v {u k } x¡c ành bði u k :=P K (x k −ρF(x k )) v x k+1 := P K (x k −ρF(u k )), trong õ ρ >0 v P K kẵ hiằu ph²p chiáu lản têp K.
Tiáp theo, chúng tổi trẳnh b y thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng giÊi b i toĂn cƠn bơng Trong suốt luên vôn, chúng tổi giÊ sỷ h m f(x.,) l h m lỗi, õng v khÊ dữợi vi phƠn trản K vợi mội x ∈ K Dữợi giÊ thiát n y, b i toĂn phử cƯn º giÊi trong thuêt toĂn dữợi l cĂc b i toĂn tối ữu lỗi vợi h m mửc tiảu lỗi mÔnh.
Bữợc 1: GiÊi b i toĂn tối ữu lỗi mÔnh miny∈K{ρf(x k , y) +G(y)− ⟨∇G(x k ), y−x k ⟩} (2.2) thu ữủc nghiằm tối ữu duy nhĐt y k
Náu y k = x k , dứng: x k l nghiằm cừa b i toĂn (PEP) Ngữủc lÔi, tiáp tửc tợi Bữợc 2.
Bữợc 2: GiÊi b i toĂn tối ữu lỗi mÔnh miny∈K{ρf(y k , y) +G(y)− ⟨∇G(x k ), y−x k ⟩} (2.3) thu ữủc nghiằm duy nhĐt x k+1
Sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn
Bờ ã sau ch¿ ra rơng Thuêt toĂn 1 dứng sau mởt số hỳu hÔn bữợc l°p, khi õ, chúng ta s³ tẳm ữủc nghiằm cừa b i toĂn (PEP).
Bờ ã 2.3 [11] Náu thuêt toĂn dứng tÔi mởt iºm x k thẳ x k l nghiằm cừa cõa b i to¡n (PEP).
Chựng minh Náu y k = x k v f(x, x) = 0 ta cõ ρf(x k , y k ) +G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩= 0.
Do õ, theo Bờ ã 2.2, x k l nghiằm cừa b i toĂn (PEP). ành lỵ sau Ơy thiát lêp sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 1. ành lþ 2.1 [11] Gi£ sû i) G l h m lỗi mÔnh vợi hơng số β > 0 v khÊ vi liản tửc trản têp mð Γ chùa K. ii) Tỗn tÔi hai hơng số a 1 > 0 v a 2 >0 sao cho f(x, y) +f(y, z) ≥f(x, z)−a 1 ∥y−x∥ 2 −a 2 ∥z−y∥ 2 , ∀x, y, z ∈K (2.4)
Khi â, a) Vợi mội x ∗ ∈K d , bĐt ¯ng thực sau úng l(x k )−l(x k+1 ) ≥ β
∥x k+1 −y k ∥ 2 (2.5) trong õ l(y) =G(x ∗ )− G(y)− ⟨∇G(y), x ∗ −y⟩ vợi mội y ∈ K. b) GiÊ sỷ thảm iãu kiằn f(x, ) l h m nỷa liản tửc dữợi trản K, f(., y) l h m nỷa liản tửc trản trảnK, v 0< ρ < min{(β/2a 1 ),(β/2a 2 )}, thẳ dÂy {x k } bà ch°n v mội iºm tử cừa dÂy {x k } l nghiằm cừa b i toĂn (DEP).
Hỡn nỳa, náu K d = K ∗ (trong trữớng hủp °c biằt, náu f l giÊ ỡn iằu trản
K), thẳ dÂy {x k } hởi tử tợi nghiằm cừa b i toĂn (PEP).
14 Chựng minh a) LĐy bĐt kẳx ∗ ∈K d Theo ành nghắa cừal v vẳx k , x k+1 ∈ K nản ta cõ l(x k )−l(x k+1 ) =G(x k+1 )− G(x k ) +⟨∇G(x k+1 ), x ∗ −x k+1 ⟩
Sỷ dửng iãu kiằn cƯn v ừ cho b i toĂn tối ữu lỗi, ta thĐy x k+1 l nghiằm cừa b i toĂn tối ữu lỗi miny∈K{ρf(y k , y) +G(y)− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y−x k ⟩}, khi v ch¿ khi
0∈ ∂ 2 {ρf(y k , x k+1 ) +G(x k+1 )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), x k+1 −x k ⟩}+N K (x k+1 ), ð õ, NK(x) l nõn phĂp tuyán ngo i cừa K tÔi x∈K.
Vẳf(y k , ) khÊ dữợi vi phƠn v G l h m lỗi mÔnh, khÊ vi trản K, nản theo ành lỵ Moreau-Rockafellar, tỗn tÔi w ∈∂ 2 f(y k , x k+1 ) sao cho
Theo ành nghắa cừa dữợi vi phƠn v bĐt ¯ng thực trản, ta cõ
⟨∇G(x k+1 )− ∇G(x k ), x ∗ −x k+1 ⟩ ≥ρf(y k , x k+1 )−ρf(y k , x ∗ ) (2.7) Vẳ x ∗ l mởt nghiằm cừa b i toĂn (DEP) nản f(y k , x ∗ ) ≤0 Do õ,
⟨∇G(x k+1 )− ∇G(x k ), x ∗ −x k+1 ⟩ ≥ρf(y k , x k+1 ) (2.8) p dửng giÊ thiát (2.4) vợi x=x k , y = y k v z =x k+1 , v (2.8) ta nhên ữủc
M°t khĂc, theo Bữợc 1, vẳ y k l nghiằm cừa b i toĂn tối ữu lỗi miny∈K{ρf(x k , y) +G(y)− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y−x k ⟩}, nản
T÷ìng tü, ta công câ ρf(x k , y)−ρf(x k , y k ) ≥ ⟨∇G(y k )− ∇G(x k ), y k −y⟩, ∀y ∈K.
−ρa 1 ∥y k −x k ∥ 2 −ρa 2 ∥x k+1 −y k ∥ 2 (2.11) Vẳ G l h m lỗi mÔnh vợi hơng số β >0, vợi mội x, y, ta cõ
2∥y−x∥ 2 , ∀x, y ∈K (2.12) p dửng (2.12) vợi x k+1 , y k , kát hủp vợi (2.11) ta thu ữủc l(x k )−l(x k+1 )≥ β
16 B¥y gií ta chùng minh þ (b) Do 0< ρ < min (β/2c 1 ),(β/2c 2 ), β
Vêy, tứ bĐt ¯ng thực (2.13), ta cõ l(x k )−l(x k+1 ) ≥ β
Vêy dÂy {l(x k ) k≥0 }l mởt dÂy khổng giÊm Vẳ nõ l mởt dÂy bà ch°n dữợi bði
0, nản nõ hởi tử tợi l ∗ Cho k → ∞, tứ (2.14) suy ra k→∞lim ∥y k −x k ∥= 0 (2.15) LÔi do G l h m lỗi mÔnh vợi hơng số β nản theo ành nghắa cừa l(x k ), suy ra
Do dÂy {l(x k ) k≥0 } hởi tử nản dÂy {x k } k≥0 bà ch°n, suy ra tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt iºm tử GiÊ sỷ x ∈K l iºm tử v dÂy con {x k i } i≥0 thọa mÂn i→∞lim x k i = x.
Khi õ, tứ (2.15) suy ra i→∞lim y k i =x.
Theo Bữợc 1 cừa thuêt toĂn, ρf(x k i , y) +G(y)− G(x k i )− ⟨∇G(x k i ), y−x k i ⟩
Do f(x, ) nỷa liản tửc dữợi theo bián thự 2 trản K, f(., y) nỷa liản tửc trản trản K v f(x, x) = 0, cho i → ∞ ta thu ữủc ρf(x, y) +G(y)− G(x)− ⟨∇G(x), y−x⟩ ≥ 0, ∀y ∈K, tực l x l nghiằm cừa b i toĂn (AuPEP) Theo Bờ ã 2.2, x l nghiằm cừa b i to¡n (PEP).
GiÊ sỷ K d = K ∗ Ta s³ chựng minh to n bở dÂy {x k } k≥0 hởi tử tợi x Thêt vêy, theo cĂch °t l(x k ) kát hủp vợi x ∗ = x ∈K d , ta cõ l(x) = 0 Do õ, vẳ G l h m lỗi mÔnh nản ta nhên ữủc l(x k )−l(x) =G(x)−G(x k )−⟨∇G(x k ), x k −x⟩ ≥ β
2∥x k −x∥ 2 , ∀k ≥0 (2.16) M°t khĂc, vẳ dÂy {l(x k )} k≥0 l dÂy khổng giÊm v l(x k i ) → l(x), nản ta cõ l(x k )→ l(x) khi k → ∞ Vêy, do (2.16), ta cõ lim k→∞x k =x∈K ∗ Thuêt toĂn 1 yảu cƯu song h m f phÊi thọa mÂn iãu kiằn kiºu Lipschitz (2.4), Ơy l iãu kiằn m trong mởt số trữớng hủp ta khổng biát hằ số l bao nhiảu º trĂnh iãu kiằn n y, Thuêt toĂn 2 s³ sỷ dửng kắ thuêt tẳm kiám theo tia (linesearch) Kắ thuêt tẳm kiám theo tia ữủc sỷ dửng trong cĂc b i toĂn tối ữu v b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn. ành nghắa 2.1 [11] Cho K l mởt têp con õng, khĂc rộng trong R n Mởt Ănh xÔ H :R n → R n ữủc gồi l i) chĐp nhên ữủc ối vợi K náu
H(x) ∈K, ∀x∈R n , ii) tỹa khổng giÂn ối vợi K náu vợi mội x ∈R n ,
Náu P K l ph²p chiáu trản K thẳ P K l Ănh xÔ tỹa khổng giÂn, chĐp nhên ữủc Kẵ hiằu F(K) l hồ cĂc Ănh xÔ tỹa khổng giÂn, chĐp nhên ữủc ối vợi
Chồn dÂy {γ k } k≥0 sao cho γk ∈(0,2), ∀k = 0, 1, 2, , lim inf k→∞γk(2−γk)> 0 (2.18) Thuêt toĂn ữủc cho nhữ sau.
Bữợc 1 GiÊi b i toĂn tối ữu lỗi mÔnh sau miny∈K{f(x k , y) + 1 ρ[G(y)− ⟨∇G(x k ), y−x k ⟩]} (2.19)
18 thu ữủc nghiằm duy nhĐt y k
Náu y k = x k , thuêt toĂn dứng: x k l nghiằm cừa b i toĂn (PEP) Ngữủc lÔi, tiáp tửc Bữợc 2.
Bữợc 2.1 Tẳm số nguyản dữỡng nhọ nhĐt m sao cho
Bữợc 2.2 °t η k = η m , u k = u k,m Náu 0 ∈ ∂ 2 f(u k , u k ), dứng: u k l nghiằm cừa b i toĂn (PEP) Ngữủc lÔi, tiáp tửc án Bữợc 3.
Bờ ã sau ch¿ ra rơng, náu Thuêt toĂn 2 dứng tÔi Bữợc 1 ho°c Bữợc 2.2 thẳ b i toĂn (PEP) cõ nghiằm.
Bờ ã 2.4 [11] Náu Thuêt toĂn 2 dứng tÔi Bữợc 1 (ho°c Bữợc 2.2) thẳ x k (ho°c u k ) l nghiằm cừa b i toĂn (PEP).
Chựng minh Náu thuêt toĂn dứng tÔi Bữợc 1 thẳ x k = y k Vẳ y k l nghiằm cừa b i toĂn tối ữu lỗi (2.19) nản ta cõ f(x k , y) + 1 ρ hG(y)− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y−x k ⟩i
Bơng cĂch chựng minh tữỡng tỹ nhữ trong Bờ ã 2.2, ta cõ x k l nghiằm cừa b i to¡n (PEP).
Náu thuêt toĂn dứng tÔi Bữợc 2.2, thẳ 0 ∈ ∂ 2 f(u k , u k ) Vẳ f(u k , ) l h m lỗi nản suy ra f(u k , u k ) ≤f(u k , y) vợi mồi y ∈ K Vẳ f(u k , u k ) = 0 nản suy ra u k l nghiằm cừa b i toĂn (PEP).
Bờ ã tiáp theo ch¿ ra rơng luổn tỗn tÔi số nguyản dữỡng m sao cho iãu kiằn trong Bữợc 2.1 luổn thọa mÂn.
Bờ ã 2.5 [11] GiÊ sỷ f nỷa liản tửc trản trản K ối vợi bián thự nhĐt, v y k ̸=x k Khi â i) tỗn tÔi số nguyản m >0 sao cho bĐt ¯ng thực trong Bữợc 2.1 úng. ii) f(u k , y k ) 0.
Vẳ f(., y k ) nỷa liản tửc trản nản cho qua giợi hÔn m→ ∞ ta cõ f(x k , y k ) + α ρ[G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩] ≥ 0 (2.21) M°t khĂc, vẳ y k l nghiằm cừa b i toĂn tối ữu lỗi (2.19) nản f(x k , y k ) + 1 ρ[G(y k )− G(x k )− −⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩]
≤f(x k , y) + 1 ρ[G(y)− G(x k )− −⟨∇G(x k ), y−x k ⟩], ∀y ∈K. Cho y = x k thẳ bĐt ¯ng thực bản trản trð th nh f(x k , y k ) +1 ρ[G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩] ≤0 (2.22)
Tứ cổng thực (2.21) v (2.22) ta thu ữủc
[G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩]≥ 0,nản ho°c [G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩] = 0 ho°c α ≥1 Trữớng hủp Ưu tiản suy ra x k =y k , vẳ G l h m lỗi mÔnh Suy ra cÊ hai trữớng hủp ãu mƠu
20 thuăn vợi giÊ thiát Vêy i) úng.
Kh¯ng ành ii) suy ra tứ viằc xĂc ành u k khi f(x k , y k ) + α ρ[G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩] ≤0 v
2∥x k −y k ∥ 2 >0, do G lỗi mÔnh v x k ̸=y k º chựng minh sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2, bờ ã sau õng vai trỏ then chèt.
Bờ ã 2.6 [11] Náu f(x, ) l h m lỗi v khÊ dữợi vi phƠn trản K thẳ cĂc phĂt biºu sau óng: i) Vợi mồi nghiằm cừa b i toĂn (DEP) ta cõ
∥x k+1 −x ∗ ∥ 2 ≤ ∥x k −x ∗ ∥ 2 −γ k (2−γ k )(δ k ∥g k ∥) 2 (2.23) ii) P ∞ k=0 γ k (2−γ k )(δ k ∥g k ∥) 2 0 (2.26) Kát hủp ¯ng thực trản vợi (2.24) v (2.25), suy ra
∥x k+1 −x ∗ ∥ 2 ≤ ∥x k −x ∗ ∥ 2 −γ k (2−γ k )(δ k ∥g k ∥) 2 , ∀x ∗ ∈K d º chựng minh ii), ta Ăp dửng bĐt ¯ng thực cuối vợi mội k tứ 0tợi m ta thu ữủc m
Vẳ dÂy {∥x m −x ∗ ∥} m≥0 hởi tử nản cho m→ ∞ ta nhên ữủc m
Cuối cũng, ta chựng minh iii) º chựng minh dÂy {g k }bà ch°n, ta chú ỵ rơng dÂy {y k } bà ch°n Thêt vêy, vẳ y k l nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn (2.19) cõ h m mửc tiảu liản tửc v têp chĐp nhên ữủc l hơng, nản theo ành lỵ cỹc Ôi, Ănh xÔ x k → s(x k ) = y k l liản tửc Vẳ dÂy {x k } bà ch°n, dÂy {y k } bà ch°n nản dÂy {u k } cụng bà ch°n do u k l tờ hủp lỗi cừa x k v y k Vêy khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ u k → u ∗ khi k → +∞ Do tẵnh liản tửc cừa h m f(u k , ), dÂy {f(u k , )} hởi tử tợi f(u ∗ , ) Vẳ g k ∈∂ 2 f(u k , u k ) nản dÂy {g k } bà ch°n.
Tiáp theo l ành lỵ hởi tử cho Thuêt toĂn 2 Trong Bờ ã 2.4, náu Thuêt toĂn 2 dứng thẳ b i toĂn (PEP) cõ nghiằm Ngữủc lÔi, náu thuêt toĂn khổng dứng sau hỳu hÔn bữợc thẳ ta cõ kát quÊ hởi tử sau.
22 ành lỵ 2.2 [11] GiÊ thiát giống trong Bờ ã 2.5 v Bờ ã 2.6, giÊ thiát thảm f liản tửc trản KìK Khi õ i) DÂy {x k } bà ch°n, v mội iºm tử cừa dÂy {x k } l mởt nghiằm cừa b i toĂn (PEP). ii) Náu K ∗ = K d (trong trữớng hủp °c biằt, khi f giÊ ỡn iằu trản K), thẳ to n bở dÂy {x k } hởi tử tợi nghiằm cừa b i toĂn (PEP) Hỡn nỳa, náu γ k =γ ∈(0,2) vợi mồi k ≥ 0 thẳ lim inf k→∞(δ k ∥g k ∥√ k+ 1) = 0 (2.27)
Chựng minh Tẵnh bà ch°n cừa dÂy {x k } suy ra tứ i) v ii) cừa Bờ ã 2.6 LÔi do ii) cừa Bờ ã 2.6 ta cõ γ k (2−γ k )(δ k ∥g k ∥ 2 ) →0 khi k → ∞.
Theo (2.18), lim inf k→∞γ k (2−γ k ) >0 Do â δ k ∥g k ∥ 2 → 0 khi k → ∞ Suy ra δ k ∥g k ∥ = −η k
Vẳ dÂy {g k } bà ch°n nản theo iii) cừa Bờ ã 2.6, ta thu ữủc
M°t khĂc, vẳG l h mβ-lỗi mÔnh nản theo quy tưc trong Bữợc 2.1 Thuêt toĂn
Trữớng hủp 1 lim sup k→∞ η k > 0 Khi õ tỗn tÔi η > 0 v mởt dÂy con N ∗ ⊆ N sao cho η k > η vợi mội k ∈ N ∗ Tứ (2.28) v (2.29), ta nhên ữủc k→∞,k∈Nlim ∗ ∥y k −x k ∥= 0 (2.30) Gồi x ∗ l iºm tử bĐt kẳ cừa dÂy {x k } GiÊ sỷ dÂy {x k : k ∈ N ∗ } hởi tử tợi x ∗ Sỷ dửng (2.30), ta thĐy dÂy con tữỡng ựng {y k : k ∈ N ∗ } cụng hởi tử tợi y ∗ = x ∗ Suy ra, tứ Bữợc 1 cừa Thuêt toĂn 2, vẳ y k l nghiằm cừa b i toĂn (2.18) nản ta cõ ρf(x k , y k ) + [G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩]
Cho k → +∞, k ∈N ∗ , do tẵnh liản tửc cừa h m f v x ∗ = y ∗ , ta thu ữủc
Do õ, theo Bờ ã 2.2, x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn (PEP).
Trữớng hủp 2 lim k→∞η k = 0 Theo thuêt toĂn ta cõ u k = (1−η k )x k +η k y k
Tữỡng tỹ bản trản, ta giÊ sỷ dÂy con {x k : k ∈ N ∗ ⊆ N} hởi tử tợi mởt iºm x ∗ Vẳ y k l nghiằm cừa b i toĂn (2.19), nản suy tứ tẵnh nỷa liản tửc dữợi cừa h m mửc tiảu ρf(x k , ) +G(.)− G(x k )− ⟨∇G(x k ), −x k ⟩ v ành lỵ cỹc Ôi, ta câ d¢y {y k } bà ch°n.
Vẳ vêy, bði cĂch lĐy dÂy con náu cƯn, ta giÊ sỷ dÂy con {y k : k ∈ N ∗ } hởi tử tợi y ∗ Theo ành nghắa cừa y k ta cõ ρf(x k , y k ) + [G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩]
LĐy giợi hÔn khi k → ∞, k ∈ N ∗ , vẳf nỷa liản tửc dữợi trản KìK v f(., y) l h m nỷa liản tửc trản trản K nản ta cõ ρf(x ∗ , y ∗ ) + [G(y ∗ )− G(x ∗ )− ⟨∇G(x ∗ ), y ∗ −x ∗ ⟩]
M°t khĂc, theo Bữợc 2.2 cừa Thuêt toĂn 2, m l số nguyản khổng Ơm nhọ nhƠt thọa mÂn Bữợc 1, vẳ vêy ta cõ ρf(u k,m−1 , y k ) +α[G(y k )− G(x k )− ⟨∇G(x k ), y k −x k ⟩]> 0.
24 Bơng cĂch lĐy dÂy con náu cƯn, ta cõ thº giÊ sỷ η k → 0 Khi õ u k,m−1 → x ∗ M°t khĂc, do f liản tửc tÔi (x ∗ , y ∗ ) v cho k → ∞ ta cõ ρf(x ∗ , y ∗ ) +α[G(y ∗ )− G(x ∗ )− ⟨∇G(x ∗ ), y ∗ −x ∗ ⟩] ≥0 (2.32) Chồn y =x ∗ trong (2.31) ta cõ ρf(x ∗ , y ∗ ) +α[G(y ∗ )− G(x ∗ )− ⟨∇G(x ∗ ), y ∗ −x ∗ ⟩] ≤0 (2.33) Hỡn nỳa, do G l h m lỗi mÔnh vợi hơng số β nản
2∥x ∗ −y ∗ ∥ 2 Kát hủp iãu n y vợi (2.32), (2.33) ta thu ữủc
(1−α)∥y ∗ −x ∗ ∥ 2 ≤0, suy ra x ∗ = y ∗ vẳ α ∈ (0,1) Do õ, tứ (2.31) suy ra x ∗ l nghiằm tối ữu cừa b i to¡n miny∈K{ρf(x ∗ , y) + [G(y)− G(x ∗ )− ⟨∇G(x ∗ ), y−x ∗ ⟩]}.
Vêy, x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn (PEP).
BƠy giớ ta giÊ sỷK d =K ∗ Tứ trản, ta biát dÂy {x k }cõ mởt iºm tửx ∗ ∈ K ∗ VẳK d ≡ K ∗ , x ∗ ∈K d p dửng i) cừa Bờ ã 2.6 ta thĐy dÂy {x k −x ∗ } hởi tử. Suy ra, dÂy {x k } hởi tử tợi x ∗ bði vẳ nõ cõ mởt dÂy con hởi tử tợi x ∗
Cuối cũng, giÊ sỷ (2.27) khổng úng Khi õ tỗn tÔi mởt số τ > 0 sao cho δ k ∥g k ∥ ≥τ /√ k+ 1 vợi mồi k Tứ ii) cừa Bờ ã 2.6 ta cõ τ 2
1 k+ 1 0 v dứng thuêt toĂn khi ho°c ∥x k −y k ∥ ≤ε ho°c ∥g k ∥ ≤ ε.
Nhên x²t 2.2 [11] Náu f lỗi ối vợi bián thự nhĐt x trản K, thẳ trong Bữợc 2.1 º xĂc ành u k tỹ ởng úng vợi mồi η k thọa mÂn 0< η k ≤1−α vợi mồi k.
Thêt vêy, vẳ f(y k , y k ) = 0, bði tẵnh lỗi cừa f ối vợi bián thự nhĐt, ta cõ thº viát f(u k , y k ) + α ρ[G(y k )− G(x ∗ )− ⟨∇G(x ∗ ), y k −x ∗ ⟩]
M°t khĂc, vẳ y k l nghiằm cừa b i toĂn (2.19) nản ta cõ f(x k , y k ) +1 ρ[G(y k )− G(x ∗ )− ⟨∇G(x ∗ ), y k −x ∗ ⟩] ≤0.
≤ 0, iãu n y suy ra iãu kiằn trong Bữợc 2.1 cừa Thuêt toĂn 2 thọa mÂn vợi
2.3 p dửng cho b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hộn hủp a trà
Trong phƯn n y, chúng tổi trẳnh b y ựng dửng cừa thuêt toĂn cho b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn
⟨p ∗ , x−x ∗ ⟩+φ(x)−φ(x ∗ )≥ 0, trong õ F : R n ⇒ R n v φ : R n → R∪ {+∞} l cĂc h m lỗi chẵnh thữớng, õng GiÊ sỷ F(x) l têp compact khĂc rộng vợi mội x ∈ K, v K ⊆ domφ, trong õ domφ l miãn hỳu hiằu cừa Ănh xÔ φ.
26 Khi õ,x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn (MVIP) náu v ch¿ náu nõ l nghiằm cừa b i to¡n (PEP). ành nghắa 2.2 [11] i) nh xÔF ữủc gồi l φ−giÊ ỡn iằu trảnK náu vợi mồi x, y∈ K v vợi mồi u∈ F(x), v ∈ F(y), bĐt ¯ng thực
⟨v, y−x⟩+φ(y)−φ(x) ≥ 0. ii) F ữủc gồi l liản tửc Lipschitz trản K ối vợi hơng số L náu vợi mồi x, y ∈K ta câ sup u∈F (x) v∈Finf(y)∥u−v∥ ≤L∥x−y∥.
Tứ phƯn trữợc, ta thĐy iãu kiằn (2.4) khổng suy ra tẵnh liản tửc cừa h m f Tuy nhiản, náu f ữủc cho bði (2.34), F liản tửc Lipschitz v φ liản tửc trản
K thẳ f thọa mÂn iãu kiằn (2.4) nhữ phĂt biºu trong bờ ã sau Ơy iãu n y giÊi thẵch tÔi sao cổng thực (2.4) ữủc gồi l iãu kiằn kiºu Lipschitz.
Bờ ã 2.7 [11] Cho f ành nghắa bði (2.34) CĂc phĂt biºu sau l úng: i) Náu F, φ liản tửc trản K v F(x) compact vợi mội x ∈K thẳ f liản tửc trản
K ×K. ii) Náu F l φ−giÊ ỡn iằu trản K thẳ f giÊ ỡn iằu trản K. iii) Náu F l L−liản tửc Lipschitz trản K thẳ vợi mội ν >0, ta cõ f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z)− Lν
Chựng minh PhĂt biºu Ưu tiản ữủc suy ra tứ ành lỵ cỹc Ôi PhĂt biºu thự hai ữủc suy ra tứ ành nghắa. º chựng minh iii), giÊ sỷ F l L−Lipschitz liản tửc trản K LĐy x, y, z ∈K. Vợi mội u ∈ F(x) v ε > 0, vẳ F liản tửc Lipschitz nản theo ành nghắa, tỗn t¤i v ∈F(y) sao cho ∥u−v∥ ≤ L∥x−y∥+ε Suy ra
Vẳ ε >0 v u∈F(x) tũy ỵ nản ta nhên ữủc f(x, z)−f(y, z)−f(x, y) ≤ L∥x−y∥∥z−y∥.
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực 2ab ≤(a 2 /ν) +νb 2 úng vợi mồi a, b∈ R v ν >0, ta thu ữủc (2.35).
Chú ỵ rơng khi F liản tửc Lipschitz v ỡn trà trản K, Thuêt toĂn 1 vợi f(x, y) = ⟨F(x), y − x⟩, φ ≡ 0 trð th nh thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn Khi F liản tửc những khổng Lipschitz, Thuêt toĂn 2 trũng vợi thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng theo tia KhiF l Ănh xÔ a trà thẳ theo Bờ ã 2.7, mởt cĂch lỵ thuyát, Thuêt toĂn 1 cụng nhữ Thuêt toĂn 2 cõ thº ữủc Ăp dửng.
Trong mửc n y, chúng tổi Ăp dửng thuêt toĂn cho lợp b i toĂn cƠn bơng vợi K l a diằn lỗi cõ dÔng
K :={x∈R n |Ax≤ b|}, (2.36) v song h m cƠn bơng f :K ìK →R∪ {+∞} cho bði f(x, y) =⟨F(x) +Qy+q, y−x⟩, (2.37) vợiF :K → R n , Q∈R nìn l ma trên ối xựng nỷa xĂc ành dữỡng v q ∈ R n Vẳ Q l ma trên ối xựng, nỷa xĂc ành dữỡng nản f(x, ) l h m lỗi vợi mội x∈K cè ành.
Lợp b i toĂn cƠn bơng n y cõ cĂc tẵnh chĐt sau.
Bờ ã 2.8 [11] Cho F : K →R n l ζ− ỡn iằu mÔnh trản K Khi õ, i) f ỡn iằu trản K khi ζ =∥Q∥. ii) f l ζ − ∥Q∥ ỡn iằu mÔnh trản K khi ζ >∥Q∥.
Bờ ã 2.9 [11] Cho F : K →R n l L− Lipschitz liản tửc trản K, tực l
Khi õ, f thọa mÂn iãu kiằn kiºu Lipschitz (2.4) Tực l f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z)−a 1 ∥y −x∥ 2 −a 2 ∥z−y∥ 2 , ∀x, y, z ∈ K, vợi mồi a 1 >0, a 2 >0 thọa mÂn
Trong trữớng hủp °c biằt khi F l Ănh xÔ tuyán tẵnh cõ dÔng F(x) =P x vợi P ∈R nìn , h m f xĂc ành bði (2.37) cõ dÔng f(x, y) =⟨P x+Qy+q, y−x⟩ (2.38)