Chương 2 : Điều khiển tối ưu doc

Chương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 125 Chương 2 ðIỀU KHIỂN TỐI ƯU 2.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 2.1.1 ðặc ñiểm của bài toán tối ưu 1. Khái niệm Một hệ ñiều khiển ñược thiết kế ở chế ñộ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào ñó ( ñạt ñược giá trị cực trị ) . Trạng thái tối ưu có ñạt ñược hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng ñặt ra , vào sự hiểu biết về ñối tượng và các tác ñộng lên ñối tượng , vào ñiều kiện làm việc của hệ ñiều khiển … Một số ký hiệu sử dụng trong chương 2. Hình 2.1: Sơ ñồ hệ thống ñiều khiển . Hệ thống ñiều khiển như hình trên bao gồm các phần tử chủ yếu : ñối tượng ñiều khiển ( ðTðK ) , cơ cấu ñiều khiển ( CCðK ) và vòng hồi tiếp ( K ) . Với các ký hiệu : r : tín hiệu ñầu vào, mục tiêu ñiều khiển, ñáp ứng mong muốn của hệ thống. u : tín hiệu ñiều khiển, luật ñiều khiển. x : tín hiệu ñầu ra, ñáp ứng ra của hệ thống. ε = r – x : sai lệch của hệ thống. f : tín hiệu nhiễu Chỉ tiêu chất lượng J của một hệ thống có thể ñược ñánh giá theo sai lệch của ñại lượng ñược ñiều khiển x so với trị ñáp ứng mong muốn r , lượng quá ñiều khiển ( trị số cực ñại x max so với trị số xác lập ( ) x ∞ tính theo phần trăm ) , thời gian quá ñộ … hay theo một chỉ tiêu hỗn hợp trong ñiều kiện làm việc nhất ñịnh như hạn chế về công suất , tốc ñộ , gia tốc … Do ñó việc chọn một luật ñiều khiển và cơ cấu ñiều khiển ñể ñạt ñược chế ñộ làm việc tối ưu J ñạt cực trị còn tùy thuộc vào lượng thông tin ban ñầu mà ta có ñược. Ở ñây chúng ta có thể thấy ñược sự khác biệt về kết quả nhận ñược chất lượng tối ưu khi lượng thông tin ban ñầu thay ñổi ( Hình 2.2 ) . Chương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 126 Hình 2.2 : Tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cục . Khi tín hiệu ñiều khiển u giới hạn trong miền [u 1 ,u 2 ] , ta có ñược giá trị tối ưu cực ñại 1 J ∗ của chỉ tiêu chất lượng J ứng với tín hiệu ñiều khiển 1 u ∗ . Khi tín hiệu ñiều khiển u không bị ràng buộc bởi ñiều kiện 1 2 u u u ≤ ≤ , ta có ñược giá trị tối ưu 2 1 J J ∗ ∗ > ứng với 2 u ∗ . Như vậy giá trị tối ưu thực sự bây giờ là 2 J ∗ . Tổng quát hơn , khi ta xét bài toán trong một miền [ ] , m n u u nào ñó và tìm ñược giá trị tối ưu i J ∗ thì ñó là giá trị tối ưu cục bộ . Nhưng khi bài toán không có ñiều kiện ràng buộc ñối với u thì giá trị tối ưu là ( ) i J extremum J ∗ ∗ = với i J ∗ là các giá trị tối ưu cục bộ , giá trị J ∗ chính là giá trị tối ưu toàn cục . ðiều kiện tồn tại cực trị : • ðạo hàm bậc một của J theo u phải bằng 0 : 0= ∂ ∂ u J • Xét giá tr ị ñạ o hàm b ậ c hai c ủ a J theo u t ạ i ñ i ể m c ự c tr ị : 0 2 2 > ∂ ∂ u J : ñ i ể m c ự c tr ị là c ự c ti ể u 0 2 2 < ∂ ∂ u J : ñ i ể m c ự c tr ị là c ự c ñạ i 2. ðiều kiện thành lập bài toán tối ưu Chương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 127 ðể thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu ñầu tiên là hệ thống phải có ñặc tính phi tuyến có cực trị . Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác ñịnh chỉ tiêu chất lượng J . Nhiệm vụ cơ bản ở ñây là bảo ñảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng J . Ví dụ như khi xây dựng hệ tối ưu tác ñộng nhanh thì yêu cầu ñối với hệ là nhanh chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian quá ñộ nhỏ nhất , nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá ñộ . Hay khi tính toán ñộng cơ tên lửa thì chỉ tiêu chất lượng là vượt ñược khoảng cách lớn nhất với lượng nhiên liệu ñã cho . Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t) , tín hiệu ñiều khiển u(t) và thời gian t . Bài toán ñiều khiển tối ưu là xác ñịnh tín hiệu ñiều khiển u(t) làm cho chỉ tiêu chất lượng J ñạt cực trị với những ñiều kiện hạn chế nhất ñịnh của u và x . Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau : 0 [ ( ), ( ), ] T J L x t u t t dt = ∫ Trong ñó L là một phiếm hàm ñối với tín hiệu x , tín hiệu ñiều khiển u và thời gian t . Lấy ví dụ về bài toán ñiều khiển ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập kt const Φ = với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng i u và tín hiệu ra x là góc quay ϕ của trục ñộng cơ . Hình 2.3 : ðộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập . Ta có phương trình cân bằng moment của ñộng cơ : M u c q d k i M M dt ω − = (1) d dt ϕ ω = (2) Ch ươ ng 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 128 trong ñó M M k C const = Φ = ; M q là moment quán tính ; ω là tốc ñộ góc ; ϕ là góc quay . Giả sử bỏ qua phụ tải trên trục ñộng cơ ( 0 c M = ) thì : 2 2 M u q d k i M dt ϕ = (3) Nếu xét theo thời gian tương ñối bằng cách ñặt : / M q t k M τ = thì (3) có dạng : 2 2 u d i d ϕ τ = (4) Từ ñó ta có : 2 2 d x u d τ = (5) Vậy phương trình trạng thái của ñộng cơ ñiện là một phương trình vi phân cấp hai với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng i ư, tín hiệu ra là góc quay ϕ . • Bài toán t ố i ư u tác ñộ ng nhanh ( th ờ i gian t ố i thi ể u ) : Tìm luật ñiều khiển u ( t ) với ñiều kiện hạn chế 1 u ≤ ñể ñộng cơ quay từ vị trí ban ñầu có góc quay và tốc ñộ ñều bằng 0 ñến vị trí cuối cùng có góc quay bằng 0 ϕ và tốc ñộ bằng 0 với một khoảng thời gian ngắn nhất . Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ tiêu chất lượng J sẽ là : 0 [ ( ), ( ), ] T J L x t u t t dt T = = ∫ Rõ ràng từ phương trình trên ta phải có [ ( ), ( ), ] 1 L x t u t t = . Như vậy , ñối với bài toán tối ưu tác ñộng nhanh thì chỉ tiêu chất lượng J có dạng : ∫ == T TdtJ 0 1 • Bài toán n ă ng su ấ t t ố i ư u : Năng suất ở ñây ñược xác ñịnh bởi góc quay lớn nhất của ñộng cơ trong thời gian T nhất ñịnh . Khi ñó chỉ tiêu chất lượng J có dạng : 0 0 0 [ ( ), ( ), ] ( ) T T T J L x t u t t dt t dt ϕ ϕ ϕ = = − = ∫ ∫ & Do ñó [ ( ), ( ), ] ( ) ( ) L x t u t t t x t ϕ = = & & và ta sẽ có chỉ tiêu chất lượng J ñối với bài toán năng suất tối ưu như sau : ( ) 0 T J x t dt = ∫ & Ch ươ ng 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 129 • Bài toán n ă ng l ượ ng t ố i thi ể u : Tổn hao năng lượng trong hệ thống : 0 T u u Q U i dt = ∫ Dựa vào phương trình cân bằng ñiện áp : u u u e U i R k ω = + và phương trình cân bằng moment : M u c q d k i M M dt ω − = Ta tính ñược : 2 0 0 0 ( ) T T e c u u T u u M k M Q U i dt R i dt k ϕ ϕ = = − + ∫ ∫ ðể có ñược tiêu hao năng lượng tối thiểu , ta chỉ cần tìm cực tiểu của J : 2 0 0 [ ( ), ( ), ] T T u J L x t u t t dt i dt = = ∫ ∫ Mà dòng ñiện phần ứng i u ở ñây chính là tín hiệu ñiều khiển u . Vì vậy chỉ tiêu chất lượng J ñối với bài toán năng lượng tối thiểu có dạng : 2 0 ( ) T J u t dt = ∫ 3. Tối ưu hoá tĩnh và ñộng Chúng ta cần phân biệt hai dạng bài toán tối ưu hoá tĩnh và tối ưu hóa ñộng . Tối ưu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộc vào thời gian . Còn ñối với tối ưu hóa ñộng thì thời gian cũng là một biến mà chúng ta cần phải xem xét ñến . 2.1.2 Xây dụng bài toán tối ưu 1. Tối ưu hóa không có ñiều kiện ràng buộc Một hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng ( ) L u ñược cho trước là một hàm của một vector ñiều khiển hay một vector quyết ñịnh m Ru ∈ . Chúng ta cần chọn giá trị của u sao cho L(u) ñạt giá trị nhỏ nhất . ðể giải bài toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho ñộ biến thiên của L(u) như sau : )3( 2 1 OduLduduLdL uu TT u ++= (2.1) V ớ i O(3) là s ố h ạ ng th ứ 3. Grad c ủ a L theo u là m ộ t vector m c ộ t : Ch ương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 130             ∂∂ ∂∂ ∂∂ = ∂ ∂ ∆ m u uL uL uL u L L / / / 2 1 M (2.2) và ñạo hàm cấp 2 của L theo u là một ma trận m x m ( còn gọi là ma trận Hessian ) :         ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∆ ji uu uu L u L L 2 2 2 (2.3) L uu ñược gọi là ma trận uốn . Một ñiểm cực trị hoặc ñiểm dừng xuất hiện khi sự biến thiên dL với thành phần thứ nhất tiến về 0 với mọi biến thiên du trong quá trình ñiều khiển . Vì vậy , ñể có ñiểm cực trị thì : 0= u L (2.4) Giả sử ñang ở tại ñiểm cực trị , có L u = 0 như (2.4) . ðể ñiểm cực trị trở thành ñiểm cực tiểu , chúng ta cần có : )3( 2 1 OduLdudL uu T += (2.5) là xác ñị nh d ươ ng v ớ i m ọ i s ự bi ế n thiên du . ð i ề u này ñượ c ñả m b ả o n ế u ma tr ậ n u ố n L uu là xác ñị nh d ươ ng : 0> uu L (2.6) N ế u L uu là xác ñị nh âm thì ñ i ể m c ự c tr ị chính là ñ i ể m c ự c ñạ i ; còn n ế u L uu là không xác ñị nh thì ñ i ể m c ự c tr ị chính là ñ i ể m yên ng ự a . N ế u L uu là bán xác ñị nh thì chúng ta s ẽ xét ñế n thành ph ầ n b ậ c cao h ơ n trong (2.1) ñể xác ñị nh ñượ c lo ạ i c ủ a ñ i ể m c ự c tr ị . Nh ắ c l ạ i : L uu là xác ñị nh d ươ ng ( ho ặ c âm ) n ế u nh ư các giá tr ị riêng c ủ a nó là d ươ ng ( ho ặ c âm ) , không xác ñị nh n ế u các giá tr ị riêng c ủ a nó v ừ a có d ươ ng v ừ a có âm nh ư ng khác 0 , và s ẽ là bán xác ñị nh n ế u t ồ n t ạ i giá tr ị riêng b ằ ng 0 . Vì th ế n ế u 0= uu L , thì thành ph ầ n th ứ hai s ẽ không hoàn toàn ch ỉ ra ñượ c lo ạ i c ủ a ñ i ể m c ự c tr ị . 2. Tối ưu hóa với các ñiều kiện ràng buộc Cho hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng ( ) uxL , , với vector ñiều khiển m Ru ∈ và vector trạng thái n Rx ∈ . Bài toán ñưa ra là chọn u sao cho hàm Chương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 131 chỉ tiêu chất lượng L(x,u) ñạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn ñồng thời các phương trình ñiều kiện ràng buộc . ( ) 0, =uxf (2.7) Vector trạng thái x ñược xác ñịnh từ một giá trị u cho trước bằng mối quan hệ (2.7) , vì thế f là một hệ gồm n phương trình vô hướng , n Rf ∈ . ðể tìm ñiều kiện cần và ñủ của giá trị cực tiểu , ñồng thời thỏa mãn ( ) 0, =uxf , ta cần làm chính xác như trong phần trước . ðầu tiên ta khai triển dL dưới dạng chuỗi Taylor , sau ñó xác ñịnh số hạng thứ nhất và thứ hai là L u & L uu . Thừa số Lagrange và hàm Hamilton . Tại ñiểm cực trị , dL với giá trị thứ nhất bằng 0 với mọi sự biến thiên của du khi df bằng 0 . Như vậy chúng ta cần có: 0=+= dxLduLdL T x T u (2.8) 0=+= dxfdufdf xu (2.9) Từ (2.7) ta xác ñịnh ñược x từ giá trị u ñã có, ñộ biến thiên dx ñược xác ñịnh bởi (2.9) từ giá trị biến thiên du với ñiều kiện ma trận Jacobi là không kỳ dị 0≠ x f . Như vậy , ma trận Jacobi f x không kỳ dị và : duffdx ux 1− −= (2.10) Thay dx vào (2.8) ta ñược : duffLLdL ux T x T u )( 1− −= (2.11) ðạo hàm riêng của L theo u chứa hằng số f ñược cho bởi phương trình : ( ) x T x T uu T ux T x T u df LffLffLL u L −− = −=−= ∂ ∂ 1 0 (2.12) với ( ) T x T x ff 1−− = . Lưu ý rằng : u dx L u L = ∂ ∂ =0 (2.13) ðể thành phần thứ nhất của dL bằng không với giá trị du tùy ý khi 0 = df , ta cần có : 0=− − x T x T uu LffL (2.14) ðây là ñiều kiện cần ñể có giá trị cực tiểu . Trước khi ñi tìm ñiều kiện ñủ , chúng ta hãy xem xét thêm một vài phương pháp ñể có ñược (2.14) . Viết (2.8) và (2.9) dưới dạng: 0=             =       du dx ff LL df dL ux T u T x (2.15) Chương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 132 Hệ phương trình tuyến tính này xác ñịnh một ñiểm dừng , và phải có một kết quả [ ] T TT dudx . ðiều này chỉ xảy ra nếu ma trận hệ số ( ) ( ) mnn +×+1 có hạng nhỏ hơn n+1 . Có nghĩa là các hàng của ma trận tuyến tính với nhau ñể tồn tại một vector λ có n số hạng như sau: [ ] 0.1 =       ux T u T x T ff LL λ (2.16) Hay: 0=+ x TT x fL λ (2.17) 0=+ u TT u fL λ (2.18) Giải (2.17) ta ñược λ : 1− −= x T x T fL λ (2.19) và thay vào (2.18) ñể có ñược (2.14) . Vector n R∈ λ ñược gọi là thừa số Lagrange , và nó sẽ là công cụ hữu ích cho chúng ta sau này . ðể hiểu thêm ý nghĩa của thừa số Lagrange ta xét du = 0 , từ (2.8) và (2.9) ta khử dx ñể ñược : dffLdL x T x 1− = (2.20) Vì vậy: ( ) λ −== ∂ ∂ − = T x T x du fL f L 1 0 (2.21) Do ñó - λ là ñạo hàm riêng của L với biến ñiều khiển u là hằng số . ðiều này nói lên tác dụng của hàm chỉ tiêu chất lượng với biến ñiều khiển không ñổi khi ñiều kiện ràng buộc thay ñổi . Như là một cách thứ ba ñể tìm ñược (2.14), ta phát triển thêm ñể sử dụng cho các phân tích trong những phần sau. Kết hợp ñiều kiện ràng buộc và hàm chỉ tiêu chất lượng ñể thành lập hàm Hamilton . ( ) ( ) ( ) uxfuxLuxH T ,,,, λλ += (2.22) Với n R∈ λ là thừa số Lagrange chưa xác ñịnh . Muốn chọn x , u , λ ñể có ñược ñiểm dừng , ta tiến hành các bước sau . ðộ biến thiên của H theo các ñộ biến thiên của x , u , λ ñược viết như sau : λ λ dHduHdxHdH TT u T x ++= (2.23) Lưu ý rằng : ),( uxf H H = ∂ ∂ = λ λ (2.24) Gi ả s ử chúng ta ch ọ n các giá tr ị c ủ a u th ỏ a mãn: 0= λ H (2.25) Ch ươ ng 2 : ð i ề u khi ể n t ố i ư u Trang 133 Sau ñ ó ta xác ñị nh x v ớ i giá tr ị c ủ a u ñ ã có b ằ ng ph ươ ng trình ñ i ề u ki ệ n ràng bu ộ c ( ) 0, =uxf . Trong tr ườ ng h ợ p này hàm Hamilton t ươ ng ñươ ng v ớ i hàm ch ỉ tiêu ch ấ t l ượ ng: LH f = =0 (2.26) Nh ắ c l ạ i : n ế u f = 0 , ta s ẽ tìm ñượ c dx theo du t ừ (2.10) . Ta không nên xét m ố i quan h ệ gi ữ a du và dx ñể thu ậ n ti ệ n trong vi ệ c ch ọ n λ sao cho : 0= x H (2.27) ðạ o hàm (2.22) theo x: 0=+= ∂ ∂ λ T xx fL x H (2.28) hay 1− −= x T x T fL λ . N ế u gi ữ nguyên (2.25) và (2.27) t ừ (2.23): duHdHdL T u == (2.29) Vì H = L, ñể có ñượ c ñ i ể m d ừ ng ta ph ả i áp ñặ t ñ i ề u ki ệ n: 0= u H (2.30) Tóm l ạ i , ñ i ề u ki ệ n c ầ n ñể có ñượ c ñ i ể m c ự c ti ể u c ủ a L(x,u) th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ràng bu ộ c f(x,u) = 0 g ồ m có : 0== ∂ ∂ f H λ (2.31a) 0=+= ∂ ∂ λ T xx fL x H (2.31b) 0=+= ∂ ∂ λ T uu fL u H (2.31c) V ớ i ( ) λ ,,uxH xác ñị nh b ở i (2.22) . Cách th ườ ng dùng là t ừ 3 ph ươ ng trình ñ ã cho xác ñị nh x , λ , và u theo th ứ t ự t ươ ng ứ ng . So sánh 2 ph ươ ng trình (2.31b) và (2.31c) ta th ấ y chúng t ươ ng ứ ng v ớ i 2 ph ươ ng trình (2.17) và (2.18) . Trong nhi ề u ứ ng d ụ ng , chúng ta không quan tâm ñế n giá tr ị c ủ a λ , tuy nhiên ta v ẫ n ph ả i ñ i tìm giá tr ị c ủ a nó vì ñ ó là m ộ t bi ế n trung gian cho phép chúng ta xác ñị nh các ñạ i l ượ ng c ầ n tìm là u , x và giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a L . Ư u ñ i ể m c ủ a th ừ a s ố Lagrange có th ể tóm t ắ t nh ư sau : trên th ự c t ế , hai ñạ i l ượ ng dx và du không ph ả i là hai ñạ i l ượ ng bi ế n thiên ñộ c l ậ p v ớ i nhau , theo (2.10) . B ằ ng cách ñư a ra m ộ t th ừ a s ố b ấ t ñị nh λ , chúng ta ch ọ n λ sao cho dx và du có th ể ñượ c xem là hai ñạ i l ượ ng bi ế n thiên ñộ c l ậ p v ớ i nhau . L ấ y ñạ o hàm riêng c ủ a H l ầ n l ượ t theo các bi ế n nh ư trong (2.31) , nh ư th ế ta s ẽ có ñượ c ñ i ể m d ừ ng . Ch ươ ng 2 : ð i ề u khi ể n t ố i ư u Trang 134 Khi ñư a ra th ừ a s ố Lagrange , chúng ta có th ể thay th ế bài toán tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a L(x,u) v ớ i ñ i ề u ki ệ n ràng bu ộ c f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a hàm Hamilton H(x,u, λ ) không có ñ i ề u ki ệ n ràng bu ộ c . ð i ề u ki ệ n ñ ã (2.31) xác ñị nh m ộ t ñ i ể m d ừ ng . Ta s ẽ ti ế p t ụ c ch ứ ng minh ñ ây là ñ i ể m c ự c ti ể u nh ư ñ ã th ự c hi ệ n trong ph ầ n tr ướ c . Vi ế t chu ỗ i Taylor m ở r ộ ng cho ñộ bi ế n thiên c ủ a L và f nh ư sau : [ ] [ ] )3( 2 1 O du dx LL LL dudx du dx LLdL uuux xuxx TTT u T x +             +       = (2.32) [ ] [ ] )3( 2 1 O du dx ff ff dudx du dx ffdf uuux xuxx TT ux +             +       = (2.33) V ớ i: x u f f xu ∂∂ ∂ = ∆ 2 ðể ñư a ra hàm Hamilton , ta s ử d ụ ng các ph ươ ng trình sau : [ ] [ ] [ ] )3( 2 1 1 O du dx HH HH dudx du dx HH df dL uuux xuxx TTT u T x T +             +       =       λ (2.34) Bây gi ờ , ñể có ñượ c ñ i ể m d ừ ng ta c ầ n có 0 = f , và ñồ ng th ờ i thành ph ầ n th ứ nh ấ t c ủ a dL b ằ ng 0 v ớ i m ọ i s ự bi ế n thiên c ủ a dx và du . Vì 0 = f nên 0 = df , và ñ i ề u này ñ òi h ỏ i 0= x H và 0= u H nh ư trong (2.31) . ðể tìm ñ i ề u ki ệ n ñủ cho ñ i ể m c ự c ti ể u , chúng ta xét ñế n thành ph ầ n th ứ hai . ðầ u tiên , ta c ầ n xem m ố i quan h ệ gi ữ a dx và du trong (2.34) . Gi ả s ử r ằ ng chúng ta ñ ang ở ñ i ể m c ự c tr ị nên 0= x H , 0= u H và 0 = df . T ừ (2.10) suy ra: )2( 1 Oduffdx ux +−= − (2.35) Thay vào (2.34) ta ñượ c : [ ] )3( 2 1 1 Odu I ff HH HH IffdudL ux uuux xuxx T x T u T +       −       −= − − (2.36) ðể ñả m b ả o ñ ây là ñ i ể m c ự c ti ể u , dL trong (2.36) ph ả i d ươ ng v ớ i m ọ i s ự bi ế n thiên c ủ a du . ð i ề u này ñượ c ñả m b ả o n ế u nh ư ma tr ậ n u ố n v ớ i f luôn b ằ ng 0 là xác ñị nh d ươ ng . [ ] uxxx T x T uuxuxxu T x T uuu ux uuux xuxx T x T u f uu f uu ffHffffHHffH I ff HH HH IffLL 11 1 −−−− − − ∆ +−−=       −       −== (2.37) [...]... (2) f2(x2,y2,z2)=x2 + 2y2 – 3z2 - 4=0 (3) Thành lập hàm Hamilton: H(x2,y2,z2,λ1, 2) = x 22 + y 22 + z 22 + λ1 f1(x2,y2,z2) + 2 f2(x2,y2,z2) Trang 147 Chương 2: ði u khi n t i ưu = x 22 + y 22 + z 22 + λ1(3x2 + 2y2 + z2 -1) + 2( x2 + 2y2 -3z2 - 4) (4) Điều kiện cần để có điểm cực tiểu của L(x2,y2,z2) thoả mãn điều kiện ràng buộc f(x2,y2,z2)=0 khi: ∂H = f =0 ∂λ ∂H = Lx 2 + f xT2 λ = 0 ∂x2 ∂H = Lu + f yT2... Giải: a.Dùng phương pháp Euler Lagrange: Chọn phi m hàm tối ưu là : L(x,y,z) = x2y2z2 (*) 2 2 2 2 Điều kiện ràng buộc l : f(x,y,z) = x +y +z - r = 0 Thành lập hàm Hamilton : H(x,y,z) = x2y2z2 + λ(x2+y2+z2 - r2) Trang 149 Chương 2: ði u khi n t i ưu Xác đònh điểm cực tr : Hλ = x2+y2+z2 - r2 = 0 (1) 2 2 Hx = 2xy z + 2 x = 0 (2) 2 2 Hy = 2yx z + 2 y = 0 (3) 2 2 Hz = 2zx y + 2 z = 0 (4) (5) Từ (2) 2x(y2z2... λ1, 2 Và điểm tối ưu A(x2,y2,z2) Kiểm tra S Đ Kết thúc Quan sát trên hình vẽ ta thấy khoảng cách ta muốn tối ưu hoá đó là đoạn OA, trong đó A chạy trên đường thẳng d ⇒ OA2 = (x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 + (z2 – z1 )2 Vì O là gốc toạ độ ⇒ O(0,0,0) ⇒ OA2 = (x2 )2 + (y2 )2 + (z2 )2 Phi m hàm tối ưu: L(x2,y2,z2) = OA2 = (x2 )2 + (y2 )2 + (z2 )2 (1) Bài toán với 2 điều kiện ràng buộc l : f1(x2,y2,z2)=3x2 + 2y2 + z2 -1=... 151 Chương 2: ði u khi n t i ưu V i λ = -2 a 2 + b 2 ta tìm được x = a2 a2 + b2 ;y= b2 a2 + b2 Khi đó thay x, y vào (*) ta có : L2= 4 a 2 + b 2 > 0 Kiểm tra lại L2 là max Hyy = 2 /b2 ; Hxx = 2 /a2 ; Hxy = Hyx = 0  f x  2 x / a 2  f  =  2  y  2 y / b    f ⇒ L yy = H yy + f yT f x−T H xx f x−1 f y = = 2 2 y a 2 2λ a 2 2 y + b2 b2 2x a2 2x b2 2 a2 y2 (1 + 2 2 ) b2 b x f Ứng với L2,... ∂H = Lu + f yT2 λ = 0 ∂y2 ∂H = Lz 2 + f zT λ = 0 2 ∂z2 Xác đònh điểm dừng: ∂H H x2 = = 2 x 2 + 3λ1 + λ 2 = 0 ∂x2 ∂H = 2 y 2 + 2 1 + 2 2 = 0 H y2 = ∂y 2 ∂H = 2 z 2 + λ1 − 3 2 = 0 H z2 = ∂z 2 ∂H H λ1 = = 3x2 + 2 y 2 + z 2 − 1 = 0 ∂λ1 ∂H H 2 = = x2 + 2 y 2 − 3 z 2 − 4 = 0 ∂ 2 Từ (5), (6), (7) nhận đïc: 1 x2 = (− 3λ1 − 2 ) 2 1 z 2 = (− λ1 + 3λ 2 ) 2 y 2 = −λ1 − 2 Thay x2, y2, z2 vào phương trình (8),(9)... dựa vào các điều kiện sau: Hλ = x2/a2 + y2/b2 -1 = 0 (1) 2 Hx = 4 + 2 x/a = 0 (2) 2 Hy = 4 + 2 y/b = 0 (3) 2 Từ (2) x = -2a /λ Từ (3) y = -2b2/λ Thay x, y vào (1) ta c : 2 2  2 a 2   − 2b 2  2 2 ⇔  /a +  / b −1 = 0  λ   λ  ⇔ 4( a 2 + b 2 ) = λ 2 ⇔ λ = 2 a 2 + b 2 Với λ = 2 a 2 + b 2 ta tìm được x = Khi đó thay x, y vào (*) ta có : L1= -4 a2 a2 + b2 ;y=- b2 a2 + b2 a 2 + b 2 < 0, không... x2y2z2 – (r2/3)3 = 0 Thành lập hàm Hamilton: H(x,y,z,λ) = x2+y2+z2 + λ( x2y2z2 – (r2/3)3) Tìm điểm cực trò bằng cách cho các đạo riêng của H bằng 0 (9) Hx = 2x + 2 xy2z2 = 0 Hy = 2y + 2 yx2z2 = 0 (10) Hz = 2z + 2 zx2y2 = 0 (11) 2 2 2 2 3 Hλ = x y z – (r /3) = 0 ( 12) Với (x,y,z) ≠ (0,0,0) thì ta có : λ = - 1/(x2y2) = -1/(y2z2) = -1/(x2z2) x2 = y2 = z2 Từ ( 12) ta có tọa độ điểm dừng : x2 = y2 = z2 = r2/3... H xx f x−1 f y a2 a 2 2 y 2 y a 2 2λ a 2 2 y −4 + 2x 2x b 2 b 2 2x a 2 2x b 2 x2 a2 x ) −8 2 y2 b y a b ,y= ta có : Với λ = -2ab, x= 2 2 f L yy = −16a / b < 0 Vậy L phải là max 2 2y −4 2 2 b b a2 2 = 2 (1 + 2 b b = Trang 153 Chương 2: ði u khi n t i ưu 2. 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ðI U KHI N T I ƯU 2. 2.1 Phương pháp bi n phân c đi n Euler_Lagrange 1 Gi i thi u Nhi m v c a đi u khi n t i ưu là gi i bài... 2 ) + 2( − λ1 − 2 ) + 1 (− λ1 + 3 2 ) − 1 = 0 2 2 1 (− 3λ1 − 2 ) + 2( − λ1 − 2 ) − 3 (− λ1 + 3 2 ) − 4 = 0 2 2 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) ( 12) (13) (14) Trang 148 Chương 2: ði u khi n t i ưu − 7λ1 − 2 2 − 1 = 0  − 2 1 − 7 2 − 4 = 0 (15) 1 − 26 ; 2= 45 45 Thay giá trò λ1, 2 vào (10), (11), ( 12) ta có 23 5 79 x2 = ; y2 = ; z 2 = 90 9 90 x2 = 0 .25 5; y2 = 0.555, z2 = -0.877 L(x2,y2,z2) = OA2... điều kiện : x2 = y2 = z2 = r2/3 Ta chọn điểm M(1, 1, điều kiện r ≥ 2 LM = (r2 -2) r2 − 2 ) , Kiểm tra bất đẳng thức: L= (r2/3)3 < LM = r2 – 2 ⇔ r5 – 27 r2 + 54 < 0 Đẳng thức này luôn bò sai với mọi r ≥ 2 Do đó tại tọa độ thỏa điều kiện x2 = y2 = z2 = r2/3 thì L luôn là giá trò cực đại b.Dùng phương pháp Euler Lagrange: Phi m hàm tối ưu là : L(x,y,z) = x2+y2+z2 Điều kiện ràng buộc : f(x,y,z) = x2y2z2 . Chương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 125 Chương 2 ðIỀU KHIỂN TỐI ƯU 2. 1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 2. 1.1 ðặc ñiểm của bài toán tối ưu 1. Khái niệm Một hệ ñiều khiển ñược thiết. lượng tối ưu khi lượng thông tin ban ñầu thay ñổi ( Hình 2. 2 ) . Chương 2 : ði ều khiển tối ưu Trang 126 Hình 2. 2 : Tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cục . Khi tín hiệu ñiều khiển. sao cho : 0= x H (2. 27) ðạ o hàm (2. 22) theo x: 0=+= ∂ ∂ λ T xx fL x H (2. 28) hay 1− −= x T x T fL λ . N ế u gi ữ nguyên (2. 25) và (2. 27) t ừ (2. 23 ): duHdHdL T u == (2. 29) Vì