luận án tiến sĩ tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

45Chương 4.Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệphương trình chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient.. Kết quả về sự tồn tạivà không tồn tại nghiệm dương củ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ QUỲNH

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦAMỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC

VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành:Phương trình vi phân và tích phânMã số:9 46 01 03

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS Nguyễn Như Thắng

Hà Nội, 2024

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Như Thắng Những kết quả được đưa vào luận án đều đã được các đồng tác giả đồng ý Các kết quả trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong công trình của ai khác Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nếu có sự không trung thực trong công trình nghiên cứu này.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Quỳnh

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Như Thắng Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy trong Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ và động viên trong trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghiệp Hà Nội, các đồng nghiệp công tác tại Khoa Khoa học cơ bản đã luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Quỹ Đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tài trợ để tác giả có thể tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án một cách tốt nhất.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn những người bạn nghiên cứu sinh của Bộ môn Giải tích đã đồng hành, chia sẻ và giúp đỡ tác giả, đặc biệt là chị Chi, em Hiền Anh, anh Thắng

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người đã luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 14

4 Phương pháp nghiên cứu 15

5 Cấu trúc và các kết quả của luận án 15

Chương 1.Kiến thức chuẩn bị 17

1.1 Một số bất đẳng thức 17

1.2 Toán tử Laplace phân thứ 18

1.3 Một số tính chất 19

1.4 Nghiệm trên của hệ Lane-Emden phân thứ 22

Chương 2.Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ25 2.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính 25

2.1.1 Phát biểu bài toán 25

2.1.2 Kết quả về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường 26

2.2 Chứng minh về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường 28

2.2.1 Cận dưới đều của nghiệm 28

2.2.2 Sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường 30

Chương 3.Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệphương trình Lane-Emden phân thứ 37

3.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính 37

3.1.1 Phát biểu bài toán 37

3.1.2 Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương

3.2.2 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình 45

Chương 4.Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệphương trình chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient 50

4.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính 50

4.1.1 Phát biểu bài toán 50

4.1.2 Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình 51

4.1.3 Kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình 53

4.2 Chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình

và hệ phương trình 56

4.2.1 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tuyến tính 56

4.2.2 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình trong trường hợp dưới tới hạn hoặc tới hạn 57

4.2.3 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp dưới tới hạn 61

4.2.4 Sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ phương trình trong trường hợp tới hạn 64

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 67

NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 68

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 69

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

RNKhông gian vectơ thực N chiều với chuẩn Euclid;|x|Chuẩn Euclide của x trong không gian RN;

BRHình cầu tâm tại gốc tọa độ và bán kính R trong RN;

BR(x)Hình cầu tâm x và bán kính R trong RN;

Ck(Ω)Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trongΩ;Cck(Ω)Không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k có giá compact

(−∆)s Toán tử Laplace phân thứ;

Lp(RN) Không gian các hàm khả tích bậc p trên RN;

Ll ocp (RN) Không gian các hàm khả tích địa phương bậc p trên RN; Ls(RN) =¦u∈ L1loc(RN);R

(1+|x|)N+2sd x< ∞©;

S (RN) Không gian Schwartz các hàm giảm nhanh trên RN;

Cα(RN) Không gian các hàm liên tục H¨older cấp α, 0 < α < 1, trên

RN;

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Trong những năm gần đây, các nhà toán học trên thế giới dành sự quan tâm đến các phương trình đạo hàm riêng loại elliptic và parabolic không địa phương, mà một số phương trình tiêu biểu chứa toán tử Laplace phân thứ, hay

p-Laplace phân thứ, nhờ những ứng dụng trong vật lí, sinh học, tài chính

Tính không địa phương của phương trình có thể tới từ số hạng không gian như toán tử Laplace phân thứ, hoặc đạo hàm không địa phương theo biến thời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm không địa phương, đối với phương trình kiểu parabolic) Hơn nữa, toán tử Laplace phân thứ còn được xem như toán tử sinh của quá trình khuếch tán Lévy [4].

Ta biết rằng toán tử Laplace phân thứ (−∆)s, 0 < s < 1, được định nghĩa

như một toán tử không địa phương trên không gian các hàm giảm nhanh bởi

ở đây cN,slà hằng số chuẩn hoá và P.V là giá trị chính Cauchy Mặt khác, toán

tử Laplace phân thứ còn được định nghĩa thông qua biến đổi Fourier

F ((−∆)su) (ξ) = |ξ|s

F u(ξ),

vớiF u là biến đổi Fourier của hàm u, xem [55] Hơn nữa, ta có thể mở rộng

định nghĩa của toán tử Laplace phân thứ theo nghĩa phân phối trên không gian

Cho đến nay, đã có nhiều kết quả về tính chất định tính cho nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử Laplace như sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính chính qui, tính ổn định Tuy nhiên, các kết quả tương tự cho

các phương trình không địa phương chứa toán tử Laplace phân thứ, p-Laplace

phân thứ vẫn còn rất hạn chế bởi các khó khăn khi phải làm việc với toán tử không địa phương Khó khăn này đòi hỏi cách tiếp cận mới cho các bài toán không địa phương và các phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ trở thành một trong những chủ đề quan trọng trong chuyên ngành.

Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình

Các phương trình này được biết đến với tên gọi phương trình Lichnerowicz, xem [20, 21, 47] và các tài liệu tham khảo trong đó Gần đây, phương trình kiểu Lichnerowicz nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước, xem [12, 52, 53] cho phương trình elliptic và [29, 70, 71] cho phương trình parabolic.

Trong [52, 53], người ta chứng minh rằng nếu p> 1 thì phương trình (0.4)

chỉ có nghiệm dương tầm thường u= 1 Kết quả này sau đó được chứng minh lại bởi [12] bằng cách sử dụng một kiểu nguyên lí cực trị và lí thuyết Keller-Osserman Hơn nữa, trong [12] người ta còn chỉ ra rằng nếu 0 < p ≤ 1 thì

(0.4) có nghiệm dương không tầm thường Dựa vào kết quả trong [12] cho (0.4), chúng tôi đặt câu hỏi tương tự cho trường hợp phương trình chứa toán

Trong trường hợp này, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương của (0.7) đã được chứng minh trong bài báo nổi tiếng của Gidas và Spruck [44, 45] Đối với lớp nghiệm trên dương của phương trình (0.7), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàn toàn, xem [5].

Giả thuyết này đã được chứng minh cho lớp nghiệm radial với số chiều tùy ý [54, 61, 62] Trong trường hợp nghiệm không radial, giả thuyết Lane-Emden

chỉ được chứng minh với số chiều N ≤ 4, xem [62, 64] và còn bỏ ngỏ với số

chiều N ≥ 5.

Đối với lớp nghiệm trên dương của (0.8), định lí kiểu Liouville tối ưu cũng đã được chứng minh hoàn toàn, xem [5] Kết quả dưới đây đã được chỉ ra trong [5].

Định lí A ([5]) Hệ phương trình (0.8) không có nghiệm trên dương nếu và chỉ

nếu(p, q) thỏa mãn một trong các điều kiện sau

Bây giờ, chúng ta xét trường hợp phương trình Lane-Emden (0.5) và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ (0.6) với0< s < 1 Kết quả về sự tồn tại

và không tồn tại nghiệm dương của phương trình Lane-Emden trong [44] đã được mở rộng cho phương trình Lane-Emden phân thứ trong [18, 51], ở đó

số mũ tới hạn được cho bởi pc(s) =N+2sN−2s Sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (0.5) đã được nghiên cứu trong [38] Cụ thể, các tác giả đã thu được kết quả sau đây về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương.

Hơn nữa, khi p>N

N−2s, phương trình (0.5) có nghiệm trên dương dạng

(1 + |x|)2sk

với k là số thỏa mãnp−11 < k <N−2s

2svàϵ > 0 đủ nhỏ."

Tương tự như trường hợp của toán tử Laplace, một câu hỏi tự nhiên là phương trình (0.5) có nghiệm trên dương hay không khi−∞ < p ≤ 1 Luận

án sẽ đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này.

Liên quan đến hệ (0.6), cho đến nay cũng đã có một vài kết quả kiểu Liou-ville trong các công trình [27, 56, 58] Ngoài ra, tính đối xứng của các thành phần đã được thiết lập trong [69] Mặt khác, việc phân loại nghiệm trên dương cũng đã được nghiên cứu trong [11, 49] Nhắc lại rằng, nghiệm trên dương của (0.6) là một cặp hàm dương(u, v), u, v ∈ C2σ(RN) ∩ Ls(RN), thỏa mãn

ở đó A, B> 0 sẽ là các hằng số thích hợp vàk1= p+ 1

pq− 1 and k2= q+ 1

pq− 1.

Gần đây, Biswas [11] đã chứng minh rằng, hệ (0.6) không có nghiệm trên

dương trong trường hợp p, q> 0 và pq ≤ 1 bằng cách sử dụng kĩ thuật xác

suất Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay vẫn chưa có kết

quả nào về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (0.6) khi p≤ 0

hoặc q ≤ 0 Do đó, dựa vào kết quả đã có cho toán tử Laplace (Định lí A),

chúng tôi sẽ chứng minh rằng hệ (0.6) không có nghiệm trên dương khi p≤ 0

hoặc q ≤ 0 Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra một chứng minh đơn giản về sự

không tồn tại nghiệm trên dương của hệ (0.6) khi p> 0, q > 0 và pq ≤ 1 hoặc

trong đó các số mũ p và q là các số thực,(−∆)slà toán tử Laplace phân thứ với 0< s < 1, N > 2s và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện tăng

trưởng ở vô cùng

|b(x)| ≤C

Khi s= 1 và b = 0, phương trình (0.10) và hệ (0.11) lần lượt trở thành

phương trình Lane-Emden và hệ Lane-Emden Các kết quả liên quan đến phương trình và hệ phương trình này đã được nói đến ở trên Tiếp theo chúng ta xét trường hợp 0< s < 1 và b = 0, phương trình (0.10) và hệ (0.11) lần lượt trở

thành phương trình Lane-Emden phân thứ và hệ Lane-Emden phân thứ Một số kết quả đã có cho phương trình và hệ phương trình này cũng đã được đề cập ở trên.

Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp khi b̸= 0 Đầu tiên, nếu s = 1,

Phương trình và hệ phương trình này đã được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây [1–3, 8, 9, 16, 23, 30, 31, 46, 48] Sự không tồn tại nghiệm trên dương của (0.13) trên các miền ngoài đã được thiết lập trong [8, 9, 31, 46] Điều kiện cho sự không tồn tại nghiệm trên dương trong trường hợp này là 1 < p ≤N

N−2 Trong trường hợp tuyến tính, tức là p = 1, sự không tồn tại nghiệm trên dương của (0.13) đã được nghiên cứu trong [1, 8, 9] Sự không tồn tại nghiệm trên dương của (0.14) trên toàn không gian đã được nghiên

cứu trong [31], trong đó p và q không nhất thiết phải lớn hơn một Với lớp

nghiệm ổn định, một số định lí kiểu Liouville cho (0.14) đã được thiết lập trong [30, 48].

Trong trường hợp tổng quát, các bài toán chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient đã thu hút nhiều sự chú ý trong những năm gần đây [6, 7, 19, 36, 39, 43, 57, 68] Trong [57], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui tối ưu của nghiệm của bài toán chứa toán tử

Lu= (−∆)s+ b · ∇u + cu.

Ước lượng nhân nhiệt cho toán tử(−∆)s+ b · ∇ đã được đưa ra trong [17, 19].

Trong [7], sự tồn tại nghiệm trên bị chặn của phương trình

(−∆)su+ |∇u|q= λf (u)

đã được chứng minh trong một số điều kiện của tham số.

Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay chưa có kết quả nào về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của (0.10) và (0.11) Trong luận án này, chúng tôi thiết lập được điều kiện cho sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình chứa số hạng gradient.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Chúng tôi nghiên cứu trong luận án này một số

phương trình và hệ phương trình elliptic phi tuyến chứa toán tử Laplace phân thứ.

• Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu chính trong luận án bao gồm:

Nội dung 1: Nghiên cứu cận dưới đều, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm

dương của phương trình Lichnerowicz parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ

trong đó các số mũ p và q là các số thực,(−∆)slà toán tử Laplace phân thứ với 0< s < 1, N > 2s và b là trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn một số điều

kiện tăng trưởng ở vô cùng.

4 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án như sau: • Phương pháp hàm thử.

• Xây dựng hàm phụ và sử dụng nguyên lí cực trị

• Phương pháp đổi biến để đưa hệ bất đẳng thức về một bất đẳng thức • Đánh giá bất đẳng thức và ước lượng tích phân phi tuyến.

5 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đã công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương như sau:

• Chương 1 trình bày một số kiến thức cần dùng cho các chương sau như:

các bất đẳng thức sơ cấp, toán tử Laplace phân thứ và một số tính chất cơ bản, một số bất đẳng thức liên quan đến toán tử Laplace phân thứ.

• Chương 2 trình bày kết quả về cận dưới đều cho nghiệm của phương trình

Lichnerowicz phân thứ và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường của phương trình này.

• Chương 3 trình bày sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình

và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ trong một số trường hợp của số mũ

p, q.

• Chương 4 trình bày một số kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên dương

của phương trình và hệ phương trình elliptic chứa toán tử Laplace phân thứ và số hạng gradient.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp chí quốc tế trong danh mục SCIE Kết quả của luận án cũng đã được trình bày tại Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và tại Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ X năm 2023.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm: một số bất đẳng thức thường dùng, toán tử Laplace phân thứ và một số tính chất Chương này được viết dựa trên tài liệu [25, 35, 55, 66, 69].

1.1 Một số bất đẳng thức

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức cần dùng cho các chương sau.

Bất đẳng thức Young

Cho p và q là hai số dương thỏa mãn 1p +1

q= 1 Khi đó, với mọi a > 0 và

Cho p và q là hai số dương thỏa mãn 1p + 1

q = 1 Khi đó, với mọi hàm

1.2 Toán tử Laplace phân thứ

Cho 0< s < 1 Toán tử Laplace phân thứ (−∆)s được định nghĩa như một toán tử không địa phương trên không gian Schwartz S (RN) các hàm giảm

Tiếp theo, ta có định nghĩa tương đương của toán tử Laplace phân thứ.

Bổ đề 1.1 ( [25, Lemma 3.2]) Cho s∈ (0, 1) và (−∆)slà toán tử Laplace phânthứ Khi đó, với mọiS (RN), ta có

Ngoài ra, nếu u∈ C2σ(RN) ∩ Ls(RN) với s < σ < 1, thì (−∆)su(x) xác định vàliên tục tại mọi x ∈ RN, xem [63, Proposition 2.4] Ở đây, C2σ(RN) là không gian các hàm liên tục H¨older cấp2σ khi 2σ < 1 và khi 2σ > 1 thì nó là không

gian các hàm có các đạo hàm riêng cấp một liên tục H¨older cấp 2σ − 1.

1.3 Một số tính chất

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản liên quan đến toán tử Laplace phân thứ.

Bổ đề 1.3 ([66, Theorem 3]) Cho u∈ C2(B2(x)) ∩ L∞(RN) với x ∈ RN Khi

Bổ đề 1.5 ([69, Lemma 2.4]) Cho 0< s < σ < 1 Giả sử rằng u, v ∈ C2σ RN
∩ Ls RN
là hai hàm dương Khi đó, với mọi0< b < 1, ta có

(−∆)subv1−b
(x) ≥ bub−1v1−b(x)(−∆)su(x) + (1 − b)ubv−b(x)(−∆)sv(x)

với mọi x ∈ RN.

Chúng ta nhắc lại một kết quả rất nổi tiếng của Caffarelli và Silvestre [13] Kết quả này cho phép chúng ta chuyển từ một bài toán không địa phương trong RN thành một bài toán địa phương với điều kiện biên Neumann phi tuyến trong

Tiếp theo chúng ta nhắc lại bất đẳng thức Kato.

Bổ đề 1.7 ([41, Appendix C]) Cho u∈ Ls(RN) với σ > s và (−∆)su∈ L1l oc(RN).

Khi đó

theo nghĩa phân phối Đặc biệt, ta có

theo nghĩa phân phối.

Chứng minh Chứng minh bổ đề này dựa trên ý tưởng trong [41] Chúng tôi

viết chi tiết chứng minh.

Để thuận tiện cho việc biến đổi, ta bỏ qua hằng số cN,svà P.V trong định nghĩa

toán tử Laplace phân thứ Ta có (1.3) tương đương với

≤ (sign(u(x))(u(x) − u(ξ)) + sign(u(ξ))(u(ξ) − u(x))) φ(x) (1.4)

Bằng một số biến đổi sơ cấp, bất đẳng thức (1.4) tương đương với

φ(ξ)(|u(x)| − sign(u(ξ))u(x)) + φ(x)(|u(ξ)| − sign(u(x))u(ξ)) ≥ 0

theo nghĩa phân phối Vậy (1.2) được chứng minh.

1.4 Nghiệm trên của hệ Lane-Emden phân thứ

Trong mục này, dựa trên [49], chúng ta trình bày sự tồn tại nghiệm trên dương của hệ Lane-Emden phân thứ trong trường hợp

Với điều kiện ở trên và cách chọn k1, k2ta có c1> 0 và c2> 0 Hơn nữa, ta tính

toán và thu được

q9−1 > 0 sao cho vế phải của hai

bất đẳng thức trên bằng 0 Từ đó ta có (u, v) xây dựng ở trên là nghiệm trên

dương của hệ Lane-Emden phân thứ.

Bằng cách hoàn toàn tương tự, trong trường hợp

Chương 2

Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowiczphân thứ

Trong chương này, chúng tôi thiết lập cận dưới đều cho nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ Hơn nữa, với một số giả thiết về tăng trưởng của hàm phi tuyến, chúng tôi chỉ ra rằng phương trình Lichnerowicz phân thứ chỉ có nghiệm dương tầm thường Kết quả của chương này được viết dựa trên công trình [P1] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án.

2.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính

2.1.1 Phát biểu bài toán

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình Lichnerowicz phân thứ kiểu parabolic

vt+ (−∆)sv= v−p−2− vp trong RN× R (2.1) và phương trình elliptic tương ứng

(−∆)su= u−p−2− up trong RN, (2.2)

ở đó p> 0, 0 < s < 1 và (−∆)s là toán tử Laplace phân thứ.

Phương trình Lichnerowicz (hay còn gọi là phương trình Lichnerowicz trường vô hướng Einstein) là một phương trình xuất hiện trong lí thuyết trường vô hướng Einstein Trong những năm gần đây, các lí thuyết trường vô hướng Ein-stein là một chủ đề phát triển mạnh mẽ Trong đó, nhiều nghiên cứu gần đây của các nhà khoa học nhằm sử dụng những lý thuyết như vậy để giải thích gia tốc giãn nở của vũ trụ Phương trình Lichnerowicz chứa cả phần phi tuyến với số mũ dương và số mũ âm trở thành một chủ đề được các nhà khoa học quan

tâm nghiên cứu Do đó, việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cũng như tính chất định tính nghiệm của phương trình này có ý nghĩa cả về toán học lẫn ứng dụng [28, 47, 50].

Tiếp theo, ta định nghĩa nghiệm của phương trình Lichnerowicz như sau.

Định nghĩa 2.1 Một nghiệm dương u của (2.2) là hàm dương u∈ C2σ(RN) ∩

Trong chương này, dựa vào kết quả trong[12] cho phương trình Lichnerow-icz chứa toán tử Laplace, chúng tôi nghiên cứu cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường của các phương trình (2.1) và (2.2).

2.1.2 Kết quả về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dươngkhông tầm thường

Dựa vào kết quả trong [12] cho (2.2) với s= 1, chúng tôi mở rộng kết quả đó cho trường hợp phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ Kết quả chính của chương này là định lí sau đây.

Định lí 2.1 Nếu p> 0 và v là nghiệm dương của (2.1) trong RN× R, thì v ≥ 1.

Hơn nữa, khi p> 1, phương trình (2.1) chỉ có nghiệm dương tầm thường v = 1.

Chú ý rằng một nghiệm dương u của (2.2) cũng là một nghiệm của (2.1).

Do đó chúng tôi có hệ quả sau đây, nó được xem như mở rộng của kết quả trong [12] cho toán tử Laplace phân thứ.

Hệ quả 2.1 Nếu p> 0 và u là một nghiệm dương của (2.2) trong RN, thì u≥ 1.

Hơn nữa, nếu p> 1, thì phương trình (2.2) chỉ có nghiệm dương tầm thườngu= 1.

Dựa trên kết quả trong [12], một câu hỏi mở được đặt ra như sau.

Câu hỏi mở Khi 0< p ≤ 1, phương trình (2.2) và (2.1) có nghiệm dương khôngtầm thường hay không?

Tiếp theo chúng tôi trình bày cách tiếp cận Ý tưởng chứng minh kết quả chính của chương này dựa trên cách tiếp cận của Brezis [12], tuy nhiên một số khó khăn gặp phải do sự xuất hiện của toán tử không địa phương và biến

thời gian t Do đó chúng tôi phát triển kĩ thuật hàm thử cho toán tử không

địa phương và sử dụng bất đẳng thức Kato cho toán tử Laplace phân thứ Cụ

thể, chúng tôi chỉ ra rằng nếu f là một hàm liên tục, giảm ngặt trên(0, ∞) và

f(a) = 0 thì mọi nghiệm v của

vt+ (−∆)sv≥ f (v)

luôn thỏa mãn v≥ a (xem Bổ đề 2.1) Bằng cách chọn f (v) = v−p−2− vp, ta thu được khẳng định về cận dưới đều của nghiệm.

Tiếp theo, để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm dương tầm thường v = 1

khi p> 1, chúng tôi thiết lập kết quả kiểu Keller-Osserman cho bất đẳng thức

parabolic và elliptic chứa toán tử Laplace phân thứ Cụ thể, chúng tôi chỉ ra rằng mọi nghiệm không âm của bất đẳng thức

vt+ (−∆)sv≤ −cvp trong RN× R

đều phải đồng nhất bằng0 Sau đó, áp dụng kết quả này cho hàm w= v −1, tathu được khẳng định về sự tồn tại duy nhất nghiệm dương thầm thường v= 1

khi p> 1 (xem Bổ đề 2.2).

2.2 Chứng minh về cận dưới đều và sự không tồn tạinghiệm dương không tầm thường

Kí hiệu C là hằng số dương bất kì không phụ thuộc vào nghiệm và có thể

thay đổi từ dòng này sang dòng khác.

2.2.1 Cận dưới đều của nghiệm

Trong mục này, ta chứng minh cận dưới đều của nghiệm dương.

Bổ đề 2.1 Cho f :(0, ∞) → R là một hàm liên tục, giảm ngặt và f (a) = 0 với

Vì v là nghiệm của bất đẳng thức (2.3) nên

f(v(x∗, t∗)) ≤ vt(x∗, t∗) + (−∆)sv(x∗, t∗) ≤ 2Cε.

Từ đó, ta suy ra

f(v(x0, t0) + ε) ≤ 2Cε.

Cho ε → 0+, ta thu được f(v(x0, t0)) ≤ 0 Do tính giảm ngặt của f ta suy ra

v(x0, t0) ≥ a Do (x0, t0) được chọn bất kì, nên v ≥ a trên RN

× R Bổ đề được chứng minh.

2.2.2 Sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường

Trong mục này, ta chỉ ra sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường Trước hết, ta chứng minh một kết quả kiểu Keller-Osserman cho bất đẳng thức parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ.

Bổ đề 2.2 Cho trước hai số thực p> 1 và c > 0 Giả sử v ∈ Lp

Hàmψ có thể được xây dựng như sau

ở đây C chỉ phụ thuộc vào m và c Áp dụng [32, Lemma2.2], ta thu được

ở đóα là số thực sẽ được chọn sau Khi đó,

Khi đó, vR(x, t) = Rp2s−1v(Rx, R2st) là một nghiệm không âm của (2.4) Sử dụng

(2.8) với v thay bởi vRta được

Hơn nữa, theo giả thiết v là không âm Từ đó suy ra v≡ 0.

Trường hợp 2 p≥ N+2sN Cho trướcε > 0 Đặt

vε(x, t) = (v(x, t) − ε)+= max{v(x, t) − ε, 0}.Để chỉ ra rằng v≡ 0, ta sẽ chứng minh vε(x, t) = 0 với mọi ε > 0.

Ta có∂tvε= sign(vε)∂tv Sử dụng bất đẳng thức Kato (Bổ đề 1.7), ta được theo nghĩa phân phối Nhắc lại rằng 1< q <N+2sN , nên (2.11) chỉ có nghiệm

không âm tầm thường vε≡ 0 Từ đó ta được v ≤ ε Vì ε > 0 nhỏ tùy ý và v làkhông âm nên v≡ 0.

Sử dụng Bổ đề 2.2 cho nghiệm không phụ thuộc thời gian t, ta có kết quả

sau

Hệ quả 2.2 Cho p> 1 và c > 0 Giả sử rằng u ∈ Ls(RN) ∩ Lp

Giả sử rằng v là một nghiệm dương của (2.1) Trước tiên ta chỉ ra tính bị

chặn dưới đều như sau.

Theo Bổ đề 2.2, ta có w≡ 0 Do vậy, v ≡ 1.

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Trong chương này, chúng tôi đã nghiên cứu một số tính chất định tính nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ loại parabolic và elliptic Các kết quả đạt được bao gồm:

• Chứng tỏ được mọi nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân

thứ dạng elliptic hoặc parabolic (2.2) và (2.1) với p> 0 đều lớn hơn hoặc bằng

• Chứng minh được mọi nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz

phân thứ dạng elliptic hoặc parabolic (2.2) và (2.1) với p> 1 đều là nghiệm

dương tầm thường.

Kết quả của chúng tôi là mở rộng tự nhiên của một số kết quả trong [12] từ phương trình Licnerowicz chứa toán tử Laplace sang phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ Hơn nữa, cách tiếp cận của chúng tôi có thể được sử dụng để nghiên cứu các lớp phương trình phân thứ khác như phương trình Ginzburg-Landau phân thứ hay phương trình Chern-Simons-Higgs phân thứ.

Chương 3

Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phươngtrình và hệ phương trình Lane-Emden phân thứ

Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình Lane-Emden phân thứ dưới một số điều kiện về số mũ Sau đó, bằng kĩ thuật chuyển hệ về phương trình, chúng tôi cũng chỉ ra được sự không tồn tại nghiệm trên dương của hệ Lane-Emden phân thứ Kết quả của chương này được viết dựa trên công trình [P2] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án.

3.1 Phát biểu bài toán và các kết quả chính

3.1.1 Phát biểu bài toán

Trong chương này, chúng ta xét phương trình Lane-Emden phân thứ

Nghiên cứu phương trình Lane-Emden trong miền không bị chặn nảy sinh

trong vật lí và hình học Chẳng hạn với N = 3, phương trình Lane-Emden xuất hiện trong nghiên cứu cấu trúc của các vì sao trong vật lí thiên văn [14, 15].

Với N≥ 3 và p =N+2N−2, phương trình Lane-Emden đóng vai trò quan trọng trong các bài toán về hình học bảo giác [14, 67].

Đối với phương trình (3.1), sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương trong

trường hợp p> 1 đã được nghiên cứu trong [18, 51] Sự tồn tại và không tồn