báo cáo cuối kỳ chương 10 sampling rate conversion

Đổi lại, các hệ thống sử dụng nhiều tốc độ lấy mẫu trong quá trình xử lý tín hiệu số được gọi là hệ thống xử lý tín hiệu số đa tốc độ.. Trong chương này, chúng tôi mô tả chuyển đổi tốc đ

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP HỒ CHÍ MINHKHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

BỘ MÔN ĐIỆN TỬ CÔNG NGHIỆP – Y SINHLê Thanh Như 21129059Lê Bùi Phương Thảo 19129048

MỤC LỤC

CHƯƠNG 10: Chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu……….3

GIỚI THIỆU 4

THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR ĐỂ CHUYỂN ĐỔI TỶ LỆ LẤY MẪU 35

NỘI SUY SỐ NGUYÊN FIR 36

FIR INTEGER DECIMATION 48

DESIGN SPECIFICATIONS 55

CHUYỂN ĐỔI TỈ LỆ FIR HỢP LÝ 59

BỘ LỌC FIR VỚI NHIỀU BĂNG DẢI KHÁC NHAU 63

CẤU TRÚC BỘ LỌC FIR ĐỂ CHUYỂN ĐỔI TỈ LỆ LẤY MẪU .64

CẤU TRÚC BỘ LỌC FIR DẠNG TRỰC TIẾP .64

CẤU TRÚC BỘ LỌC POLYPHASE 69

2

CHƯƠNG 10: Chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu

Trong nhiều ứng dụng thực tế của xử lý tín hiệu số, người ta phải đối mặt với vấn đề thay đổi tốc độ lấy mẫu của tín hiệu, tăng hoặc giảm tín hiệu một lượng nào đó Quá trình chuyển đổi tín hiệu từ một tốc độ nhất định sang một tốc độ khác được gọi là chuyển đổi tốc độ lấy mẫu Đổi lại, các hệ thống sử dụng nhiều tốc độ lấy mẫu trong quá trình xử lý tín hiệu số được gọi là hệ thống xử lý tín hiệu số đa tốc độ Trong chương này, chúng tôi mô tả chuyển đổi tốc độ lấy mẫu và xử lý tín hiệu đa tốc độ trong miền kỹ thuật số.

Ví dụ, hãy xem xét hệ thống được minh họa trong Hình 10.1 trong đó một tín hiệu tương tự được lấy mẫu bằng cách sử dụng tốc độ lấy mẫu mẫu/giây Tín hiệu số thu được x(n) sau đó được lọc bằng bộ lọc thông thấp (LPF) với tần số cắt là

Do đó, tín hiệu đầu ra có toàn bộ năng lượng trong dải 0 ≤ ω ≤ Theo định lý lấy mẫu, một tín hiệu như vậy có thể được biểu thị bằng tốc độ mẫu/giây thay vì tốc độ hiện tại của nó là Lưu ý rằng Tuy nhiên, nếu 0,5 thì Do đó, có vẻ thuận lợi hơn nếu giảm tần số lấy mẫu xuống giá trị gần với và thực hiện các thao tác xử lý tín hiệu ở tốc độ thấp hơn này.

Các ứng dụng khác bao gồm nhu cầu nội suy tối ưu trong chụp cắt lớp vi tính và thiết kế nhiều tầng hiệu quả của bộ lọc thông thấp băng hẹp.

3

Hình 10 1 Một hệ thống xử lý tín hiệu điển hình GIỚI THIỆU

Ý tưởng về phép nội suy là một khái niệm rất quen thuộc với hầu hết chúng ta và có nguồn gốc từ giải tích số Thông thường, phép nội suy được thực hiện trên một bảng số đại diện cho một hàm toán học Một bảng như vậy có thể được in trong sổ tay hoặc được lưu trữ trong thiết bị bộ nhớ máy tính Phép nội suy, thường chỉ đơn giản là xấp xỉ tuyến tính (hoặc đường thẳng), tạo ra một lỗi gọi là lỗi nội suy Sự khác biệt chính giữa phép nội suy trong xử lý tín hiệu số và phép nội suy trong phân tích số là chúng ta sẽ giả định rằng dữ liệu đã cho được giới hạn băng thông ở một số dải tần số và phát triển các sơ đồ tối ưu trên cơ sở này, trong khi một nhà phân tích số thường giả định rằng dữ liệu bao gồm mẫu của các đa thức (hoặc gần như vậy) và phát triển các sơ đồ để giảm thiểu lỗi kết quả.

Để thúc đẩy khái niệm nội suy này trong xử lý tín hiệu, thật hữu ích khi nghĩ đến tín hiệu tương tự cơ bản (hoặc gốc được lấy mẫu để tạo ra tín hiệu rời rạc đã cho x(n) Nếu được lấy mẫu ở tốc độ yêu cầu tối thiểu, thì theo định lý lấy mẫu, nó có thể được phục hồi hoàn toàn từ các mẫu x(n) Nếu bây giờ chúng ta lấy mẫu tín hiệu tương tự đã phục hồi này, với tốc độ gấp đôi tốc độ cũ, thì chúng ta đã thành công trong việc nhân đôi tốc độ lấy mẫu hoặc nội suy theo hệ số 2 với lỗi nội suy bằng không Cụ thể, chúng tôi có:

4

Reconstructed analog signal: (10.2) Lấy mẫu lại tín hiệu tương tự:

Trong công thức nội suy lý tưởng ở trên, tín hiệu rời rạc được chuyển đổi thành tín hiệu tương tự và sau đó trở lại tín hiệu rời rạc với tốc độ gấp đôi Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu cách tránh cách tiếp cận đường vòng này và thực hiện chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu hoàn toàn trong miền kỹ thuật số.

Quá trình chuyển đổi tốc độ lấy mẫu trong miền kỹ thuật số có thể được xem như một hoạt động lọc tuyến tính, như được minh họa trong Hình 10.2(a) Tín hiệu đầu vào x(n) được đặc trưng bởi tốc độ lấy mẫu và tín hiệu đầu ra được đặc trưng bởi tốc độ lấy mẫu , trong đó và là các khoảng thời gian lấy mẫu tương ứng Theo cách xử lý của chúng tôi, tỷ lệ bị hạn chế ở mức hợp lý

trong đó D và I là các số nguyên tố tương đối Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bộ lọc tuyến tính được đặc trưng bởi đáp ứng xung biến thiên theo thời gian, ký hiệu là

5

Hình 10 2 Chuyển đổi tốc độ lấy mẫu được coi như là quá trình lọc tuyến tính.

như Do đó, đầu vào và đầu ra có quan hệ với nhau bằng phép cộng chồng chất đối với các hệ thống biến thiên theo thời gian Quá trình chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu cũng có thể được hiểu từ quan điểm lấy mẫu lại kỹ thuật số của cùng một tín hiệu tương tự Đặt là tín hiệu tương tự được lấy mẫu ở tốc độ đầu tiên để tạo ra Mục tiêu của chuyển đổi tỷ lệ là thu được một chuỗi khác trực tiếp từ x(n), bằng với các giá trị được lấy mẫu của xa(t) ở tốc độ thứ hai Như được mô tả trong Hình 10.2(b), là phiên bản thay đổi theo thời gian của Sự dịch chuyển thời gian như vậy có thể được thực hiện bằng cách sử dụng bộ lọc tuyến tính có đáp ứng cường độ phẳng và đáp ứng pha tuyến tính (nghĩa là nó có đáp ứng tần số , trong đó là độ trễ thời gian do bộ lọc tạo ra) Nếu hai tốc độ lấy mẫu không bằng nhau, lượng thời gian dịch chuyển cần thiết sẽ thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác, như thể hiện trong Hình 10.2(b) Do đó, bộ chuyển đổi tốc độ có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một tập hợp các bộ lọc tuyến tính có cùng đáp ứng cường độ phẳng nhưng tạo ra độ trễ thời gian khác nhau Trước khi xem xét trường hợp chung của chuyển đổi tốc độ lấy mẫu, chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp đặc biệt Một là trường hợp giảm tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên và trường hợp thứ hai là trường hợp tăng tốc

6

độ lấy mẫu theo hệ số nguyên Quá trình giảm tốc độ lấy mẫu theo hệ số (lấy mẫu I D xuống theo ) được gọi là thập phân Quá trình tăng tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên D I (lấy mẫu theo ) được gọi là nội suy bộ chuyển đổi tốc độ có thể được thực hiện bằng I cách sử dụng một tập hợp các bộ lọc tuyến tính có cùng đáp ứng cường độ phẳng nhưng tạo ra độ trễ thời gian khác nhau Trước khi xem xét trường hợp chung của chuyển đổi tốc độ lấy mẫu, chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp đặc biệt Một là trường hợp giảm tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên và trường hợp thứ hai là trường hợp tăng tốc độ lấy mẫu D theo hệ số nguyên Quá trình giảm tốc độ lấy mẫu theo hệ số (lấy mẫu xuống theo ) I D D được gọi là thập phân Quá trình tăng tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên (lấy mẫu theo )I I được gọi là nội suy bộ chuyển đổi tốc độ có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một tập hợp các bộ lọc tuyến tính có cùng đáp ứng cường độ phẳng nhưng tạo ra độ trễ thời gian khác nhau Trước khi xem xét trường hợp chung của chuyển đổi tốc độ lấy mẫu, chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp đặc biệt Một là trường hợp giảm tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên và trường hợp thứ hai là trường hợp tăng tốc độ lấy mẫu theo hệ số D nguyên Quá trình giảm tốc độ lấy mẫu theo hệ số (lấy mẫu xuống theo D) được gọi I D là thập phân Quá trình tăng tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên (lấy mẫu theo ) được gọiI I là nội suy và thứ hai là trường hợp tốc độ lấy mẫu tăng theo hệ số nguyên Quá trình I giảm tốc độ lấy mẫu theo hệ số (downsampling by ) được gọi là decimation Quá D D trình tăng tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên (lấy mẫu theo ) được gọi là nội suy và thứ I I hai là trường hợp tốc độ lấy mẫu tăng theo hệ số nguyên Quá trình giảm tốc độ lấy mẫuI theo hệ số (down sampling by ) được gọi là decimation Quá trình tăng tốc độ lấy D D mẫu theo hệ số nguyên (lấy mẫu theo ) được gọi là nội suy.I I

GIẢM BẰNG YẾU TỐ D

7

Thao tác cơ bản cần có trong số thập phân là lấy mẫu xuống của tín hiệu tốc độ cao thành tín hiệu tốc độ thấp Chúng tôi sẽ phát triển các mối quan hệ miền thời gian và miền tần số giữa hai tín hiệu này để hiểu aliasing miền tần số theo Sau đó, chúng ta sẽ nghiên cứu điều kiện cần thiết để thực hiện phép thập phân không có lỗi và cấu trúc hệ thống cần thiết để triển khai.

CÔNG CỤ GIẢM MẪU

Lưu ý rằng tín hiệu được lấy mẫu xuống có được bằng cách chọn một trong số D mẫu của và loại bỏ mẫu còn lại trong số mọi mẫu D, tức là

Biểu diễn sơ đồ khối của (10.6) được thể hiện trong Hình 10.3 Phần tử lấy mẫu xuống này thay đổi tốc độ xử lý và do đó về cơ bản khác với các phần tử sơ đồ khối khác mà chúng tôi đã sử dụng

Hình 10 3 Một phần tử thu nhỏ mẫu

Hình 10.3

trước đây Trên thực tế, chúng ta có thể chỉ ra rằng một hệ thống có chứa phần tử lấy mẫu xuống đang thay đổi theo độ dịch chuyển Tuy nhiên, thực tế này không cấm phân tích miền tần số của y(m) theo x(n) như chúng ta sẽ thấy sau.

VÍ DỤ 10.1

Sử dụng D = 2 và xác minh rằng bộ lấy mẫu xuống thay đổi theo thời gian Giải pháp

8

Tín hiệu được lấy mẫu xuống là Nếu bây giờ chúng ta trì hoãn ) một mẫu, chúng ta sẽ nhận được Tín hiệu được lấy mẫu xuống tương ứng là y1(m) = { , 2, 4, 2}, khác với 0

Triển khai MATLAB

MATLAB cung cấp hàm [y] = downsample (x, D) lấy mẫu của mảng đầu vào x thành mảng đầu ra y bằng cách giữ mọi mẫu thứ D bắt đầu bằng mẫu đầu tiên Tham số thứ ba tùy chọn “pha” chỉ định độ lệch mẫu phải là số nguyên trong khoảng từ 0 đến (D-1) Ví dụ

giảm mẫu theo hệ số 2 bắt đầu với mẫu đầu tiên Tuy nhiên

tạo ra một chuỗi hoàn toàn khác bằng cách lấy mẫu xuống, bắt đầu với mẫu thứ hai (nghĩa là bù bằng 1) Biểu diễn miền tần số của tín hiệu được lấy mẫu xuống Bây giờ chúng ta biểu thị theo bằng cách sử dụng quan hệ biến đổi z Hướng tới điều này, chúng tôi giới thiệu một chuỗi tốc độ cao ), được cho bởi

Rõ ràng, ¯x(n) có thể được xem như một dãy thu được bằng cách nhân x(n) với một chuỗi xung tuần hoàn p(n), với chu kỳ D, như được minh họa trong Hình 10.4 Biểu diễn chuỗi Fourier rời rạc của p(n) là

(10.8) Do đó chúng ta có thể viết

9

(10.10) như trong (10.6) Hình 10.4 cho thấy một ví dụ về các dãy , và được xác định

trong (10.7) – (10.10)

Hình 10 4 Đồ thị của việc giảm mẫu: (a) Tín hiệu gốc x(n), (b) Dãy xung lặp chu kỳ p(n) với chu kỳ D = 3, (c) Nhân x(n) với p(n), và (d) Tín hiệu bị giảm mẫu y(n).

Bây giờ biến đổi z của chuỗi đầu ra là

trong đó bước cuối cùng xuất phát từ thực tế là , ngoại trừ bội số của Bằng cáchD sử dụng các quan hệ trong (10.7) và (10.8) trong (10.11), chúng ta thu được

• giới thiệu chuỗi tốc độ cao , có số 0 ở giữa các giá trị được giữ lại và • biểu diễn chuỗi xung (10.8) cho chuỗi lấy mẫu định kỳ liên quan đến x(n) đến ¯x(n).

Bằng cách đánh giá trên vòng tròn đơn vị, chúng ta thu được phổ của tín hiệu đầu ra Vì tốc độ của là , nên biến tần số, mà chúng ta ký hiệu là ωy, tính bằng radian và tương đối với tốc độ lấy mẫu ,

Hình 10 5 Spectra of x(n) and y(m) in no-aliasing case

có liên quan bởi

Do đó, đúng như mong đợi, dải tần số được kéo giãn thành dải tần số tương ứng bằng quy trình giảm tần số lấy mẫu của tín hiệu.

Chúng tôi kết luận rằng phổ , thu được bằng cách đánh giá (10.12) trên vòng tròn đơn vị, có thể được biểu thị bằng 1

đó là phiên bản bí danh của phổ X(ωx) của x(n) Để tránh lỗi aliasing, người ta cần phổ X(ωx) nhỏ hơn toàn dải hoặc giới hạn băng tần (lưu ý rằng giới hạn băng tần này nằm trong miền tần số kỹ thuật số) Thực ra chúng ta phải có

( ) 0x

12

1Trong chương này, chúng ta sẽ thực hiện một thay đổi nhỏ trong ký hiệu của DTFT Chúng ta sẽ sử dụng để biểu thị phổ của x(n) thay vì ký hiệu đã sử dụng trước đó Mặc dù thay đổi này mâu thuẫn với ký hiệu biến đổi z, ý nghĩa phải rõ ràng trong ngữ cảnh Thay đổi này được thực hiện vì mục đích rõ ràng và khả năng hiển thị của các biến.

Bình luận:

1 Giải thích định lý lấy mẫu cho (10.19) là chuỗi x(n) ban đầu được lấy mẫu với tốc độ cao hơn D lần so với yêu cầu; do đó, việc lấy mẫu xuống theo D chỉ đơn giản là giảm tốc độ lấy mẫu hiệu quả xuống mức tối thiểu cần thiết để ngăn hiện tượng aliasing.

2 Phương trình (10.18) thể hiện yêu cầu về sai số thập phân bằng 0 theo nghĩa là không có thông tin nào bị mất—nghĩa là không có sai số aliasing không thể đảo ngược trong miền tần số.

3 Đối số xảy ra bởi vì trong ký hiệu của chúng tôi, ω được thể hiện bằng rad/mẫu Do đó, tần số của được biểu thị dưới dạng chuỗi tốc độ cao hơn phải được chia cho D để giải thích cho tốc độ chậm hơn của

4 Lưu ý rằng có thừa số trong (10.19) Yếu tố này là cần thiết để biến đổi Fourier ngược hoạt động chính xác và hoàn toàn phù hợp với phổ của tín hiệu tương tự được lấy mẫu.

BỘ PHẬN LÝ TƯỞNG

Nói chung, (10.18) sẽ không hoàn toàn chính xác, và bộ giảm tần số (D ↓ 1) sẽ gây ra lỗi aliasing không thể đảo ngược được Để tránh aliasing, trước tiên chúng ta phải giảm băng thông của xuống hoặc, tương đương, thành Sau đó, chúng tôi có thể lấy mẫu

13

xuống theo D và do đó tránh aliasing Quá trình thập phân được minh họa trong Hình 10.6 Chuỗi đầu vào được truyền qua bộ lọc thông thấp, được đặc trưng bởi đáp ứng xung và đáp ứng tần số , lý tưởng là thỏa mãn điều kiện

Do đó, bộ lọc loại bỏ phổ của trong khoảng Tất nhiên, hàm ý là chỉ các thành phần tần số của trong khoảng được quan tâm trong quá trình xử lý tín hiệu tiếp theo.

Đầu ra của bộ lọc là một chuỗi được cho là

Hình 10 6 Ideal decimation by a factor D

mà sau đó được lấy mẫu xuống bởi yếu tố D để tạo ra y(m) Như vậy, Mặc dù hoạt động lọc trên là tuyến tính và bất biến theo thời gian, nhưng hoạt

động lấy mẫu xuống kết hợp với kết quả lọc cũng có trong một hệ thống thay đổi theo thời gian.

Các đặc tính miền tần số của chuỗi đầu ra thu được qua tín hiệu được lọc có thể được xác định bằng cách thực hiện theo các bước phân tích đã đưa ra trước đó, nghĩa là bằng cách liên hệ phổ của với phổ của đầu vào dãy Sử dụng các bước này, chúng ta có thể chỉ ra rằng

14

Với bộ lọc được thiết kế phù hợp , aliasing bị loại bỏ và do đó, tất cả trừ số hạng đầu tiên trong (10.24) biến mất Kể từ đây,

Hình 10 7 Spectra of signals in the decimation of x(n) by a factor D

MATLAB Triển khai MATLAB cung cấp hàm y = decimate(x,D) lấy mẫu lại

chuỗi trong mảng x với tốc độ 1/D lần tốc độ lấy mẫu ban đầu Mảng y được lấy mẫu lại

15

thu được ngắn hơn D lần, tức là length(y) = length(x)/D Bộ lọc thông thấp lý tưởng được đưa ra trong (10.20) là không thể thực hiện được trong triển khai MATLAB; tuy nhiên, các xấp xỉ khá chính xác được sử dụng Bộ lọc thông thấp mặc định được sử dụng trong hàm là bộ lọc thông thấp Chebyshev loại I bậc 8 với tần số cắt là Bằng cách sử dụng các đối số tùy chọn bổ sung, thứ tự bộ lọc có thể được thay đổi hoặc có thể sử dụng bộ lọc FIR theo thứ tự đã chỉ định và tần suất cắt.

VÍ DỤ 10.2

Đặt Tạo một số lượng lớn mẫu x(n) và phân tích chúng bằng cách sử dụng để hiển thị kết quả của phân tích thập phân.

Giải pháp

Chúng tôi sẽ vẽ các phân đoạn giữa của tín hiệu để tránh các hiệu ứng cuối do bộ lọc thông thấp mặc định trong hàm thập phân Tập lệnh MATLAB sau hiển thị chi tiết về các thao tác này và Hình 10.7 hiển thị sơ đồ của các chuỗi

16

Từ Hình 10.8, chúng ta quan sát thấy rằng các chuỗi giảm dần cho và là đúng và biểu diễn chuỗi hình sin ban đầu ở tốc độ lấy mẫu thấp hơn Tuy nhiên, chuỗi cho gần như bằng 0 vì bộ lọc thông thấp đã suy giảm trước khi lấy mẫu xuống Nhớ lại rằng tần số cắt của bộ lọc thông thấp được đặt thành giúp loại bỏ x(n) Nếu chúng ta đã sử dụng thao tác lấy mẫu xuống trên x(n) thay vì số thập phân, chuỗi kết quả sẽ là , đây là một tín hiệu bí danh Vì vậy, bộ lọc thông thấp là cần thiết.

17

Hình 10 8 Original and decimated signals in Example 10.2

NỘI SUY THEO MỘT YẾU TỐ I

Việc tăng tốc độ lấy mẫu theo hệ số nguyên của I—nghĩa là , có thể được thực hiện bằng cách nội suy mẫu mới giữa các giá trị liên tiếp của tín hiệu Quá trình nội suy có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau Chúng ta sẽ mô tả một quá trình bảo toàn hình dạng phổ của chuỗi tín hiệu Quá trình này có thể được thực hiện trong hai bước Bước đầu tiên tạo tín hiệu trung gian ở tốc độ cao bằng cách xen kẽ các số 0 giữa các mẫu khác 0 trong một thao tác được gọi là upsampling Trong bước thứ hai, tín hiệu trung gian được lọc để “điền vào” các mẫu không xen kẽ để tạo ra tín hiệu tốc độ cao được nội suy Như trước đây, trước tiên chúng ta sẽ nghiên cứu các đặc tính miền thời gian và tần số của tín hiệu được lấy mẫu ngược và sau đó giới thiệu hệ thống nội suy.

18

BỘ UPSAMPLER

Đặt v(m) biểu thị dãy trung gian có tốc độ , thu được từ bằng cách thêm số 0 giữa các giá trị liên tiếp của Như vậy, và tốc độ lấy mẫu của nó giống với tốc độ của y(m) Sơ đồ khối của upsampler được thể hiện trong Hình 10.9 Một lần nữa, bất kỳ hệ thống nào chứa bộ lấy mẫu ngược đều là hệ thống thay đổi theo thời gian (Bài toán P10.1).

Hình 10 9 An upsampling element

VÍ DỤ 10.3

Đặt I = 2 và Xác minh rằng bộ lấy mẫu ngược thay đổi theo thời gian Giải pháp

Tín hiệu được lấy mẫu lại là Nếu bây giờ chúng ta trì hoãn x(n) một mẫu, chúng ta sẽ nhận được Tín hiệu lấy mẫu ngược tương ứng là chứ không phải

MATLAB Thực hiện MATLAB cung cấp hàm [v] = upsample(x,I) để lấy mẫu mảng đầu vào x thành đầu ra y bằng cách chèn (I-1) số 0 giữa các mẫu đầu vào Tham số thứ ba tùy chọn, “pha”, chỉ định độ lệch mẫu, phải là số nguyên trong khoảng từ 0 đến (I-1) Ví dụ:

upsamples theo hệ số 2 bắt đầu với mẫu đầu tiên Tuy nhiên:

19

tạo ra hai tín hiệu khác nhau bằng cách lấy mẫu ngược, bắt đầu với mẫu thứ hai và mẫu thứ ba (nghĩa là bù 1), tương ứng Lưu ý rằng độ dài của các tín hiệu được lấy mẫu lại gấp I lần độ dài của tín hiệu ban đầu.

Biểu diễn miền tần số của tín hiệu được lấy mẫu lại y(m) Dãy v(m) có biến đổi

trong đó ωy biểu thị biến tần số tương ứng với tốc độ lấy mẫu mới (nghĩa là ) Bây giờ mối quan hệ giữa tốc độ lấy mẫu là , và do đó các biến tần số và có liên quan theo công thức

xy

Phổ và được minh họa trong Hình 10.10 Chúng tôi quan sát thấy rằng tốc độ lấy mẫu tăng, thu được bằng cách thêm zero mẫu giữa các giá trị liên tiếp của x(n), dẫn đến tín hiệu có phổ là sự lặp lại định kỳ gấp I của phổ tín hiệu đầu vào ).

MÁY NỘI SOI LÝ TƯỞNG

Vì chỉ các thành phần tần số của x(n) trong khoảng là duy nhất nên ảnh của X(ω) trên nên bị loại bỏ

20

Hình 10 10 Spectra of x(n) and v(m) where V (ωy) = X(ωyI)

bằng cách chuyển chuỗi v(m) qua bộ lọc thông thấp có đáp ứng tần số lý tưởng là

do đó, C = I là hệ số chuẩn hóa mong muốn.

Cuối cùng, chúng tôi chỉ ra rằng chuỗi đầu ra y(m) có thể được biểu diễn dưới dạng một tích chập của chuỗi v(n) với đáp ứng mẫu đơn vị h(n) của bộ lọc thông thấp

21

Bộ nội suy lý tưởng được thể hiện trong Hình 10.11.

Hình 10 11 Ideal interpolation by a factor I

Triển khai MATLAB

MATLAB cung cấp hàm [y,h] = interp(x,I) lấy mẫu lại tín hiệu trong mảng x với I nhân với tốc độ lấy mẫu ban đầu Mảng y được lấy lại mẫu thu được dài hơn tôi gấp nhiều lần—tức là, length(y) = I*length(x) Bộ lọc thông thấp lý tưởng được đưa ra trong (10.30) được xấp xỉ bằng đáp ứng xung của bộ lọc đối xứng, h, được thiết kế bên trong Nó cho phép các mẫu ban đầu đi qua không đổi và nội suy giữa các mẫu sao cho sai số bình phương trung bình giữa chúng và các giá trị lý tưởng của chúng được giảm thiểu Tham số tùy chọn thứ ba L chỉ định độ dài của bộ lọc đối xứng là 2*L*I+1 và ngưỡng tham số tùy chọn thứ tư chỉ định tần số cắt của tín hiệu đầu vào theo đơn vị π Các giá trị mặc định là L=5 và ngưỡng = 0,5 Do đó, nếu I=2, thì độ dài của bộ lọc đối xứng là 21 với L=5 mặc định.

VÍ DỤ 10.4

22

Đặt Tạo các mẫu của x(n) và nội suy chúng bằng cách sử dụng để hiển thị kết quả của phép nội suy.

Giải pháp

Chúng tôi sẽ vẽ các phân đoạn giữa của tín hiệu để tránh các hiệu ứng cuối do bộ lọc thông thấp mặc định trong chức năng xen kẽ Tập lệnh MATLAB sau đây trình bày chi tiết về các thao tác này và Hình 10.12 thể hiện sơ đồ của các chuỗi.

23

Hình 10 12 Original and interpolated signals in Example 10.4

Từ Hình 10.11, chúng ta quan sát thấy rằng các chuỗi nội suy cho cả ba giá trị của

24

I đều phù hợp và biểu thị tín hiệu hình sin ban đầu x(n) ở tốc độ lấy mẫu cao hơn Trong trường hợp I = 8, chuỗi kết quả dường như không hoàn toàn có dạng hình sin Điều này có thể là do bộ lọc thông thấp không gần với bộ lọc lý tưởng.

VÍ DỤ 10.5

Kiểm tra đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp được sử dụng trong phép nội suy tín hiệu trong Ví dụ 10.4.

Giải pháp

Đối số tùy chọn thứ hai trong hàm interp cung cấp đáp ứng xung mà từ đó chúng ta có thể tính toán đáp ứng tần số, như thể hiện trong tập lệnh MATLAB sau đây.

25

Biểu đồ đáp ứng tần số được thể hiện trong Hình 10.13 Ba biểu đồ đầu tiên dành cho L=5 và, như mong đợi, tất cả các bộ lọc đều là thông thấp với các cạnh dải thông xấp xỉ xung quanh tần số π/I và độ lợi của I Cũng lưu ý rằng các bộ lọc không có chuyển tiếp sắc nét và do đó không phải là phép tính gần đúng tốt đến bộ lọc lý tưởng Biểu đồ cuối cùng cho thấy phản hồi đối với L = 10, biểu thị sự chuyển đổi sắc nét hơn, điều được mong đợi Bất kỳ giá trị nào vượt quá L = 10 đều dẫn đến thiết kế bộ lọc không ổn định và do đó nên tránh

Hình 10 13 Filter frequency responses in Example 10.5

26