ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ HỌC

PHẦN III: ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ HỌC .... Các ứng dụng khác nhau của hệ phương trình tuyến tính .... Ứng dụng giải bài toán mô hình tuyến tính trong kinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ HỌC

Sinh viên thực hiện : Ngô Thị Thúy

Nguyễn Thanh Hà Kiều Thị Thu Hiền Tên lớp : 2023DHKETO08 Giáo viên hướng dẫn : Trần Quốc Toản

Hà Nam, tháng 4 năm 2024

PHẦN III: ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ HỌC Trang 11

1 Các ứng dụng khác nhau của hệ phương trình tuyến tính Trang 11

2 Ứng dụng giải bài toán mô hình tuyến tính trong kinh tế học Trang 16 2.1 Thị trường một loại hàng hóa Trang 16 2.2 Thị trường nhiều loại hàng hóa Trang 16

2.2.1 Thị trường hai loại hàng hóa Trang 16 2.2.2 Thị trường ba loại hàng hóa Trang 17 2.2.3 Thị trường bốn loại hàng hóa Trang 21

PHẦN IV: PHẦN KẾT LUẬN Trang 26 PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KH ẢO Trang 26

I PHẦN MỞ ĐẦU

Toán học nói chung và đại số tuyến tính nói riêng có những ứng dụng đa dạng trong nhiều ngành khoa học khác nhau đặc biệt trong khoa học kinh tế Các nghiên cứu và phân tích kinh tế về mặt định hướng thường được tiến hành thông qua các quy mô kinh té toán Vì thế các nhà nghiên cứu ngày nay càng

có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các công cụ toán học, đặc biệt là đại số tuyến tính

Từ những kiến thức chi tiết và cụ thể về ma trận, định thức, và bài toán ứng dụng thực tế của hệ phương trình tuyến tính cùng với sự hướng dẫn đầy nhiệt tình của giảng viên Trần Quốc Toản, nhóm chúng em đã xây dựng bản báo cáo về đề tài: “Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế học.” Nội dung của bản báo cáo gồm 2 phần:

• Một số dạng bài tập cơ bản về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính

• Ứng dụng thực tế của hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế học Bản báo cáo là tổng hợp các ví dụ cùng lời giải chi tiết về giải bài tập và ứng dụng thực tế của hệ phương trình tuyến tính trong môn học Đại số Tuyến tính

mà nhóm chúng em đã tìm hiểu, đóng góp, hoàn thiện

Bản báo cáo giúp cho sinh viên hiểu biết chi tiết, đầy đủ về ma trận, định thức,

hệ phương trình tuyến tính và áp dụng được những hiểu biết ấy vào thực tế cuộc sống Do thời gian tìm hiểu, viết bản báo cáo không dài, tài liệu tìm hiểu còn hạn chế nên bản báo cáo của nhóm không thể tránh khỏi những sai sót, nhầm lẫn Nhóm chúng em mong sẽ nhận được những lời nhận xét, đóng góp, phê bình của thầy để bản báo cáo của chúng em được chỉn chu và hoàn thiện hơn

Hà Nam, tháng 4 năm 2024

II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

−12 5

27 5

13 5

−8 5

16 5

8 5 2

5 ]

4 Hạng của ma trận

Bài 1 Tìm hạng của ma trận sau: 𝐴 = [

𝑑2− 𝑑3→ 𝑑32𝑑 2 − 𝑑 4 → 𝑑 4

Hệ phương trình (1)  {

2𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 = 53𝑥2+ 5𝑥3 = 3

−43]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: {

Hệ phương trình có ma trận hệ số là ma trận vuông và có det(A) ≠ 0

 Hệ phương trình trên là hệ Cramer

1 Các ứng dụng khác nhau của hệ phương trình tuyến tính

Bài 1 Công ty chế biến thực phẩm cần chế biến một loại thức ăn nhanh từ 3 nguyên liệu A, B, C và cần phải đảm bảo chứa đủ 3 dưỡng chất là chất đạm, chất béo và đường có trong mỗi đơn vị thức ăn đạt tiêu chuẩn Lượng dưỡng chất có trong 100g nguyên liệu được cho bởi bảng sau:

Dưỡng chất Hàm lượng trong 100g Nhu cầu trong

Từ giả thiết, ta có hệ phương trình: {

4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 52

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 433𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 41

𝑧 = det (𝐴3)

det (𝐴) = 9

Vậy để chế biến một đơn vị thức ăn nhanh đáp ứng đủ yêu cầu dinh dưỡng cần

sử dụng 6g nguyên liệu A, 5g nguyên liệu B và 9g nguyên liệu C

Bài 2 Hà, Thúy, Hiền vào siêu thị thực phẩm mua sữa, bánh và kẹo Hà mua 3 gói bánh, 5 gói kẹo và 4 hộp sữa hết 125 nghìn; Thúy mua 1 gói bánh, 2 gói kẹo

và 5 hộp sữa hết 100 nghìn; Hiền mua 4 gói bánh, 1 gói kẹo và 6 hộp sữa hết

120 nghìn Bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, hãy tính giá của từng gói bánh, gói kẹo và sữa được bán ở siêu thị

Bài làm Giả sử giá của từng gói bánh, gói kẹo và hộp sữa lần lượt là: x, y, z nghìn đồng (x, y, z > 0)

Từ giả thiết, ta có hệ phương trình: {

3𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 125

𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 1004𝑥 + 𝑦 + 6𝑧 = 120

(1)

Và det(A) = 63 ≠ 0 nên (1) là hệ Cramer

51015]

Vậy giá một gói bánh là 5 nghìn đồng, giá một gói kẹo là 10 nghìn đồng và giá một hộp sữa là 15 nghìn đồng

Bài 3 Chị Thảo đi vào cửa hàng bán hoa quả để mua cam, táo và xoài Khi hỏi người bán hàng về giá của mỗi loại, người bán hàng nói: “Nếu chị mua 2 quả cam, 4 quả táo và 5 quả xoài thì hết 112 nghìn; nếu chị mua 3 quả cam, 5 quả táo và 1 quả xoài thì hết 82 nghìn; nếu chị mua 4 quả cam, 6 quả táo và 5 quả xoài thì hết 148 nghìn” Sử dụng phương pháp Gauss để giúp chị Thảo biết được giá của từng loại quả

Bài làm Giả sử giá của từng quả cam, quả táo và quả xoài lần lượt là: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3

(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 > 0)

Từ giả thiết, ta có hệ phương trình: {

2𝑥1+ 4𝑥2 + 5𝑥3 = 1123𝑥1+ 5𝑥2+ 𝑥3 = 824𝑥1+ 6𝑥2 + 5𝑥3 = 148

(1)

Ta có:

Hệ phương trình (1)  {

2𝑥1 + 4𝑥2+ 5𝑥3 = 112 −2𝑥2−13𝑥3 = −172

Bài 4 Một công ty sản xuất ba loại đồ chơi cho trẻ em: búp bê, ô tô và bộ đồ nấu

ăn mỗi tuần Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn gia công, lắp ráp, đóng gói với thời gian tính bằng giờ yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau:

Sản phẩm Công đoạn Búp bê Ô tô

Bộ đồ nấu ăn

(−1)𝑑2+ 𝑑3→ 𝑑3

202530]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: {

𝑎 = 20

𝑏 = 25

𝑐 = 30

Vậy công ty cần sản suất với số lượng từng sản phẩm lần lượt là {

𝑎 = 20

𝑏 = 25

𝑐 = 30

2 Ứng dụng giải bài toán mô hình tuyến tính trong kinh tế học

2.1 Thị trường một loại hàng hóa

Bài 1: Một hàng hóa lưu thông trên thị trường có các thông tin như sau:

Tính mức giá và sản lượng cân bằng của thị trường

Bài làm Thị trường cân bằng khi:

𝑄𝑆 = 𝑄𝐷  10 − 𝑝 = −4 + 𝑝  𝑝 = 7 𝑣à 𝑄𝑠 = 𝑄𝐷 = 3

Vậy giá cân bằng là p = 7 và lượng cần bằng là 𝑄𝑠 = 𝑄𝐷 = 3

Bài 2: Xác định mức giá và sản lượng cân bằng của thị trường biết:

𝑄𝐷 = 𝑝 + 6

Bài làm Thị trường cân bằng khi:

𝑄𝑆 = 𝑄𝐷  𝑝 + 6 = −𝑝 + 40  𝑝 = 17 𝑣à 𝑄𝑠 = 𝑄𝐷 = 23

Vậy giá cân bằng là p = 17 và lượng cần bằng là 𝑄𝑠 = 𝑄𝐷 = 23

2.2 Thị trường nhiều loại hàng hóa

2.2.1 Thị trường hai loại hàng hóa

Bài 1 Giả sử thị trường có hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:

Hàng hóa 1: {𝑄 𝑄𝑠1 = −2 + 4𝑝1

𝑠2 = 𝑝1 + 2𝑝2+ 18Hàng hóa 2: {𝑄 𝑄𝑠1 = −2 + 𝑝2

𝑠2 = 4𝑝1− 2𝑝2+ 12

1 = 122 và lượng cân bằng là: {

𝑄1 = 350

𝑄2 = 120

2.2.2 Thị trường ba loại hàng hóa

Bài 1 Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa Biết hàm cung và hàm cầu như sau:

Hàng hóa 1: {𝑄𝑆1 = 𝑝1 + 2𝑝2+ 3𝑝3− 4

𝑄𝐷1 = −5𝑝1+ 4𝑝2+ 5𝑝3 Hàng hóa 2: {𝑄𝑆2 = −2𝑝1− 2𝑝2+ 4𝑝3+ 10

𝑄𝐷2 = −8𝑝2+ 6𝑝3+ 30Hàng hóa 3: { 𝑄𝑆3 = 6𝑝1+ 4𝑝2+ 8𝑝3− 12

𝑄𝐷3 = 8𝑝1+ 6𝑝2+ 2𝑝3+ 16Bằng phương pháp Cramer, tìm sản lượng và giá bán cân bằng của thị trường

Bài làm Thị trường cân bằng khi: {

Bài làm

Thị trường cân bằng khi: {

Và det(A) = 72 ≠ 0 nên (1) là hệ Cramer

455055]

Vậy giá cân bằng của từng loại bánh lần lượt là: {

và hàm cầu như sau:

−65]

Hệ phương trình (1)  {

2𝑥1 + 3𝑥3 = 155 4𝑥2+3𝑥3 = 19513𝑥3 = 325

2.2.3 Thị trường bốn loại hàng hóa

Bài 1 Một siêu thị bán bốn loại sữa: sữa Vinamilk, sữa Milo, sữa Kun, sữa Ovaltine với giá bán lần lượt là p1, p2, p3, p4 Biết hàm cung và hàm cầu như sau:

Vinamilk:{𝑄𝑆1 = 2𝑝1 − 𝑝2+ 𝑝3 + 2𝑝4− 55

𝑄𝐷1 = 𝑝1 − 2 + 3𝑝3 − 2𝑝4 + 93Milo: {𝑄𝑆2 = 𝑝1+ 5𝑝2+ 2𝑝3+ 6𝑝4− 250

𝑄𝐷2 = −2𝑝1+ 3𝑝2− 𝑝3+ 3𝑝4− 46Kun: { 𝑄 𝑄𝑆3 = 𝑝1 + 𝑝2+ 𝑝3+ 𝑝4− 70

𝐷3 = −𝑝1+ 2𝑝2− 2𝑝3+ 2𝑝4− 24

Ovaltine: {𝑄𝑆4 = 8𝑝1− 6𝑝2+ 3𝑝3 − 3𝑝4 + 35

𝑄𝐷4 = 3𝑝1− 4𝑝2 + 2𝑝3− 𝑝4+ 50Xác định giá và lượng cân bằng bằng phương pháp Gauss

Samsung: {𝑄𝑠1 = −50 − 2𝑝1+ 3𝑝2 − 𝑝3+ 6𝑝4

𝑄𝐷1 = 120 − 3𝑝1+ 𝑝2 − 4𝑝3+ 2𝑝4Iphone: {𝑄𝑠2 = −25 + 𝑝1+ 5𝑝2 − 3𝑝3+ 𝑝4

𝑄𝐷2 = 114 − 𝑝1+ 2𝑝2− 4𝑝3− 𝑝4Oppo: { 𝑄𝑠3 = 14 + 3𝑝1− 2𝑝2 + 𝑝4

𝑄𝐷3 = 50 + 2𝑝1− 3𝑝2 − 𝑝3+ 2𝑝4

−3𝑑2+ 𝑑3 → 𝑑3

−7𝑑2+ 𝑑4 → 𝑑4

−3𝑑 3 + 𝑑 4 → 𝑑 4

Vivo: { 𝑄𝑠4 = 70 − 2𝑝1+ 4𝑝2 − 𝑝3− 𝑝4

𝑄𝐷4 = −45 − 3𝑝1+ 4𝑝2+ 𝑝3+ 5𝑝4Bằng phương pháp Gauss, xác định giá và sản lượng cân bằng của cửa hàng

Hệ phương trình (1)  {

𝑝1 + 2𝑝2+ 3𝑝3+ 4𝑝4 = 170

−𝑝2 − 5𝑝3− 6𝑝4 = −2013𝑝3+ 1𝑝4 = 67

Samsung: { 𝑄𝑠1 = 40 + 𝑝1− 𝑝2+ 5𝑝3− 4𝑝4

𝑄𝐷1 = −38 + 2𝑝1 + 𝑝2+ 4𝑝3 + 2𝑝4Iphone: {𝑄𝑄𝑠2 = 76 − 𝑝1+ 2𝑝2− 2𝑝3 − 3𝑝4

𝐷2 = 130 − 2𝑝1+ 𝑝2 − 4𝑝3− 2𝑝4Oppo: {𝑄𝑄𝑠3 = −10 + 3𝑝1+ 𝑝2 − 3𝑝3+ 𝑝4

𝐷3 = 24 + 𝑝1+ 2𝑝2− 2𝑝3 − 𝑝4

Vivo: {𝑄𝑠4 = −40 + 5𝑝1− 2𝑝2 + 𝑝3+ 2𝑝4

𝑄𝐷4 = −20 + 2𝑝1− 3𝑝2+ 3𝑝3 + 𝑝4Xác định giá và lượng cân bằng của thị trường bằng phương pháp Gauss

• Thành thạo, trình bày đẹp, tự tư duy đề bài về các bài toán ứng dụng

hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế

• Ghi nhớ được các bước làm và làm được các bài toán ứng dụng

hệ phương trình tuyến tính trong thực tiễn

➢ Về mặt kĩ năng:

• Học được kĩ năng biết lắng nghe, và thuyết phục được người khác

• Trau dồi thêm kinh nghiệm về tổ chức, phân công công việc và có

trách nhiệm với nhiệm vụ được giao

• Tạo dựng được mối quan hệ tốt: tôn trọng, hỗ trợ lẫn nhau

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

• Một số nguồn tài liệu tham khảo:

➢ [1] Chúc Hoàng Nguyên, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục, 2016

➢ [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đình, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp- Tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010

➢ [3] Lê Đình Thúy, Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2012

➢ [4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập Toán học cao cấp- Tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010

➢ Trên hệ thống học kết hợp Đại học Công Nghiệp