Sáng kiến kinh nghiệm toán THPT

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt e BDT - Bất đẳng thức e AM - Arithmetic Mean e GM - Geometric Mean e HCF - Half Convex Function Theorem e IMO - International Mathematical Olympiad e MO - National Mathematical Olympiad e TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad e DH - Dé thi Dai hoc e HSG - Hoc sinh gidi e Rez;Imz - Phần thực; phần ảo của số phức z e I (a;b) hoặc I- Nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp con của IR (a; b) , [a; 6) , (a; 8] , [a; 8] 111 1V Báo cáo sáng kiên L Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiên Đa thức là một trong những chuyên đề quan trọng của chương trình Toán chuyên cấp THPT trong suốt toàn bộ các lớp 10, 11, và 12 chuyên Toán Bài toán về Đa thức thường có các thao tác giải quyết thuộc về nhiều phân môn của Toán học nói chung (Đại số, Giải tích, Số học, Tổ hợp) và nó thường xuyên có mặt trong hầu hết các kì thi chọn học sinh giỏi Toán Bởi vậy đây là nội dung rất được quan tâm trong các đợt tập huấn các đội tuyển học sinh giỏi Trong một số năm gần đây, bài toán Bất đắng thức trên Đa thức xuất hiện nhiều trong đề thi Học sinh giỏi Quốc gia, chẳng hạn: - Bài 5, ngày 2, đề thi HSG QG môn Toán năm học 2021-2022 - Bài 5, ngày 2, đề thi HSG QG môn Toán năm học 2020-2021 - Bài 5, ngày 2, đề thi HSG QG môn Toán năm hoc 2018-2019 - Bài 4, ngày 1, đề thi HSG QG môn Toán năm học 2017-2018 (xem trong [9]) Bài toán Bất đẳng thức trên Đa thức khá đa dạng về nội dung và hình thức và cũng không hoàn toàn tường minh về thuật giải Trong quá trình nghiên cứu và giảng dạy các chuyên đề cho học sinh chuyên Toán và bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi, chúng tôi nhận thấy đây là “lớp” bài toán đặc biệt, ban đầu có thể rèn luyện và phát huy được năng lực cho học sinh trong phân môn Đại số, sau đó đi sâu sẽ phát triển được các mảng tổng hợp khác về Giải tích, Số học và Tổ hợp Việc phân loại và định hướng giải các kỹ thuật giải và liên kết sử dụng kiến thức thuộc nhiều mảng khác đối với bài toán Bất đắng thức trên Đa thức là một cách giúp người học có thể dễ dàng hơn trong việc tiếp cận và tìm lời giải bài toán Đây chính là nguồn gốc ý tưởng của sáng kiến mà chúng tôi đã triển khai dạy trong nhiều năm Bên cạnh việc hệ thống một số kiến thức cơ bản về Đa thức và Bất đẳng thức, các tác giả đưa sẽ ra cách phân loại hiệu quả và đưa ra các ý tưởng tiếp cận dạng bài toán qua việc dẫn dắt hay nhận xét, bàn luận ở mỗi phần, đó cũng có thể coi là ý tưởng cho người dạy sáng tạo bài toán mới II M6 ta giải pháp Tóm tắt: Trong phần này, báo cáo sẽ trình bày những nội dung sau: Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến: trong chương trình Toán chuyên - Nêu thực trạng về vị trí của chuyên đề Đa thức Da thức, Bất đăng thức THPT kiến thức liên quan về - Tóm tắt một số nội dung Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến: Phần này trong báo cáo trình bày một cách phân dạng nhằm hệ thống hóa kiến thức và phát triển năng lực Toán học cho học sinh chuyên Toán THPT Các giải pháp trình bày trong báo cáo bao gồm: - Bài toán bất đẳng thức liên quan đến hệ số của đa thức - Bài toán bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của đa thức - Bài toán bất đẳng thức liên quan đến bậc của đa thức - Một số bài toán tổng hợp Chương 1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng 11 Vị trí của chuyên đề Đa thức trong chương trình Toán chuyên TH T - Chương trình chuyên sâu THPT chuyên, môn Toán (12/2009): Không đề cập đến Đa thức (xem trong |2|) - Chương trình GDPT 2018 (theo Công văn 4171/BGD ĐT: GDIrH ngày 26/08/2022): Chuyên đề Da thức thuộc phần chuyên đề bổ sung (không bắt buộc) (xem trong [1]) Như vậy có thể thấy Đa thức không được đề cập một cách chính thức và bắt buộc trong chương trình chuyên sâu môn Toán ở cả chương trình cũ (trước 2018) và chương trình mới (từ 2018) Tuy nhiên có một thực tế là bài toán về Đa thức lại thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Olympic Điều này dẫn đến mâu thuẫn giữa việc thực hiện chương trình (về nội dung và thời lượng) và việc ôn luyện cho các kì thi Olympic Toán 1.2 Tóm tắt một số nội dung kiến thức liên quan về Da thức, Bất đẳng thức 1.2.1 Một số kiến thức về Đa thức Ở bậc trung học cơ sở, học sinh đã được làm quen với một số kiến thức về đa thức như định nghĩa đa thức, cộng, trừ, nhân, chia đa thức, nên ta không nhắc lại ở đây Dưới đây ta chỉ nêu một số kiến thức về nghiệm của đa thức và một số kiến thức liên quan Các định nghĩa Định nghĩa 1 Cho P(z) e R[z] và số a c Œ Số a được gọi là nghiệm thực của đa thức P(z) nêu P (a) = 0 Định nghĩa 2 Cho P(z) € R{z] và sốø € C, m € Ñ* Ta nói số ø là nghiệm bội mm của P(z) nếu P(z) : (— a}" và P() #(œ_— a)"?!, Các định lý, hệ quả Dinh li 1 (Dinh lí Bézout) Số thực a là nghiệm của đa thúc P{(z) khi uà chỉ khi P(x): («@—a) Hệ qua 1 S6 du trong phép chia da thite P(x) cho z — a 1a P (a) Dinh lí 2 Cho đa thúc P(z) e R[z]| có các nghiệm thực 1a ay, a2, ,Qm vdt bdi tuong ứng kị, kạ, ,.kmạ Khi đó P{(s) = (œ— œI)“( — œ3)°S.— œm.)°.".Q((+), uới Q(x) € R [2] Định li 3 Trong IR [z|, mọi đa thúc khác đa thúc hằng đều phân tích được dưới dạng tích các nhân tử bậc nhất uà các nhân tử bậc hai uới biệt thúc âm Định lí 4 a) Trong R[x], moi da thitc bậc n có không quá n nghiệm thực (kể cả bội) b) Nếu đa thúc P{z) vdi deg P(x)