ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ HÓA TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở LỚP 10 TẠI TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NGÔ QUYỀN

ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰHÓA TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở LỚP10 TẠI TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NGÔ QUYỀN –

THÀNH PHỐ BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

8 Giả thuyết nghiên cứu 2

9 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

10 Phương pháp nghiên cứu 2

1.2.2 Các bài toán minh họa 9

CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ HÓA TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 10.15 2.1 Giới thiệu tóm tắt lý thuyết về bất đẳng thức 15

2.2 Một số vận dụng trong đẳng thức và bất đẳng thức 17

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chứng minh bất đẳng thức ở lớp 10 là một hoạt động cần thiết cho việc giải một số bài toán khó, bởi không phải bài toán nào cũng giải được một cách dễ dàng Khi gặp một bài toán mà giải trực tiếp nó gặp nhiều khó khan thì ta nên xét các trường hợp đặc biệt, trường hợp tương tự hay tổng quát của nó thì có thể xét bài toán theo các khía cạnh đó lại dễ hơn và từ các trường hợp đó, ta suy ra cách giải bài toán ban đầu.

Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, đó là những thao tác tư duy có vai trò quan trọng trong quá trình dạy học toán ở lớp 10 Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán mở rộng, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành phẩm chất trí tuệ cho học sinh Tuy nhiên, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa hiện nay chưa được rèn luyện đúng mức trong dạy học lớp 10.

Việc áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải toán lớp 10 sẽ tạo hứng thú, niềm đam mê, ham học hỏi, sáng tạo, tìm tòi trong quá trình giải toán Đồng thời mang lại cho các em niềm yêu thích Toán học.

2 Đối tượng nghiên cứu

Áp dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trong việc chứng minh bất đẳng thức.

3 Khách thể nghiên cứu

Hoạt động dạy, hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức của giáo viên và hoạt động học, tìm hiểu, tiếp thu của học sinh.

4 Đối tượng khảo sát

Các em học sinh lớp 10 tại trường trung học phổ thông Ngô Quyền trên địa bàn thành phố Biên Hòa, tỉnh Đồng Nai.

5 Phạm vi nghiên cứu

Giới hạn về quy mô: học sinh lớp 10.

Giới hạn về đia bàn: tại trường THPT Ngô Quyền – thành phố Biên Hòa.

Giới hạn về thời gian: năm học 2022 – 2023.

6 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng một số biện pháp nhằm áp dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa cho học sinh lớp 10 chứng minh về một số dạng toán bất đẳng thức.

7 Mục đích nghiên cứu

Góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh.

Tạo hứng thú cho các em trong quá trình học toán và vận dụng Toán vào cuộc sống

8 Giả thuyết nghiên cứu

Áp dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, sẽ giúp các em dễ dàng giải quyết những khó khăn trong việc chứng minh bất đẳng thức.

9 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các khái niệm về khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa.

Áp dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trong việc chứng minh bất đẳng thức trong môn Toán ở lớp 10.

10 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tổng hợp từ sách, báo, tài liệu có đề cập đến khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa, lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, tạp chí giáo dục,…

11 Bố cục đề tài

Gồm phần mở đầu, kết luận, hai chương và danh mục tài liệu tham khảo.

Chương 1: Khái quát hoá, đặc biệt hóa, tương tự hóa Chương 2: Áp dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trong việc chứng minh bất đẳng thức ở lớp 10.

CHƯƠNG 1: KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HOÁ,TƯƠNG TỰ HÓA

1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Khái quát hóa

Theo G Polya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" (3,tr.21]

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán", các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát | 7, tr.31]

Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa, khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang về nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kỳ với số cạnh bất kỳ Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường Chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thức cho n số tùy ý

Trong các ví dụ này cho thấy chúng ta khái quát hóa

chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó

Xét ví dụ: Ở lớp 9 ta có định lí sau: "Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn"

Ta có ba trường hợp:

Hình 1a: Tâm O nằm bên ngoài góc Hình 1b: Tâm O nằm trên cạnh góc

Hình 1c: Tâm O nằm bên trong góc

Trong ba trường hợp trên ta đều chứng minh được góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung do đó cũng bằng một nửa số đo của cung bị chắn Từ đó bằng khái quát hóa chúng ta đi đến quy luật phổ biến đối với mọi góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung qua tiếp điểm đều bằng một nửa số đo của cung bị chắn Như vậy trên cơ sở nghiên cứu ba trường hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp mà thôi) ta đã khái quát hóa vấn đề đặt ra.

Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn toán có thể biểu diễn theo sơ đồ sau:

Như vậy có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau.

1.1.2 Đặc biệt hóa

Theo G Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” [7, tr22].

Có thể hiểu đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa

Chẳng hạn chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ nghiên cứu một đa giác sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác

đặc biệt có số cạnh bằng 3), ta tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là một tam giác đặc biệt có ba cạnh bằng nhau).

Trong hai bước đặc biệt hóa trên đã tiến hành theo các bước sau Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một

bất kỳ sang tam giác đều) chúng ta quy định những điều hạn chế (tam giác phải có ba cạnh bằng nhau)

Ta dùng đặc biệt hóa để minh họa, giải thích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong các bài toán dựng hình, tìm quỹ tích, phương pháp này giúp ta mò mẫm, dự đoán quỹ tích trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh cho toàn bộ bài toán

Ta xét ví dụ sau: "Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn".

Trở lại bài toán ban đầu, ta vận dụng bài toán bằng cách

hai đường thẳng lần lượt song song với hai tiếp tuyến vừa dựng được, ta dựng được tiếp tuyến ngoài chung của hai đường tròn

Tương tự ta dựng hai tiếp tuyến trong bằng cách dựng tiếp

đường thẳng lần lượt song song với hai đường thẳng đó, đó chính là hai tiếp tuyến chung trong hai đường tròn.

Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn theo sơ đồ sau:

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể

Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố định đặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán

1.1.3 Tương tự hóa

Theo G Pôlya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng” [3, tr23]

Theo Giáo sư Hoàng Chúng: “Tương tự thường có nghĩa giống nhau” Người ta thường xét vấn đề tương tự trong toán học trong các khía cạnh sau:

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh giống nhau.

- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó hoặc nếu giữa các vấn đề tương ứng của chúng giống nhau

- Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự.

Chẳng hạn đường thẳng, tam giác, đường tròn trong hình học phẳng tương tự như mặt phẳng, tứ diện, mặt cầu trong hình học không gian Ví dụ trong hình học phẳng ta có bài toán: "Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của một tam giác đều tới ba cạnh của nó là không đổi".

Ta có bài toán tương tự trong không gian: "Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của tứ diện đều tới bốn mặt của nó là không đổi" Người ta cũng thường xem những trường hợp đặt biệt của cùng một vấn đề là tương tự nhau Chẳng hạn tam giác và tứ giác là tương tự nhau – đều là trường hợp đặc biệt của đa giác

Kết luận dựa theo sự tương tự có thể mô tả như sau:

A có tính chất a, b, c B có tính chất a, b

Thế thì B có thể có tính chất c

Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh Bên cạnh đó cũng giống như khái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, do đó cần lưu ý với học sinh những kết luận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai

Chẳng hạn, trong mọi tam giác các đường cao đồng quy tại trực tâm Nếu cho rằng, tương tự, mọi tứ diện có các đường cao đồng quy tại trực tâm là sai, vì điều đó chỉ đúng với tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau mà thôi (gọi là tứ diện trực tâm).

Tóm lại cùng một yếu tố hay một đối tượng có thể xác lập những tương tự khác nhau tùy thuộc vào vấn đề ta nghiên cứu.

Như vậy ta chú ý rằng một hình có thể tương tự với nhiều hình khác nhau tùy theo ta xét tính chất của hình, mối quan hệ giữa các phần tử của nó về phương diện nào đó Có khi trong vấn đề này ta xét hai đối tượng nào đó là tương tự nhưng ở chỗ khác phải biết xem đối tượng này là trường hợp đặc biệt của đối tượng kia Điều đó đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp giải toán khái quát hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa.

1.2 VAI TRÒ CỦA KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ HOÁ TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1.2.1 Vai trò khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự hóa trong việc chứng minh bất đẳng thức

Trong toán học, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trở thành một phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa có thể vận dụng để mò mẫm dự đoán kết quả bài toán, tìm phương hướng giải bài toán, để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.

Khi giải một bài toán, phương pháp chung là đưa nó về một bài toán đơn giản hơn sao cho khi giải bài toán này thì có thể giải được bài toán đã cho Khi đó các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa có nhiều tác dụng.

Trong lịch sử toán học, có những bài toán mà suốt hàng chục năm, thậm chí hàng trăm năm biết bao thế hệ các nhà toán học trên thế giới với bao công sức chỉ mới giải được một số trường hợp đặc biệt.

Chẳng hạn bài toán nổi tiếng: “Chứng minh rằng phương

là định lý Fetmat do nhà toán học Fetmat đề ra khoảng năm 1630 (thế kỉ XVII) Lời giải chỉ có sau hơn 300 năm, đã tốn không biết bao nhiêu thời gian và trí tuệ của hàng trăm nhà toán học lớn khắp thế giới.

Chính Fetmat đã chứng minh cho trường hợp đặc biệt n = 4 Năm 1770 Euler đã chứng minh với n = 3 A Legende (1725 – 1833) và Dirichet đã chứng minh với n = 5 (1825) Khi n = 6 quy về n = 3 và tổng quát chỉ cần chứng minh định lí cho số mũ nguyên tố Năm 1839, nhà toán học người Pháp G Lame (1795 – 1870) đã chứng minh cho n = 7, kết quả đáng kể nhất là của nhà toán học người Đức E Kummer (1810 – 1893) đã chứng

máy tính điện tử người ta đã chứng minh được định lý với mọi

n<2521 Đến những năm 1970, 1980 của thế kỷ XX, định lí được

chứng minh cho các con số n<100 000, nhưng như vậy định lí mới chỉ chứng minh cho một số lớn các trường hợp đặc biệt.

Nhà toán học Hà Lan G Faltings đã có công đóng góp lớn

nghiệm nguyên thì chỉ có hữu hạn nghiệm mà thôi

Năm 1993 nhà toán học người Anh là Andrew Wiles đã công bố chứng minh định lí lớn Fermat Tuy nhiên đến tháng 9/1993 các trung tâm toán học tại Hoa Kỳ và Pháp đã phát hiện ra lỗ hổng trong chứng minh Hơn một năm sau, tháng 10/1994, Andrew Wiles và học trò là R Taylor trình bày lời giải thật hoàn chỉnh chỉ có 25 trang Định lí lớn của Fermat đã được chứng minh.

Như vậy suốt hơn 300 năm con người đã tìm tòi, mò mẫm để chứng minh định lí từ những trường hợp đặc biệt đến chứng minh trường hợp tổng quát cho định lí.

Đặc biệt trong các bài toán dựng hình và tìm quỹ tích thì cái khó đầu tiên là phải biết dự đoán kết quả, sau đó dùng đặc biệt hóa để kiểm tra lại kết quả.

Đối với nhà trường phổ thông khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự đã thâm nhập vào mọi khâu của quá trình dạy học Trong dạy học toán ở bậc phổ thông: khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết, là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.

Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận được

1.2.2 Các bài toán minh họaBài toán minh hoạ 1:

a Bài toán tương tự hoá, ta có bài toán

Nhìn theo góc độ số mũ của hai vế của bất đẳng thức (1.11)

vậy số mũ của a đã giảm đi 1 đơn vị nhưng tổng số mũ của a và

Từ đó ta có những bài toán bất đẳng thức tương tự sau:

a4+b4≥ a3b+b3a (1.11.1) a5

+b5≥ a4b+b4a (1.11.12)

Theo hướng khai thác đó ta có thể khái quát hoá bài toán

tổng quát như sau:

Đặc biệt hoá các giá trị của m , n ta lại có những bất đẳng thức

c Từ khái quát hoá, ta có các bài toán tương tự sau

Tiếp tục quan sát số biến của bất đẳng thức, các bài toán trên chỉ áp dụng cho 2 biến ta hoàn toàn có thể mở rộng cho 3 biến, 4 biến,… và khái quát hoá lên n biến Ta có thể xây dựng những bất đẳng thức tương tư sau:

+ Khái quát hoá bài toán trên trong trường hợp n biến (1.11.3), (1.11.4), (1.11.5), (1.11.6), (1.11.7) từ bài toán ban đầu bất đẳng thức (1.11.1) Đối chiếu sự tương ứng giữa các bất đẳng thức tìm ra dấu hiệu bản chất của chúng để xây dựng được bài toán tổng quát Từ đó bằng khái quát hoá để được bất đẳng thức (1.11.4), (1.11.5) và (1.11.9) ta thấy mức độ khái quát hoá ở đây tăng dần.