Một số vấn đề về tích phân xác định

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TÔN THẤT TÚ

Đà Nẵng - Năm 2023

2.2.2 Mô hình minh họa tích phân xác định 20

2.3 Tích phân của các hàm đặc biệt 22

2.5.6 Tính diện tích và thể tích 43 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong toán học, Giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như Vật lý, Hóa học,Thiên văn học, Trong đó, “phép tính tích phân” cùng với phép tính giới hạn và đạo hàm là ba trong những phép tính cơ bản và quan trong của Giải tích.

Phép tính tích phân có ứng dụng rộng rãi trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, tính diện tích, thể tích, và thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia các năm, bài toán thi học sinh giỏi hay các kì thi Olympic Toán trong và ngoài nước Bên cạnh việc xây dựng các mô hình thủ công (chủ yếu là các hình vẽ được vẽ trực tiếp ở bảng) để minh hoạ ý nghĩa của tích phân, ngày càng xuất hiện rộng rãi các phần mềm toán hỗ trợ trong việc tạo ra các mô hình động cũng như hỗ trợ về mặt tính toán Điều này giúp người học cảm nhận trực quan những kiến thức toán học và dễ dàng hơn trong việc tiếp cận với môn học Đối với giáo viên, việc sử dụng phần mềm toán học cũng giúp ta tạo ra nhiều kịch bản khác nhau cho một chủ đề trong bài giảng, kích thích và gây hứng thú đối với người học.

Nhằm hệ thống lại kiến thức và các vấn đề liên quan của tích phân xác định, giới thiệu một số mô hình minh họa và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài “MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH” để nghiên cứu.

2 Đối tượng nghiên cứu

Tích phân xác định và các tính chất 3 Phạm vi nghiên cứu

Các vấn đề liên quan đến tích phân xác định bao gồm các mô hình minh hoạ tích phân xác định trên phần mềm toán, ứng dụng tích phân xác định trong tính toán khoa học và chứng minh bất đẳng thức.

4 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

- Tìm hiểu và hệ thống các kiến thức về tích phân xác định.

- Xây dựng mô hình động minh hoạ tích phân xác định trên phần mềm toán học.

- Nghiên cứu và phân loại các bài toán về tích phân xác định và ứng dụng 5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến tích phân xác định.

- Phân tích, hệ thống các tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội dung cần thiết đưa vào luận văn.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của Thầy hướng dẫn và của các đồng nghiệp.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài này có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh phổ thông trung học, học sinh giỏi toán, giáo viên phổ thông trung học và sinh viên tìm hiểu về tích phân xác định và các ứng dụng.

7 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn dự kiến được chia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở Chương 2: Tích phân xác định

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm Các kết quả trong chương này chủ yếu được tham khảo từ các các tài liệu [2], [6], [7].

1.1Các hàm số đặc biệt

1.1.1Hàm chẵn và hàm lẻ

Định nghĩa 1.1 Hàm số y = f (x) có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

• ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D • ∀x ∈ D : f (x) = f (−x).

Định nghĩa 1.2 Hàm sốy = f (x) có tập xác định Dđược gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

• ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D • ∀x ∈ D : f (x) = −f (−x).

Định nghĩa 1.3 Hàm số y = f (x) có tập xác địnhD được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T ̸= 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

a) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) Khi đó hàm số y = F (x) gọi là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) khi và chỉ khi

Giả sử hàm sốy = f (x) xác định và bị chặn trên đoạn [a; b] Xét một phân hoạch π bất kì của đoạn [a; b], tức là chia đoạn [a; b] thành n phần tùy ý bởi các điểm

gọi là tổng tích phân của hàmf (x) trên đoạn [a; b] Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch π, số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm ξk.

Nếu tồn tạilimmax ∆k→0Pn

k=1f (ξk)∆k (không phụ thuộc vào cách phân hoạch và cách chọn các điểmξk) thì giới hạn này được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn [a; b] và kí hiệu là: Rabf (x)(d)x Khi đó hàm số y = f (x) được gọi là khả tích trên đoạn [a; b].

1.3.2Ý nghĩa hình học

Cho hàm số y = f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] Xét hình thang cong AabB, được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành, và hai đường thẳng x = a, x = b Khi đó, tích phân Rabf (x)dx chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f (x), trục hoành và các cận lấy tích phân x = a, x = b.

Hình 1.1: Phân hoạch tính tích phân

1.3.3Tính chất

Định lí 1.1 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [a, b] thì

Z ba

f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a).

Định lí 1.2 (Tính chất tuyến tính) Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a, b] thì f + βg, trong đó α, β = const, cũng khả tích trên [a, b] và

Định lí 1.4 (Tính chất cộng của tích phân) Cho ba đoạn [a, b], [a, c] và [c, b] Nếu f (x) khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất thì nó cũng khả tích trên đoạn còn

Định lí 1.5 Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của nó tại một số hữu hạn điểm.

Định lí 1.6 Giả sử f (x) khả tích trên [a, b].

Định lí 1.9 (Đánh giá tích phân xác định) Nếu m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f (x) trên [a, b], a < b thì:

1.4.1Giới thiệu phần mềm GeoGebra

GeoGebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trường học GeoGebra là hoàn toàn miễn phí, mã nguồn mở, đa ngôn ngữ (khoảng 63 ngôn ngữ, trong đó có tiếng Việt) Giao diện của GeoGebra thân thiện, dễ dàng sử dụng với các hộp công cụ trực quan cho người dùng Từ đó, người dùng hoàn toàn có thể thao tác với phần mềm một cách dễ dàng Khi ta dùng trỏ chuột vào một công cụ nào đó thì nó sẽ xuất hiện hướng dẫn để dùng công cụ tương ứng đó, điều này hỗ trợ nhiều cho những người dùng chưa nắm rõ cách dùng nút lệnh Nếu không thích sử dụng chuột và các nút lệnh thì người dùng có thể thao tác với phần mềm qua hệ thống nhập các câu lệnh, GeoGebra giúp người dùng sử dụng dễ dàng hơn khi cung cấp một hệ thống hỗ trợ gợi ý và hướng dẫn nhập các câu lệnh GeoGebra với nhiều tính năng mạnh mẽ, dễ sử dụng, có sự kết hợp của hệ thống máy tính đại số, các phần mềm hình học tương tác và các bảng tính, giúp người dùng có thể tiết kiệm được thời gian và không gian lưu trữ trên máy tính Đặc biệt, người dùng có thể tạo thêm công cụ mới theo nhu cầu của họ GeoGebra còn có tính cộng đồng lớn với kho dữ liệu tài nguyên phong phú do người dùng khắp nơi chia sẽ để tham khảo, thực hiện các ý tưởng toán học, góp phần giúp việc dạy học toán trở nên thuận lợi và hiệu quả hơn.

Hình 1.2: Logo phần mềm Geogebra

Ngoài ra, ta có thể định nghĩa điểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường cônic cũng như hàm số và thay đổi chúng một cách linh động trên phần mềm Mặt khác, phương trình và toạ độ có thể được nhập trực tiếp Vì thế, GeoGebra có thể xử lý biến số, vectơ và điểm, tìm đạo hàm và tích phân của hàm số và đưa ra những lệnh như Nghiệm hay Cực trị GeoGebra là phần mềm miễn phí Trong tương lai, đây là phần mềm sẽ được sử dụng trong nhiều trường phổ thông của Việt Nam, thay thế các phần mềm thương mại như Geometry Cabri, Geometer’s Skethpad Hơn nữa, nó dễ dàng được sử dụng cho các ứng dụng web (như các GeoGebra Applets) mà không cần quan tâm đến vấn đề bản quyền.

Phần mềm học toán Geogebra thực sự là công cụ hỗ trợ đắc lực cho mọi người Đặc biệt nó giúp rất nhiều cho những học sinh, sinh viên, nghiên cứu sinh hay chuyên gia làm việc với số học, hình học, đại số và phép tính.

1.4.2Cài đặt và sử dụng

Để cài đặt phần mềm GeoGebra vào máy tính, chúng ta có thể dễ dàng truy cập vào trang web: https://www.geogebra.org/ Sau đó, tải phần mềm và tiến hành cài đặt đã có thể sử dụng phần mềm Với các phiên bản mới, GeoGebra có thể xuất bản với giao diện web, nhúng vào phần mềm Powerpoint và có thể xử lí các thao tác như trên phần mềm GeoGebra, tạo cho người dùng thuận lợi hơn rất nhiều khi trình chiếu hay trong giảng dạy Tuy nhiên, nếu không cài GeoGebra người dùng cũng có thể truy cập GeoGebra Online để sử dụng.

Hình 1.3: Giao diện phần mềm Geogebra

Giao diện Geogebra gồm 5 thành phần, gồm: thanh bảng chọn, thanh công cụ, vùng hiển thị, vùng làm việc, thanh nhập đối tượng Geogebra cung cấp nhiều cửa sổ hỗ trợ vẽ đồ thị 2D, 3D, tính toán giải tích, đại số, xác suất và thống kê dễ dàng.

Hình 1.4: Các cửa sổ làm việc

Geogebra hỗ trợ vẽ hình dựa vào các công cụ trên thanh bảng chọn hoặc sử dụng lệnh Ngoài ra, phần mềm này còn hỗ trợ soạn thảo latex phù hợp với việc trình bày các văn bản toán khi xây dựng các mô hình minh họa.

CHƯƠNG 2

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chương này trình bày một số vấn đề thường gặp về tích phân xác định ở phổ thông, bao gồm các phương pháp tính, xây dựng mô hình minh họa và tính toán trên phần mềm Geogebra, tích phân các hàm đặc biệt, phương trình tích phân và ứng dụng của tích phân xác định Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5] và [6].

2.1Các phương pháp tính tích phân

2.1.1Phương pháp đổi biến số Dạng 1: Đổi biến x = φ(t).

Xét tích phân Rabf (x)dx Trong đó f (x) liên tục trên [a, b] Giả sử thực hiện phép đổi biến x = φ(t) thỏa mãn các điều kiện: a φ(t) liên tục trên đoạn [α, β] b φ(α) = a, φ(β) = b c Khi t biến thiên trong đoạn [α, β] thì x biến thiên nhưng không ra ngoài khoảng liên tục của hàm số f (x) Khi đó:

a φ(x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên lục trên [a, b].

b f (x)dx trở thành g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng

Ví dụ 2.5 Cho hàm f (x) liên tục trên R và thỏa điều kiện f3(x) + f (x) =

Giả sử u(x) và v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên [a, b] Khi đó: d(uv) = udv + vdu.

Lấy tích phân hai vế trên đoạn [a, b] ta được:

Công thức (2.1) được gọi là tích phân từng phần.

Nhận xét 2.1 Ta cần chọn được u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v, đồng thời tích phân R vdu đơn giản hơn tích phân R udv.

Ví dụ 2.8 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn [0, 1] và thỏa điều kiện:

Z 10

x2f′′(x)dx = 12 và 2f (1) − f′(1) = −2.

Ví dụ 2.9 Cho f (x) và g(x) là các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f′(0)f′(2) ̸= 0 và g(x)f′(x) = x(x − 2)ex, ∀x ∈ R Tính giá trị

Ví dụ 2.10 (Đề Olympic Toán sinh viên toàn quốc 2009 - Môn Giải tích ) Cho hàm số f : [0, 1] →R có đạo hàm cấp hai, liên tục và có f′′(x) > 0trên (0, 1).

Để khai thác được giả thiết f′′(x) ≥ 0 trên (0, 1), ta nghĩ đến việc biến đổi tích phân trong bất đẳng thức trên thành tích phân của biểu thức chứa f′′(x).

Muốn vậy có thể sử dụng công thức tích phân từng phân hai lần liên tiếp:

2.2Tích phân trên Geogebra

Khi soạn bài về chủ đề tích phân xác định, có hai khó khăn cơ bản mà giáo viên có thể gặp phải:

- Xây dựng mô hình trực quan để học sinh thấy việc xây dựng khái niệm tích phân xác định xuất phát từ yêu cầu thực tế là bài toán tính diện tích hình thang cong.

- Kiểm tra nhanh chóng đáp số của các bài toán tính tích phân.

Hai khó khăn trên có thể được giải quyết nếu chúng ta biết khai thác được các chức năng của phần mềm toán miễn phí có tên Geogebra Ở mục này, chúng tôi sẽ trình bày các thức sử dụng Geogebra để tính tích phân và đồng thời xây dựng mô hình trực quan minh họa khái niệm tích phân xác định.

2.2.1Lệnh tính tích phân

Để tính các tích phân, ta sử dụng lệnh "intergral" và nhập vào thanh nhập đối tượng Đặc biệt, khi nhập intergral, phần mềm sẽ hiển thị các lựa chọn và hướng dẫn, giúp cho người sử dụng dễ dàng thực hiện.

Hình 2.1: Lệnh Integral

Lệnh Intergral cho phép tính nguyên hàm của hàm số mặc định theo biến x hoặc ta có thể nhập tên biến số Ngoài ra lệnh này còn cho phép tính tích phân xác định Các cấu trúc của lệnh này:

• Integral( <Function> )

• Integral( <Function>, <Variable> )

• Integral( <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> )

• Integral( <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Boolean Evalu-ate> )

Bên cạnh đó, phần mềm Geogebra còn cho phép tính diện tích miền giới hạn tạo với hai đồ thị y = f (x) và y = g(x) với các cận x = a và x = b thông qua lệnh IntegralBetween Các cấu trúc của lệnh này như sau:

•IntegralBetween( <Function>, <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>) •IntegralBetween( <Function>, <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>,

Hình 2.3: Tính tích phân trên GeoGebra

Ví dụ 2.12 Để tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 − 2x − 2 và

• Intersect(f,g) (Lệnh này dùng để tìm giao điểm của f và g).

•IntergralBetween(g,f,xA,xB) (xA,xB là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm

số đã tìm ở lệnh trước đó.)

Nhận xét 2.2 Phần mềm Geogebra cho phép trả về kết quả giải tích (kết quả chính xác) khi tính tích phân Điều này đặc biệt hữu ích cho giáo viên để kiểm tra nhanh các đáp số khi xây dựng bài tập mẫu và bài tập trắc nghiệm.

2.2.2Mô hình minh họa tích phân xác định Các bước thực hiện:

✓ Sử dụng thanh trượt điều khiển số khoảng chia n

✓ Sử dụng thành phần InputBox để nhập hàm số f (x) và giá trị của hai cận lấy tích phân a, b

✓ Tính tích phân chính xác bởi lệnh Integral

✓ Xây dựng phân hoạch đều của đoạn [a, b] và tính tổng diện tích các hình chữ

Hình 2.6: Khi n = 5 và α = 0.5

Hình 2.7: Khi n = 5 và α = 1

Hình 2.8: Khi n = 100 và α = 0.5

Nhận xét 2.3.

- Khin = 5, phương pháp «hình chữ nhật trái» (α = 0) và «hình chữ nhật phải» (α = 1) có độ chính xác thấp hơn phương pháp «hình chữ nhật giữa» (α = 0.5).

- Khi số hình chữ nhật n càng lớn thì các hình chữ nhật nhỏ sẽ càng ngày càng phủ kín hình thang cong và do đó tổng diện tích các hình chữ nhật nhỏ sẽ xấp xỉ giá trị chính xác của tích phân càng tốt hơn.

2.3Tích phân của các hàm đặc biệt

2.3.2Hàm tuần hoàn

Nhận xét 2.6 Nếu y = f (x) là hàm số tuần hoàn với chu kì T trên R và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn, thì ta có

Như vậy, đối với hàm tuần hoàn và khả tích thì tích phân xác định trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ sẽ không thay đổi.

Ví dụ 2.15 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn:

Định nghĩa 2.1 Phương trình hàm là phương trình mà đối tượng cần tìm là các hàm số Giải phương trình hàm tức là tìm các hàm số chưa biết đó.

Ví dụ 2.17 Phương trình 2f (x) + 3f (1 − x) = 1 − x2, ∀x ∈ R là một phương trình hàm.

Hướng tiếp cận: Để tính tích phân các hàm ẩn xác định bởi phương trình hàm, ta sẽ sử dụng kỹ thuật thế biến – lấy tích phân 2 vế được áp dụng cho những bài toán mà giả thiết có dạng tổng của hai hàm số, khi đó ta sẽ lợi dụng mối liên hệ giữa các hàm theo biến số x để thay thế những biểu thức khác sao cho 2 hàm số đó đổi chỗ cho nhau.

Ví dụ 2.18 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn

Nhận xét 2.7 Ta có thể giải phương trình hàm giả thiết để tìm ra hàm f (x)

với mọi x thuộc [0; 3] Tính tích phân

Chú ý rằng trong khai triển của[f′(x) + α]2có2αf′(x) ;hoặc khai triển[f′(x) + αx]2 có 2αx.f′(x) Để xuất hiện lượng này ta sẽ khai thác từ tích phân

Ví dụ 2.21 Cho hàm y = f (x) liên tục trên đoạn [0, a] thỏa f (x) > 0 và f (x)f (a − x) = 1 với mọi x ∈ [0, a] Tính tích phân:

Định nghĩa 2.2 Trong toán học, ta có thể định nghĩa phương trình tích phân là một phương trình trong đó một hàm số chưa biết xuất hiện dưới hoặc trong dấu

Ở đây, ta chỉ hạn chế xét một số lớp phương trình tích phân có thể giải bằng kiến thức toán phổ thông Hướng tiếp cận chủ yếu:

- Quan sát phương trình và xác định được dạng của hàm số Từ đó, sử dụng

Ví dụ 2.25 Tìm hàm f khả vi trên R, nhận giá trị dương và thỏa điều kiện:

Ta thường tiếp xúc với các bài toán có dạng sau đây: Cho hàm sốy = f (x)có đồ thị hàm sốy = f′(x) cắt trục Oxtại ba điểm có hoành độ a, b, c thỏa mãna < b < c như hình vẽ Hãy so sánh các giá trị f (a), f (b), f (c).

Để giải quyết các bài tập có dạng này, ta làm như sau.

Dựa vào đồ thị ta so sánh S1 và S2 Từ đó ta so sánh được f (a), f (b), f (c).

Nhận xét 2.8 Ta cần lưu ý rằng, bài toán dạng này có thể biến đổi một chút Chẳng hạn như đề bài sẽ yêu cầu tìm giá trị f (a), hoặc tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị f (a), f (b), f (c) Lúc này, ta cần dựa vào đồ thị hàm số của hàm f′(x) để lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất.

Ví dụ 2.26 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R Đồ thị của hàm số y = f′(x) được cho như hình vẽ bên dưới Diện tích các hình phẳng(K), (H) lần lượt là 5

Bây giờ, ta xét một ví dụ phức tạp hơn như sau:

Ví dụ 2.27 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f′(x) có đồ thị như hình vẽ Đặt g(x) = 2f (x) − (x − 1)2 So sánh g(−1), g(3), g(5).

Giải Ta cóg′(x) = 2f′(x) − 2(x − 1), suy ra g′(x) = 0 khif′(x) = x − 1 Ta vẽ đường thẳngy = x − 1 trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f′(x).

Dựa vào đồ thị, ta có các nghiệm sau

x = −1; x = 3; x = 5. Ta lập bảng biến thiên