Một số vấn đề về tích phân xác định

Phép tính tích phân có ứng dụng rộng rãi trong một số bài toán về tìm giới hạn,chứng minh bất đẳng thức, tính diện tích, thể tích,.. Bên cạnh việc xây dựng các mô hìnhthủ công chủ yếu là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TÔN THẤT TÚ

Đà Nẵng - Năm 2023

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Các hàm số đặc biệt 3

1.1.1 Hàm chẵn và hàm lẻ 3

1.1.2 Hàm tuần hoàn 3

1.1.3 Hàm liên tục 3

1.1.4 Đạo hàm và vi phân 4

1.2 Nguyên hàm 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Tính chất 4

1.3 Tích phân xác định 5

1.3.1 Định nghĩa 5

1.3.2 Ý nghĩa hình học 5

1.3.3 Tính chất 6

1.4 Phần mềm GeoGebra 7

1.4.1 Giới thiệu phần mềm GeoGebra 7

1.4.2 Cài đặt và sử dụng 8

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 10

2.1 Các phương pháp tính tích phân 10

2.1.1 Phương pháp đổi biến số 10

2.1.2 Phương pháp tích phân từng phần 13

2.2 Tích phân trên Geogebra 17

2.2.1 Lệnh tính tích phân 17

2.2.2 Mô hình minh họa tích phân xác định 20

2.3 Tích phân của các hàm đặc biệt 22

2.3.1 Hàm chẵn và hàm lẻ 22

2.3.2 Hàm tuần hoàn 23

2.3.3 Hàm ẩn xác định bởi phương trình hàm 24

2.4 Phương trình tích phân 27

2.4.1 Khái niệm 27

2.4.2 Ví dụ minh họa 28

2.5 Ứng dụng của tích phân xác định 29

2.5.1 So sánh giá trị hàm số 29

2.5.2 Chứng minh bất đẳng thức sơ cấp 32

2.5.3 Vấn đề nghiệm của phương trình 36

2.5.4 Tính tổng 37

2.5.6 Tính diện tích và thể tích 43KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong toán học, Giải tíchchiếm một vị trí vô cùng quan trọng Các kết quả nghiên cứu được trong giải tíchkhông chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn áp dụng trong cácngành khoa học khác như Vật lý, Hóa học,Thiên văn học, Trong đó, “phép tínhtích phân” cùng với phép tính giới hạn và đạo hàm là ba trong những phép tính

cơ bản và quan trong của Giải tích

Phép tính tích phân có ứng dụng rộng rãi trong một số bài toán về tìm giới hạn,chứng minh bất đẳng thức, tính diện tích, thể tích, và thường xuyên xuất hiệntrong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia các năm, bài toán thi học sinh giỏi haycác kì thi Olympic Toán trong và ngoài nước Bên cạnh việc xây dựng các mô hìnhthủ công (chủ yếu là các hình vẽ được vẽ trực tiếp ở bảng) để minh hoạ ý nghĩacủa tích phân, ngày càng xuất hiện rộng rãi các phần mềm toán hỗ trợ trong việctạo ra các mô hình động cũng như hỗ trợ về mặt tính toán Điều này giúp ngườihọc cảm nhận trực quan những kiến thức toán học và dễ dàng hơn trong việc tiếpcận với môn học Đối với giáo viên, việc sử dụng phần mềm toán học cũng giúp

ta tạo ra nhiều kịch bản khác nhau cho một chủ đề trong bài giảng, kích thích vàgây hứng thú đối với người học

Nhằm hệ thống lại kiến thức và các vấn đề liên quan của tích phân xác định,giới thiệu một số mô hình minh họa và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài “MỘT SỐVẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH” để nghiên cứu

2 Đối tượng nghiên cứu

Tích phân xác định và các tính chất

3 Phạm vi nghiên cứu

Các vấn đề liên quan đến tích phân xác định bao gồm các mô hình minh hoạtích phân xác định trên phần mềm toán, ứng dụng tích phân xác định trong tínhtoán khoa học và chứng minh bất đẳng thức

4 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

- Tìm hiểu và hệ thống các kiến thức về tích phân xác định

- Xây dựng mô hình động minh hoạ tích phân xác định trên phần mềm toánhọc

- Nghiên cứu và phân loại các bài toán về tích phân xác định và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến tích phân xác định

- Phân tích, hệ thống các tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội dungcần thiết đưa vào luận văn.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến củaThầy hướng dẫn và của các đồng nghiệp

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài này có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh phổthông trung học, học sinh giỏi toán, giáo viên phổ thông trung học và sinh viêntìm hiểu về tích phân xác định và các ứng dụng

7 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn dự kiến được chia thành haichương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Tích phân xác định

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, đạo hàm và vi phân,nguyên hàm Các kết quả trong chương này chủ yếu được tham khảo từ các cáctài liệu [2], [6], [7]

Z[f (x) + g(x)]dx.

d Phép trừ: Nếu f (x) và g(x) có nguyên hàm thì

Z

f (x)dx −

Zg(x)dx =

Z[f (x) − g(x)]dx.

Giả sử hàm sốy = f (x) xác định và bị chặn trên đoạn [a; b] Xét một phân hoạch

π bất kì của đoạn [a; b], tức là chia đoạn [a; b] thành n phần tùy ý bởi các điểmchia:

a = x0 < x1 < < xn = b.

Trên mỗi đoạn [xk−1; xk] lấy bất kì điểm ξk ∈ [xk−1; xk] và đặt ∆k = xk − xk−1 Khiđó,

nXk=1

f (ξk)∆k = f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ + f (ξn)∆n

gọi là tổng tích phân của hàmf (x) trên đoạn [a; b] Tổng tích phân này phụ thuộcvào phân hoạch π, số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm ξk

Nếu tồn tạilimmax ∆k→0Pn

k=1 f (ξk)∆k (không phụ thuộc vào cách phân hoạch vàcách chọn các điểmξk) thì giới hạn này được gọi là tích phân xác định của hàm số

f (x) trên đoạn [a; b] và kí hiệu là: Rabf (x)(d)x Khi đó hàm số y = f (x) được gọi làkhả tích trên đoạn [a; b]

Hình 1.1: Phân hoạch tính tích phân

1.3.3 Tính chất

Định lí 1.1 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm f (x) liên tục trên đoạn[a, b] và F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [a, b] thì

Z b a

f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a).

Định lí 1.2 (Tính chất tuyến tính) Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a, b] thì

f + βg, trong đó α, β = const, cũng khả tích trên [a, b] và

Z b a

(αf (x) + βg(x))dx = α

Z b a

f (x)dx + β

Z b a

Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

a) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], a < b, thì

Z b a

f (x)dx ≥ 0.

b) Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b], a < b, thì

Z b a

f (x)dx > 0.

Định lí 1.7 (Tính đơn điệu) Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì

Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

g(x)dx.

Định lí 1.8 Nếu f (x) khả tích trên [a, b], thì |f (x)| khả tích trên [a, b] và

Z b a

f (x)dx