Một số bất đẳng thức hình học và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng - Năm 2023

a, b, c Độ dài các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C của tam giác ABC ha, hb, hc Độ dài các đường đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C

ma, mb, mc Độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C la, lb, lc Độ dài các đường phân giác kẻ từ đỉnh A, B, C

R, r Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC

1.3 Nguyên lý Dirichlet trong hình học 5

1.4 Hệ thức lượng trong tam giác 5

1.5 Một số kết quả liên quan 7

1.6 Khái quát hóa - Đặc biệt hóa - Tương tự hóa 8

1.6.1 Khái quát hóa 8

1.6.2 Đặc biệt hóa 10

1.6.3 Tương tự hóa 11

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 14

2.1 Bất đẳng thức về độ dài các cạnh 14

2.1.1 Trong tam giác thường 14

2.1.2 Trong tam giác đặc biệt 15

2.1.3 Trong tứ giác 16

2.2 Bất đẳng thức về các góc 18

2.3 Bất đẳng thức về mối liên hệ giữa cạnh và góc 19

2.3.1 Trong tam giác thường 19

3.2 Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức lượng giác 44

3.3 Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức đại số 50

3.4 Ứng dụng trong giải toán hình học 57

KẾT LUẬN 62

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Lịch sử bất đẳng thức bắt nguồn từ rất lâu và vẫn xuyên suốt, thăng hoa qua thời gian cho tới tận ngày nay Trong cái vẻ đẹp xuyên qua lịch sử của bất đẳng thức thì không thể không nhắc tới bộ phận chính làm nên vẻ đẹp đó, chính là các bất đẳng thức hình học Bất đẳng thức mà tính đại số, hình học mang tính tư duy trực quan, một sự kết hợp của cả đại số và hình học được nảy sinh trong từng bài bất đẳng thức hình học.

Bất đẳng thức có mặt ở bên trong hầu hết các lý thuyết toán học Thống kê cho thấy tần số xuất hiện từ “bất đẳng thức” là hơn năm mươi lần trong danh mục phân loại các lĩnh vực toán học 2010 Nói rộng hơn, bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng không chỉ trong hầu hết các lý thuyết toán học mà còn xuất hiện nhiều trong các lý thuyết ứng dụng toán học: lĩnh vực khoa học tự nhiên như vật lý, cơ học, quang học, hóa học, sinh học, .

Trong chương trình toán học phổ thông, các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp các bài toán loại này Các bất đẳng thức hình học hỗ trợ chúng ta giải quyết được rất nhiều vấn đề hóc búa của hình học từ sơ cấp đến cao cấp Bên cạnh đó, bất đẳng thức hình học cũng có ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống, từ việc so sánh các độ dài đến so sánh diện tích, thể tích, đều thấy sự có mặt của bất đẳng thức hình học So với bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học chưa được quan tâm nhiều Để giải quyết một bài toán về bất đẳng thức hình học cần sự tổng hợp, phân tích, đánh giá, kết hợp cả các kiến thức đại số và hình học cùng khả năng liên tưởng nhạy bén, sáng tạo.

Với mong muốn làm rõ cơ sở toán học, ý tưởng của việc sử dụng các bất đẳng thức hình học để chứng minh các bài toán hình học, các bất đẳng thức đại số, tôi chọn hướng nghiên cứu các bất đẳng thức hình học để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán ở bậc THPT Do vậy, nhận thấy việc tìm hiểu về bất đẳng thức hình học là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn, được sự gợi ý của giảng viên hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn, tôi đã chọn đề

tài “Một số bất đẳng thức hình học và ứng dụng” 2 Mục tiêu nghiên cứu:

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các bất đẳng thức liên quan đến các đại lượng hình học từ đó áp dụng vào chứng minh một số bất đẳng thức đại số, hình học, lượng giác, giải bài toán hình học và sáng tạo bài tập liên quan đến các vấn đề đã nghiên cứu Thông qua quá trình nghiên cứu đề tài, giúp tôi hiểu sâu sắc hơn về việc sử dụng các bất đẳng thức hình học trong việc giải toán, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán ở bậc THPT mà tôi đang đảm nhận.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về bất đẳng thức và một số bất đẳng thức liên quan đến các đại lượng hình học.

Pham vị nghiên cứu: Các đại lượng hình học trong tam giác và tứ giác Vận dụng các kết quả nghiên cứu vào các bài toán bất đẳng thức đại số, hình học lượng giác và giải một số bà toán hình học.

4 Phương pháp nghiên cứu:

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách vở có liên quan đến luận văn, tìm hiểu chúng lựa chọn, phân loại các kết quả phù hợp với mục tiêu, đối tượng và phạm vị nghiên cứu của để tài Trình bày các kết quả đã lựa chọn theo cấu trúc của đề tài một cách khoa học và hệ thống đồng thời chi tiết hóa các chứng minh cũng như các ví dụ minh họa để làm rõ các kết quả nghiên cứu của đề tài.

5 Nội dung của luận văn:

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành 3 chương Trong đó, Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị; Chương 2 Trình bày các một số bất đẳng thức hình học trong tam giác và tứ giác; Chương 3 Trình bày một số ứng dụng của bất đẳng thức hình học trong chứng minh bất đẳng thức hình học, lượng giác, đại số và giải bài toán hình học.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an.

Hệ quả 1.1.2 Với n số thực không âm bất kì a1, a2, , an, ta có dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).

Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f (x) là hàm số liên tục và có đạo hàm cấp hai trên I(a, b) và n điểm x1, x2, , xn tùy ý trên đoạn I(a, b).

Ở đây I(a, b) nhằm ngầm định là một trong bốn tập hợp (a, b), [a, b),

Nếu hai dãy số thực a1, a2, , an và b1, b2, , bn đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều.

Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương.

(2) Trong tất cả các đoạn thẳng nối từ một điểm cho trước tới một điểm trên một đường thẳng (hoặc mặt phẳng) cho trước thì đoạn vuông góc có độ dài ngắn nhất.

(3) Trong tất cả các đường xiên kẻ từ một điểm cho trước tới cùng một đường thẳng (hoặc mặt phẳng) cho trước, đường xiên nào có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn.

(4) Trong các tam giác có cùng chu vi, tam giác đều có diện tích lớn nhất Trong các tam giác có cùng diện tích, tam giác đều có chu vi nhỏ nhất (5) Độ dài của một đoạn thẳng nằm trong một đa giác lồi không lớn hơn

khoảng cách lớn nhất nối hai đỉnh của nó.

(6) Nếu một đa giác lồi chứa một đa giác lồi khác, thì chu vi của đa giác ngoài sẽ lớn hơn chu vi của đa giác trong.

(7) Nếu M là một điểm nằm trong đường tròn tâm O thì trong các dây cung đi qua M , dây cung vuông góc với OM có độ dài ngắn nhất.

1.3 Nguyên lý Dirichlet trong hình học

Định lý 1.3.1 (Nguyên lý Dirichlet) Nếu nhốt n + 1 chú thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có ít nhất 2 thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng Định lý 1.3.2 (Nguyên lý Dirichlet đối với độ dài) Trên đường thẳng cho đoạn AB có độ dài a và một số đoạn con AiBi (i = 1, , n) có tổng độ dài b Khi đó:

(1) Nếu b < ka (k ∈ N∗) thì bên trong đoạn AB tồn tại điểm M thuộc không quá k − 1 đoạn con AiBi;

(2) Nếu b > ka (k ∈ N∗) và đoạn AB chứa tất cả các đoạn con AiBi thì có ít nhất k + 1 đoạn con AiBi có điểm chung.

Định lý 1.3.3 (Nguyên lý Dirichlet đối với diện tích) Trong một mặt phẳng cho hình (H) có diện tích S và các hình (Hi) (i = 1, , n) có tổng diện tích là T Khi đó:

(1) Nếu T < kS (k ∈ N∗) thì tồn tại điểm M nằm trong hình (H) sao cho M là điểm trong chung của không quá k − 1 hình trong các hình (Hi) (i = 1, , n);

(2) Nếu T > kS (k ∈ N∗) và hình (H) chứa tất cả các hình (Hi) (i = 1, n) thì tồn tại một điểm M trong (H) sao cho M là điểm trong chung của ít nhất (k + 1) hình trong số các hình Hi.

1.4 Hệ thức lượng trong tam giác

Định lý 1.4.1 (Hàm sin) Mọi △ABC, ta có

(5) S =pp(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông).

Mệnh đề 1.4.6 (Biểu thức đối xứng của a, b, c) Mọi △ABC, ta có: (1) a + b + c = 2p;

(2) ab + bc + ca = p2+ r2+ 4Rr;

(3) abc = 4pRr.

(2) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C; (3) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sinA (4) cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C; (5) sin2A + sin2B + sin2C = 2 (1 + sin A sin B sin C) ;

(6) cos2A + cos2B + cos2C = 1 − 2 cos A cos B cos C; (9) cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1.

1.5 Một số kết quả liên quan

Định lý 1.5.1 (Định lý Ceva) Cho một △ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB Các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi

Mệnh đề 1.5.3 (Tính chất tâm tỉ cự của hệ điểm) Giả sử I là tâm tỉ cự của hệ n điểm {A1, A2, , An} ứng với một bộ hệ số {α1, α2, , αn} thỏa mãn α1+ α2+ + αn ̸= 0 Khi đó với điểm O tùy ý trên mặt phẳng, ta có

1.6 Khái quát hóa - Đặc biệt hóa - Tương tự hóa

1.6.1 Khái quát hóa

Theo G.Polya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả tập hợp ban đầu”.

Còn theo Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” trong “Phương pháp dạy học môn Toán”.

“Chẳng hạn, chúng ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang việc nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kỳ với số cạnh bất kỳ Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường Chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thức cho n số tuỳ ý Trong các ví dụ này cho thấy chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó”.

Hãy xét ví dụ sau: Ở lớp 9 ta có định lí sau: “Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn”.

Ta có ba truờng hợp sau: tâm O nằm bên ngoài góc (Hình 1.1); tâm O nằm trên cạnh của góc (Hình 1.2) và tâm O nằm bên trong góc (Hình 1.3).

Hình 1.1: Tâm O nằm bên ngoài góc.

Hình 1.2: Tâm O nằm trên cạnh của góc.

Trong ba trường hợp trên ta đều chứng minh được góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung qua tiếp điểm bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung do đó cũng bằng nửa số đo của cung bị chắn Từ đó bằng khái quát hoá chúng ta đi đến quy luật phổ biến đối với mọi góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung qua tiếp điểm đều bằng một nửa số đo cung bị chắn Như vậy, trên cơ sở nghiên cứu ba trường hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp trên mà thôi) ta đã khái quát được vấn đề đặt ra.

Hình 1.3: Tâm O nằm bên trong góc.

1.6.2 Đặc biệt hóa

Theo G.Polya: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”.

Có thể hiểu đặc biệt hoá là quá trình ngược lại của khái quát hoá.

Chẳng hạn chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ nghiên cứu một đa giác sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác đặc biệt có số cạnh bằng ba), ta tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là một tam giác đặc biệt có các cạnh bằng nhau).

Trong hai bước đặc biệt hoá trên, ta đã tiến hành theo các hướng khác nhau Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một biến bởi một hằng cụ thể (n = 3); trong lần thứ hai (từ tam giác bất kỳ sang tam giác đều) chúng ta đã quy định những điều hạn chế (tam giác phải có các cạnh bằng nhau).

Ta dùng đặc biệt hoá để minh hoạ, giải thích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệt hoá thường được sử dụng trong các bài toán dựng hình, tìm quỹ tích, phương pháp này giúp ta mò mẫm, dự đoán quỹ tích trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh cho toàn bộ bài toán.

Ta xét ví dụ sau: “ Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn” Ta chỉ xét hai đường tròn không cắt nhau có bán kính R2 > R1 Nếu giải trực tiếp bài toán này rất khó khăn Ta xét rường hợp đường tròn (O1, R1) là đường tròn điểm Lúc đó cách dựng như sau: dựng đường tròn đường kính O1O2, đường

tròn này cắt (O2) tại A và B thì O1A và O1B là hai tiếp tưyến của đường tròn (O2) qua điểm O1 (Hình 1.4).

Hình 1.4:

Trở lại bài toán ban đầu Ta vận dụng bài toán trên bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm O1 đến đường tròn (O2, R2− R1) Sau đó đựng hai đường thẳng lần lượt song song với hai tiếp tuyến vừa dựng được, ta dựng được tiếp tuyến ngoài chung của hai đường tròn (Hình 1.5) Tương tự ta dựng được hai tiếp tuyến trong bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm O1 đến đường tròn (O2, R2 + R1), rồi cũng dựng hai đường thẳng lần lượt song songhai đường đó, đó chính là hai tiếp tuyến chung trong của hai đượng tròn (Hình 1.6).

Hình 1.5:

1.6.3 Tương tự hóa

Theo G.Polya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các nối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng”.

Theo PGs Hoàng Chúng: “Tương tự thường có nghĩa giống nhau Người ta thường xét vấn đề tương tự trong toán học trong các khía cạnh sau:

Hình 1.6:

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh giống nhau.

- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó hoặc nếu giữa các phần tử tương ứng của chúng giống nhau”.

Chẳng hạn đường thẳng, tam giác, đường tròn trong hình học phẳng tương tự với mặt phẳng, tứ diện, mặt cầu trong hình học không gian.

Chẳng hạn, trong hình học phẳng ta có bài toán: “Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của một tam giác đều tới ba cạnh của nó là không đổi” Ta có bài toán tương tự trong không gian: “Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ tới bốn mặt của tứ diện đều là không đổi”.

Người ta cũng thường xem những trường hợp đặc biệt của cùng một vấn đề là tương tự nhau Chẳng hạn, tam giác và tứ giác là tương tự nhau - đều là trường hợp đặc biệt của đa giác.

Tóm lại cùng một yếu tố hay một đối tượng có thể xác lập được những tương tự khác nhau tuỳ thuộc vào vấn đề chúng ta nghiên cứu.

Như vậy, ta chú ý rằng một hình có thể tương tự với nhiều hình khác nhau tuỳ theo ta xét tính chất của hình, mối quan hệ giữa các phần tử của nó về phương diện nào đó Có khi trong vấn đề này ta xem hai đối tượng đó là tương tự nhưng ở chỗ khác phải biết xem đối tượng này là trường hợp đặc biệt của đối tượng kia Điều đó đòi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt, sáng

tạo các phương pháp giải toán: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự.

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

2.1 Bất đẳng thức về độ dài các cạnh

2.1.1 Trong tam giác thường

Định lý 2.1.1 (Bất đẳng thức tam giác, [1]) Trong ∆ABC, ta có: |b − c| < a < b + c;

|c − a| < b < c + a; |a − b| < c < a + b.

Định lý 2.1.2 ([2]) Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là R và R′ (R ≥ R′), khoảng cách giữa tâm của chúng bằng d Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là: R − R′ ≤ d ≤ R + R′.

Định lý 2.1.3 ([1]) Các số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

(1) BE.AC ≤ AE.BC + CE.AB;

(2) (EB − BA).AC ≤ (BC − AB).AE.

Định lý 2.1.6 Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

(1) Đường vuông góc là đường ngắn nhất;

(2) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn; (3) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;

(4) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại Định lý 2.1.7 ([1]) Trong ∆ABC ứng với cạnh dài hơn là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác ngắn hơn.

Định lý 2.1.12 ([1]) Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác trong của ∆ABC Gọi pDEF, pABC lần lượt là nửa chu vi của ∆DEF và ∆ABC Khi đó, ta có

pDEF ≥ 1

2.1.2 Trong tam giác đặc biệt

Định lý 2.1.13 (Tam giác đều, [1]) Nếu M là điểm nằm trong ∆ABC đều Khi đó:

(1) M A + M B > M C;

(2) M A2+ M B2+ M C2 > AB2.

Nhận xét 2.1.14 ([1]) Cho ∆ABC là tam giác đều cạnh a, gọi P là một điểm nằm trong tam giác Khi đó

P A.P B + P B.P C + P C.P A ≥ a2.

Định lý 2.1.15 (Tam giác vuông, [1]) Trong ∆ABC vuông tại A, ta có AB +√

3AC ≤ 2BC.

Định lý 2.1.16 (Trong tam giác cân, [1]) Cho ∆ABC cân tại A D là điểm trên cạnh BC, E là điểm trên tia đối của tia CB sao cho CE = BD Khi đó, ta có

AD + AE > 2AB.

2.1.3 Trong tứ giác

Định lý 2.1.17 ([7]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Khi đó: (1) |AB − CD| + |AD − BC| ≥ 2|AC − BD|;

(2) Nếu ABCD là hình vuông thì M A + M B + M C + M D ≤ (2 +√

2)AC; (3) Nếu ABCD là hình bình hành thì M A.M C + M B.M D ≥ AB.AD Định lý 2.1.21 ([7]) Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD Khi đó ta có

Định lý 2.1.22 (Công thức hình bình hành, [7]) Cho tứ giác ABCD, gọi x là khoảng cách giữa trung điểm của hai đường chéo AC và BD Ta có

AB2+ BC2+ CD2+ DA2 = AC2+ BD2+ 4x2.

Hệ quả 2.1.23 (Bất đẳng thức hình bình hành, [7]) Cho tứ giác ABCD Ta có

AB2+ BC2+ CD2+ DA2 ≥ AC2+ BD2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành.

Định lý 2.1.24 (Định lý Ptolemy, [9]) Cho tứ giác lồi ABCD Khi đó ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi

AC.BD = AB.CD + AD.BC.

Định lý 2.1.25 (Bất đẳng thức Ptolemy, [9]) Với bốn điểm A, B, C, D bất

AD.CD + AD.BC = BD.(EA + EC) ≥ BD.AC.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, E, C thẳng hàng, tức là khi A và D cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau, và khi đó tứ giác ABCD nội tiếp trong

2.3 Bất đẳng thức về mối liên hệ giữa cạnh và góc

2.3.1 Trong tam giác thường

Định lý 2.3.1 ([1]) Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.

Định lý 2.3.2 ([1]) Cho ∆ABC và ∆A′B′C′ có AB = A′B′, AC = A′C′ Khi đó, [BAC > \B′A′C′ khi và chỉ khi BC > B′C′.

Định lý 2.3.3 ([1]) Cho ∆ABC Nếu [ABC > [ACB thì AC > AB và ngược lại.

Định lý 2.3.4 ([1]) Cho ∆ABC và ∆A′B′C′ có hai cặp cạnh AB = A′B′ và AC = A′C′ Ta có bất đẳng thức: [BAC > \B′A′C′ khi và chỉ khi BC > B′C′.

2.3.2 Trong tứ giác

Định lý 2.3.5 (Định lí Bretschneider, [9]) Cho tứ giác ABCD, gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA và m, n là độ dài các đường chéo AC, BD Khi đó ta có

BAK = \DCA, \ABK = \CAD.

Trên cạnh AD ra phía ngoài dựng ∆DM A đồng dạng với ∆ABC, trong đó

2.4.1 Trong tam giác thường

Nhận xét 2.4.1 Nói đến bất đẳng thức liên hệ giữa cạnh và diện tích, rất tự nhiên ta nghĩ ngay đến những đẳng thức liên hệ giữa cạnh và diện

Định lý 2.4.4 (Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng, [8]) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các điều kiện x + y, y + z, z + x, xy + yz + zx ≥ 0 Đặt a, b, c là độ dài ba cạnh và S là diện tích của ∆ABC Khi đó

Định lý 2.4.10 (Công thức Euler, [8]) Gọi R và r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ∆ABC, d là khoảng cách giữa tâm hai đường tròn đó Ta có

d2 = R2− 2Rr.

Hệ quả 2.4.11 (Bất đẳng thức Euler, [8]) Kí hiệu R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC Khi đó

R ≥ 2r Đẳng thức xảy ra khi và khi ∆ABC đều.

Định lý 2.4.12 (Mitrinovic, [8]) Gọi p và r lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC Ta có

p ≥ 3√ 3r.

Định lý 2.4.13 (Gerretsen, [8]) Mọi ∆ABC, ta có 16Rr − 5r2 ≤ s2 ≤ 4R2+ 4Rr + 3r2.

Định lý 2.4.14 (Công thức Leibniz, [7]) Cho ∆ABC với độ dài các cạnh là a, b, c Gọi G là trọng tâm và (O, R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Định lý 2.4.18 ([2]) Trong tất cả các tứ giác lồi có diện tích bằng 1, tổng độ dài các cạnh và các đường chéo lớn hơn hoặc bằng 2(2 +√

2.5 Bất đẳng thức về khoảng cách

Nhận xét 2.5.1 ([7]) Cho ∆ABC đều cạnh a, gọi P là một điểm nằm trong tam giác Gọi pa, pb, pc lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến các cạnh BC, AC, AB Khi đó:

Định lý 2.5.2 (Bất đẳng thức Erdos - Mordell, [10]) Cho ∆ABC và P là điểm thuộc miền trong ∆ABC Đặt R1, R2, R3 lần lượt là khoảng cách từ điểm P tới các đỉnh A, B, C và r1, r2, r3 theo thứ tự là khoảng cách từ điểm P tới các cạnh BC, CA, AB Khi đó

R1+ R2+ R3 ≥ 2 (r1+ r2+ r3)

Đẳng thức xảy ra khi ∆ABC đều và P là tâm của tam giác Chứng minh Xét Hình 2.3,

Hình 2.3:

Kẻ tia Ax đối xứng với tia AP qua phân giác của góc A Từ B và C kẻ các đường vuông góc BB′ và CC′tới tia Ax Ta có [P AC = \BAB′, [P AB = \CAC′.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC đều và P là trực tâm của nó Nhận xét 2.5.3 Bất đẳng thức Erdos–Mordell có thể phát biểu lại như sau: Cho ∆ABC bất kỳ và điểm P thuộc miền trong ∆ABC Khi đó tổng khoảng cách từ điểm P đến ba đỉnh của tam giác sẽ lớn hơn hai lần tổng khoảng cách từ điểm này đến ba cạnh của tam giác.

Định lý 2.5.4 (Mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell, [10]) Cho tam giác ABC và P là điểm thuộc miền trong ∆ABC Đặt R1, R2, R3 lần luợt là khoảng cách từ điểm P tới các đỉnh A, B, C và r1, r2, r3 theo thứ tự là khoảng cách từ điểm P tới các cạnh BC, CA, AB và các số thực dương x,

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy, ta có

x2R1+ y2R2+ z2R3 ≥ 2yzr1+ 2zxr2+ 2xyr3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a : b : c = x : y : z và P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Định lý 2.5.5 (Bất đẳng thức Klamkin, [4]) Cho ∆ABC và P là một điểm bất kì thuộc miền trong ∆ABC Kí hiệu khoảng cách từ P đến các đỉnh A,

Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua trung điểm M của cạnh BC Tứ giác ABA′C là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Ví dụ 3.1.2 ([1]) Cho P , Q, R, S là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB, tương ứng, của tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng

Ta suy ra được điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 3.1.3 (Ba Lan, 1999, [11]) Cho D là một điểm trên cạnh BC của ∆ABC sao cho AD > BC Điểm E trên CA thỏa mãn AE

Lấy F trên AD sao cho AF = BC.

Gọi E′ là giao diểm của BF và AC Áp dụng Định lí hàm số sin cho ∆AE′F ,

Hình 3.2:

Do đó E′ ≡ E.

Lấy G trên BD sao cho BG = AD và H là giao điểm của GE với đường thẳng qua A và song song với BC.

Dễ thấy ∆ECG và ∆EAH đồng dạng nên

Ví dụ 3.1.4 ([7]) Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ là AB và bC + bD ≤ 90◦ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Chứng minh rằng

M N ≤ CD − AB

Chứng minh Xét Hình 3.3,

Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DC tại E và qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt DC tại F

Suy ra bD = cE1, bC = cF1.

Suy ra cE1+ cF1 = bD + bC ≤ 900 ⇒ \EM F ≥ 90◦ Theo Ví dụ 3.1.1, tam giác M EF có \EM F ≥ 90◦ và M N là trung tuyến nên M N ≤ EF

2 .

Mặt khác, ta có AB//DC và AD//M E nên ADEM là hình bình hành.

Ví dụ 3.1.5 (Chọn đội tuyển Singapore, 2002, [11] ) Cho ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh rằng

đường trung tuyến Ta có

(AC − BD)2+ 4EF2 = (AB − CD)2+ (AD − BC)2 (3.1) Mặt khác, gọi M là trung điểm của AB Xét tam giác ∆M EF , ta có EF ≥ |M F − M E| ⇒ EF ≥ 1

2|AD − BC| Do đó

Từ (3.1) và (3.2) ta suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 3.1.6 (IMO Shorlist, 1996, [11]) Cho ∆ABC là tam giác đều và P là một điểm trong nó Các đường thẳng AP , BP , CP cắt các cạnh BC, CA, AB tại các điểm A1, B1, C1, tương ứng Chứng minh rằng Nhân 3 bất đẳng thức này, ta được

A1B12.B1C12.C1A21 ≥ A1C.B1C.B1A.C1A.C1B.A1B (3.3)

Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy, vì vậy áp dụng Định lí Ceva 1.5.1 ta có A1B.B1C.C1A = AB1.BC1.CA1, thay vào 3.3 ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CA1 = CB1, BA1 = BC1 và AB1 = AC1 Điều này xảy ra khi và chỉ khi P là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.