(Luận văn thạc sĩ) một số bất đẳng thức hình học và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI ANH TRƯỜNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI ANH TRƯỜNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN SƠ CẤP h Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84601113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Mục lục Lời cam đoan Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị Các định lý trung bình số học trung bình hình học 1.2 Tỉ số lượng giác góc 1.3 Một số đẳng thức, bất đẳng thức hình học 12 h 1.1 Các định lý đẳng chu 18 2.1 Cực đại cực tiểu 18 2.2 Các định lý đẳng chu tam giác 21 2.3 Các định lý đẳng chu đa giác 29 2.4 Các định lý đẳng chu không gian 36 Đối xứng hóa vấn đề liên quan 44 3.1 Phép đối xứng 44 3.2 Bài toán Dido 47 3.3 Đối xứng hóa Steiner 48 3.4 Tam giác 52 Các toán lời giải 58 4.1 Một số toán sử dụng định lý đẳng chu 58 4.2 Một số toán sử dụng nguyên lý phản xạ 65 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) h Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giải cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn h Bùi Anh Trường Lời nói đầu h Hình học phân nhánh Tốn học liên quan đến câu hỏi hình dạng, kích thước, vị trí tương đối hình khối, tính chất Hình học phát triển độc lập số văn hóa cổ đại phần kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, diện tích, thể tích, Từ nhu cầu khoa học thực tiễn liên quan đến khảo sát, đo đạc, diện tích, khối lượng Những thành tích đáng ý giai đoạn đầu hình học bao gồm cơng thức độ dài, diện tích thể tích, Các nhà tốn học nhận đánh giá giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hay so sánh đại lượng hình học đóng vai trị quan trọng nhiều quan trọng đẳng thức Luận văn tập trung nghiên cứu định lí đẳng chu hình học vấn đề liên quan Trong thực tế ta bắt gặp định lí đẳng chu thường xuyên ví dụ mèo đêm lạnh, thường cuộn lại giống hình cầu, hiển nhiên mèo làm để giữ nhiệt, làm nhiệt lượng thoát khỏi bề mặt nhỏ khơng có ý định làm giảm thể tích thân nó, Rõ ràng, làm ta liên tưởng đến định lí: "Trong vật thể có thể tích hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất" Luận văn trình bày lại cách có xếp, hệ thống lý thuyết định lý đẳng chu bất đẳng thức hình học liên quan Luận văn trình bày 75 trang, gồm: Lời nói đầu, chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức AM - GM, hệ thức lượng tam giác, tỉ số lượng giác góc, làm sở, công cụ chứng minh định lý luận văn Chương 2: Các định lý đẳng chu Chương trình bày lý thuyết cực đại cực tiểu, trình bày chứng minh định lý đẳng chu tam giác đa giác mở rộng sang số lớp hình không gian tứ diện, lăng trụ tứ giác Chương 3: Đối xứng hóa vấn đề liên quan Chương trình bày nguyên lý phản xạ phương pháp hình học để tiếp cận lời giải lớp tốn, định lý hình học cách đơn giản dễ hình dung Chương 4: Các tốn lời giải Chương trình bày hệ thống tốn hình học sơ cấp, cực trị hình học tiếp cận định lý đẳng chu phép đối xứng, tạo nguồn tư liệu học tập, nghiên cứu cho học sinh h Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy TS Nguyễn Hữu Trọn, người nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn q thầy khoa Tốn Thống kê, phịng Sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Cuối tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè ln ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện cho mặt suốt thời gian học thạc sĩ hồn thành luận văn Mặc dù tơi cố gắng khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Bùi Anh Trường Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức hữu dụng cho chương sau như: Định lý trung bình số học trung bình hình học, tỉ số lượng giác, số đẳng thức hình học Các kết chương trình bày dựa vào [4], [7] h 1.1 Các định lý trung bình số học trung bình hình học Định nghĩa 1.1.1 Trung bình số học A n số a1 , · · · , an a1 + a2 + · · · + an n Trung bình số học tập hợp số thực cịn gọi trung bình cộng số Định lý 1.1.2 Tích n số dương với tổng cho trước lớn n X số Cụ thể, > (i = 1, · · · , n) = nA khơng i=1 đổi a1 · a2 · · · an ≤ A n (1.1) Dấu = xảy a1 = a2 = · · · = an Hiểu theo nghĩa hình học, tất hình hộp n chiều có tổng độ dài cạnh khơng đổi khối hộp n chiều tích lớn Một cách phát biểu hình học tương đương khác là: "Nếu đoạn thẳng có độ dài cho trước chia thành hữu hạn đoạn thẳng nhỏ có độ dài nhỏ tích độ dài đoạn thẳng lớn đoạn thẳng chia có độ dài nhau" Chứng minh n X Xét số dương a1 , a2 , · · · , an = nA không đổi i=1 Nếu = A, i = 1, 2, · · · , n dấu = (1.1) xảy Nếu có 6= A có số lớn A số nhỏ A Giả sử a1 a2 Đặt a1 = A − h, a2 = A + k h, k > Tiếp tục đặt a01 = A, a02 = A + k − h Khi a01 + a02 = 2A + k − h = a1 + a2 , a01 + a02 + a3 + · · · + an = n X = nA i=1 h Rõ ràng a01 , a02 số dương Đồng thời ta tập hợp gồm n số dương thỏa mãn tổng chúng tổng n số dương ban đầu Ta cần chứng minh a01 a02 > a1 a2 Thật vậy, ta có: a01 a02 = A (A + k − h) = A2 + (k − h) A, a1 a2 = (A − h) (A + k) = A2 + (k − h) A − hk Suy a01 a02 = a1 a2 + hk > a1 a2 Vì a01 · a02 · a3 · · · an > a1 · a2 · a3 · · · an Bây A = a01 = a02 = a3 = · · · = an (1.1) Ngược lại tồn số lớn A số nhỏ A Giả sử b1 , b2 Lặp lại chứng minh với hai số b1 , b2 ta tìm tập hợp số dương thỏa mãn tổng chúng tổng n số dương ban đầu tích chúng lớn a01 · a02 · a3 · · · an Tiếp tục lặp lại trình (nhiều n − lần) ta n số dương A có tích lớn tích n số dương khác có tổng  Định lý 1.1.3 Tổng n số thực dương có tích ln lớn n Dấu xảy tất số n X Cụ thể, > 0, i = 1, · · · , n a1 · a2 · · · an = ≥ n Dấu "=" xảy = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n Hiểu theo nghĩa hình học: "Nếu thể tích hình hộp chữ nhật n chiều (khối hộp chữ nhật) 1, tổng chiều dài cạnh đạt giá trị nhỏ khối n chiều" Chứng minh Ta có > 0, ∀i = 1, 2, · · · , n a1 · a2 · · · an = Ta cần chứng minh n X ≥ n i=1 h Dấu = xảy = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n Ta chia số cho tổng chúng, ta n số có tổng áp dụng Định lý 1.1.2 Đặt n X s= , bi = i=1 Ta có n s , n 1X X s bi = = · = n i=1 n i=1 s n s n Áp dụng Định lý 1.1.2 ta có  n b1 · b2 · · · bn ≤ n Dấu = xảy b1 = b2 = · · · = bn = Tức a1 · a2 · a3 · · · an ≤ s · s · s···s n  n n Vậy n ≤ s Dấu = xảy = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n