(Luận văn) một số bất đẳng thức hình học và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI ANH TRƯỜNG lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP d oa nl w fu an nv a lu oi m ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI ANH TRƯỜNG lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP oa nl w d Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84601113 oi m ll fu an nv a lu z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN HỮU TRỌN gm @ m co l an Lu n va ac th si Mục lục Lời cam đoan Lời nói đầu lu an n va Kiến thức chuẩn bị Các định lý trung bình số học trung bình hình học 1.2 Tỉ số lượng giác góc p ie gh tn to 1.1 1.3 Một số đẳng thức, bất đẳng thức hình học 12 oa nl w Các định lý đẳng chu 18 d Cực đại cực tiểu 18 2.2 Các định lý đẳng chu tam giác 21 2.3 Các định lý đẳng chu đa giác 29 2.4 Các định lý đẳng chu không gian 36 oi m ll fu an nv a lu 2.1 z at nh Đối xứng hóa vấn đề liên quan 44 z Phép đối xứng 44 3.2 Bài toán Dido 47 3.3 Đối xứng hóa Steiner 48 3.4 Tam giác 52 gm @ 3.1 m co l an Lu n va ac th si Các toán lời giải 58 4.1 Một số toán sử dụng định lý đẳng chu 58 4.2 Một số toán sử dụng nguyên lý phản xạ 65 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si Lời cam đoan lu Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giải cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác an va n Tác giả luận văn p ie gh tn to Bùi Anh Trường d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp Lời nói đầu lu an n va p ie gh tn to Hình học phân nhánh Tốn học liên quan đến câu hỏi hình dạng, kích thước, vị trí tương đối hình khối, tính chất Hình học phát triển độc lập số văn hóa cổ đại phần kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, diện tích, thể tích, Từ nhu cầu khoa học thực tiễn liên quan đến khảo sát, đo đạc, diện tích, khối lượng Những thành tích đáng ý giai đoạn đầu hình học bao gồm cơng thức độ dài, diện tích thể tích, Các nhà tốn học nhận đánh giá giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hay so sánh đại lượng hình học đóng vai trị quan trọng nhiều quan trọng đẳng thức oa nl w d Luận văn tập trung nghiên cứu định lí đẳng chu hình học vấn đề liên quan Trong thực tế ta bắt gặp định lí đẳng chu thường xuyên ví dụ mèo đêm lạnh, thường cuộn lại giống hình cầu, hiển nhiên mèo làm để giữ nhiệt, làm nhiệt lượng thoát khỏi bề mặt nhỏ khơng có ý định làm giảm thể tích thân nó, Rõ ràng, làm ta liên tưởng đến định lí: "Trong vật thể có thể tích hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất" Luận văn trình bày lại cách có xếp, hệ thống lý thuyết định lý đẳng chu bất đẳng thức hình học liên quan Luận văn trình bày 75 trang, gồm: Lời nói đầu, chương, Kết luận Tài liệu tham khảo oi m ll fu an nv a lu z at nh z @ gm Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức AM - GM, hệ thức lượng tam giác, tỉ số lượng giác góc, làm sở, công cụ chứng minh định lý luận văn m co l Lu an Chương 2: Các định lý đẳng chu Chương trình bày lý thuyết cực đại cực tiểu, trình bày chứng minh định lý đẳng chu tam giỏc n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp đa giác mở rộng sang số lớp hình khơng gian tứ diện, lăng trụ tứ giác Chương 3: Đối xứng hóa vấn đề liên quan Chương trình bày nguyên lý phản xạ phương pháp hình học để tiếp cận lời giải lớp tốn, định lý hình học cách đơn giản dễ hình dung Chương 4: Các tốn lời giải Chương trình bày hệ thống tốn hình học sơ cấp, cực trị hình học tiếp cận định lý đẳng chu phép đối xứng, tạo nguồn tư liệu học tập, nghiên cứu cho học sinh lu an n va p ie gh tn to Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy TS Nguyễn Hữu Trọn, người nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn q thầy khoa Tốn Thống kê, phịng Sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Cuối tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè ln ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện cho mặt suốt thời gian học thạc sĩ hoàn thành luận văn oa nl w d Mặc dù cố gắng khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện fu an nv a lu oi m ll Ngày tháng năm 2020 Học viên thực z at nh Bùi Anh Trường z gm @ m co l an Lu n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp 71 lu Hỡnh 4.12 an n va gh tn to động với vận tốc không đổi v1 nửa mặt phẳng chứa điểm A vận tốc không đổi v2 nửa mặt phẳng chứa điểm B Tìm đường từ A đến B cho thời gian chuyển động chất điểm nhỏ nhất? p ie Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Descartes vng góc Oxy , giả sử đường thẳng l trufg với trục hoành Ox Điểm A ∈ Oy Khi khơng tính tổng qt ta giả sử tọa độ điểm A = (0, a) , B = (d, −b) (a, b, c, d > 0) Lấy X l giả sử có tọa độ X = (x, 0) (Hình 4.12) Ta có q √ d oa nl w a2 + x2 , b2 + (d − x)2 BX = fu an nv a lu AX = Thời gian chất điểm chuyển động đường gấp khúc AXB p √ oi m ll AX BX a2 + x b2 + (d − x)2 t (X) = + = + v1 v2 v1 v2 p √ a2 + x b2 + (d − x)2 Xét hàm số t(x) = + với ≤ x ≤ d, trường hợp v1 v2 d nằm ngồi khoảng khơng tồn giá trị nhỏ z at nh z @ Ta có an n va a r = , ax + x x2 1+ a Lu √ m co Vì d−x x p − a2 + x2 v2 b2 + (d − x)2 l v1 √ gm t0 (x) = ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp 72 lu an n va Hình 4.13 a tăng ngoặt đoạn [0, d] ax + x2 p ie gh tn to nên hàm số √ d−x tăng ngoặt đoạn [0, d] v2 b2 + (d − x) Do đó, t0 (x) tăng ngoặt [0, d] Vì t0 (0) < 0, t0 (d) > tồn x0 ∈ (0, d) cho t0 (x0 ) = Rõ ràng t0 (x) < với x ∈ (0, x0 ), t0 (x) > với x ∈ (x0 , d) nên t(x) đạt cực tiểu x = x0 Chú ý rằng, điểm X0 = (x0 , 0) thỏa điều kiện t0 (x) = ta viết Tương tự hàm số d oa nl w q fu an nv a lu m ll sin α x0 sin β d − x0 p = p = , = v1 v2 v2 b2 + (d − x0 )2 v1 a2 + x20 oi α góc AX Oy , β góc BX Ox Vậy, tồn điểm X0 cho chất điểm chuyển động theo đường AX0 B có thời gian chuyển động tối thiểu Điểm X0 xác định đẳng z gm @ sin α sin β = v1 v2 z at nh thức m co l Bài toán 4.2.7 Chng minh bt ng thc Erdăos - Mordell khụng gian với tứ diện ABCD có diện tích mặt Chứng minh trường hợp tứ diện bất đẳng thức khơng cịn đúng? Cho ví dụ minh họa? an Lu n va Lời giải Gọi ABCD tứ diện có diện tích mặt S , P điểm ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp 73 nm hoc trờn cỏc mặt tứ diện Ta cần chứng minh P A + P B + P C + P D ≥ (pa + pb + pc + pd ) pa , pb , pc , pd khoảng cách từ điểm P đến mặt tứ diện Dấu ” = ” xảy ABCD tứ diện P tâm Giả sử độ dài đường cao kẽ từ A lu an n va tn to p ie gh Hình 4.14 VABCD = VP ABC + VP BCD + VP CDA + VDAB , d oa nl w nên Vì Mặt khác oi m ll fu an nv a lu S = S (pa + pb + pc + pd ) , = pa + pb + pc + pd , − pa = pb + pc + pd z at nh AK = − pa ≤ P A, z Từ suy ra: P A ≥ pb + pc + pd Tương tự ta có @ gm P B ≥ pa + pd + p c , P C ≥ pa + pb + pd , P D ≥ pa + pb + pc m co l an Lu Cộng vế theo vế đẳng thức ta được: (4.1) n va P A + P B + P C + P D ≥ (pa + pb + pc + pd ) ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp 74 Tuy nhiên, trường hợp tứ diện tổng quát, bất đẳng thức không xảy Cụ thể, ta chọn tứ diện ABCD có mặt bên BCA, BDA tam giác vuông cân cho suy biến thành tam giác lu an Hình 4.15 va n √ p ie gh tn to Dễ dàng tính trường hợp P A + P B + P C + P D = 2 (pa + pb + pc + pd ) = · = Do bất đẳng thức (4.1) không xảy oa nl w d Bi toỏn 4.2.8 (Bt ng thc Erdă os - Mordell không gian) Cho tứ diện ABCD P điểm tùy ý nằm bên Gọi pa , pb , pc , pd khoảng cách từ điểm P đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Đặt d = P A + P B + P C + P D Chứng minh fu an nv a lu √ √ √ √ √ √ d ≥ ( pa pb + pa p c + pa pd + pb p c + pb pd + pc pd ) (4.2) m ll oi Lời giải Gọi độ dài đường cao kẽ từ đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD) S1 , S2 , S3 , S4 diện tích tam giác BCD, CDA, DAB , ABC V1 , V2 , V3 , V4 thể tích khối tứ diện P BCD, P CDA, P DAB , P ABC , ABCD Ta có z at nh z m co l Do gm @ P A + p a ≥ an Lu P A · S1 + pa · S1 ≥ · S1 , P A · S1 + 3V1 ≥ 3V = 3(V1 + V2 + V3 + V4 ), P A · S1 ≥ 3(V2 + V3 + V4 ) = pb · S2 + pc · S3 + pd · S4 , n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp 75 lu an n va tn to p ie gh Hình 4.16 oa nl w P A ≥ pb · S3 S4 S2 + pc · + pd · S1 S1 S1 Tương tự, ta có d S1 S3 S4 + pc · + pd · , S2 S2 S2 S2 S1 S4 P C ≥ pb · + pa · + pd · , S3 S3 S3 S2 S3 S1 + pc · + pa · P D ≥ pb · S4 S4 S4 oi m ll fu an nv a lu P B ≥ pa · z at nh z Cộng bất đẳng thức vế theo vế sau áp dụng bất đẳng thức AM GM, ta     gm pa · @ S1 S2 S1 S3 + pb · + pa · + pc · S S1 S S1     S1 S4 S2 S3 + pa · + pb · + pd · + pc · S4 S1 S3 S2     S2 S4 S3 S4 + pb · + pd · + pc · + pd · S4 S2 S4 S3 √ √ √ ≥ ( pa p b + pa pc + p a pd PA + PB + PC + PD ≥ m co l an Lu n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp 76 √ + pb pc + pb pd + pc pd ) Dấu ” = ” xảy ABCD tứ diện P tâm lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp KT LUẬN Luận văn "Bất đẳng thức hình học ứng dụng giải toán sơ cấp" đạt kết sau: lu an Hệ thống lại trình bày chứng minh chi tiết cho kết liên quan Định lý đẳng chu mặt phẳng, không gian n va p ie gh tn to Hệ thống lại kết đến nguyên lý phản xạ, sử dụng phương pháp hình học để tiếp cập lớp tốn, định lý hình học d oa nl w Hệ thống hóa tập cực trị hình học sơ cấp sử dụng Định lý đẳng chu, phép đối xứng công cụ giải hữu hiệu oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th 77 si (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp (Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp(Luỏưn.vn).mỏằt.sỏằ.bỏƠt.ỏng.thỏằâc.hơnh.hỏằãc.v.ỏằâng.dỏằƠng.trong.giỏÊi.toĂn.sặĂ.cỏƠp