Về một số bất đẳng thức hình học trong tứ giác hình chiếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỒNG THẾ MẠNH VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TỨ GIÁC “HÌNH CHIẾU” LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THẾ MẠNH VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TỨ GIÁC “HÌNH CHIẾU” Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2021 i Mục lục Danh sách ký hiệu ii Danh mục hình vẽ iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tam giác hình chiếu 1.2 Một số kết bất đẳng thức tam giác hình chiếu 15 Một số bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu 31 2.1 Khái niệm tứ giác hình chiếu 31 2.2 Một số bất đẳng thức tứ giác hình chiếu 35 2.3 Một số bất đẳng thức đa giác hình chiếu 43 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 52 ii Danh sách ký hiệu 4ABC RABC SABC SABCD Sp Rp rp R O r c s ∼ ⊥ Tam giác ABC Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Diện tích tam giác ABC Diện tích tứ giác ABCD Diện tích tam giác hình chiếu Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác hình chiếu Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác hình chiếu Bán kính đường tròn ngoại tiếp Tâm đường tròn ngoại tiếp Bán kính đường trịn nội tiếp Chu vi Nửa chu vi Phép đồng dạng Phép vng góc iii Danh sách hình vẽ 1.1 Tam giác hình chiếu DEF 4ABC ứng với điểm P 1.2 Hình minh họa Định lý 1.1.3 1.3 Tam giác hình chiếu ứng với trực tâm 1.4 Tam giác hình chiếu DEF 4ABC ứng với điểm O 10 1.5 Các đường thẳng vng góc với AB, BC, CA F, D, E đồng quy P 12 1.6 4ABC ∼ 4A3 B3 C3 14 1.7 4DEF tam giác hình chiếu ứng với P 4ABC 15 1.8 Minh họa Mệnh đề 1.2.1 16 1.9 AB C đối xứng với ABC qua phân giác góc A 17 2.1 Tứ giác hình chiếu KM N L tứ giác ABCD ứng với điểm P 32 2.2 Tứ giác tiếp xúc KM N L 32 2.3 Hình bình hành Varignon KM N L 33 2.4 Tứ giác hình chiếu KM N L 34 2.5 Minh họa Mệnh đề 2.2.1 35 2.6 Minh họa Mệnh đề 2.2.1 38 2.7 Minh họa Mệnh đề 2.2.2 39 2.8 Minh họa Mệnh đề 2.2.2 40 2.9 Minh họa Mệnh đề 2.2.3 41 2.10 Đa giác hình chiếu H1 H2 · · · Hn 43 2.11 Ngũ giác hình chiếu GKJIH 44 iv 2.12 Lục giác hình chiếu LKJIHG 44 2.13 Minh họa Mệnh đề 2.3.2 45 2.14 Minh họa Mệnh đề 2.3.3 48 Mở đầu Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, tốn liên quan đến bất đẳng thức hình học nội dung quan trọng xuất đề thi THPT Quốc gia, tạp chí toán học, blog toán học, đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic Các tốn liên quan đến bất đẳng thức hình học ln đánh giá nội dung tương đối khó, tập thú vị, thu hút u thích thầy dạy tốn học sinh Đã có vài học viên lựa chọn số nội dung liên quan đến bất đẳng thức hình học để làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ, đơn cử: - Hoàng Ngọc Quang (2011) với đề tài “Một số bất đẳng thức hình học” tập trung vào việc sử dụng nguyên lý Dirichlet bất đẳng thức AM-GM vào giải số bất đẳng thức hình học - Trần Quang Hùng (2011) với đề tài “Một số dạng bất đẳng thức hình học” tập trung khai thác số tính chất mối quan hệ đường tam giác bất đẳng thức quen thuộc phổ thông để giải số bất đẳng thức hình học - Nguyễn Thị Hậu (2015) với đề tài “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học” vận dụng tính chất hàm lồi số phức để đưa lời giải cho số bất đẳng thức hình học Như với phạm vi rộng, luận văn khai thác vài khía cạnh, phạm vi cụ thể bỏ ngỏ nhiều vấn đề thú vị liên quan đến bất đẳng thức hình học Liên quan đến tam giác Pedal (mà luận văn gọi tam giác hình chiếu), tứ giác Pedal (mà luận văn gọi tứ giác hình chiếu) mở rộng lên đa giác Pedal (mà luận văn gọi đa giác hình chiếu) có nhiều bất đẳng thức hình học thú vị Tuy nhiên nội dung giảng dạy chương trình đại trà chương trình nâng cao bậc phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu thêm số bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu để làm tài liệu cho việc giảng dạy thân làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi tự học, chọn chủ đề: Về số bất đẳng thức hình học tứ giác “hình chiếu” làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu luận văn là: • Tìm hiểu khái niệm, tính chất bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác hình chiếu, tứ giác hình chiếu • Sưu tầm toán luyện thi đội tuyển học sinh giỏi, đề thi học sinh giỏi tốn hình học vận dụng tính chất, bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác hình chiếu, tứ giác hình chiếu • Trình bày lời giải số tốn sở vận dụng tính chất, bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác hình chiếu, tứ giác hình chiếu để giải quyết, cố gắng đưa lời giải tường minh toán, đề thi mà tài liệu tham khảo có lời giải vắn tắt định hướng lời giải • Trình bày số ví dụ minh họa khả mở rộng bất đẳng thức hình học hình chiếu, tứ giác hình chiếu Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương, cụ thể: Chương Kiến thức chuẩn bị: Nội dung chương dành để trình bày định nghĩa tam giác hình chiếu, tính chất bất đẳng thức liên quan đến tam giác hình chiếu Chương Một số bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu: Nội dung chương là: Khái niệm tứ giác hình chiếu kết bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu Phần cịn lại chương phần mở rộng: Trình bày khái niệm số kết mớivề đa giác hình chiếu Để hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, tác giả nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Trịnh Thanh Hải, giảng viên Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân tác giả điều thầy dành cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K13, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường trung học phổ thông Bắc Sơn, tỉnh Lạng Sơn tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2021 Tác giả luận văn Hoàng Thế Mạnh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tam giác hình chiếu Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Xét tam giác ABC, điểm P nằm tam giác, không trùng với ba đỉnh A, B, C Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ P tới ba cạnh BC, CA, AB Khi đó, DEF gọi tam giác Pedal hay cịn gọi tam giác hình chiếu ứng với điểm P tam giác ABC P gọi điểm hình chiếu Hình 1.1: Tam giác hình chiếu DEF 4ABC ứng với điểm P Một số trường hợp đặc biệt tam giác hình chiếu như: • Nếu P trực tâm DEF tam giác orthic • Nếu P tâm nội tiếp DEF tam giác tiếp xúc • Nếu P tâm ngoại tiếp DEF tam giác trung trình 38 Hình 2.6: Minh họa Mệnh đề 2.2.1 Mệnh đề 2.2.2 ([7]) Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD với diện tích S Gọi P r tương ứng tâm bán kính đường trịn nội tiếp ABCD Gọi K, L, M N tương ứng chân đường vng góc hạ từ P tới cạnh AB, BC, CD AD Khi 1√ SKLM N ≤1− a + b2 + c2 + d2 , S 4r a = BL, b = LC, c = M D, d = AN Dấu xảy ABCD hình vng Chứng minh Gọi S1 , S2 , S3 S4 tương ứng diện tích tam giác KP L, LP M, M P N N P K Khi đó, ta có a2 sin B S1 = a · r − , b2 sin C , S2 = b · r − c2 sin D S3 = c · r − , 39 Hình 2.7: Minh họa Mệnh đề 2.2.2 d2 sin A S4 = d · r − Cộng vế với vế ta S1 + S2 + S3 + S4 = r(a + b + c + d) − (a2 sin B + b2 sin C + c2 sin D + d2 sin A) Vì ta có S = (a + b + c + d)r nên SKLM N S1 + S2 + S3 + S4 = S S a sin B + b2 sin C + c2 sin D + d2 sin A =1− 2r(a + b + c + d) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a+b+c+d=a·1+b·1+c·1+d·1 √ √ ≤ a2 + b2 + c2 + d2 · 12 + 12 + 12 + 12 √ = a2 + b2 + c2 + d2 Do − 1 ≤− √ a+b+c+d a2 + b2 + c2 + d2 (2.12) 40 Theo đẳng thức (2.12), ta suy a2 sin B + b2 sin C + c2 sin D + d2 sin A SKLM N =1− S 2r(a + b + c + d) 2 a + b + c2 + d2 ≤1− √ 4r a2 + b2 + c2 + d2 1√ =1− a + b2 + c2 + d2 4r Hình 2.8: Minh họa Mệnh đề 2.2.2 Tiếp theo, giả sử ABCD hình vng AB = BC = CD = AD = √ 2a Như minh họa Hình 2.8, ta có r = a 2, S = 4a2 , SKM N L = 2a2 nên SKLM N 2a2 = 2= S 4a 1√ 1√ =1− a + a2 + a2 + a2 = − a + b2 + c2 + d2 4a 4r Định lý 2.2.3 ([7]) Cho tứ giác nội tiếp ABCD điểm P nằm ABCD Gọi A1 , B1 , C1 , D1 tương ứng chân đường vng góc hạ từ P 41 tới cạnh AB, BC, CD AD Khi p P A + P B + P C + P D > 4 P A1 · P A2 · P A3 · P A4 Hình 2.9: Minh họa Mệnh đề 2.2.3 Chứng minh Ký hiệu độ dài h1 = P A1 , h2 = P A2 , h3 = P A3 , h4 = P A4 Khi đó, theo định lý cosine, ta có q A1 A2 = h21 + h22 − h1 h2 cos(π − B), q A2 A3 = h22 + h23 − h2 h3 cos(π − C), q A3 A4 = h23 + h24 − h3 h4 cos(π − D), q A4 A1 = h24 + h21 − h4 h1 cos(π − A) Do A1 A22 = h21 + h22 − 2h1 h2 cos(π − B) = h21 + h22 − 2h1 h2 cos(A + C + D − π) = h21 + h22 + 2h1 h2 cos(A + C + D) = h21 + h22 + 2h1 h2 cos(A + C) cos D2h1 h2 sin(A + C) sin D = (h2 sin D − h1 sin(A + C))2 + (h2 cos D + h1 cos(A + C))2 42 Vì A + C = π, ta có |A1 A2 |2 = (h2 sin D)2 + (h2 cos D − h1 )2 Bây giờ, giả sử (h2 cos D − h1 )2 = Hay cos D = h1 b Vì A\ P A2 = D, h2 theo định lý cosine ta có A1 A22 = h21 + h22 − 2h1 h2 cos D = h21 + h22 − 2h1 h2 · h1 h2 = h22 − h21 Từ h22 = A1 A22 + h21 , kéo theo P\ A1 A2 = 90◦ , mâu thuẫn Chứng tỏ (h2 cos D − h1 )2 6= Khi đó, kiểm tra A1 A2 > h2 sin D (2.13) Tương tự, ta có A2 A3 > h3 sin A, A3 A4 > h4 sin B, A1 A4 > h1 sin C (2.14) Vì P A1 BA2 , P A2 CA3 , P A3 DA4 P A4 AA1 tứ giác nội tiếp, ta áp dụng định lý sin cho tam giác AA1 A4 , BA1 A2 , CA2 A3 , DA3 A4 ta thu PA = A1 A2 A2 A3 A3 A4 A1 A4 , PB = , PC = , PD = sin A sin B sin C sin D (2.15) Kết hợp bất đẳng thức (2.13)-(2.14) với đẳng thức (2.15), ta A1 A2 h2 sin D > , sin B sin B A2 A3 h3 sin A > , PC = sin C sin C A3 A4 h4 sin B PD = > , sin D sin D A1 A4 h1 sin C PA = > sin A sin A PB = Cộng vế với vế bất đẳng thức ta PA + PB + PC + PD 43 h1 sin C h2 sin D h3 sin A h4 sin B + + + sin A sin B sin C sin D r h2 sin D h3 sin A h4 sin B h1 sin C · · · >4 sin A sin B sin C sin D p = P A1 · P A2 · P A3 · P A4 > 2.3 Một số bất đẳng thức đa giác hình chiếu Trong mục này, trước hết luận văn trình bày khái niệm "Đa giác hình chiếu" Đa giác hình chiếu coi phát triển tự nhiên từ "Tam giác hình chiếu", "Tứ giác hình chiếu" Tiếp theo luận văn trình bày số kết thú vị liên quan đến "Đa giác hình chiếu" Định nghĩa 2.3.1 ([7]) Cho A1 A2 A3 · · · An đa giác n cạnh P điểm nằm đa giác Gọi H1 , H2 , , Hn chân đường cao kẻ từ P tới cạnh A1 A2 , A2 A3 , , An A1 Khi đó, đa giác H1 H2 · · · Hn gọi đa giác Pedal hay gọi đa giác hình chiếu ứng với điểm P đa giác A1 A2 A3 · · · An P gọi điểm hình chiếu Hình 2.10: Đa giác hình chiếu H1 H2 · · · Hn 44 Hình 2.11 minh họa ngũ giác hình chiếu GKJIH ngũ giác ABCDE ứng với điểm P Hình 2.12 minh họa lục giác hình chiếu LKJIHG lục giác ABCDEF ứng với điểm P Hình 2.11: Ngũ giác hình chiếu GKJIH Hình 2.12: Lục giác hình chiếu LKJIHG Mệnh đề 2.3.2 ([7]) Cho đa giác A1 A2 A3 · · · An điểm P nằm đa 45 giác Gọi chân đường vng góc kẻ từ P tới cạnh A1 A2 , A2 A3 , , An A1 H1 , H2 , , Hn Ký hiệu r1 , r2 , , rn tương ứng bán kính đường trịn nội tiếp tam giác A1 H1 Hn , H1 A2 H2 , , Hn−1 An Hn Đặt n 1 √ ,√ √ , M = max √ − cos A1 + − cos A2 + o √ , √ − cos An + ký hiệu c chu vi đa giác A1 A2 A3 · · · An Khi r1 + r2 + + rn ≤ M ·c √ 2 Dấu xảy A1 A2 A3 · · · An hình vng P tâm hình vng Hình 2.13: Minh họa Mệnh đề 2.3.2 Chứng minh Theo định lý cosine, ta có q H1 H2 = A2 H12 + A2 H22 − 2A2 H1 · A2 H2 cos A2 Diện tích tam giác H1 A2 H2 SH1 A2 H2 = A2 H1 · A2 H2 sin A2 (A2 H1 + A2 H2 + H1 H2 )r2 = 2 (2.16) 46 nên A2 H1 · A2 H2 sin A2 A2 H1 + A2 H2 + H1 H2 Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có r2 = A2 H12 + A2 H22 ≥ · A2 H1 · A2 H2 (2.17) (2.18) Kết hợp bất đẳng thức (2.16) (2.18), ta thu q H1 H2 = A2 H12 + A2 H22 − 2A2 H1 · A2 H2 cos A2 p ≥ · A2 H1 · A2 H2 − 2A2 H1 · A2 H2 cos A2 p √ p ≥ A2 H1 · A2 H2 − cos A2 (2.19) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta thu p A2 H1 + A2 H2 ≥ A2 H1 · A2 H2 (2.20) Kết hợp (2.19) (2.20), ta thu A2 H1 + A2 H2 + H1 H2 p p √ p ≥ A2 H1 · A2 H2 + A2 H1 · A2 H2 − cos A2 (2.21) Từ (2.17) (2.21) ta suy A2 H1 · A2 H2 sin A2 √ √ r2 ≤ √ √ A2 H1 · A2 H2 + A2 H1 · A2 H2 − cos A2 A2 H1 · A2 H2 sin A2 √ =√ √ √ A2 H1 · A2 H2 ( − cos A2 + 2) √ A2 H1 · A2 H2 sin A2 √ =√ √ 2( − cos A2 + 2) A2 H1 + A2 H2 √ ≤ √ √ 2( − cos A2 + 2) Đặt 1 √ ,√ √ , , − cos A1 + − cos A2 + o √ , √ − cos An + n M = max √ (2.22) 47 theo (2.22) ta có r2 ≤ M · (A2 H1 + A2 H2 ) √ 2 (2.23) Tương tự, ta thu M · (A1 H1 + A1 Hn ) √ , 2 M · (A3 H2 + A3 H4 ) √ r3 ≤ , 2 M · (An Hn + An Hn−1 ) √ rn ≤ 2 r1 ≤ (2.24) (2.25) Cộng vế với vế (2.23) (2.24) ta r1 + r2 + · · · + rn ≤ M ·c √ , 2 c = H1 A2 + A2 H2 + H2 A3 + · · · + An Hn + Hn A1 + A1 H1 chu vi đa giác A1 A2 An Khi A1 A2 An hình vng chứng minh Mệnh đề 2.2.1 dấu xảy Mệnh đề 2.3.3 ([7]) Cho P điểm nằm đa giác A1 A2 A3 · · · An , đặt A1 A2 = a1 , A2 A3 = a2 , , An A1 = an Gọi chiều dài đường vng góc hạ từ P tới cạnh đa giác A1 A2 A3 · · · An h1 , h2 , , hn Khi S ≥ · c2 a1 h1 + a2 h2 + ··· + an , hn S c tương ứng diện tích chu vi đa giác A1 A2 A3 · · · An Dấu xảy a1 = a2 = · · · = an = a h1 = h2 = · · · = hn = h Chứng minh Như minh họa Hình 2.14, ta có 2S = a1 h1 + a2 h2 + · · · + an hn 48 Hình 2.14: Minh họa Mệnh đề 2.3.3 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a a2 an  (a1 h1 + a2 h2 + · · · + an hn ) + + ··· + h1 h2 hn q q q
a21 + a22 + · · · + a2n ≥ Vì a a2 an  + + ··· + 2S ≥ h1 h2 hn ta có q q q
2 a1 + a2 + · · · + a2n , (a1 + a2 + · · · + an )2 2S ≥ a1 a2 = an + + · · · + h1 h2 hn a1 h1 + a2 h2 c2 + ··· + an hn Do S ≥ · c2 a1 h1 + a2 h2 + ··· + an hn Bây giờ, giả sử a1 = a2 = · · · = an = a h1 = h2 = · · · = hn = h Vì S =n· ah , c = na, nên ta thu S nah h = = c2 2n2 a2 2na 1 = · a a h + h + ··· + a h = · a1 h1 + a2 h2 + ··· + an hn 49 Mệnh đề 2.3.4 ([7]) Cho P điểm nằm đa giác A1 A2 A3 · · · An , ký hiệu độ dài A1 A2 = a1 , A2 A3 = a2 , , An A1 = an Gọi chiều dài đường vng góc hạ từ P tới cạnh đa giác A1 A2 A3 · · · An h1 , h2 , , hn Khi 1 n2 , + + ··· + ≥ a1 h1 a2 h2 an hn 2S S diện tích đa giác A1 A2 A3 · · · An Dấu xảy a1 = a2 = · · · = an = a h1 = h2 = · · · = hn = h Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có  1  (a1 h1 + a2 h2 + · · · + an hn ) + + ··· + a1 h1 a2 h2 an hn
2 ≥ 1| + +{z· · · + 1} n lần Vì 2S = a1 h1 + a2 h2 + · · · + an hn , dễ thấy 1 n2 + + ··· + ≥ a1 h1 a2 h2 an hn 2S Bây giờ, giả sử a1 = a2 = · · · = an = a h1 = h2 = · · · = hn = h Vì ah S = n · , ta có 1 1 n2 n2 + + ··· + =n· = = a1 h1 a2 h2 an hn ah nah 2S 50 Kết luận Tam giác Pedal (cịn gọi tam giác hình chiếu), tứ giác Pedal (cịn gọi tứ giác hình chiếu) đa giác Pedal (cịn gọi đa giác hình chiếu) gắn liền với nhiều bất đẳng thức hình học thú vị Luận văn với đề tài “Về số bất đẳng thức hình học tứ giác hình chiếu” đạt kết quả: (1) Đã hệ thống hóa, chọn lọc vấn đề: + Khái niệm tam giác hình chiếu, số tính chất tam giác hình chiếu (theo tài liệu [4], [8]); + Khái niệm tứ giác hình chiếu, số tính chất tam giác hình chiếu (theo tài liệu [2], [7]) mở rộng lên đa giác hình chiếu (2) Đã trình bày có chọn lọc số ví dụ minh họa cho tính chất, ứng dụng thú vị bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác hình chiếu (theo tài liệu tham khảo [3], [4], [5], [6]); Các bất đẳng thức hình học liên quan đến tứ giác hình chiếu (theo tài liệu tham khảo [7]) tốn liên quan đến bất đẳng thức hình học liên quan đến đa giác hình chiếu (theo tài liệu tham khảo [7]) Do toán liên quan đến tam giác Pedal, tứ giác Pedal đa giác Pedal vô phong phú Mặc dù cố gắng thời gian tài liệu tham khảo tiếng Anh nên kết luận văn chưa có nhiều tốn để nêu bật liên hệ, phát triển tự nhiên tam giác hình chiếu, tứ giác hình chiếu khái qt hóa lên đa giác hình chiếu Tuy nhiên hướng mở cho hướng nghiên cứu luận văn 51 Em mong nhận bảo, hướng dẫn Thầy, Cơ để hồn thiện luận văn có tài liệu cho cơng việc giảng dạy chun đề cho học sinh khá, giỏi 52 Tài liệu tham khảo [1] H S M Coxeter, S L Greitzer (1967), Geometry revisited, Math Assoc America [2] D Ferrarello, M F Mammana, M Pennisi (2013), “Pedal Polygons”, Forum Geometricorum, Vol 13, pp 153–164 [3] F Huang (2018), “Two inequalities about the pedal triangle”, Journal of Inequalities and Applications, Journal of Inequalities and Applications, https://doi.org/10.1186/s13660-018-1661-7 [4] J Liu (2012), “A pedal triangle inequality with the exponents”, J Math Inequal, Vol 5, No 4, pp 16-24 [5] J Liu (2012), “Some new inequalities for an interior point of a triangle”, Journal of Mathematical Inequalities, Vol 6, No 2, pp 195-204 [6] J Liu (2013), “On inequality Rp < R of the pedal triangle”, Math Inequal Appl., Vol 16, No 3, pp 701-715 [7] S Meherrem, G G Aciksăoz, S Sen, Z Sezer, and G Baskes (2018), “Geometric Inequalities in Pedal Quadrilaterals”, Forum Geometricorum, Vol 18, pp 103–114 [8] https://www.cut-the-knot.org/triangle/PedalTriangle.shtml