Một số bất đẳng thức đạo hàm và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM TOÀN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học : TS Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số bất đẳng thức đạo hàm hàm biến 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Các định lý trung bình 1.1.1 Lý thuyết tóm tắt 1.1.2 Các toán Sự tăng giảm hàm số Hướng lồi điểm uốn đồ thị hàm số Công thức Taylor bất đẳng thức Landau-Hadamard 1.4.1 Công thức Taylor khoảng 1.4.2 Công thức Taylor địa phương 1.4.3 Bất đẳng thức Landau-Hadamard 1.4.4 Các toán Bất đẳng thức Glaeser 1.5.1 Giới thiệu 1.5.2 Bất đẳng thức có điều kiện 1.5.3 Bất đẳng thức khơng có điều kiện biên Cơng thức tính đạo hàm cấp n số bất đẳng thức liên quan Một số bất đẳng thức đạo hàm khác đa thức Định lý Markov-Bernsterin 6 6 12 14 15 15 16 16 16 19 19 20 25 25 30 36 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình 2.1 2.2 38 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 38 Ứng dụng đạo hàm phương trình,bất phương trình 50 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn đề tài luận văn Bất đẳng thức vấn đề khó tốn học sơ cấp, địi hỏi tính tư tính sáng tạo cao Trong chương trình chun tốn trường THPT chuyên bất đẳng thức chuyên đề quan trọng Các toán liên quan đến bất đẳng thức toán thường gặp kì thi học sinh giỏi tốn cấp quốc gia, khu vực quốc tế Các toán bất đẳng thức đa dạng chứng minh nhiều phương pháp khác phương pháp sử dụng đạo hàm công cụ hữu hiệu.Tuy nhiên, bất đẳng thức đạo hàm cịn quan tâm giới thiệu tài liệu Tiếng Việt Bởi việc sưu tầm, tuyển chọn, khai thác số bất đẳng thức đạo hàm biến như: định lý trung bình, tăng giảm hàm số, hướng lồi điểm uốn đồ thị hàm số, công thức Taylor, cơng thức tính đạo hàm cấp n, cần thiết cho cơng tác giảng dạy học tập tốn học bậc phổ thông Trên sở bất đẳng thức đạo hàm đó, vận dụng vào giải lớp tốn khó như: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình Đó dạng tốn đề cập nhiều kì thi học sinh giỏi tốn cấp quốc gia, Olympic toán quốc tế Bên cạnh bất đẳng thức đạo hàm kể cịn nhiều bất đẳng thức đạo hàm khó hơn, giới thiệu chưa nhiều tiếng việt như: bất đẳng thức Landau-Hadamard; bất đẳng thức Glaeser, bất 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đẳng thức Markov-Bernstein số bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi Đây bất đẳng thức khó cịn quan tâm, xuất rải rác số tài liệu Vì việc giới thiệu bất đẳng thức đạo hàm cần thiết cho cơng tác giảng dạy học tập tốn học bậc phổ thơng Mục đích nghiên cứu luận văn Sưu tầm, giới thiệu, hệ thống hóa phân loại số bất đẳng thức đạo hàm biến số để áp dụng vào giải toán sơ cấp khó, hay gặp kì thi vào lớp chuyên, thi đại học, thi học sinh giởi quốc gia Olympic toán quốc tế như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình Bên cạnh giới thiệu số bất đẳng thức đạo hàm khó chưa giới thiệu nhiều tài liệu Tiếng Việt như: bất đẳng thức LandauHadamard, bất đẳng thức Glaeser, bất đẳng thức Markov-Bernstein số bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi Bố cục luận văn Bản luận văn "Một số bất đẳng thức đạo hàm ứng dụng gồm có: mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số bất đẳng thức đạo hàm Trong chương trình bày định lý trung bình, định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy, tăng giảm hàm số, hướng lồi điểm uốn đồ thị hàm số, công thức Taylor - bất đẳng thức Landau-Hadamard, bất đẳng thức Glaese, bất đẳng thưc Markov-Bernstein cơng thức tính đạo hàm cấp n số bất đẳng thức đạo hàm khác đa thức Chương Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức,giải phương trình,bất phương trình Trong chương trình bày ứng dụng bất đẳng thức đạo hàm việc giải toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình bất phương trình Luận văn hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn Thầy Em xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K4 Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên động viên, giúp đỡ trình học tập làm luân văn Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận dạy đóng góp ý kiến Thầy Cơ độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 09 năm 2012 Tác giả Nguyễn Kim Tồn 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số bất đẳng thức đạo hàm hàm biến 1.1 1.1.1 Các định lý trung bình Lý thuyết tóm tắt Trong mục trình bày số định lý trung bình vi phân, biết đến nhiều tài liệu toán Tiếng Việt Định lý 1.1 (Định lý Rolle) Giả sử hàm f(x) liên tục đoạn [a,b]; có đạo hàm khoảng (a,b) f(a) = f(b) tồn ξ ∈ (a, b) cho f’(ξ ) = Định lý 1.2 (Định lý Lagrange) Nếu hàm f(x) liên tục đoạn [a,b] có đạo hàm khoảng (a,b) tồn ξ ∈ (a, b), cho f (b) − f (a) = f (ξ)(b − a) Định lý 1.3 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f(x), g(x) đồng thời xác định, liên tục đoạn [a,b] có đạo hàm khoảng (a,b), với g’(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b) g(a) 6= g(b) tồn ξ ∈ (a, b) cho: f (b) − f (a) f (ξ) = g(b) − g(a) g (ξ) 1.1.2 Các tốn Trong phần trình bày số tốn chứng minh bất đẳng thức Đây toán khó, dạng tổng quát, sử dụng định lý trung bình để chứng minh Bài tốn 1.1 Cho hàm f(x) liên tục đoạn [a,b], có đạo hàm hữu hạn khoảng (a,b) Ngồi f khơng tuyến tính Khi khoảng (a,b) 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tồn điểm c, cho f (b) − f (a) ≤ |f 00 (η1 )| + |f 00 (η2 )| (b − a) Kí hiệu: f 00 (c) = max{|f 00 (η1 )|; |f 00 (η2 )|} Khi ta có 8[f (b) − f (a)] ≤ 2|f 00 (c)| (b − a) Từ suy đpcm Dấu đẳng thức khơng loại trừ có trường hợp |f 00 (η1 )| = |f 00 (η2 )| Bài toán 1.3 Giả sử hàm f (x) liên tục khoảng [a, +∞) nữa, f (x) > k = const > 0, ∀x > a Chứng minh rằng, f (a) < 0, phương  |f (a)|  trình f (x) = có nghiệm thực khoảng a, a+ k 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn HLời giải: Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm f (x) đoạn [a, a + |f (a)| ] ta có: k   |f (a)|  |f (a)| |f (a)|  − f (a) = f a + θ , < θ < f a+ k k k Từ điều kiện f (x) > k > 0, ta tìm được:  |f (a)|  f a+ − f (a) > |f (a)|, k Suy |f (a)|  f a+ > |f (a)| + f (a) = −f (a) + f (a) = k   |f (a)|  Hàm f (x) đầu mút đoạn a, a + nhận giá k trị trái dấu, nên theo Định lý Cauchy giá trị trung gian tồn ξ ∈ |f (a)| (a, a + ), cho f (ξ) = Ta chứng minh điểm ξ k Thật giả sử khoảng cịn tìm ξ1 , cho f (ξ1 ) = theo định lý Rolle, (ξ, ξ1 ) (ξ < ξ1 ) hay khoảng (ξ1 , ξ), (ξ1 < ξ ) tìm ξ2 , cho f (ξ2 ) = Điều trái với giả thiết f (x) > k > x > a Bài toán 1.4 a, Giả sử hàm f (x) khả vi liên tục n lần [a,b] đoạn có khơng n khơng điểm (nghiệm phương trình f(x)=0) tính bội Chứng minh rằng: (b − a)n max|f (x)| ≤ max|f (n) (x)| [a,b] [a,b] n! b, Hàm f (x) ∈ C2 [0, 1] có khơng nghiệm [0,1] (kể bội), |f 00 (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [0, 1] Số max|f (x)| ? [0,1] HLời giải: a, Bằng quy nạp theo k ≥ ta chứng minh điều khẳng định sau: Định lý Rolle tổng quát: Nếu f ∈ Ck [a, b] f có khơng (k+1) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không điểm (kể bội) đoạn [a,b] f (k) có khơng điểm [a,b] Với k=0 điều khẳng định hiển nhiên Giả sử định lý với k-1 Ta chứng minh định lý với k Giả sử x1 , x2 , , xl nghiệm khác hàm f [a, b] có bội tương ứng α1 , α2 , , αl với α1 + α2 + + αl ≥ k + x1 < x2 < < αl Khi f (x) có nghiệm xj bội αj − 1(nếu αj > 1) ngồi theo định lý Rolle cịn có l − nghiệm khoảng (α, αj+1 ), j = 1, 2, , l − Tóm lại số nghiệm f (x) [a,b] không vượt quá: l X (αj − 1) + l − ≥ k − l + − l − = k j=1 Bây giờ, lại ta áp dụng giả thiết quy nạp cho f với k − Định lý chứng minh Ta kí hiệu x1 , x2 , , xn n không điểm hàm f (x) [a, b] số trùng nhau, nghiệm f lặp lại s lần bội khơng s Giả sử x0 ∈ [a, b] tùy ý khác với x1 , x2 , xn Xét đa thức bậc n: n Q (x − xj ) j=1 n Q P (x) = f (x0 ) (x0 − xj ) j=1 Đặt g(x) = f (x) − P (x) Hàm g(x) có nghiệm x0 , x1 , , xn Nếu số xj (j ≥ 1) nằm dãy {x1 , x2 , , xn } s lần bội nghiệm xj khơng s Vì áp dụng định lý Rolle tổng qt g (n) có nghiệm x0 ∈ [a, b] Ta có n!f (x0 ) = g (n) (x0 ) = f (n) (x0 ) − p(n) (x0 ) = f (n) (x0 ) − Q n (x0 − xj ) j=1 10 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ suy |f |f (x0 )| = (n) (x )| n Q |x0 − xj | j=1 n! |f (n) (x0 )|.(b − a)n ≤ n! (b − a)n ≤ max|f (n) (x)| [a,b] n! Vì x0 tùy ý nên (b − a)n max|f (x)| ≤ max|f (n) (x)| [a,b] [a,b] n! b) Theo phần a) ta có max|f (x)| ≤ [0,1] 2 x Ví dụ f (x) = , giá trị đạt 2 Bài toán 1.5 Cho hàm f (x) liên tục đoạn [0; 1], khả vi khoảng (0; 1) f (0) = f (1) = Chứng minh ∃c ∈ (0; 1) cho f (c) = f (c) HLời giải Ta đặt g(x) = f (x).e−x , x ∈ [0; 1] Vì g(0) = g(1) = nên theo định lý Rolle ∃c ∈ (0; 1) cho g (c) = Nhưng g (x) = (f (x) − f (x))e−x =⇒ (f (c) − f (c))e−c = =⇒ f (c) = f (c) Bài toán 1.6 Giả sử hàm f (x) khả vi hai lần khoảng [a, +∞) f (a) = A > 0, f (a) < 0, f 00 (x) ≤ 0, x > a Chứng minh phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, +∞) HLời giải Khi x > a, theo công thức số gia hữu hạn Lagrange, ta có f (x) = A + (x − a)f (ξ1 (x)), a < ξ1 < x (1.1) f (x) = f (a) + (x − a)f 00 (ξ2 (x)), a < ξ2 < x (1.2) Từ điều kiện f 00 (ξ2 (x)) ≤ 0, suy f (x) < 0,khi x > a, f (x) giảm khoảng (a, +∞) Từ công thức (1.1) (1.2) suy f (x) = A + (x − a)f (a) + (x − a)(ξ1 − a)f 00 (ξ2 (ξ1 )) (1.3) Vì f (a) < 0, f 00 (ξ2 (ξ1 )) ≤ 0, nên từ (1.3) suy x đủ lớn f (x) < Theo Định lý Cauchy giá trị trung bình, suy khoảng (a, x0 ) tồn điểm x1 , cho f (x1 ) = Hàm số khơng triệt tiêu điểm khác x1 giảm khoảng (a, +∞) 11 11Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Sự tăng giảm hàm số a) Hàm số f (x) gọi tăng (giảm) đoạn [a, b], f (x2 ) > f (x1 ), a ≤ x1 < x2 ≤ b (hay tương ứng, f (x2 ) < f (x1 ) a ≤ x1 < x2 ≤ b) b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm hữu hạn hay vơ hạn khoảng X Để hàm tăng giảm X điều kiện cần đủ 1) f (x) ≥ 0, (f (x) ≤ 0) 2)f (x) không triệt tiêu đoạn [α, β] X Bài toán 1.7 Chứng minh rằng, ϕ(x) hàm khả vi đơn điệu tăng f (x) ≤ ϕ0 (x) x ≥ x0 , |f (x) − f (x0 )| ≤ ϕ(x) − ϕ(x0 ), x ≥ x0 HLời giải Vì hàm f (x) ϕ(x) thỏa mãn tất điều kiện định lý Cauchy giá trị trung gian, nên ta có: f (x) − f (x ) f (c)