Một số bất đẳng thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Trang phụ bìa Mục lục i Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt ii Mở đầu Nội dung Bất đẳng thức Cauchy 1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.1.2 Dạng đảo bất đẳng thức Cauchy 1.1.3 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn 1.1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích thực 1.1.6 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích phức 12 1.1.7 Bất đẳng thức Bunyakovsky 13 1.1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy 14 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 i 1.2.1 Độ gần thứ tự dãy cặp điểm 15 1.2.2 Kĩ thuật tách ghép số 16 1.2.3 Thứ tự lại thứ tự số 24 1.2.4 Điều chỉnh lựa chọn tham số 26 Bất đẳng thức giá trị trung bình 29 2.1 Các giá trị trung bình 30 2.2 Bất đẳng thức giá trị trung bình 32 2.2.1 Bất đẳng thức AM - GM 36 2.2.2 Bất đẳng thức HM - GM 43 2.2.3 Bất đẳng thức HM - AM 44 2.2.4 Bất đẳng thức RMS - AM 44 Một số kĩ thuật vận dụng 45 2.3.1 Độ gần 45 2.3.2 Kĩ thuật tách ghép số 48 2.3.3 Điều chỉnh lựa chọn tham số 53 2.3.4 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu 55 2.3 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt • AM - Arithmetic Mean • GM - Geometric Mean • HM - Harmonic Mean • IMO - International Mathematical Olympiad • JBMO - Junior Balkan Mathematical Olympiad • MO - National Mathematical Olympiad • PM - Power Mean • RMS - Root Mean Square • TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad • P a = a + b + c Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề cổ điển xong đầy thách thức giới đại, ta thường thấy góp mặt bất đẳng thức điểm khó đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, đề thi đại học, cao đẳng hay đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi olympic toán khu vực quốc tế Bất đẳng thức giữ ví trí đặc biệt hữu ích tất lĩnh vực Tốn học Sự khó khăn tốn bất đẳng thức điều thú vị hút người yêu Toán Mục tiêu luận văn hệ thống lại số bất đẳng thức sở có nhiều ứng dụng trình giải tốn bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giá trị trung bình, ứng dụng chúng Hi vọng luận văn làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên chuyên đề bồi dưỡng bất đẳng thức Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương hệ thống dạng bất đẳng thức Cauchy, dạng thực, dạng phức, dạng đảo bất đẳng thức Cauchy với tổng hữu hạn; bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn; bất đẳng thức Cauchy Schwarz với tích thực phức; bất đẳng thức Bunyakovsky với tích phân, sau kĩ thuật vận dụng Chương hai trình bày bất đẳng thức giá trị trung bình, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trung bình bình phương - trung bình cộng - trung bình nhân - trung bình điều hịa, dạng hệ bất đẳng thức trung bình lũy thừa, bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Carleman ứng dụng quan trọng bất đẳng thức AM - GM Cuối chương số tập minh họa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Minh hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cô, Ban giám hiệu, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln động viên, khích lệ, tạo điều kiện suốt trình học tập nghiên cứu để luận văn khóa học hồn thành Mặc dù cố gắng, xong kết đạt luận văn cịn khiêm tốn khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tác giả mong nhận nhiều ý kiến, góp ý quý báu quý Thầy Cô, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 18 tháng 09 năm 2010 Người thực Nguyễn Thị Huyền Trang Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức Cauchy Augustin - Louis Cauchy (1789 - 1857) công bố bất đẳng thức tiếng ông năm 1821 phần thích lí thuyết bất đẳng thức mà lập thành phần cuối sách Cours d’Analyse Algébrique ông Cauchy không sử dụng bất đẳng thức ông nội dung mà có số tập có tính minh họa Bất đẳng thức Cauchy áp dụng rộng rãi sớm vào năm 1829, Cauchy sử dụng bất đẳng thức ông nghiên cứu phương pháp Newton cho tính tốn tìm nghiệm phương trình đại số siêu việt Năm 1859, học trò Cauchy Victor Yacovlevich Bunyakovsky nhận xét lấy giới hạn, thu dạng tích phân bất đẳng thức Kết tổng quát trường hợp khơng gian tích chứng minh Hermann Amandus Schwarz vào năm 1885 Ngày nay, tháng có hàng trăm - có lẽ hàng nghìn - cơng bố khoa học, bất đẳng thức Cauchy áp dụng theo cách hay cách khác Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 1.1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy Định lí 1.1 Với hai n số (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ), ta ln có bất đẳng thức sau (a1 b1 +a2 b2 +· · ·+an bn )2 (a21 +a22 +· · ·+a2n )(b21 +b22 +· · ·+b2n ) (1.1) Dấu đẳng thức xảy (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) hai tỉ lệ, tức tồn số thực k để = kbi , ∀i = 1, n Bất đẳng thức (1.1) thường gọi bất đẳng thức Cauchy hay Cauchy - Schwarz (đơi cịn gọi bất đẳng thức Bunyakovsky, Cauchy - Bunyakovsky hay Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz) Chứng minh (Xem [1], [2], [3]) Các hệ sau củng cố thêm các ứng dụng khác bất đẳng thức quan trọng Hệ 1.1 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , bi > 0, ∀i = 1, n , ta có a2 (a1 + a2 + · · · + an )2 a21 a22 + + ··· + n > b1 b2 bn b1 + b2 + · · · + bn (1.2) Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức Schwarz   Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số √abi i √ bi , bi > 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.2) Hệ 1.2 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có q p p a21 + b21 + · · · + a2n + b2n > (a1 + · · · + an )2 + (b1 + · · · + bn )2 (1.3) Chứng minh (Xem [2]) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.3 Với dãy số thực a1 , a2 , , an , ta có (a1 + a2 + · · · + an )2 n(a21 + a22 + · · · + a2n ) (1.4) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai n số (a1 , a2 , , an ) (1, 1, , 1) ta thu bất đẳng thức (1.4) Ta thu hệ sau cách chia hai vế bất đẳng thức (1.4) cho n2 Hệ 1.4 Với dãy số thực a1 , a2 , , an , ta có  a + a + · · · + a  a2 + a2 + · · · + a2 n n n n (1.5) Hệ 1.5 Với dãy số thực không âm a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có p (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) > p p p a1 b1 + a2 b2 +· · ·+ an bn (1.6) √ Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai n số ( ) √ ( bi ), > 0, bi > 0, ta điều cần chứng minh Hệ 1.6 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , > 0, bi 6= 0, ta có a a1 a2 an a2 an  + +···+ > + +···+ (1.7) b21 b22 bn a1 + a2 + · · · + an b b bn √  a Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai n số bi i √ , > 0, bi 6= 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.7) Hệ 1.7 Với dãy số thực dương a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có a2 an  (a1 + a2 + · · · + an )2 + + ··· + > b1 b2 bn a1 b + a2 b + · · · + an b n a Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.8) 26 Thật vậy, ta có a2 b b c c a c b a2 c b a + + > + + c2 a2 b2 a2 b c 4 3 4 ⇔ a b + b c + c a > a b + b c + c a4 ⇔ a3 b3 (a − b) + b3 c3 (b − c) + c3 a3 (c − a) > ⇔ a3 (b3 − c3 + c3 )(a − b) + b3 c3 (b − c) + c3 a3 (c − a) > ⇔ a3 (b3 − c3 )(a − b) + c3 [a3 (a − b) + b3 (b − c) + a3 (c − a)] > ⇔ a3 (b3 − c3 )(a − b) + c3 [a3 (c − b) + b3 (b − c)] > ⇔ a3 (b3 − c3 )(a − b) + c3 (b − c)(b3 − a3 ) > ⇔ (b − c)(a − b)[a2 (ab2 − c3 ) + c2 (a3 − b2 c) + abc(a2 − c2 )] > Từ đây, suy (a + b + c) b c c a 2 + + c2 a b  a2 b hay b2 c c2 a  + + (a + b + c) c2 a b Bằng phương pháp chứng minh tương tự, ta dễ dàng giải toán sau:  a2 b Bài toán 1.12 (Việt Nam MO 1991) Giả sử x > y > z > Chứng minh x2 y y z z x + + > x2 + y + z z x y (Xem [2]) 1.2.4 Điều chỉnh lựa chọn tham số Đối với số bất đẳng thức đồng bậc dạng khơng đối xứng dấu đẳng thức bất đẳng thức thường xảy giá trị Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 biến tương ứng không Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức, ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện ln thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Vì vậy, cần lựa chọn kĩ thuật hợp lí để giải tốn cực trị dạng khơng đối xứng cần thiết Trong phần này, ta nêu kĩ thuật nhằm điều chỉnh số tham số phụ Ta đưa vào tham số tự cần thiết thường giá trị trung gian xác định sau theo cách chọn đặc biệt để tất dấu đẳng thức đồng thời xảy Tham số phụ đưa vào cách hợp lí để phương trình xác định chúng có nghiệm Bài tốn tổng qt 1.8 Cho u, v số dương Xét số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = ua2 + vb2 + c2 Giải Ta phân tích u = x + y, v = z + t, = m + n, x, y, z, t, m, n số dương chọn sau Theo bất đẳng thức Cauchy cho số dương, ta có √ √ √ 2 xa + tb > xtab, ya2 + nc2 > ynac, zb2 + mc2 > zmbc Từ bất đẳng thức trên, ta nhận √ √ √ Q > xtab + ynac + zmbc Dấu đẳng thức xảy  xa2 = tb2 ya2 = nc2 zb2 = mc2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 hay  x b2   =    a22 t n a =  y c    z   =c m b2 Suy xzn = ytm (1.25) Chọn x, y, z, t, m, n cho xt = yn = zm = α thỏa mãn (1.25) Ta có (x + y)(z + t)(m + n) = uv ⇔ (xz + xt + yz + yt)(m + n) = uv ⇔ xzm + xtm + yzm + ytm + xzn + xtn + yzn + ytn = uv ⇔ (x + y + m + n + t + z)α + 2xzn = uv Mà (xzn)(ytm) = α3 nên xzn = √ α3 Đặt q = √ α 2q + (u + v + 1)q − uv = (1.26) Rõ ràng (1.26) có nghiệm dương nhất, kí hiệu q0 Vậy Q = 2q0 với q0 nghiệm dương phương trình (1.26) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Chương Bất đẳng thức giá trị trung bình Sự bàn luận ban đầu xoay quanh ứng dụng bất đẳng thức biến thực sở sau x2 y + , ∀x, y ∈ R xy 2 (2.1) Liệu bất đẳng thức (2.1) có thể tự nhiên hay hình học hơn, bộc lộ lí cho ảnh hưởng nó? Với x y khơng âm, vế bất đẳng thức (2.1) diện tích hình chữ nhật với cạnh x y khơng lớn trung bình diện tích hai hình vng với cạnh x y Mặc dù thể điều thú vị ta làm trở nên thú vị nhiều với thay đổi nhỏ Nếu ta thay x y bậc hai chúng theo bất đẳng thức (2.1), ta có √ xy < 2x + 2y, ∀x 6= y không âm, (2.2) bất đẳng thức có thể nhiều Cụ thể, giả sử ta xét tập hình chữ nhật với diện tích A độ dài cạnh x y Vì A = xy nên bất đẳng thức (2.2) khẳng định √ với ta hình vng với cạnh có độ dài s = xy phải có chu vi nhỏ tất hình chữ nhật có diện tích A Tương đương, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 bất đẳng thức cho ta tất hình chữ nhật với chu vi p, có hình vng cạnh s = p/4 đạt tới diện tích lớn Vì thế, bất đẳng thức (2.2) trọn vẹn lối giải thích gẫy gọn tính chất đẳng chu tiếng đường trịn, tính chất nói tất miền phẳng với chu vi p, đường trịn với chu vi p có diện tích lớn Bây giờ, ta thấy rõ ràng xy x2 + y2 trở nên hùng mạnh; phần dịng kết mà kết nối hệ thống tốt Sự thuận lợi ta đến từ việc bất đẳng thức √ xy (x + y)/2 tác động đến trực giác Từ đây, ta dễ dàng √ đốn nhiều bất đẳng thức tương tự bất đẳng thức xy (x + y)/2 dạng hai, ba, hay nhiều chiều Có lẽ tự nhiên bất đẳng thức tương tự khẳng định hình lập phương R3 tích lớn tất hình hộp chữ nhật có diện tích bề mặt Một hình khối Rn có 2n đỉnh đỉnh gắn với n cạnh hình khối Nếu ta gọi độ dài cạnh a1 , a2 , , an , từ cách mà ta làm với hình vng hình lập phương gợi ý ta hình khối bậc n với cạnh có độ dài S/n tích lớn tất hình khối mà a1 + a2 + · · · + an = S Dưới đây, ta viết lại đốn hình học ngơn ngữ giải tích phổ biến giá trị trung bình cộng nhân 2.1 Các giá trị trung bình Định nghĩa 2.1 Cho số dương (a1 , a2 , , an ), ta gọi An := a1 + a2 + · · · + an , n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 giá trị trung bình cộng số (a1 , a2 , , an ); Gn := √ n a1 a2 an , giá trị trung bình nhân số (a1 , a2 , , an ); r a21 + a22 + · · · + a2n RM Sn = , n giá trị trung bình bình phương số (a1 , a2 , , an ); Hn := a1 + a2 n + ··· + , an giá trị trung bình điều hịa số (a1 , a2 , , an ) Định nghĩa 2.2 Cho hai n số dương tùy ý (a1 , a2 , , an ) (p1 , p2 , , pn ) Ta gọi An [p] := a1 p + a2 p + · · · + an p n , p1 + p2 + · · · + pn giá trị trung bình cộng với trọng số pi > 0, i = 1, n, số (a1 , a2 , , an ); Gn [p] := ap11 ap22 apnn , giá trị trung bình nhân với trọng số pi > 0, i = 1, n, số (a1 , a2 , , an ); s RM Sn [p] = p1 a21 + p2 a22 + · · · + pn a2n , p1 + p2 + · · · + pn giá trị trung bình bình phương với trọng số pi > 0, i = 1, n, số (a1 , a2 , , an ); Hn [p] = p1 + p2 + · · · + pn p1 p2 pn , a1 + a2 + · · · + an giá trị trung bình điều hịa với trọng số pi > 0, i = 1, n, số (a1 , a2 , , an ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Định nghĩa 2.3 Cho n số dương tùy ý (a1 , a2 , , an ) trọng số dương (p1 , p2 , , pn ) cho p1 + p2 + · · · + pn = Ta gọi n 1 X t t pk xk Mt ≡ Mt [x; p] := k=1 giá trị trung bình lũy thừa t số (a1 , a2 , , an ), với t số thực tùy ý khác không Như vậy, cách thay t = −1, t = 1, t = 2, ta thu giá trị trung bình điều hịa, trung bình cộng trung bình bình phương Ngồi ra, trung bình nhân giới hạn trung bình lũy thừa Định lí 2.1 Với số thực không âm xk , k = 1, n, trọng số không âm pk , k = 1, n có tổng p1 + p2 + · · · + pn = 1, ta có giới hạn lim Mt [x; p] = t→0 n Y xpkk ; k=1 lim Mt [x; p] = max{xi ; i = 1, n}; t→+∞ lim Mt [x; p] = min{xi ; i = 1, n}; t→−∞ Chứng minh (Xem [3]) Ta quy ước: M0 [x; p] = n Y xpkk ; k=1 M+∞ [x; p] = max{xi ; i = 1, n}; M−∞ [x; p] = min{xi ; i = 1, n}; 2.2 Bất đẳng thức giá trị trung bình Sau bất đẳng thức trung bình lũy thừa trung bình nhân, cịn gọi bất đẳng thức PM - GM Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Định lí 2.2 (Bất đẳng thức PM - GM) Với số thực không âm xk , k = 1, n, trọng số không âm pk , k = 1, n, thỏa mãn p1 + p2 + · · · + pn = 1, ta có n n 1 X Y pk t t pk xk , ∀t > xk (2.3) k=1 k=1 1 Chứng minh Từ phân tích pk xtk = pk2 pk2 xtk , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Mtt = n X pk xtk = 1 pk2 pk2 xtk k=1 k=1 n X n X pk n  12  X pk x2t k  21 = M2tt , k=1 k=1 Lấy bậc t hai vế, ta thu Mt M2t , ∀t > Lặp lại q trình chia đơi sau t bước, ta thấy Mt/2j Mt/2j−1 · · · Mt/2 Mt (2.4) Lấy giới hạn, ta lim Mt/2j = M0 = j→∞ n Y xpkk k=1 Theo (2.4), ta có n Y xpkk = M0 Mt = k=1 n X pk xtk  1t , ∀t > k=1 Bổ đề 2.1 (Bất đẳng thức Jensen) Cho hàm số y = f (x) lồi [a, b](f (x) liên tục [a, b]; f (x) > với x ∈ (a, b)) số thực không âm pj , j = 1, 2, , n thỏa mãn p1 + p2 + · · · + pn = Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Khi đó, với xj ∈ [a, b], j = 1, 2, , n ta có n n X  X f pj xj pj f (xj ) j=1 j=1 Định lí 2.3 (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa) Với n số dương tùy ý (x1 , x2 , , xn ) trọng số dương (p1 , p2 , , pn ) cho p1 + p2 + · · · + pn = Ta định nghĩa Mr = (p1 xr1 + p2 xr2 + · · · + pn xrn ) r r số thực khác không M0 = xa11 xa22 xann , M+∞ = max{x1 , x2 , , xn }, M−∞ = min{x1 , x2 , , xn } Khi với số thực s t, ta có M−∞ Ms Mt M+∞ Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn y = Mt M+∞ = max(x, y) p M2 = px2 + qy The Power Mean Curve -1 O M1 = px + qy M0 = x p y q M−1 = 1/(p/x + q/y) M−∞ = min(x, y) t Hình 2.1 Nếu x > 0, y > 0, < p < q = − p, đồ thị Mt = (pxt + qy t )1/t với −∞ < t < +∞ gợi ý nhiều quan hệ giá trị trung bình Mt hàm đơn điệu tăng số mũ t Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh Ms Mt hay n n X 1/s X 1/t s t pk xk pk xk k=1 k=1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.5) 35 Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: < s < t Ta thu bất đẳng thức (2.5) từ bất đẳng thức Jensen cho ánh xạ x 7→ xp với p > 1, n X pk xk p n X pk xpk k=1 k=1 Cụ thể, < s < t thay yks = xk p = t/s > cho ta bất đẳng thức n X pk yks t/s n X pk ykt (2.6) k=1 k=1 Lấy bậc t hai vế, ta bất đẳng thức (2.5) Hơn nữa, tính lồi ngặt x 7→ xp với p > cho ta pk > 0, ∀k = 1, 2, , n, ta có đẳng thức (2.6) x1 = x2 = · · · = xn Trường hợp 2: s < t < Ta áp dụng kết trường hợp với < −t < −s n X pk x−t k −1/t k=1 n X pk x−s k −1/s k=1 Bây giờ, đảo lên ta có n X pk x−s k 1/s n X k=1 pk x−t k 1/t k=1 Đặt xk = yk−1 , ta nhận bất đẳng thức (2.5) với s < t < Trường hợp 3: s < < t Theo bất đẳng thức PM - GM (2.3) cho x−t k , k n lũy thừa −s, ta tìm n X k=1 pk xsk 1/s n Y xpkk , ∀s < k=1 Cùng với bất đẳng thức (2.3) cho < t, ta hoàn thành chứng minh cho trường hợp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Cuối ta xét trung bình lũy thừa với giá trị vơ cực, M+∞ = max{x1 , x2 , , xn } M−∞ = min{x1 , x2 , , xn } Với miêu tả này, ta có tất tính chất mà Hình 2.1 gợi Cụ thể, ta có bất đẳng thức hiển nhiên M−∞ Mt M+∞ , ∀t ∈ R Từ đây, ta điều cần chứng minh Nhận xét 2.1 Thay giá trị cụ thể t vào bất đẳng thức trung bình lũy thừa, ta xếp giá trị trung bình sau M−1 M0 M1 M2 , hay Hn Gn An RM Sn Vậy bất đẳng thức quen thuộc sau trường hợp đặc biệt bất đẳng thức trung bình lũy thừa 2.2.1 Bất đẳng thức AM - GM Bất đẳng thức giá trị trung bình cộng nhân, gọi bất đẳng thức AM - GM đề cập sau Hệ 2.1 (Bất đẳng thức AM - GM) Giả sử a1 , a2 , , an số không âm Khi √ a1 + a2 + · · · + an > n a1 a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an (2.7) Hệ 2.2 (Bất đẳng thức AM - GM mở rộng) Giả sử a1 , a2 , , an n số dương tùy ý α1 , α2 , αn n số thực, dương cho α1 + α2 + + αn = Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Khi α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an > aα1 aα2 aαnn (2.8) Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Sau bất đẳng thức giá trị trung bình cộng nhân cho số có trọng Định lí 2.4 (Bất đẳng thức AM - GM suy rộng) Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x1 , x2 , , xn ; p1 , p2 , , pn Khi  x p + x p + · · · + x p p1 +p2 +···+pn 1 2 n n p1 p pn (2.9) x1 x2 xn p1 + p2 + · · · + pn Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Chứng minh (Xem [3]) Định lí 2.5 (Bất đẳng thức AM - GM số phức) Xét tập S gồm n số phức z1 , z2 , , zn có dạng zi = ρj eiθj thỏa mãn ρj < ∞ |θj | < ψ < π/2, j n Độ lớn argument số phức zi ∈ S giới hạn 2ψ Khi (cosψ)|z1 z2 zn | n |z1 + z2 + · · · + zn | n (2.10) Ở đây, ý zj , j = 1, 2, , n số thực, ta ψ = 0, trường hợp bất đẳng thức (2.10) trở thành bất đẳng thức AM - GM thông thường Chứng minh Hiển nhiên, ta có |w| > |Rew| Re(w + z) = Re(w) + Re(z), Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Vì vậy, từ Rezj = ρj cosθj , ta tìm |z1 + z2 + · · · + zn | > |Re(z1 + z2 + · · · + zn )| = |z1 |cosθ1 + |z2 |cosθ2 + · · · + |zn |cosθn > (|z1 | + |z2 | + · · · + |zn |)cosψ > n(|z1 ||z2 | |zn |) n cosψ, đó, ta sử dụng thực tế hàm cosin đơn điệu giảm [0, π/2] sau ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số thực không âm |zj |, j = 1, 2, , n Độ lệch trung bình cộng trung bình nhân mơ tả sau: Định lí 2.6 Với dãy số dương, ta có √ a1 + a2 + · · · + an √ √ − n a1 a2 an > ( a1 − an )2 n n (2.11) Chứng minh (Xem [3]) Sau hai bất đẳng thức quan trọng mà chứng minh áp dụng bất đẳng thức AM - GM Bài toán 2.1 (Bất đẳng thức Holder) Với số không âm 1 (xk ), (yk ), k = 1, 2, , n cặp số dương p, q cho + = 1, ta p q ln có n n n X 1  X 1 X p p q q xk yk (2.12) xk yk k=1 k=1 Chứng minh Với a, b, p, q > k=1 1 + = 1, theo bất đẳng thức AM p q - GM mở rộng ta có 1 ap bq a b + p q Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (2.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Ta thu bất đẳng thức Holder cách áp dụng bất đẳng thức bất đẳng thức với xpk ykq a = , b = , k = 1, 2, , n, X Y X= n X xpk , Y = n X ykq k=1 k=1 Năm 1923, nấc thang cơng trình lớn, Torsten Carleman chứng minh bất đẳng thức đáng ý mà theo thời gian đáp ứng điểm mốc cho nhiều phương pháp ý tưởng Năm 1926, George Pólya đưa chứng minh hạng ưu cho bất đẳng thức Carleman, bất đẳng thức phụ thuộc nhiều vào bất đẳng thức AM - GM Sự huyền bí đằng sau chứng minh Pólya tin cậy ơng vào ngun lí phổ biến ta nên cố gắng sử dụng bất đẳng thức mà đạt hiệu Sau đây, ta khảo sát tỉ mỉ bất đẳng thức Carleman Bài toán 2.2 (Bất đẳng thức Carleman) Với dãy số thực dương a1 , a2 , , an , ta có bất đẳng thức ∞ X k (a1 a2 ak ) e k=1 ∞ X ak (2.14) k=1 e = 2, 71828 Chứng minh Kinh nghiệm với hàng loạt giải thích bất đẳng thức Cauchy gợi ý cách hữu hiệu để dẫn đến kết bất đẳng thức (2.14) xem xét trước tiên tốn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 định tính đơn giản sau ∞ X ak < ∞ ⇒ ∞ X (a1 a2 ak )1/k < ∞ (2.15) k=1 k=1 Ở đây, tiến trình tự nhiên kết quả, ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số hạng tổng vế phải, làm phép tính tốn đơn giản hi vọng gặp may Cách làm dẫn ta đến bất đẳng thức n X k=1 1/k (a1 a2 ak ) n k X 1X k=1 k j=1 aj = n X j=1 aj n X k=j k , - khơng có đáng ngạc nhiên - ta thấy dự định không thực Khi n → ∞, bất đẳng thức phân kì, ta thấy áp dụng thiếu kinh nghiệm bất đẳng thức AM - GM vừa làm ta trắng tay Một cách tự nhiên, không thành cơng hồn tồn bình thường Từ đó, tốn dành để minh họa ngun lí tính hữu hiệu cực đại ta dồn vào sử dụng cơng cụ với tính xác trường hợp mà chúng tốt Vì vậy, để kết đúng, ta cần hỏi ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM không thành công ta phải làm để khắc phục Tiếp tục theo đuổi nguyên lí, theo giả thiết vế trái (2.15), tổng a1 + a2 + hội tụ, thực tế khơi gợi trình u thích khó khăn ta Sự hội tụ suy dãy với độ dài tùy ý a1 , a2 , , an , phần tử " không nhau", ta biết trường hợp bất đẳng thức AM - GM trở nên khơng có hiệu Liệu ta tìm cách làm cho việc áp dụng bất đẳng thức AM - GM đầy sức thuyết phục hơn? Đúng hơn, liệu ta hướng việc áp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn