Về một vài bất đẳng thức mới kiểu simpson đối với hàm lồi tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ TIẾN QUYNH VỀ MỘT VÀI BẤT ĐẲNG THỨC MỚI KIỂU SIMPSON ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ TIẾN QUYNH VỀ MỘT VÀI BẤT ĐẲNG THỨC MỚI KIỂU SIMPSON ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nơng Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Danh sách kí hiệu viết tắt Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm lồi kết liên quan 1.2 Bất đẳng thức Simpson Chương Bất đẳng thức kiểu Simpson hàm lồi tổng quát 14 2.1 Hàm lồi tổng quát số kết liên quan 14 2.2 Một số bất đẳng thức tập phân thứ 21 2.3 Một số áp dụng bất đẳng thức Jensen tổng quát 24 2.4 Bất đẳng thức kiểu Simpson hàm lồi tổng quát 27 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 35 Danh sách kí hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên R Tâp hợp số thực N∗ Tập hợp số tự nhiên bỏ phần tử Zα Tập số nguyên kiểu α xác định {0α , ±1α , ±2α , , ±nα , } Qα Jα Rα Tập hợp số hữu tỉ kiểu α xác định    α p α : p, q ∈ Z, q 6= m = q Tập hợp số vô tỉ kiểu α xác định    α p α : p, q ∈ Z, q 6= m 6= q Tập hợp số thực kiểu α xác định Rα = Qα ∪ Jα Pn i=1 f (xi ) f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) Mở đầu Chuyên đề bất đẳng thức chuyên đề rộng tốn học, có nhiều tốn hay thú vị, có ý nghĩa quan trọng Tốn học ứng dụng Ngày việc tìm lời giải gần toán lĩnh vực, đặc biệt kinh tế, địa chất, khí tượng, trở thành phổ biến nhờ có hỗ trợ mạnh mẽ máy tính Việc giải tốn địi hỏi ta ước lượng đánh giá để thu lời giải gần cần thiết Trong trường phổ thông toán bất đẳng thức (hay toán so sánh) khai thác để đưa vào rèn luyện tư sáng tạo học sinh Đặc biệt kì thi học sinh giỏi cấp chủ đề bất đẳng thức thường khai thác để đánh giá tư học sinh Bất đẳng thức Simpson bất đẳng thức đánh giá sai số cho ước lượng trung bình tích phân b−a Z b f (x)dx, a bất đẳng thức có ý nghĩa Kết mở rộng cho nhiều lớp hàm xác định [a, b] ⊂ R Hiện nay, bất đẳng thức khơng nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu, không tập số thực mà mở rộng nghiên cứu tâp phân thứ (fractal sets) Dưới hướng dẫn PGS TS Nông Quốc Chinh, lựa chọn đề tài “Về vài bất đẳng thức kiểu Simpson hàm lồi tổng quát” Nội dung luận văn viết hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày hàm lồi, số tính chất bất đẳng thức liên quan tới hàm lồi, kết phát biểu chứng minh hàm lồi suy rộng trình bày chương sau Trong mục 1.2 chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Simpson Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1]-[4] Chương Bất đẳng thức kiểu Simpson hàm lồi tổng quát Nội dung chương trình bày hàm lồi tổng quát xác định tập phân thứ Đưa số bất đẳng thức kiểu Jensen, Hermite - Hadamad hàm lồi tổng quát Bất đẳng thức Hăolder trờn phõn th Phn cui chng trỡnh by đẳng thức kiểu Simpson hàm lồi tổng quát Kết nhóm tác giả M Z Sarıkaya, H Budak, and S Erden đưa năm 2019 nghiên cứu số kết tập phân thứ Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [5] [6] Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Nông Quốc Chinh Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân em điều thầy dành cho em Em xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn – Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học Tốn K12 (2018 - 2020), Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện tốt suốt trình em tham gia học tập trường Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THCS Tân Dân, Khoái Châu, Hưng Yên tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 18 tháng 01 năm 20201 Tác giả Lê Tiến Quynh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày hàm lồi, số tính chất bất đẳng thức liên quan tới hàm lồi, kết phát biểu chứng minh hàm lồi suy rộng trình bày chương sau Trong mục 1.2 chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Simpson 1.1 Hàm lồi kết liên quan Cho hai điểm a, b ∈ R, tập tất các điểm x = (1 − t)a + tb với t gọi đoạn thẳng (đóng) a b ký hiệu [a, b] Tập I ⊂ R gọi lồi chứa đường thẳng nối hai điểm nó; nói cách khác, (1 − t)a + tb ∈ I miễn a, b ∈ I, t Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : I → [−∞, +∞] tập lồi I ⊂ R Hàm f gọi lồi với x1 , x2 ∈ I t ∈ [0, 1] ta có f (tx1 + (1 − t)x2 ) tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) vế phải xác định Hàm f gọi lõm I −f hàm lồi Mệnh đề 1.1.2 Giả sử f : I → [−∞, +∞] hàm lồi Khi đó, với tập hữu hạn x1 , , xk ∈ I số không âm t1 , , tk thỏa mãn t1 + t2 + · · · + tk = 1, ta có k k X X f( ti xi ) ti f (xi ) i=1 i=1 Mệnh đề 1.1.3 Hàm f : R → R hàm lồi thỏa mãn   f (x) + f (y) x+y f 2 (1.1) với x, y ∈ R (xem hình vẽ đây) Hàm lồi lần giới thiệu J.L.W.V.Jensen năm 1905, hàm số thỏa mãn điều kiện (1.1) nghiên cứu Hadamard (1893) Holder (1889) Ví dụ số hàm lồi Ví dụ 1.1.4 Các hàm số xác hàm số lồi (a) f (x) = ax + b R với a, b ∈ R (b) f (x) = x2 R (c) f (x) = eαx R với α > α (d) f (x) = |x| R (e) f (x) = x log x R+   (f) f (x) = tan x 0, π2 Khẳng định Tổng hữu hạn hàm lồi hàm lồi Tuy nhiên, tích hàm lồi chưa lồi Chẳng hạn hàm f (x) = x2 g(x) = ex hàm lồi R tích chúng h(x) = x2 ex khơng phải hàm lồi R Mệnh đề 1.1.5 Giả sử f có đạo hàm I Khi f hàm lồi I f hàm tăng I (Tức f có đạo hàm cấp f 00 > I) Hệ 1.1.6 Cho f : [a, b] ⊆ R → R hàm lồi đoạn [a, b] Giả sử xi ∈ [a, b], n P pi > 0, i ∈ {1, 2, , n} Pn := pi > Khi i=1 f n X p i xi Pn i=1 ! n X pi f (xi ) Pn i=1 (1.2) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với n = 2, ta phải chứng minh   p1 f (x1 ) + p2 f (x2 ) p x1 + p x2 , f p1 + p2 p1 + p2 (1.3) x1 , x2 ∈ I, p1 , p2 > với p1 + p2 > Bây giờ, ta ý (1.3) rút từ định nghĩa hàm lồi với p1 t= , x = x1 y = x2 Vậy (1.3) chứng minh p1 + p2 Giả sử (1.2) với n, ta chứng minh với n + 1, tức ta muốn chứng minh f Pn+1 n+1 X i=1 ! p i xi n+1 X Pn+1 i=1 pi f (xi ) (1.4) với xi ∈ I, pi > (i = 1, , n + 1) với Pn+1 > Nếu p1 = · · · = pn = 0, hiển nhiên (1.4) Giả sử Pn > 0, f n+1 X Pn+1 i=1 f hàm lồi với t = ! p i xi ! n X pn+1 Pn =f · pi x i + xn+1 Pn+1 Pn i=1 Pn+1 ! n Pn X pn+1 f p i xi + f (xn+1 ) Pn+1 Pn i=1 Pn+1 Pn Pn ,x = pi xi y = xn+1 Pn+1 Pn i=1 Sử dụng giả thiết quy nạp, ta ! n n Pn X pn+1 Pn X p i xi + pi f (xi ) f f (xn+1 ) Pn+1 Pn i=1 Pn+1 Pn+1 Pn i=1 (1.5) pn+1 f (xn+1 ) Pn+1 n+1 X + pi f (xi ) + = Pn+1 (1.6) i=1 Từ (1.5) (1.6) suy (1.5) Kết Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cận cận trung bình tích phân Kết trình bày chương sau lớp hàm lồi suy rộng tập phân thứ Mệnh đề 1.1.7 (Bất đẳng thức Hermite–Hadamard) Giả sử f hàm lồi [a, b] Khi đó, f khả tích [a, b] ta có a+b )6 f( b−a Z b f (x)dx a f (a) + f (b) (1.7) Kết bất đẳng thức Hăolder quen thuc lp cỏc bt ng thc s cấp Kết trình bày chương sau số xác định tập phõn th nh lý 1.1.8 (Bt ng thc Hăolder) Cho hai số a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn hai n số thực dương p > 1, thỏa mãn q −1 + p−1 = Khi ta có bất đẳng thức sau n X n X b i i=1 ! p1 n X api i=1 ! 1q bqi (1.8) i=1 Dấu xảy api = kbqi với i ∈ {1, 2, , , n} Kết bất đẳng thc Hăolder dng gii tớch, chỳng tụi ch trỡnh bày kết mà không chứng minh Định lý 1.1.9 (Bt ng thc Hăolder dng gii tớch) Gi s p, q > thỏa mãn 1 + = 1, f g hai hàm số liên tục đoạn [a, b], p q Z b Z |f (x)g(x)| dx a  p1 Z b p |f (x)| dx a b  1q |g(x)| dx q (1.9) a Dấu “=” xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A |f (x)|p = B |g(x)|q , ∀x ∈ [a, b] 10 với AS (f, In ) quy tắc Simpson n−1 n−1 1X 2X AS (f, In ) =: [f (xi ) + f (xi+1 )] hi + f i=0 i=0  xi + xi+1  hi (1.12) phần dư RS (f, In ) thỏa mãn ước lượng n−1 X (4) |RS (f, In )| f h5i ∞ 2880 i=0 (1.13) với hi := xi+1 − xi với i = 0, , n − Khi ta phân hoạch khoảng [a, b] xác định sau: b−a · i, i = 0, , n; n In : xi := a + (1.14) ta có cơng thức b Z f (x)dx = AS,n (f ) + RS,n (f ) (1.15) a với   # n−1   b−aX b−a b−a AS,n (f ) : = f a+ ·i +f a+ · (i + 1) 6n i=0 n n  n−1  2(b − a) X b − a 2i + · + f a+ , 3n n i=0 (1.16) phần dư thỏa mãn bất đẳng thức |RS,n (f )| (b − a)5 (4) · kf k∞ 2880 n4 (1.17) Các kết nghiên cứu bất đẳng thức tích phân tổng hợp sách “Inequalities for Functions and Their Integrals and Derivatives” D.S Mitrinovir xuất năm 1994 (xem tài liệu [4]) Mục đích luận văn trình bày kết bất đẳng thức Simpson với phần dư biểu diễn qua biểu thức đạo hàm cấp nhỏ Ta biết rắng hàm số khơng có đạo hàm tới cấp đạo hàm cấp khơng bị chặn khoảng (a, b) ta khơng dùng công thức xấp xỉ Simpson, công thức thường vận dụng tính tốn thực hành Định lý 1.2.3 Giả sử f : [a, b] → R hàm số khả vi, có đạo hàm liên tục khoảng (a; b) thỏa mãn Z kf k1 := b |f (x)| dx < ∞ a Khi ta có bất đẳng thức Z b    b − a f (a) + f (b) a + b kf k (b − a)2 f (x)dx − · + 2f 3 2 a (1.18) 11 Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức Simpson ánh xạ Lipschitz.) Giả sử f : [a, b] → R hàm L-Lipschitzian khoảng [a, b] Khi ta có bất đẳng thức sau Z b    b − a f (a) + f (b) a + b