BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ TUYẾT LAN VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ TUYẾT LAN VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ TUYẾT LAN VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 Người hướng dẫn PGS TS ĐINH THANH ĐỨC e i Mục lục MỞ ĐẦU 1 HÀM LỒI 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất HÀM LỒI TỔNG QUÁT 2.1 2.2 16 Hàm J-lồi tổng quát 16 2.1.1 Định nghĩa 16 2.1.2 Một số bất đẳng thức hàm J-lồi tổng quát 18 Hàm lồi tổng quát 22 2.2.1 Giới thiệu vài kết 22 2.2.2 Các đặc trưng hàm lồi tổng quát 25 2.2.3 Đạo hàm hàm lồi tổng quát 28 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNG 31 3.1 Giới thiệu lịch sử nguyên lý trội 31 3.2 Bất đẳng thức giao hoán 34 3.3 Một số kết khác 37 3.4 Áp dụng 40 3.4.1 Bất đẳng thức mở rộng Lim 40 e ii 3.4.2 Bất đẳng thức mở rộng Petrovi´c 42 3.4.3 Một bất đẳng thức hàm lồi tổng quát 43 3.4.4 Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard 44 3.4.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lồi hàm lồi tổng quát 47 3.4.6 Bất đẳng thức trung bình 48 KẾT LUẬN 51 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 e iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Về số bất đẳng thức hàm lồi tổng qt áp dụng cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức, nội dung không chép chưa công bố hình thức nào, kết khơng phải riêng tơi trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Trần Thị Tuyết Lan e MỞ ĐẦU Các hàm lồi ([1], [3]) có nhiều tính chất đáng ý sử dụng rộng rãi nhiều lý thuyết ứng dụng thực tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hố Các bất đẳng thức hàm lồi tổng quát ([10]) chủ đề hấp dẫn với nhiều kết phong phú thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Trong năm gần đây, nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng hướng để tiếp cận bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng nhà tốn học tìm hiểu phát triển Để có nhìn chi tiết tổng kết kết đạt cho bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng việc giải tốn có liên quan, chọn đề tài “Về số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng” Hàm lồi tổng qt ([10]) có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu toán lý thuyết toán ứng dụng Đặc biệt bất đẳng thức hàm lồi tổng qt có nhiều tính chất đặc biệt ứng dụng thực tiễn Hàm lồi đời vào cuối kỷ thứ 19 Những người đặt móng cho hàm lồi k n l O Hăolder (1889), O Stolz (1893) v J Hadamard (1893) Vào đầu kỉ 20, Jensen lần nhận thấy tầm quan trọng nghiên cứu cách có hệ thống hàm lồi e Sau đó, hàm lồi bất đẳng thức hàm lồi tổng quát nhận nhiều quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, trở thành hướng nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học Trong luận văn này, ta tổng kết số kết đáng lưu ý số bất đẳng thức hàm lồi tổng qt áp dụng Trình bày cách có hệ thống, chi tiết kiến thức số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng từ việc nêu định lý, chứng minh định lý áp dụng Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Hàm lồi Chương trình bày định nghĩa hàm lồi, hàm lõm, ví dụ số tính chất hàm lồi Chương 2: Hàm lồi tổng quát Chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lý hàm J-lồi, hàm J-lồi tổng quát sau chúng tơi giới thiệu định nghĩa tính chất, định lý hàm lồi tổng quát Chương 3: Một số bất đẳng thức áp dụng Chương trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi tổng quát Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin e gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè ln giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện e Chương HÀM LỒI Hàm lồi có nhiều tính chất đặc biệt, thực hữu ích, đáng ý sử dụng nhiều lý thuyết ứng dụng thực tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hóa Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm lồi, lõm, ý nghĩa hình học, số ví dụ hàm lồi, lõm sau trình bày số tính chất thú vị chúng Các kiến thức chương chủ yếu tham khảo tài liệu tài liệu [1], [3], [6] 1.1 Định nghĩa Cho I ⊂ R khoảng (khoảng mở khoảng đóng nửa khoảng) Định nghĩa 1.1.1 (Hàm lồi hàm lõm) Một hàm f : I → R gọi (i) lồi với a, b ∈ I , t ∈ [0, 1] ta có f ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f (a) + tf (b) (1.1) (ii) lồi ngặt với a, b ∈ I , a 6= b, t ∈ [0, 1] ta có f ((1 − t)a + tb) < (1 − t)f (a) + tf (b) e (1.2) (iii) lõm −f hàm lồi, nghĩa f ((1 − t)a + tb) ≥ (1 − t)f (a) + tf (b) (1.3) Nhận xét 1.1.2 (Ý nghĩa hình học hàm lồi) Từ định nghĩa hàm lồi hàm lõm, ta rút ý nghĩa hình học chúng sau: - Cho f hàm lồi, đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) khơng nằm phía đồ thị f (x) - Cho f hàm lõm, đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) khơng nằm phía đồ thị f (x) Hình 1.1: Đồ thị hàm lồi Thật vậy, hàm F (t) = (1 − t)f (a) + tf (b) với t ∈ [0, 1] hàm số đoạn thẳng nối hai điểm (a, f (a)) (b, f (b)) Từ Định nghĩa 1.1.1, ta suy F (t) ≥ f ((1 − t)a + tb) với t ∈ [0, 1] Do đó, đoạn thẳng F ln phía trùng đồ thị f [a, b] e ... Một số bất đẳng thức áp dụng Chương trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi. .. luận văn này, ta tổng kết số kết đáng lưu ý số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng Trình bày cách có hệ thống, chi tiết kiến thức số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng từ việc nêu định lý,... đề tài ? ?Về số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng? ?? Hàm lồi tổng qt ([10]) có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu toán lý thuyết toán ứng dụng Đặc biệt bất đẳng thức hàm lồi tổng qt