BËGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGÍNGĐẠIHOCQUYNHƠNIHOCQUYNHƠNN NGUYENTH±H ǍOO MËTSOBATĐ ȀNGTHÚC NGTHÚC HÌNHHOCTRONGTAMGIÁCC ǍOMSINHTÙCÁCBATĐȀNGTHÚCNGTHÚCSO LU¾NVĂNTHẠIHOCQUYNHƠNCSĨTỐNHOC BìnhĐịnh-2021nh-2021 NGUYENTH±H ǍOO MËTSOBATĐ ȀNGTHÚC NGTHÚC HÌNHHOCTRONGTAMGIÁCC ǍOMSINHTÙCÁCBATĐȀNGTHÚCNGTHÚCSO Chunngành:PhươngphápTốnsơcapMãso :8460113 LUắNVNTHIHOCQUYNHNCSTONHOC NGIHẻNGDNKHOAHOC: PGS.TS.LờCụngTrỡnh Bỡnhnh-2021nh-2021 Mcclcc Mau Mëtsokýhi»u Tínhđoing ȁu u gifiacácbatđ ȁu ng thfíchìnhhocvàcácbatđ ȁung thfícso 1.1 Tínhđoingȁugiúacácbatđangthùchìnhhocvàcácbatđangthùc so 1.1.1 Moiliênh¾giúađëdàibacạnhmëttamgiácvàbasothückhơngâ m 1.1.2 1.2 Tínhđoingȁu .10 Mëtsobatđangthùchìnhhoctrongtamgiác .12 Cácbatđȁungthfíchìnhhoccamsinhtficácđathfícthuannhatđoixfíng2 2.1 Batđangthùcthuannhatđoixùngbabien 26 2.2 CácketquảtongquátcủaP.JvanAlbadavàK.B.Stolarsky 27 2.3 Cácbatđangthùcđ°cbi¾t 30 2.4 2.5 2.3.1 B¾c2,3 30 2.3.2 B¾c4 30 2.3.3 B¾c6 32 Cácbatđangthùctotnhatcóthe .34 2.4.1 B¾c2,3 35 2.4.2 B¾c4 36 2.4.3 B¾c5 36 2.4.4 B¾c6 36 VebatđangthùcGerretsen 37 KETLU¾N 42 TÀILI›UTHAMKHǍOO 43 QUYETбNHGIAOĐETÀILU¾NVĂN(bansao) MÐĐAU Batđangthùclàmëttrongnhúngnëidungkhótrongchươngtrìnhtốntrunghocphothơng,th ưỜngg°ptrongcáckỳthihocsinhgiỏiquocgiavàquocte.Đ°cbi¾t,vi¾cđưarahaychùngmin hcácbatđangthùchìnhhoctrongtamgiác,làcácbatđangthùcliênh¾giúacácđạilưđngtrongtamgiác,như cạnh,góc,di¾ntích,bánkínhđưỜngtrịnngoạitiep,nëitiep, ,thưỜngkhơngdedàng Do đó, mët van đe cap thiet đưđc đ°t ra, nghiên cùu nguon goc, chatcủa bat thùc hình hoc tam giác Có mët ý rang hau het cácbatđangthùchìnhhoctrongtamgiácđưđcđưavecácbatđangthùcliênh¾giúacác cạnh, góc, bán kính đưỜng trịn ngoại tiep, bán kính đưỜng trịn nëi tiep,nûachuvi.Hơnnúa,tøbasothückhơngâmtalnxâydüngđưđcbacạnhcủamëttamgiác,v àngưđclại Chínhvìthe,cóthechuyenđoiqualạigiúacácbatđangthùcsovỚicácbatđang thùc hình hoc tam giác Các bat thùc so đưđc nghiên cùutrongratnhieutàili¾uliênquan.Trongđetàichúngtơit¾ptrungnghiêncùucácbatđangth ùchìnhhoctrongtamgiácđưđccảmsinhtøcácbatđangthùcso Nëi dung lu¾n văn dü kien đưđc trình bày hai chương.Chương1:Tínhđoingȁugiúacácbatđangthùchìnhhocvàcácbatđangthùc so Trongchươngnàychúngtơitrìnhbàysüchuyenđoiqualạigiúacáccạnh củatamgiácvỚicácsothückhơngâm.TrêncơsỞđóchúngtơitrìnhbàytínhđoingȁugiúac ácbatđangthùchìnhhocvàcácbatđangthùcso.Cuoichươngchúngtơiđưaramëtsobatđangthùc hìnhhoctrongtamgiácdüavàocácbatđangthùcsođãđưđcnghiêncùu Chương2:Cácbatđangthùchìnhhoccảmsinhtøcácđathùcthuannhatđoixùng Trong chương chúng tơi trình bày mët so dạng bat thùc hình hocđ°cbi¾t,cảmsinhtøcácđathùcthuannhatđoixùngtheobabien.Cuoichươngchúng tơi đưa mëtsobatđangthùchìnhhocdüavàomëtsođathùcthuannhatđoixùngđ°cbi¾t Tơi xin đưđc bày tỏ lịng biet ơn chân thành sü kính sâu sac đen PGS TS Lê Cơng Trình, thay trüc tiep giảng dạy, hưỚng dȁn tạo moi đieu ki¾ntrong q trình hoc t¾p nghiên cùu đe tơi có the hồn thành lu¾n văn mëtcáchtotnhat.TơixinchânthànhcảmơnBangiámhi¾u,Phịngsauđạihoc,KhoaTốn ThongkêTrưỜngĐạiHocQuyNhơncùngqthaycơgiáođãtrüctiepgiảngdạy,giúpđỠtơitrongqtrìnhhoct¾ptại trưỜng Nhân đây, tơi xincảmơncácanh,chịhocviêntronglỚpPhươngphápTốnsơcapkhóa21,giađìnhvàbạnbè đãgiúpđỠ,đëngviêntơitrongsuotqtrìnhhoct¾pvàhồnthànhlu¾nvăn M°cdùratcogangnhưngdohạnchevethỜigianvàtrìnhđënênbêncạnhnhúngketquảđã đạtđưđc,lu¾nvănkhơngthetránhkhỏinhúnghạnchevàthieu sót Tác giả rat mong nh¾n đưđc sü góp ý thang than chân thành qthaycơvàcácbạnđelu¾nvănđưđchồnthi¾nhơn Ngày18tháng9năm2021 HocviênthOchi»n Mëtsokýhi»u a,b,c +b+c p= a S,S∆ABC r,R :đëdàicáccạnhBC,CA,ABcủatamgiácABC :n û a chuvicủatamgiác :d i ¾ n tích tamgiácABC :l a n lưđtlàbánkínhđưỜngtrịnnëi,ngoạitiepcủatamgiác.ra :b n kínhđưỜngtrịnbàngtiepùngđỉnhAcủatamgiácABC.ha :đưỜngcaonoitøđỉnhAcủatamgiácABC :đ Ờ n g trungtuyennoitøđỉnhAcủatamgiácABC.la ma :đư Ờn g phângiácnoitøđỉnhAcủatamgiácABC :Tong hoánvị,cyclàviettaccủacyclic.Changhạn, ∑ cy c ∑= ab +bc+ca ab ∏ :t íc h xyclic,changhạn,∏f (a)=f (a)·f (b)·f (c) Chươngng1 Tínhđoingȁuugifiacácbatđȁungthfíchìnhhocvàcá cbatđȁungthfícso Trong chương chúng tơi trình bày sü chuyen đoi qua lại giúa cạnh củatamgiácvỚicácsothückhơngâm.TrêncơsỞđóchúngtơitrìnhbàytínhđoingȁugiúacácbatđan gthùchìnhhocvàcácbatđangthùcso.Cuoichươngchúngtơiđưaramëtsobatđangthùchìn hhoctrongtamgiácdüavàocácbatđangthùcsođãđưđcbietđen.Cácketquảtrongchươn gnàyđưđcchúngtơitonghđpvàtrìnhbàylạitøtàili¾u[3] 1.1 1.1.1 Tính đoi ngȁuu gifia bat đȁung thfíc hình hoc cácbatđȁungthfícso Moiliênh»gifiađëdàibacạnhmëtnhmëttamgiácvàbasothfickhơngâm ChúngtabatđauvỚiketquảkinhđiendưỚiđây Định-2021nhlý1.1.B a sothOcdươnga,b,clàđëdàibacạnhmëttamgiáckhivàchỉkhi a+b> c, b+c> a, (1.1) c+a> b ChÚngminh.N e u a,b,clàđëdàibacạnhmëttamgiácthìtacó,theobatđangthùcvebacạnhm ëttamgiác, a+b>c, b+c> a, c+a> b Ngưñclại,neua,b,clàbasodươngthỏamãn a+b>c, b+c>a, c+a> b thìtacóthechonhaiđiemAvàBtrênm°tphangsaochoA B = c LayA vàB làmtâm,dünghaiđưỜngtrịnbánkínhlanlưđttươngùnglàbvàa.Khiđó,tø a+b>c, b+c> a, c+a> b, tacó |a−b| 0,B F = BD= y> 0,CD = CE= z> thìa= x+y,b= y+z,c= z+x.Ngưđclại,vỚibasothücthücdươngx,y,z,đ°t a= x +y,b= y+z,c= z+x Khiđó,basodươnga,b,cthỏamãn(1.1).Dov¾y,theoĐịnhlý1.1,tontạitamgiáccóđëdài bacạnhlàa,b,c.Tøđây,tanh¾nđưđcketquảsau Định-2021nh lý 1.2.Đieu ki»n can đủ đea,b,clà đë dài ba cạnh mët tam giác tontạicácsothOcdươngx,y,zsaochoa= x+y,b= y+zvàc= z+x Định lý1.2cho moi quan h¾ đoi ngȁu giúa bë ba so dươngx,y,zvàtam giácABCcó đë dài cạnh làa=x+y,b=y+z,c=z+x Đe thu¾n lđichovi¾ctrìnhbàycácketquảsau,chúngtacanketquảdưỚiđây M»nh đe 1.1.Xét tam giácABCcó đë dài ba cạnh làa,b,c GoiR,rlan lưạt bánkính đưàng trịn ngoại tiep, đưàng tròn nëi tiep tam giácABC Goix,y,zlà sothOcdươngthỏaa= x+y,b= y+z,c= z+x.Kíhi»u T1= x+y+z,T 2= xy+yz+xz,T 3= xyz Khiđó, (1)Q = ∑ ( b −c)2= ∑ ( y −z)2= 2T2− 3T21 cyc cyc (2)∑ a2= 2T2−12T2 cyc (3)∑ ab= T 2+1T2 cyc (4)a b c = ∏y +z =T1T2 T3 cyc (5)16S2 = − 2∑a2b2−∑a4= 16r2p4= 16T1T3 cyc cyc T2−T3) (6)R = (T1√ T1T3 r T (7)r = T1 ChÚngminh.T ø cáchđ°t,tacó x= p −a,y= p −b,x= p −c vàx+y+z= p.Ta có Q =∑ ( b cyc −c)2 =∑ (y+z) cyc =∑ ( y − −x)2 cyc (x+z)2 =2 x2+y2+z2−xy−yz−xz =2 T2−13T2 Nhưv¾y, (1)đưđcchùngminh.Tacó ∑a cyc =∑ ( x +y)2 cyc =2 ∑x2+2∑xy cyc cyc =2 x +y+z2 − 2∑xy cyc =2 T1 −2T2 Nhưv¾y, (2)đưđcchùngminh.Tacó ∑ab cyc =∑ ( y +z)(x+y) cyc =∑ ( yx +xz+zy+y2) cyc =∑ x2+3∑xy cyc cyc =T1 +T2 Nhưv¾y,(3)đưđcchùngminh.Tacó abc =( x+y)(y+z)(z+x) =x 2y+y2x+y2z+x2z+z2x+2xyz =x (xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx)−3xyz+2xyz =T 1T2−T3 Nhưv¾y, (4)đưđcchùngminh.Theocơngthùc Heron,tacó S2 = p(p− a)(p− b)(p− c) =( x+y+z)xyz Dođó, 16S2= 2∑a2b2−∑a4= 16r2p4= 16T1T3 cyc cyc