(Luận văn thạc sĩ) một số bất đẳng thức hình học trong tam giác thiết lập từ các bất đẳng thức số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HẢO MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC CẢM SINH TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SỐ h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HẢO MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC CẢM SINH TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SỐ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 h LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Lê Cơng Trình Bình Định - 2021 Mục lục Mở đầu Một số ký hiệu Tính đối ngẫu bất đẳng thức hình học bất đẳng thức số 1.1 Tính đối ngẫu bất đẳng thức hình học bất đẳng thức số 1.1.1 Mối liên hệ độ dài ba cạnh tam giác ba số thực không âm 1.1.2 5 Tính đối ngẫu 10 1.2 Một số bất đẳng thức hình học tam giác 12 Các bất đẳng thức hình học cảm sinh từ đa thức đối xứng 26 h 2.1 Bất đẳng thức đối xứng ba biến 26 2.2 Các kết tổng quát P J van Albada K B Stolarsky 27 2.3 Các bất đẳng thức đặc biệt 30 2.3.1 Bậc 2, 30 2.3.2 Bậc 30 2.3.3 Bậc 32 2.4 Các bất đẳng thức tốt 34 2.4.1 Bậc 2,3 35 2.4.2 Bậc 36 2.4.3 Bậc 36 2.4.4 Bậc 36 2.5 Về bất đẳng thức Gerretsen 37 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Bất đẳng thức nội dung khó chương trình tốn trung học phổ thông, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đặc biệt, việc đưa hay chứng minh bất đẳng thức hình học tam giác, bất đẳng thức liên hệ đại lượng tam giác, cạnh, góc, diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, , thường khơng dễ dàng Do đó, vấn đề cấp thiết đặt ra, nghiên cứu nguồn gốc, chất bất đẳng thức hình học tam giác Có ý hầu hết bất đẳng thức hình học tam giác đưa bất đẳng thức liên hệ cạnh, góc, bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp, nửa chu vi Hơn nữa, từ ba số thực không âm ta xây dựng ba cạnh tam giác, ngược lại h Chính thế, chuyển đổi qua lại bất đẳng thức số với bất đẳng thức hình học tam giác Các bất đẳng thức số nghiên cứu nhiều tài liệu liên quan Trong đề tài tập trung nghiên cứu bất đẳng thức hình học tam giác cảm sinh từ bất đẳng thức số Nội dung luận văn dự kiến trình bày hai chương Chương 1: Tính đối ngẫu bất đẳng thức hình học bất đẳng thức số Trong chương chúng tơi trình bày chuyển đổi qua lại cạnh tam giác với số thực khơng âm Trên sở chúng tơi trình bày tính đối ngẫu bất đẳng thức hình học bất đẳng thức số Cuối chương đưa số bất đẳng thức hình học tam giác dựa vào bất đẳng thức số nghiên cứu Chương 2: Các bất đẳng thức hình học cảm sinh từ đa thức đối xứng Trong chương trình bày số dạng bất đẳng thức hình học đặc biệt, cảm sinh từ đa thức đối xứng theo ba biến Cuối chương đưa số bất đẳng thức hình học dựa vào số đa thức đối xứng đặc biệt Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán Thống kê Trường Đại Học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Phương pháp Toán sơ cấp khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày 18 tháng năm 2021 Học viên thực h Một số ký hiệu a, b, c a+b+c p= S, S∆ABC r, R ma la ∑ : độ dài cạnh BC, CA, AB tam giácABC : nửa chu vi tam giác : : : : : : : diện tích tam giác ABC bán kính đường trịn nội, ngoại tiếp tam giác bán kính đường trịn bàng tiếp ứng đỉnh A tam giác ABC đường cao nối từ đỉnh A tam giác ABC đường trung tuyến nối từ đỉnh A tam giác ABC đường phân giác nối từ đỉnh A tam giác ABC Tổng hoán vị, cyc viết tắc cyclic Chẳng hạn, cyc ∑ = ab + bc + ca ab : tích xyclic, chẳng hạn, ∏ f ( a) = f ( a) · f (b) · f (c) h ∏ Chương Tính đối ngẫu bất đẳng thức hình học bất đẳng thức số Trong chương chúng tơi trình bày chuyển đổi qua lại cạnh tam giác với số thực không âm Trên sở chúng tơi trình bày tính đối ngẫu bất đẳng thức hình học bất đẳng thức số Cuối chương đưa số bất đẳng thức hình học tam giác dựa vào bất đẳng thức số biết đến Các kết chương tổng hợp trình bày lại từ tài liệu [3] Tính đối ngẫu bất đẳng thức hình học bất đẳng thức số 1.1.1 Mối liên hệ độ dài ba cạnh tam giác ba số thực không âm h 1.1 Chúng ta bắt đầu với kết kinh điển Định lý 1.1 Ba số thực dương a, b, c độ dài ba cạnh tam giác   a + b > c,    (1.1) b + c > a,    c + a > b Chứng minh Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ta có, theo bất đẳng thức ba cạnh tam giác,   a + b > c,    b + c > a,    c + a > b Ngược lại, a, b, c ba số dương thỏa mãn   a + b > c,    b + c > a,    c + a > b ta chọn hai điểm A B mặt phẳng cho AB = c Lấy A B làm tâm, dựng hai đường trịn bán kính tương ứng b a Khi đó, từ   a + b > c,    b + c > a,    c + a > b, ta có | a − b| < c < a + b Điều hai đường tròn tâm A B vừa dựng trên, cắt ta gọi giao điểm C Khi ấy, tam giác ABC tam giác có độ dài ba cạnh số thực dương a, b, c Xét tam giác ABC với độ dài cạnh a, b, c đường tròn nội tiếp tam giác h Tâm đường tròn nội tiếp, đỉnh ba tiếp điểm tạo thành ba cặp tam giác A E F I B D C Do đó, ta đặt AF = AE = x > 0, BF = BD = y > 0, CD = CE = z > a = x + y, b = y + z, c = z + x Ngược lại, với ba số thực thực dương x, y, z, đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x Khi đó, ba số dương a, b, c thỏa mãn (1.1) Do vậy, theo Định lý 1.1, tồn tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c Từ đây, ta nhận kết sau Định lý 1.2 Điều kiện cần đủ để a, b, c độ dài ba cạnh tam giác tồn số thực dương x, y, z cho a = x + y, b = y + z c = z + x Định lý 1.2 cho mối quan hệ đối ngẫu ba số dương x, y, z tam giác ABC có độ dài cạnh a = x + y, b = y + z, c = z + x Để thuận lợi cho việc trình bày kết sau, cần kết Mệnh đề 1.1 Xét tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp tam giác ABC Gọi x, y, z số thực dương thỏa a = x + y, b = y + z, c = z + x Kí hiệu T1 = x + y + z, T2 = xy + yz + xz, T3 = xyz Khi đó, (1) Q = ∑ (b − c) cyc (2) = ∑ (y − z) = 2  cyc T12  − 3T2 ∑ a2 = 2T12 − 2T2 cyc (3) ∑ ab = T12 + T2 cyc h
(4) abc = ∏ y + z = T1 T2 − T3 cyc (5) 16S2 = ∑ a2 b2 − ∑ a4 = 16r2 p4 = 16T1 T3 cyc cyc ( T1 T2 − T3 ) √ T1 T3 r T3 (7) r = T1 (6) R = Chứng minh Từ cách đặt, ta có x = p − a, y = p − b, x = p − c x + y + z = p Ta có Q = ∑ ( b − c )2 cyc = ∑ (y + z) − ( x + z) cyc = ∑ ( y − x )2 cyc
2   = x2 + y2 + z2 − xy − yz − xz   = T12 − 3T2 Như vậy, (1) chứng minh Ta có ∑ a2 = cyc ∑ ( x + y )2 cyc = ∑ x2 + ∑ xy cyc cyc
2 = x+y+z − ∑ xy cyc = 2T12 − 2T2 Như vậy, (2) chứng minh Ta có ∑ ab = cyc ∑ (y + z)(x + y) cyc = ∑ (yx + xz + zy + y2 ) cyc = ∑ x2 + ∑ xy h = cyc T12 cyc + T2 Như vậy, (3) chứng minh Ta có abc = ( x + y)(y + z)(z + x ) = x2 y + y2 x + y2 z + x2 z + z2 x + 2xyz = x ( xy + yz + zx ) + y( xy + yz + zx ) + z( xy + yz + zx ) − 3xyz + 2xyz = T1 T2 − T3 Như vậy, (4) chứng minh Theo cơng thức Heron, ta có S2 = p( p − a)( p − b)( p − c) = ( x + y + z) xyz Do đó, 16S2 = ∑ a2 b2 − ∑ a4 = 16r2 p4 = 16T1 T3 cyc cyc