30 de phat trien de tham khao thi tot nghiep thpt nam 2024 mon toan

Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án , , , dưới đây.. Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2 và diện tích đáy bằng 2.. T

Trang 2

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu ( ): ( − 2) + ( + 2) + ( − 3) = 34

Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( )

Câu 7 Cho hàm số = ( ) liên tục trên [−3; 3] và có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Mệnh đề nào sau

đây sai về hàm số đó?

Câu 8 Cho hình trụ có chiều cao bằng 2 và diện tích xung quanh bằng 16 Bán kính đáy của hình trụ đã

Trang 3

A ∫ d = + B ∫ e d = e + C ∫ 0 d = D ∫ d = ln +

Câu 16 Nghiệm của phương trình log (2 + 1) = 2 là

Câu 17 Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án , , , dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Câu 18 Số phức = (2 + 3 )(1 − ) có phần ảo bằng

Câu 19 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 20 Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 2)( − 4) , ∀ ∈ ℝ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại = 4 B Hàm số đạt cực đại tại = 2

C Hàm số đạt cực tiểu tại = 2 D Hàm số không có cực trị

Câu 21 Cho hàm số = Tìm phát biểu đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

A = là đường tiệm cận đứng B = 1 là đường tiệm cận đứng

C = là đường tiệm cận đứng D = 1 là đường tiệm cận ngang

Câu 22 Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2 và diện tích đáy bằng 2 Tính thể tích khối lăng trụ

Trang 4

A ℎ = √ − B ℎ = √ + C ℎ = + D ℎ = −

Câu 27 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử súc sắc xuất hiện mặt chấm Xác suất để

phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là

Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có (2; 2; 0), (1; 0; 2), (0; 4; 4) Viết

phương trình mặt cầu ( ) có tâm là điểm (2; 2; 0) và đi qua trọng tâm của tam giác

A log − log log = log 1 B log − log log = 0

Câu 35 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30°

Trang 5

Câu 39 Cho ( ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ): = , tiếp tuyến với ( ) tại điểm (2; 4) và

trục hoành Tính diện tích của hình phẳng ( )?

Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−2018 ; 2019]để hàm số = − 2 −

(2 − 5) + 5đồng biến trên khoảng (0 ; +∞)

Câu 41 Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước bán kính , chiều cao bằng 5 lần đường kính của

đáy và hai viên bi (là hai khối cầu, đặc), một khối nón làm bằng thủy tinh đều có bán kính Người

ta từ từ thả vào cốc nước hai viên bi và khối nón (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài Thể tích lượng nước còn lại trong cốc (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh) là

Biết hàm số = ( ) − ( ) có ba điểm cực trị là −1; 2 và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường = ′( ) và = ′( ) bằng

Câu 45 Cho khối lăng trụ tam giác ′ ′ ′ mà mặt bên ′ ′ có diện tích bằng 4 Khoảng cách giữa

cạnh ′ và ′ bằng 7 Thể tích khối lăng trụ bằng

Câu 46 Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = √ Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức = + 4 thuộc tập hợp nào dưới đây?

Câu 47 Trong không gian Ox , cho hai mặt cầu ( ), ( ) có phương trình lần lượt là ( ): + +

Trang 6

Câu 48 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 1) ( − 2 ) với ∀ ∈ ℝ Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( − 8 + ) có 5 điểm cực trị?

Câu 49 Trong đợt hội trại “ Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một

dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật Phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một bảng Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn)?

Trang 7

chung?

Lời giải Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm: − 2 + 2 = − + 4 ⇔ − − 2 = 0 ⇔ = √2

= −√2 Vậy hai đồ thị có tất cả 2 điểm chung

Số phức = 1 − 2 có điểm biểu diễn là (1 ; −2)

Câu 3 Trong không gian , cho mặt phẳng ( ): − 2 − 1 = 0 Véc tơ nào sau đây là một véc tơ

pháp tuyến của ( )?

A ⃗ = (1; 0; −1) B ⃗ = (1; 0; −2) C ⃗ = (1; −2; −1) D ⃗ = (1; −2; 0)

Lời giải Chọn B

Véc tơ pháp tuyến của ( ) là ⃗ = (1; 0; −2)

Câu 4 Cho = ∫ ( ) = 3 Khi đó = ∫ [4 ( ) − 3] bằng

Lời giải Chọn A

Ta có: ∫ [4 ( ) − 3] = 4 ∫ ( ) − 3 ∫ = 6

Câu 5 Tập xác định của hàm số = ( − 1) là

Ta có là số mũ không nguyên nên điều kiện xác định của hàm sốđã cho là − 1 > 0 ⇔ > 1 Vậy tập xác định là (1; +∞)

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu ( ): ( − 2) + ( + 2) + ( − 3) = 34

Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( )

Trang 8

Phương trình mặt cầu ( ): ( − ) + ( − ) + ( − ) = sẽ có tâm là ( ; ; ) và bán kính

Ta có mặt cầu ( ) có tâm (2; −2; 3) và bán kính √2 + 2 + 3 + 17 = √34

Câu 7 Cho hàm số = ( ) liên tục trên [−3; 3] và có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Mệnh đề nào sau

đây sai về hàm số đó?

Ta có: = 2 ℎ ⇔ 16 = 2 2 ⇔ = 4

Câu 9 Cho cấp số cộng có số hạng đầu là = 3 và = 18 Công sai của cấp số cộng đó là:

Gọi là công sai, ta có = + 5 ⇒ 18 = 3 + 5 ⇒ = 3

Câu 10 Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [0; 2] Khi đó ∫ ( )d + ∫ ( )d bằng

Ta có ∫ ( )d + ∫ ( )d = ∫ ( )d

Câu 11 Trong không gian , trục tọa độ ′ có một véc tơ chỉ phương là?

A ⃗ = (0 ; 1 ; 0) B ⃗ = (0 ; 0 ; 1) C ⃗ = (1 ; 0 ; 0) D ⃗ = (1 ; 0 ; 1)

Trục tọa độ ′ có một véc tơ chỉ phương ⃗ = (0 ; 0 ; 1)

A 23 − 6 B −14 + 33 C 26 − 15 D 7 − 30

Câu 13 Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh vào một bàn hình chữ U có 5 chỗ ngồi?

Trang 9

Mỗi cách xếp 5 học sinh vào một bàn hình chữ U có 5 chỗ ngồi là một hoán vị của 5 phần tử Vậy

có 5! = 120 cách xếp 5 học sinh vào một bàn hình chữ U có 5 chỗ ngồi

Câu 14 Trong không gian , cho hai điểm (1; 0; 1) và (2; −1; 3) Véc tơ ⃗ có tọa độ là

A ( −1; −1; 2) B ( 1; −1; 2) C ( −1; 1; −2) D ( 3; −1; 4)

Giả sử ( ; ; ), ( ; ; ) thì ta có ⃗ = ( − ; − ; − )

Vậy theo bài ra ta có ⃗ = (1; −1; 2)

Câu 15 Trong các khẳng định sau, khẳng đinh nào sai?

A ∫ d = + B ∫ e d = e + C ∫ 0 d = D ∫ d = ln +

Khẳng định C sai do ∫ d = ln| | +

Câu 16 Nghiệm của phương trình log (2 + 1) = 2 là

Ta có log (2 + 1) = 2 ⇔ 2 + 1 > 0

2 + 1 = 9⇔

> −

Câu 17 Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án , , , dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng = 1, tiệm cận ngang = −1

Và hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞)

nên chọn hàm số = có − = −2 < 0

Câu 18 Số phức = (2 + 3 )(1 − ) có phần ảo bằng

Ta có = (2 + 3 )(1 − ) = 5 +

Suy ra phần ảo của số phức bằng 1

Câu 19 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Trang 10

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞)

Câu 20 Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 2)( − 4) , ∀ ∈ ℝ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại = 4 B Hàm số đạt cực đại tại = 2

C Hàm số đạt cực tiểu tại = 2 D Hàm số không có cực trị

Cho ′( ) = ( − 2)( − 4) = 0 ⇔ = 2

= 4

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt cực đại tại = 2

Câu 21 Cho hàm số = Tìm phát biểu đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

A = là đường tiệm cận đứng B = 1 là đường tiệm cận đứng

C = là đường tiệm cận đứng D = 1 là đường tiệm cận ngang

Lời giải Chọn C

Thể tích khối lăng trụ = 2 2 = 4

Câu 23 Tập nghiệm của bất phương trình 3 > 27 là

2 2

S a

2

h a

Trang 11

3 > 27 ⇔ 3 > 3 ⇔ − 1 > 3 ⇔ > 4

Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là = (4; +∞)

Câu 24 Với là số thực tùy ý, 2log 3 bằng:

Ta có với ; > 0; ≠ 1 thì log = log

Nên 2log 3 = 2 log 3 = 2 1 = 2

Câu 25 Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên ℝ?

Ta có nhận xét, khi > 1 thì hàm số = đồng biến trên ℝ

Với hàm số = có = > 1 nên hàm số = đồng biến trên ℝ

Câu 26 Chiều cao ℎ của hình nón có độ dài đường sinh và bán kính bằng:

Áp dụng công thức trong tam giác vuông, ta có: ℎ = √ −

Phương án nhiễu B: Nhầm công thức trong tam giác vuông

Phương án nhiễu C: Hiểu sai về độ dài

Phương án nhiễu D: Hiểu sai về độ dài

Câu 27 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử súc sắc xuất hiện mặt chấm Xác suất để

phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là

Không gian mẫu Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ⇒ (Ω) = 6

Gọi là biến cố được mặt chấm để phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt

Phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ − 8 > 0 ⇔ < −2√2

> 2√2

Mà ∈ nên ∈ {3 ; 4 ; 5 ; 6} ⇒ ( ) = 4

Vậy ( )= ( )

( )= =

Trang 12

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (0; +∞)

Lập bảng biến thiên của hàm số trên (0; +∞), ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên (0; +∞) bằng − √

Câu 29 Cho = 2 − ; = −3 + Phần thực của số phức 3 ?

Ta có ′( ) = 0 ⇔ = 0

= −1

Có ′( ) = ( + 1) Ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm =

0 và không đổi dấu khi qua nghiệm = −1 nên hàm số ( ) đồng biến trên (0; +∞)

Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có (2; 2; 0), (1; 0; 2), (0; 4; 4) Viết

phương trình mặt cầu ( ) có tâm là điểm (2; 2; 0) và đi qua trọng tâm của tam giác

là trọng tâm củatam giác ⇒ (1; 2; 2)

Trang 13

Ta có tứ diện là tứ diện đều Gọi là trung điểm của , khi đó

Ta có ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) = 3 − 1 = 2

Câu 34 Cho ba số thực dương bất kỳ , , và , , khác 1 Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

đây

A log − log log = log 1 B log − log log = 0

log − log = log = log (đúng)

log − log = log = log , suy ra B sai

log − log log = log − log = 0 = log 1 (đúng)

log − log log = log − log = 0 (đúng)

Câu 35 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30°

Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( )

Trang 14

Gọi là tâm tam giác đều thì ⊥ ( ), = 30°

Gọi là trung điểm của Tam giác đều nên ⊥

Trang 15

Câu 39 Cho ( ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ): = , tiếp tuyến với ( ) tại điểm (2; 4) và

trục hoành Tính diện tích của hình phẳng ( )?

Ta có ′ = ( ) = 2

Tiếp tuyến d với ( ) tại điểm (2; 4) có phương trình là:

= ′(2)( − 2) + 4 ⇔ = 4( − 2) + 4 ⇔ = 4 − 4

Giao điểm của và là (1; 0)

Trên đoạn [0; 1] hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số = và trục hoành

Trên đoạn [1; 2] hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số = và tiếp tuyến

Vậy diện tích của hình phẳng ( ) được xác định là: = ∫ + ∫ ( − 4 + 4) d =

Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−2018 ; 2019]để hàm số = − 2 −

(2 − 5) + 5đồng biến trên khoảng (0 ; +∞)

Ta có = 3 − 4 − 2 + 5

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) ⇔ ≥ 0, ∀ ∈ (0;+∞)

⇔ 3 − 4 − 2 + 5 ≥ 0 ,∀ ∈ (0;+∞) ⇔ 3 − 4 ≥ 2 − 5 ,∀ ∈ (0;+∞) Xét hàm số ( )= 3 − 4 trên (0;+∞), ta có ( ) = 6 − 4 = 0 ⇔ =

Ta có bảng biến thiên

Trang 16

Từ bảng trên suy ra 3 − 4 ≥ 2 − 5 ,∀ ∈ (0;+∞) ⇔ 2 − 5 ≤ − ⇔ ≤

Do nguyên và ∈ [−2018 ; 2019] ⇒ ∈ {−2018; −2017; −2016, ,0,1}

Vậy có 2020giá trị thỏa mãn đề bài

Câu 41 Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước bán kính , chiều cao bằng 5 lần đường kính của

đáy và hai viên bi (là hai khối cầu, đặc), một khối nón làm bằng thủy tinh đều có bán kính Người

ta từ từ thả vào cốc nước hai viên bi và khối nón (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài Thể tích lượng nước còn lại trong cốc (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh) là

Thể tích hai viên bi khối cầu là: = 2 = ( )

Chiều cao khối nón thủy tinh là: ℎ = 10 − 2.2 = 6

Thể tích khối nón làm bằng thủy là: = 6 = 2 ( )

Thể tích cốc nước hình trụ là: = 10 = 10 ( )

Thể tích lượng nước tràn ra chính là tổng thể tích của hai viên bi hình cầu và khối nón Vậy thể tích

Câu 42 Cho hai số phức , thỏa mãn | + 2 | = 3, |2 + 3 | = 6 và | + 4 | = 7 Tính giá trị của

biểu thức = +

Ta có: | + 2 | = 3 ⇔ | + 2 | = 9 ⇔ ( + 2 ) + 2 = 9 ⇔ ( + 2 ) ( + 2 ) = 9

⇔ + 2( + ) + 4 = 9 ⇔ | | + 2 + 4| | = 9 (1)

Tương tự:

|2 + 3 | = 6 ⇔ |2 + 3 | = 36 ⇔ (2 + 3 ) (2 + 3 ) = 36 ⇔ 4| | + 6 + 9| | = 36 (2)

Trang 17

Câu 43 Cho các số thực dương , thỏa mãn log = log = log (4 − 5 ) − 1 Tính

Đặt = log = log = log (4 − 5 ) − 1 Suy ra

Biết hàm số = ( ) − ( ) có ba điểm cực trị là −1; 2 và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường = ′( ) và = ′( ) bằng

Ta có ′// ′ ⇒ ′//( ′ ′)

Do đó ′ ; ( ′ ′) = ; ( ′ ′)

C' B'

A

B A'

C

Trang 18

Câu 46 Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = √ Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức = + 4 thuộc tập hợp nào dưới đây?

Do đó: = + 4 = + log + 1 + log = + log + log

Đặt = log ⇒ > 0 Vì , > 1 nên log > log 1 = 0

Khi đó = + + ≥ + 2 = (Áp dụng BĐT Cô Si)

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi = 2 hay =

Phương án A: học sinh áp dụng BĐT Cô si thiếu số 2 = + + ≥ + =

Phương án C: học sinh áp lấy logarit sai = log , = log ⇒ = + ≥ 2 = 1

Phương án D: học sinh áp dụng BĐT Cô Si cho 3 số = + + ≥ 3 = 3

Câu 47 Trong không gian Ox , cho hai mặt cầu ( ), ( ) có phương trình lần lượt là ( ): + +

= 25; ( ): + + ( − 1) = 4 Một đường thẳng vuông góc với véc tơ ⃗ = (1; −1; 0) tiếp xúc với mặt cầu ( ) và cắt mặt cầu ( ) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của ?

A ⃗ = (1; 1; 0) B ⃗ = 1; 1; √6 C ⃗ = 1; 1; −√3 D ⃗ = 1; 1; √3

Hai mặt cầu (S1),(S2) có tâm lần lượt là là gốc toạ độ O, điểm I(0;0;1) và bán kính lần lượt là

= 5; = 2

Gọi A là tiếp điểm của d và (S2), ta có IA = R2 = 2

Vì d cắt ( ) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 nên

2 = √25 − 16 = 3

Trang 19

Câu 48 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 1) ( − 2 ) với ∀ ∈ ℝ Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( − 8 + ) có 5 điểm cực trị?

16 − 32 + ≠ 0

16 − 32 + − 2 ≠ 0

⇔

< 16 < 18 ≠ 16 ≠ 18

⇔ < 16

Vì nguyên dương và < 16 nên có 15 giá trị thỏa mãn

Câu 49 Trong đợt hội trại “ Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một

dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật Phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một bảng Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn)?

Trang 20

A 1.230.000 đồng B 900.000 đồng

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol của pano có dạng = + ( < 0) Vì ( ) cắt tại điểm có tung độ 4 nên = 4 Mà ( ) đi qua điểm (2; 0) nên = −1 Như vậy Parabol của pano

có phương trình = 4 − trên đoạn [−2; 2]

Giả sử = 2 với 0 ≤ ≤ 2 Khi đó diện tích của hình chữ nhật là = 2 (4 − )

Diện tích phần trang trí của hoa văn là

( ) = ∫ (4 − )d − 2 (4 − ) = 2 − 8 +

Hàm số ( ) có ′( ) = 6 − 8 và ′( ) = 0 ⇔ = ± √

Trên đoạn [−2; 2] ta có (±2) = ; √ = √ ; − √ = √

Do đó giá trị nhỏ nhất của ( ) trên đoạn [−2; 2] là √

Chi phí cho họa tiết văn hoa lúc đó là √ × 200.000 ≈ 902.000 đồng

Câu 50 Cho hai số phức z, w thỏa mãn + 3 = 2 + 2√3 và | − | = 2 Giá trị lớn nhất của biểu thức

= | | + | | bằng

Trang 21

Giá trị cực đại của hàm số là

Câu 2 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

Câu 3 Trong không gian , cho mặt cầu

( ): + + − 2 − 2 − 6 = 0 Tâm của mặt cầu đã cho có tọa độ là:

Trang 22

Câu 14 Với và là hai số thực dương tùy ý, log( ) bằng

A log + log B 2log + log C 2log + 3log D 2log 3log

Câu 15 Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0; 1) và (−1; 2; 2) có một vec tơ chỉ

Trang 23

Câu 28 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = + 1 với mọi ∈ ℝ Hàm số đã cho nghịch biến trên

khoảng nào dưới đây?

Câu 29 Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Xác suất để lấy được ít

nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?

Câu 30 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ Giả sử tam giác ′ và ′ ′ đều có 3 góc nhọn Góc giữa hai

đường thẳng và ′ là góc nào sau đây?

Câu 31 Xét tất cả các số thực dương và thỏa mãn log = log √ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng ( ): 3 + 4 − 5 + 2 = 0 Viết phương

trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( )

Trang 24

A 1, B , 1 C , D ;

Câu 42 Cho hai số phức , thỏa mãn + = 8 + 6 và | − | = 2 Tính giá trị lớn nhấtcủa biểu

thức = | | + | |?

Câu 43 Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích cho trước Mối quan hệ giữa

bán kính đáy và chiều cao ℎ của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là

Câu 45 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của ′ trên mặt

phẳng ( ) trùng với trọng tâm tam giác Biết khoảng cách giữa ′ và bằng √ Tính thể tích của khối lăng trụ ′ ′ ′?

Câu 46 Một quán cafe muốn làm cái bảng hiệu là một phần của elip có kích thước, hình dạng giống như

hình vẽ và có chất liệu bằng gỗ Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là bao nhiêu? (làm tròn đến phần hàng chục)

Câu 47 Cho hàm số ( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( )= (| − 2 − 3| + )

có ít nhất 7 điểm cực trị?

Trang 25

Câu 48 Cho ; là các số thực dương thỏa mãn log = + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= +

√

Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm (2; −1; 1), (5; 3; 1), (4; 1; 2) và mặt

phẳng ( ): + = 27 Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên ( ) và điểm trên tia sao cho tứ giác là hình thoi Tọa độ điểm là

Trang 26

Câu 1 Cho hàm số ( ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số là

Dựa vào BBT ta có giá trị cực đại của hàm số là 54

Câu 2 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

Từ đồ thị hàm số ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ ; −2) và (0 ; 1)

Câu 3 Trong không gian , cho mặt cầu

( ): + + − 2 − 2 − 6 = 0 Tâm của mặt cầu đã cho có tọa độ là:

A ( 1; 1; 3) B ( 0; 1; 1) C ( −1; −1; 0) D ( 2; 2; 6)

Mặt cầu ( ): + + − 2 − 2 − 6 = 0 có tâm là (0; 1; 1)

Câu 4 Cho là một hằng số Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trang 27

C ∫ 2 d = + D ∫ d = ln| | +

Ta có: ∫ sin d = cos +

Câu 5 Số giao điểm của đồ thị hàm số = − 9 với trục hoành là

Số giao điểm đồ thị hàm số = − 9 với trục hoành bằng số nghiệm phương trình

− 9 = 0 ⇔ ( − 9) = 0 ⇔ = 0

= ±3 Vậy số giao điểm của hàm số với trục hoành là 3

Câu 6 Trong không gian , vectơ đơn vị trên trục là

A ⃗ = (1 ; 1 ; 1) B ⃗ = (0 ; 1 ; 0) C ⃗ = (1 ; 0 ; 0) D ⃗ = (0 ; 0 ; 1)

Trong không gian , vectơ đơn vị trên trục là ⃗ = (0 ; 1 ; 0)

Câu 7 Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng 8 và bán kính đáy bằng Độ dài đường sinh của

hình trụ bằng

Câu 8 Điểm biểu diễn hình học của số phức = 2 − 3 là điểm nào trong các điểm sau đây?

Điểm biểu diễn hình học của số phức = + ( , ∈ ℝ) là ( ; )

Với = 2 − 3 ta có = 2 và = −3 Do đó điểm biểu diễn tương ứng là (2 ; −3)

Câu 9 Môđun của số phức − bằng

Ta có |− | = 0 + (−1) = 1

Câu 10 Cho hình nón ( ) có độ dài đường sinh bằng 5 và bán kính đáy bằng 3 ( ) có chiều cao bằng

Trang 28

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng ℎ và diện tích đáy bằng là = ℎ

Câu 13 Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới

Từ bảng biến thiên suy ra hệ số > 0 nên loại A và B

Do hàm số có hai điểm cực trị là = 1 và = −1 nên chỉ có phương án C thỏa mãn

Câu 14 Với và là hai số thực dương tùy ý, log( ) bằng

A log + log B 2log + log C 2log + 3log D 2log 3log

Lời giải

Chọn C

Với và dương, ta có:

log( ) = log + log = 2log + 3log

Câu 15 Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0; 1) và (−1; 2; 2) có một vec tơ chỉ

phương là

A ⃗ = (2; −2; 1) B ⃗ = (2; −2; −1) C ⃗ = (0; 2; 2) D ⃗ = (2; 2; −1)

Ta có ( ): − 2 + 1 = 0 ⇒ ⃗ = (1; 0; −2)

Câu 17 Tập xác định của hàm số = √ tương ứng là

Do: = √ có mũ nguyên dương nên xác định khi √ xác định, mà √ xác định ∀ ∈ ℝ

Câu 18 Cho ∫ ( ) = 1; ∫ ( ) = 2 Khi đó ∫ ( ) bằng

Câu 19 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = là

Lời giải

Trang 29

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = là = 3

Câu 20 Tìm số phức liên hợp của số phức = 1 − 3 + (1 − )

A = 5 − B = −1 − 5 C = 1 − 5 D = 1 + 5

Vậy hàm số = ( ) có hai điểm cực trị

Câu 22 Cho cấp số cộng ( ) có số hạng đầu = 2 và công sai = 5 Giá trị của bằng

Ta có: = + 3 = 2 + 3.5 = 17

Câu 23 Tập nghiệm của bất phương trình 3 < 9 là

A = (−∞; 1) B = (1; +∞) C = (−∞; 2) D = (2; +∞)

Ta có: 3 < 9 ⇔ 3 < 3 ⇔ 2 < 2 ⇔ < 1

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là = (−∞; 1)

Câu 24 Nếu (1) = 12, ′( ) liên tục và ∫14 ′( ) = 17, giá trị của (4) bằng:

Hàm số = log có TXĐ = (0; +∞) nên không thỏa mãn

Do > 1 nên hàm số = đồng biến trên ℝ

Trang 30

Câu 26 Phương trình log (3 − 1) = 2 có nghiệm là

Ta có log (3 − 1) = 2 ⇔ 3 − 1 = 9 ⇔ =

Câu 27 Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )= + − 1 trên khoảng (0; +∞) bằng

Câu 28 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = + 1 với mọi ∈ ℝ Hàm số đã cho nghịch biến trên

khoảng nào dưới đây?

Ta có: ′( ) < 0 ⇔ + 1 < 0 ⇔ < −1

Vậy hàm số = ( ) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1)

Câu 29 Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Xác suất để lấy được ít

nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?

Câu 30 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ Giả sử tam giác ′ và ′ ′ đều có 3 góc nhọn Góc giữa hai

đường thẳng và ′ là góc nào sau đây?

Ta có: // ′ ′ (tính chất của hình hộp)

⇒ ( , ′ ) = ( ′ ′, ′ ) = ′ ′ (do giả thiết cho ′ ′ có ba góc nhọn)

Câu 31 Xét tất cả các số thực dương và thỏa mãn log = log √ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trang 31

⇔ log = log √ ⇔ = √ ⇔ = √ ⇔ =

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng ( ): 3 + 4 − 5 + 2 = 0 Viết phương

trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( )

Gọi là đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( )

Mặt phẳng ( ) có một véc-tơ pháp tuyến ⃗ = (3; 4; −5)

Vì ⊥ ( ) nên đường thẳng nhận ⃗ = (3; 4; −5) làm véc-tơ chỉ phương

Đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) và nhận ⃗ = (3; 4; −5) làm véc-tơ chỉ phương nên có

Ta có = 2 − (−1) + (0 − 2) + 0 − (−3) = √22 Mặt cầu tâm (−1; 2; −3) và đi qua điểm (2; 0; 0) có bán kính = = √22 Phương trình mặt cầu là: ( + 1) + ( − 2) +( + 3) = 22

Trang 32

Ta có: là trung điểm của ′ ⇒ , ( ′ ′) = , ( ′ ′) = = √

Câu 36 Cho ∫ ( )d = 2 và ∫ ( )d = −1 Tính = ∫ [ + 2 ( ) + 3 ( )]d

Ta có: + = 3 − 4 nên | + | = 3 + (−4) = 5

Câu 39 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của để hàm số = nghịch biến trên 0;

Để hàm số nghịch biến trên 0; thì

Trang 33

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) ⇔ ≤

Câu 40 Cho , là các số thực dương thỏa mãn log = log = log ( + ) Giá trị của bằng:

Đặt = log = log = log ( + )

= √ ( )

Câu 41 Biết diện tích hình phẳng giới bởi các đường = sin , = cos , = 0, = (với ∈ ; là

−3 + 4√2 − √3 Hỏi số thuộc khoảng nào sau đây?

Ta có: sin < cos với ∈ 0; , sin > cos với ∈ ,

Diện tích hình phẳng giới bởi các đường = sin , = cos , = 0, = với ∈ ; là

= ∫ |sin − cos | d = ∫ |sin − cos | d + ∫ |sin − cos | d = ∫ (cos −

sin )d + ∫ (sin − cos )d

4 d + √2sin −4 d = √2 sin +4 − √2cos −4

⇒ = −3 + 4√2 − √3

2

Trang 34

Ta có + = 8 + 6 ⇒ | + | = 10

| + | + | − | = 2(| | + | | ) ⇒ 104 = 2(| | + | | ) ⇒ 52 = | | + | |

Ta có: (1 + 1 )(| | + | | ) ≥ (| | + | |) ⇔ (| | + | |) ≤ 104

⇒ | | + | | ≤ √104 = 2√26

Dấu đẳng thức xảy ra khi | | = | |

Câu 43 Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích cho trước Mối quan hệ giữa

bán kính đáy và chiều cao ℎ của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là

= ( − 2) ( + 3) Tập xác định ℝ

′ = 2( − 2)( + 3) + ( − 2) = ( − 2)(3 + 4)

′ = 0 ⇔ ( − 2)(3 + 4) = 0 ⇔ = 2=

Hình phẳng có diện tích = ∫ [( − 2) ( + 3)]d =

Vậy diện tích phần tô đậm là

Câu 45 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của ′ trên mặt

phẳng ( ) trùng với trọng tâm tam giác Biết khoảng cách giữa ′ và bằng √ Tính thể tích của khối lăng trụ ′ ′ ′?

Lời giải

Trang 35

Chọn C

Gọi là trung điểm , là trọng tâm tam giác ⇒ ′ ⊥ ( )

đều cạnh nên: = √ , = = √ , = √ Trong ′ dựng ⊥ ′

⊥

Suy ra là đoạn vuông góc chung giữa ′ và ⇒ ( ′; ) = = √

vuông tại ⇒ sin = =

√

′ vuông tại ⇒ ′ = tan = √ tan30° =

Thể tích của khối lăng trụ ′ ′ ′: = ′ = √ = √

Câu 46 Một quán cafe muốn làm cái bảng hiệu là một phần của elip có kích thước, hình dạng giống như

hình vẽ và có chất liệu bằng gỗ Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là bao nhiêu? (làm tròn đến phần hàng chục)

Trang 36

Đầu tiên ta cần lập phương trình đường elip biểu thị bảng gỗ

Chọn hệ trục tọa độ và các điểm như hình vẽ sao cho bảng gỗ này đối xứng qua hai trục và

Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là: = 2 ∫ ,, 1 − dx=∫ ,, 1 − dx ≈ 1,4 m

Câu 47 Cho hàm số ( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( )= (| − 2 − 3| + )

có ít nhất 7 điểm cực trị?

Đặt ( )= | − 2 − 3| + Khi đó ( ) có cùng số điểm cực trị với hàm số ℎ( ) =

Trang 37

Ta có log = + 2 ⇔ log (2 + + 1) − log ( + ) = + 2

Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm (2; −1; 1), (5; 3; 1), (4; 1; 2) và mặt

phẳng ( ): + = 27 Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên ( ) và điểm trên tia sao cho tứ giác là hình thoi Tọa độ điểm là

A ( −15; 7; 20) B ( 21; 19; 8) C ( −15; 21; 6) D ( 21; 21; 6)

Cách 1: Ta có ⃗ = (3; 4; 0); = 5 Gọi là điểm sao cho ⃗ = ⃗ = ; ; 0 , khi đó

Trang 38

Do là hình thoi nên suy ra ⃗ = ⃗ + ⃗ = ; ; = (19; 22; 5) cùng hướng với

⃗, hay ⃗ = (19; 22; 5) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng Phương trình đường thẳng

Do đó (21; 21; 6)

Cách 2: ⃗ = (3; 4; 0), = 5

⃗ = (2; 2; 1), = 3

Chọn điểm ⃗ = 3 ⃗, = 15 và ⃗ = 3 ⃗, = 15 Khi đó tam giác cân tại

Do tứ giác là hình thoi nên tam giác cân tại Suy ra và song song

Ta có + √2 − = 1 ⇔ − 1 + √2 = 1 Gọi = 1 + √2 có điểm biểu diễn là 1; √2 Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn của ,

Vì | − | = 2 nên là trung điểm của

= = 2 ⇔ | | = | | = 2

Vậy giá trị lớn nhất của | |+ | | bằng 4

Trang 39

Câu 3 Với là số thực dương tùy ý, ta có log bằng

Trang 40

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại = −2 B Hàm số đạt cực đại tại = 3

C Hàm số đạt cực đại tại = 4 D Hàm số đạt cực đại tại = 2

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ⃗ = 2⃗ + 3⃗ − 5 ⃗; ⃗ = −2⃗ − 4 ⃗ Tìm một vectơ

chỉ phương của đường thẳng

Tiêu đề	30 đề phát triển đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT năm 2024 môn Toán
Tác giả	Đặng Việt Đông
Trường học	Trường THPT Nho Quan A
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề ôn thi tốt nghiệp THPT
Năm xuất bản	2024

Định dạng
Số trang	607
Dung lượng	59,75 MB