Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu ( ): ( − 2) + ( + 2) + ( − 3) = 34
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( )
Câu 7 Cho hàm số = ( ) liên tục trên [−3; 3] và có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Mệnh đề nào sau
đây sai về hàm số đó?
Câu 8 Cho hình trụ có chiều cao bằng 2 và diện tích xung quanh bằng 16 Bán kính đáy của hình trụ đã
Trang 3A ∫ d = + B ∫ e d = e + C ∫ 0 d = D ∫ d = ln +
Câu 16 Nghiệm của phương trình log (2 + 1) = 2 là
Câu 17 Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án , , , dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Câu 18 Số phức = (2 + 3 )(1 − ) có phần ảo bằng
Câu 19 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 20 Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 2)( − 4) , ∀ ∈ ℝ Khẳng định nào dưới đây đúng?
A Hàm số đạt cực đại tại = 4 B Hàm số đạt cực đại tại = 2
C Hàm số đạt cực tiểu tại = 2 D Hàm số không có cực trị Câu 21 Cho hàm số = Tìm phát biểu đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A = là đường tiệm cận đứng B = 1 là đường tiệm cận đứng
C = là đường tiệm cận đứng D = 1 là đường tiệm cận ngang
Câu 22 Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2 và diện tích đáy bằng 2 Tính thể tích khối lăng trụ
Trang 4A ℎ = √ − B ℎ = √ + C ℎ = + D ℎ = −
Câu 27 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử súc sắc xuất hiện mặt chấm Xác suất để
phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là
Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có (2; 2; 0), (1; 0; 2), (0; 4; 4) Viết phương trình mặt cầu ( ) có tâm là điểm (2; 2; 0) và đi qua trọng tâm của tam giác
A log − log log = log 1 B log − log log = 0
Câu 35 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30°
Trang 5Câu 39 Cho ( ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ): = , tiếp tuyến với ( ) tại điểm (2; 4) và
trục hoành Tính diện tích của hình phẳng ( )?
Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−2018 ; 2019]để hàm số = − 2 − (2 − 5) + 5đồng biến trên khoảng (0 ; +∞)
Câu 41 Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước bán kính , chiều cao bằng 5 lần đường kính của đáy và hai viên bi (là hai khối cầu, đặc), một khối nón làm bằng thủy tinh đều có bán kính Người ta từ từ thả vào cốc nước hai viên bi và khối nón (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài Thể tích lượng nước còn lại trong cốc (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh) là
Biết hàm số = ( ) − ( ) có ba điểm cực trị là −1; 2 và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Câu 46 Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = √ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 4 thuộc tập hợp nào dưới đây?
Câu 47 Trong không gian Ox , cho hai mặt cầu ( ), ( ) có phương trình lần lượt là ( ): + +
Trang 6Câu 48 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 1) ( − 2 ) với ∀ ∈ ℝ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( − 8 + ) có 5 điểm cực trị?
Câu 49 Trong đợt hội trại “ Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật Phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một bảng Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn)?
Trang 7Số phức = 1 − 2 có điểm biểu diễn là (1 ; −2)
Câu 3 Trong không gian , cho mặt phẳng ( ): − 2 − 1 = 0 Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của ( )?
A ⃗ = (1; 0; −1) B ⃗ = (1; 0; −2) C ⃗ = (1; −2; −1) D ⃗ = (1; −2; 0)
Lời giải Chọn B
Véc tơ pháp tuyến của ( ) là ⃗ = (1; 0; −2)
Câu 4 Cho = ∫ ( ) = 3 Khi đó = ∫ [4 ( ) − 3] bằng
Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu ( ): ( − 2) + ( + 2) + ( − 3) = 34
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( )
Trang 8Phương trình mặt cầu ( ): ( − ) + ( − ) + ( − ) = sẽ có tâm là ( ; ; ) và bán kính
Ta có mặt cầu ( ) có tâm (2; −2; 3) và bán kính √2 + 2 + 3 + 17 = √34
Câu 7 Cho hàm số = ( ) liên tục trên [−3; 3] và có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Mệnh đề nào sau
đây sai về hàm số đó?
Gọi là công sai, ta có = + 5 ⇒ 18 = 3 + 5 ⇒ = 3
Câu 10 Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [0; 2] Khi đó ∫ ( )d + ∫ ( )d bằng
Trục tọa độ ′ có một véc tơ chỉ phương ⃗ = (0 ; 0 ; 1)
Trang 9Lời giải Chọn A
Mỗi cách xếp 5 học sinh vào một bàn hình chữ U có 5 chỗ ngồi là một hoán vị của 5 phần tử Vậy có 5! = 120 cách xếp 5 học sinh vào một bàn hình chữ U có 5 chỗ ngồi
Câu 14 Trong không gian , cho hai điểm (1; 0; 1) và (2; −1; 3) Véc tơ ⃗ có tọa độ là
A (−1; −1; 2) B (1; −1; 2) C (−1; 1; −2) D (3; −1; 4)
Lời giải Chọn B
Giả sử ( ; ; ), ( ; ; ) thì ta có ⃗ = ( − ; − ; − ) Vậy theo bài ra ta có ⃗ = (1; −1; 2)
Câu 15 Trong các khẳng định sau, khẳng đinh nào sai?
Câu 17 Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án , , , dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Lời giải Chọn D
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng = 1, tiệm cận ngang = −1 Và hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞) Suy ra phần ảo của số phức bằng 1
Câu 19 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau
Trang 10Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞)
Câu 20 Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 2)( − 4) , ∀ ∈ ℝ Khẳng định nào dưới đây đúng?
A Hàm số đạt cực đại tại = 4 B Hàm số đạt cực đại tại = 2
C Hàm số đạt cực tiểu tại = 2 D Hàm số không có cực trị Lời giải
Chọn B
Cho ′( ) = ( − 2)( − 4) = 0 ⇔ = 2 = 4
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt cực đại tại = 2
Câu 21 Cho hàm số = Tìm phát biểu đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A = là đường tiệm cận đứng B = 1 là đường tiệm cận đứng
C = là đường tiệm cận đứng D = 1 là đường tiệm cận ngang
Trang 11Lời giải Chọn C
3 > 27 ⇔ 3 > 3 ⇔ − 1 > 3 ⇔ > 4 Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là = (4; +∞)
Câu 24 Với là số thực tùy ý, 2log 3 bằng:
Lời giải Chọn D
Ta có với ; > 0; ≠ 1 thì log = log Nên 2log 3 = 2 log 3 = 2 1 = 2
Câu 25 Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên ℝ?
Lời giải Chọn A
Ta có nhận xét, khi > 1 thì hàm số = đồng biến trên ℝ
Với hàm số = có = > 1 nên hàm số = đồng biến trên ℝ
Câu 26 Chiều cao ℎ của hình nón có độ dài đường sinh và bán kính bằng:
Lời giải Chọn A
Áp dụng công thức trong tam giác vuông, ta có: ℎ = √ −
Phương án nhiễu B: Nhầm công thức trong tam giác vuông Phương án nhiễu C: Hiểu sai về độ dài
Phương án nhiễu D: Hiểu sai về độ dài
Câu 27 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử súc sắc xuất hiện mặt chấm Xác suất để
phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là
Lời giải Chọn B
Không gian mẫu Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ⇒ (Ω) = 6
Gọi là biến cố được mặt chấm để phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt
Phương trình + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ − 8 > 0 ⇔ < −2√2 > 2√2
Mà ∈ nên ∈ {3 ; 4 ; 5 ; 6} ⇒ ( ) = 4 Vậy ( )= ( )
( )= =
Trang 12Lập bảng biến thiên của hàm số trên (0; +∞), ta được:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên (0; +∞) bằng − √
Câu 29 Cho = 2 − ; = −3 + Phần thực của số phức 3 ?
Có ′( ) = ( + 1) Ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm = 0 và không đổi dấu khi qua nghiệm = −1 nên hàm số ( ) đồng biến trên (0; +∞)
Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có (2; 2; 0), (1; 0; 2), (0; 4; 4) Viết phương trình mặt cầu ( ) có tâm là điểm (2; 2; 0) và đi qua trọng tâm của tam giác
Trang 13Ta có tứ diện là tứ diện đều Gọi là trung điểm của , khi đó
A log − log log = log 1 B log − log log = 0
Lời giải Chọn D
log − log = log = log (đúng) log − log = log = log , suy ra B sai
log − log log = log − log = 0 = log 1 (đúng) log − log log = log − log = 0 (đúng)
Câu 35 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30° Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( )
Lời giải Chọn A
Trang 14Gọi là tâm tam giác đều thì ⊥ ( ), = 30°
Trang 15Câu 39 Cho ( ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ): = , tiếp tuyến với ( ) tại điểm (2; 4) và
trục hoành Tính diện tích của hình phẳng ( )? Giao điểm của và là (1; 0)
Trên đoạn [0; 1] hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số = và trục hoành Trên đoạn [1; 2] hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số = và tiếp tuyến
Vậy diện tích của hình phẳng ( ) được xác định là: = ∫ + ∫ ( − 4 + 4) d =
Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−2018 ; 2019]để hàm số = − 2 − (2 − 5) + 5đồng biến trên khoảng (0 ; +∞)
Trang 16Từ bảng trên suy ra 3 − 4 ≥ 2 − 5 ,∀ ∈ (0;+∞) ⇔ 2 − 5 ≤ − ⇔ ≤ Do nguyên và ∈ [−2018 ; 2019] ⇒ ∈ {−2018; −2017; −2016, ,0,1} Vậy có 2020giá trị thỏa mãn đề bài
Câu 41 Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước bán kính , chiều cao bằng 5 lần đường kính của đáy và hai viên bi (là hai khối cầu, đặc), một khối nón làm bằng thủy tinh đều có bán kính Người ta từ từ thả vào cốc nước hai viên bi và khối nón (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài Thể tích lượng nước còn lại trong cốc (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh) là
Lời giải Chọn A
Thể tích hai viên bi khối cầu là: = 2 = ( ) Chiều cao khối nón thủy tinh là: ℎ = 10 − 2.2 = 6
Thể tích khối nón làm bằng thủy là: = 6 = 2 ( ) Thể tích cốc nước hình trụ là: = 10 = 10 ( )
Thể tích lượng nước tràn ra chính là tổng thể tích của hai viên bi hình cầu và khối nón Vậy thể tích
Câu 42 Cho hai số phức , thỏa mãn | + 2 | = 3, |2 + 3 | = 6 và | + 4 | = 7 Tính giá trị của
Trang 17Câu 43 Cho các số thực dương , thỏa mãn log = log = log (4 − 5 ) − 1 Tính
Biết hàm số = ( ) − ( ) có ba điểm cực trị là −1; 2 và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Trang 18Câu 46 Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = √ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 4 thuộc tập hợp nào dưới đây? Do đó: = + 4 = + log + 1 + log = + log + log
Đặt = log ⇒ > 0 Vì , > 1 nên log > log 1 = 0 Khi đó = + + ≥ + 2 = (Áp dụng BĐT Cô Si) Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi = 2 hay =
Phương án A: học sinh áp dụng BĐT Cô si thiếu số 2 = + + ≥ + =
Phương án C: học sinh áp lấy logarit sai = log , = log ⇒ = + ≥ 2 = 1
Phương án D: học sinh áp dụng BĐT Cô Si cho 3 số = + + ≥ 3 = 3
Câu 47 Trong không gian Ox , cho hai mặt cầu ( ), ( ) có phương trình lần lượt là ( ): + + = 25; ( ): + + ( − 1) = 4 Một đường thẳng vuông góc với véc tơ ⃗ = (1; −1; 0) tiếp xúc với mặt cầu ( ) và cắt mặt cầu ( ) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của ?
Gọi A là tiếp điểm của d và (S2), ta có IA = R2 = 2 Vì d cắt ( ) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 nên
2 = √25 − 16 = 3
Trang 19Câu 48 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 1) ( − 2 ) với ∀ ∈ ℝ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( − 8 + ) có 5 điểm cực trị?
Vì nguyên dương và < 16 nên có 15 giá trị thỏa mãn
Câu 49 Trong đợt hội trại “ Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật Phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một bảng Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn)?
Trang 20A 1.230.000 đồng B 900.000 đồng
Lời giải Chọn D
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol của pano có dạng = + ( < 0) Vì ( ) cắt tại điểm có tung độ 4 nên = 4 Mà ( ) đi qua điểm (2; 0) nên = −1 Như vậy Parabol của pano có phương trình = 4 − trên đoạn [−2; 2]
Giả sử = 2 với 0 ≤ ≤ 2 Khi đó diện tích của hình chữ nhật là = 2 (4 − ) Diện tích phần trang trí của hoa văn là
( ) = ∫ (4 − )d − 2 (4 − ) = 2 − 8 +
Hàm số ( ) có ′( ) = 6 − 8 và ′( ) = 0 ⇔ = ± √
Trên đoạn [−2; 2] ta có (±2) = ; √ = √ ; − √ = √ Do đó giá trị nhỏ nhất của ( ) trên đoạn [−2; 2] là √
Chi phí cho họa tiết văn hoa lúc đó là √ × 200.000 ≈ 902.000 đồng
Câu 50 Cho hai số phức z, w thỏa mãn + 3 = 2 + 2√3 và | − | = 2 Giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 21Câu 1 Cho hàm số ( ) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số là
Câu 2 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Câu 3 Trong không gian , cho mặt cầu
( ): + + − 2 − 2 − 6 = 0 Tâm của mặt cầu đã cho có tọa độ là:
Trang 22Câu 14 Với và là hai số thực dương tùy ý, log( ) bằng
A log + log B 2log + log C 2log + 3log D 2log 3log
Câu 15 Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0; 1) và (−1; 2; 2) có một vec tơ chỉ
Trang 23Câu 28 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = + 1 với mọi ∈ ℝ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 29 Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Xác suất để lấy được ít
nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?
Câu 30 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ Giả sử tam giác ′ và ′ ′ đều có 3 góc nhọn Góc giữa hai đường thẳng và ′ là góc nào sau đây?
Câu 31 Xét tất cả các số thực dương và thỏa mãn log = log √ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng ( ): 3 + 4 − 5 + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( )
Trang 24A 1, B , 1 C , D ;
Câu 42 Cho hai số phức , thỏa mãn + = 8 + 6 và | − | = 2 Tính giá trị lớn nhấtcủa biểu thức = | | + | |?
Câu 43 Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích cho trước Mối quan hệ giữa
bán kính đáy và chiều cao ℎ của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là
Câu 44
Hình trên là đồ thị ( ) của hàm số = ( − 2) ( + 3) với , lần lượt là hai điểm cực trị của ( ) Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình bằng
Câu 45 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của ′ trên mặt phẳng ( ) trùng với trọng tâm tam giác Biết khoảng cách giữa ′ và bằng √ Tính thể tích của khối lăng trụ ′ ′ ′?
Câu 46 Một quán cafe muốn làm cái bảng hiệu là một phần của elip có kích thước, hình dạng giống như
hình vẽ và có chất liệu bằng gỗ Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là bao nhiêu? (làm tròn đến phần hàng chục)
Câu 47 Cho hàm số ( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( )= (| − 2 − 3| + )
có ít nhất 7 điểm cực trị?
Trang 25Câu 48 Cho ; là các số thực dương thỏa mãn log = + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +
√
Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm (2; −1; 1), (5; 3; 1), (4; 1; 2) và mặt phẳng ( ): + = 27 Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên ( ) và điểm trên tia
sao cho tứ giác là hình thoi Tọa độ điểm là
Trang 26Câu 1 Cho hàm số ( ) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số là
Lời giải Chọn D
Dựa vào BBT ta có giá trị cực đại của hàm số là 54
Câu 2 Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Lời giải Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ ; −2) và (0 ; 1)
Câu 3 Trong không gian , cho mặt cầu
( ): + + − 2 − 2 − 6 = 0 Tâm của mặt cầu đã cho có tọa độ là:
Trang 27Vậy số giao điểm của hàm số với trục hoành là 3
Câu 6 Trong không gian , vectơ đơn vị trên trục là
A ⃗ = (1 ; 1 ; 1) B ⃗ = (0 ; 1 ; 0) C ⃗ = (1 ; 0 ; 0) D ⃗= (0 ; 0 ; 1)
Lời giải Chọn B
Trong không gian , vectơ đơn vị trên trục là ⃗ = (0 ; 1 ; 0)
Câu 7 Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng 8 và bán kính đáy bằng Độ dài đường sinh của
Điểm biểu diễn hình học của số phức = + ( , ∈ ℝ) là ( ; )
Với = 2 − 3 ta có = 2 và = −3 Do đó điểm biểu diễn tương ứng là (2 ; −3)
Câu 9 Môđun của số phức − bằng
Trang 28Lời giải Chọn C
Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng ℎ và diện tích đáy bằng là = ℎ
Câu 13 Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới
Lời giải Chọn D
Từ bảng biến thiên suy ra hệ số > 0 nên loại A và B
Do hàm số có hai điểm cực trị là = 1 và = −1 nên chỉ có phương án C thỏa mãn
Câu 14 Với và là hai số thực dương tùy ý, log( ) bằng
A log + log B 2log + log C 2log + 3log D 2log 3log
Lời giải
Chọn C
Với và dương, ta có:
log( ) = log + log = 2log + 3log
Câu 15 Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0; 1) và (−1; 2; 2) có một vec tơ chỉ
Do: = √ có mũ nguyên dương nên xác định khi √ xác định, mà √ xác định ∀ ∈ ℝ
Câu 18 Cho ∫ ( ) = 1; ∫ ( ) = 2 Khi đó ∫ ( ) bằng
Trang 29Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = là = 3
Câu 20 Tìm số phức liên hợp của số phức = 1 − 3 + (1 − )
Mặt khác, ′( ) đổi dấu khi qua = 1; = 3 và ′( ) không đổi dấu khi qua = −2 Vậy hàm số = ( ) có hai điểm cực trị
Câu 22 Cho cấp số cộng ( ) có số hạng đầu = 2 và công sai = 5 Giá trị của bằng ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là = (−∞; 1)
Câu 24 Nếu (1) = 12, ′( ) liên tục và ∫14 ′( ) = 17, giá trị của (4) bằng:
Hàm số = log có TXĐ = (0; +∞) nên không thỏa mãn Do > 1 nên hàm số = đồng biến trên ℝ
Trang 30Câu 26 Phương trình log (3 − 1) = 2 có nghiệm là
Câu 28 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ′( ) = + 1 với mọi ∈ ℝ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Lời giải Chọn A
Ta có: ′( ) < 0 ⇔ + 1 < 0 ⇔ < −1
Vậy hàm số = ( ) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1)
Câu 29 Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Xác suất để lấy được ít
nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?
Câu 30 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′ Giả sử tam giác ′ và ′ ′ đều có 3 góc nhọn Góc giữa hai đường thẳng và ′ là góc nào sau đây?
Lời giải Chọn B
Ta có: // ′ ′ (tính chất của hình hộp)
⇒ ( , ′ ) = ( ′ ′, ′ ) = ′ ′ (do giả thiết cho ′ ′ có ba góc nhọn)
Câu 31 Xét tất cả các số thực dương và thỏa mãn log = log √ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Trang 31⇔ log = log √ ⇔ = √ ⇔ = √ ⇔ =
Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng ( ): 3 + 4 − 5 + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( )
Vì ⊥ ( ) nên đường thẳng nhận ⃗ = (3; 4; −5) làm véc-tơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) và nhận ⃗ = (3; 4; −5) làm véc-tơ chỉ phương nên có
Ta có = 2 − (−1) + (0 − 2) + 0 − (−3) = √22 Mặt cầu tâm (−1; 2; −3) và đi qua điểm (2; 0; 0) có bán kính = = √22 Phương trình mặt cầu là: ( + 1) + ( − 2) + ( + 3) = 22
Trang 32Lời giải Chọn C
Ta có: là trung điểm của ′ ⇒ , ( ′ ′) = , ( ′ ′) = = √
Trang 33Từ bảng biến thiên suy ra ( ) ⇔ ≤
Câu 40 Cho , là các số thực dương thỏa mãn log = log = log ( + ) Giá trị của bằng:
Câu 41 Biết diện tích hình phẳng giới bởi các đường = sin , = cos , = 0, = (với ∈ ; là −3 + 4√2 − √3 Hỏi số thuộc khoảng nào sau đây?
Lời giải Chọn C
Ta có: sin < cos với ∈ 0; , sin > cos với ∈ ,
Diện tích hình phẳng giới bởi các đường = sin , = cos , = 0, = với ∈ ; là = ∫ |sin − cos | d = ∫ |sin − cos | d + ∫ |sin − cos | d = ∫ (cos − sin )d + ∫ (sin − cos )d
4 d + √2sin −4 d = √2 sin +4 − √2cos −4
⇒ = −3 + 4√2 − √3 2
Trang 34Dấu đẳng thức xảy ra khi | | = | |
Câu 43 Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích cho trước Mối quan hệ giữa
bán kính đáy và chiều cao ℎ của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là
Hình trên là đồ thị ( ) của hàm số = ( − 2) ( + 3) với , lần lượt là hai điểm cực trị của ( ) Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình bằng Vậy diện tích phần tô đậm là
Câu 45 Cho lăng trụ ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của ′ trên mặt phẳng ( ) trùng với trọng tâm tam giác Biết khoảng cách giữa ′ và bằng √ Tính thể tích của khối lăng trụ ′ ′ ′?
Lời giải
Trang 35Suy ra là đoạn vuông góc chung giữa ′ và ⇒ ( ′; ) = = √ vuông tại ⇒ sin = =
′ vuông tại ⇒ ′ = tan = √ tan30° =
Thể tích của khối lăng trụ ′ ′ ′: = ′ = √ = √
Câu 46 Một quán cafe muốn làm cái bảng hiệu là một phần của elip có kích thước, hình dạng giống như
hình vẽ và có chất liệu bằng gỗ Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là bao nhiêu? (làm tròn đến phần hàng chục)
Lời giải Chọn D
Trang 36Đầu tiên ta cần lập phương trình đường elip biểu thị bảng gỗ
Chọn hệ trục tọa độ và các điểm như hình vẽ sao cho bảng gỗ này đối xứng qua hai trục và
Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là: = 2 ∫ ,, 1 − dx=∫ ,, 1 − dx ≈ 1,4 m
Câu 47 Cho hàm số ( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( )= (| − 2 − 3| + )
Trang 37Ta có ′(| − 2 − 3| + ) = 0 ⇔ | − 2 − 3| + = 4
| − 2 − 3| = 4 −
| − 2 − 3| = 5 − (1)
Hàm số ( )= (| − 2 − 3| + ) có ít nhất 7 điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác điểm cực trị của ( )⇔ 5 − > 0 ⇔ < 5 ⇒ ∈ {1,2,3,4}
Câu 48 Cho ; là các số thực dương thỏa mãn log = + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm (2; −1; 1), (5; 3; 1), (4; 1; 2) và mặt phẳng ( ): + = 27 Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên ( ) và điểm trên tia
sao cho tứ giác là hình thoi Tọa độ điểm là
Trang 38Do là hình thoi nên suy ra ⃗ = ⃗ + ⃗ = ; ; = (19; 22; 5) cùng hướng với ⃗, hay ⃗ = (19; 22; 5) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng Phương trình đường thẳng
Chọn điểm ⃗ = 3 ⃗, = 15 và ⃗ = 3 ⃗, = 15 Khi đó tam giác cân tại Do tứ giác là hình thoi nên tam giác cân tại Suy ra và song song
Ta có + √2 − = 1 ⇔ − 1 + √2 = 1 Gọi = 1 + √2 có điểm biểu diễn là 1; √2 Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn của ,
Vì | − | = 2 nên là trung điểm của
= = 2 ⇔ | | = | | = 2
Vậy giá trị lớn nhất của | |+ | | bằng 4
Trang 39Câu 3 Với là số thực dương tùy ý, ta có log bằng
Trang 40Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Hàm số đạt cực đại tại = −2 B Hàm số đạt cực đại tại = 3
C Hàm số đạt cực đại tại = 4 D Hàm số đạt cực đại tại = 2
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ⃗ = 2⃗ + 3⃗ − 5 ⃗; ⃗ = −2⃗ − 4 ⃗ Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng