Thái Nguyên, tháng 12 năm 2023 Trang 4 LỜI CẢM ƠN Luận văn "Môđun nội xạ qua chuyển phẳng hoàn toàn" được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới
Môđun tích tenxơ
Cho M, N và K là các R-môđun Trước hết nhắc lại rằng ánh xạ f : M×N →K là ánh xạR-song tuyến tính nếuf(x, y) là R-đồng cấu theo x, với mỗi y ∈ N cố định và R-đồng cấu theo y với mỗi x ∈ M cố định. Định nghĩa 1.1.1 Cho M và N là các R-môđun Tích tenxơ của M với
N là một cặp (T, g) trong đó T là R-môđun và g : M ×N → T là ánh xạ
R-song tuyến tính thỏa mãn tính chất với bất kì R-môđun P và R-ánh xạ song tuyến tính f : M ×N →P, luôn tồn tại duy nhất ánh xạ R-đồng cấu fe: T → P sao cho f ge = f. Định lý 1.1.2 Tích tensơ của M và N luôn tồn tại và xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh tính duy nhất Giả sử(T, g)và(T ′ , g ′ ) cùng thỏa mãn các điều kiện của tích tenxơ Xét biểu đồ
Theo định nghĩa tích tenxơ, tồn tại duy nhất ánh xạ R-đồng cấu ϕ và ψ sao cho ϕg = g ′ và ψg ′ = g Tiếp theo ta xét biểu đồ
Vì (ψϕ)g = ψ(ϕg) = ψg ′ = g và 1 T g = g, nên do tính duy nhất ta có ψϕ= 1 T Tương tự, ta có ϕψ = I T ′ Suy ra T ∼= T ′
Tiếp theo ta chứng minh sự tồn tại Giả sử F là R-môđun tự do xác định trên tập M × N, gồm tất cả các tổ hợp R-đồng cấu hình thức dạng
P ia i (x i , y i ), a i ∈ R, x i ∈ M, và y i ∈ N, với phép cộng và phép nhân hình thức thông thường Kí hiệu G là môđun con của F sinh bởi các phần tử có dạng x+x ′ , y −(x, y)− x ′ , y x, y+y ′ −(x, y)− x, y ′ , x, x ′ ∈ M, y, y ′ ∈ N, (ax, y)−a(x, y), a ∈ R.
(x, ay)−a(x, y) Đặt T = F/G và xét ánh xạ g : M ×N → T cho bởi g(x, y) = (x, y) +G.
Ta sẽ chứng minh rằng (T, g) thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa tích tenxơ Thật vậy, rõ ràngg là ánh xạR-song tuyến tính Xét bất kỳR-môđun
P và bất kỳ ánh xạ R-song tuyến tính f : M ×N →P Khi đó f có thể mở rộng được thành ánh xạ R-đồng cấu f 1 : F → P bằng cách định nghĩa f˙ 1
Rõ ràngf1 triệt tiêu trênG, do cách định nghĩaG và do tính chất song tuyến tính của f Vì thế tồn tại ánh xạ R-đồng cấu f˜: F/G = T →P, thỏa mãn f ge = f Suy ra (T, g) chính là tích tensơ cần xây dựng.
Tích tenxơ F/G được kí hiệu là M ⊗ R N hay đơn giản là M ⊗N, khi không có sự nhầm lẫn về vành cơ sở R Ảnh của phần tử (x, y) ∈ F qua phép chiếu tự nhiên F →F/G được kí hiệu bởi x⊗y.
Mệnh đề 1.1.3 (a) x⊗y là R-đồng cấu theo cả biến x và biến y.
(c) M ⊗N sinh bởi các phần tử có dạng x⊗y, trong đó x ∈ M, y ∈ N.
Chứng minh (a) Hiển nhiên theo định nghĩa.
(b) Ta có (x+x ′ )⊗y = x⊗y +x ′ ⊗y Đặc biệt cho x = x ′ = 0 và t = 0⊗y.
Khi đó t= t+t và do đó t = 0 Tương tự ta cũng có x⊗0 = 0.
(c) Nếu z ∈ M ⊗N, thì z = x+G, trong đó x = P i a i (x i , y i ) Suy ra z = X i a i (x i , y i ) + G= X i a i (x i ⊗y i ).
Hệ quả 1.1.4 Nếu M và N là các R-môđun hữu hạn sinh thì M ⊗N cũng là R-môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh Giả sử M sinh bởi các phần tử {x 1 , , x n } và N sinh bởi các phần tử {y 1 , , y m } Nếu u ⊗ v ∈ M ⊗ N, thì ta có u = P n i=1 a i x i và v = Σ m j=1 bjyj, với ai, bj ∈ R Khi đó u⊗v
Vì thế hệ x i ⊗y j sinh ra M ⊗N.
Nhận xét 1.1.5 Ngay cả khi x ̸= 0 và y ̸= 0 cũng có thể xảy ra x⊗y = 0. Chẳng hạn cho R = Z, M = Z và N = Z 2 Khi đó
Mệnh đề 1.1.6 Giả sử M, N và P là các R-môđun Khi đó
Chứng minh (a) Dễ kiểm tra được ánh xạ (M ⊗N)×P → M ⊗(N ⊗P) xác định bởi
(x⊗y, z) →x⊗(y ⊗z) là một R-song tuyến tính trên (M ⊗N)×P và có thể mở rộng được thành
R-ánh xạ tuyến tính (M ⊗N)⊗P →M ⊗(N ⊗P) cho bởi
(x⊗y)⊗z → x⊗(y ⊗z). Ánh xạ song tuyến tính này là đẳng cấu vì có ánh xạ ngược xác định bởi x⊗(y ⊗z) → (x⊗y)⊗z với mọi x ∈ M, y ∈ N, z ∈ P.
(b) Ta kiểm tra được ánh xạ xác định bởi x⊗y → y⊗x là một đẳng cấu vì có ánh xạ ngược của nó cho bởi y ⊗x → x⊗y.
(c) Ta định nghĩa các ánh xạ R-đồng cấu ϕ : R ⊗M → M cho bởi ϕ(a⊗x) = ax và ψ : M →R⊗M xác định bởi ψ(x) = 1⊗x Khi đó ta có ϕψ = 1 M , ψϕ = 1 R⊗M Suy ra M ∼= R⊗M Tương tự ta cũng chứng minh được M ∼= M ⊗R.
Nhận xét 1.1.7 Do tính chất kết hợp của tích tenxơ trình bày trong (a), tích tenxơ của hữu hạn các R-môđun cũng hoàn toàn xác định.
Mệnh đề 1.1.8 Giả sử M = L P n i=1 M i và N = L P m j=1 N j Khi đó
M i ⊗N j cho bởi(x, y) →P i,j x i ⊗y j trong đó x = Σ i x i vày = Σ j y j là xác định và mở rộng được thành ánh xạR-đồng cấuθ : M⊗N → ⊕P i,j M i ⊗N j Ánh xạ nhúng M i → M và N j →N cảm sinh ra ánh xạ R-đồng cấu M i ⊗N j →
M ⊗ N, với mỗi i và j Các ánh xạ này cảm sinh ra ánh xạ R-đồng cấu ϕ : ⊕Σ i,j M i ⊗N j → M ⊗ N Rõ ràng ϕθ = 1 M ⊗N và θϕ = 1 ⊕Σ i,j( M i ⊗N j ).Điều này chứng tỏ θ là một đẳng cấu.
Phức và hàm tử
Định nghĩa 1.2.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Một phức X các
R-môđun là một dãy {X n } n ⩾ 0 các R-môđun và một dãy {d n } n ⩾ 0 các R-ánh xạ tuyến tính d n : X n → X n−1 thỏa mãn d n d n+1 = 0 với mọi n ⩾ 0 Ta kí hiệu mỗi phức như vậy là
X : → X n → d n X n−1 → X 1 → d 1 X 0 → 0. Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X = (X n , d n ) n ⩾ 0 và X ′ = (X n ′ , d ′ n ) n ⩾ 0 là hai phức Một đồng cấu F : X → X ′ giữa các phức là một họ {F n } n ⩾ 0 các
R-ánh xạ tuyến tính F n : X n → X n ′ sao cho các biểu đồ sau là giao hoán với mọi n
ChoX là môt phức các R-môđun Các R-môđun con Zn(X) := Kerdn và B n (X) := Imd n+1 lần lượt được gọi là vòng thứ n và biên thứ n của phức
X Do d n d n+1 = 0, nên B n (X) ⊆ Z n (X) với mọi n ⩾ 0 và môđun thương
B n (X) được gọi là đồng điều thứ n của X, kí hiệu là H n (X).
Mệnh đề 1.2.3 Giả sử F : X → X ′ là một ánh xạ giữa các phức Khi đó
F cảm sinh ra các R-ánh xạ tuyến tính F n ∗ : Hn(X) → Hn(X ′ ) với mọi n. Hơn nữa,
(b) nếu G: X ′ → X ′′ là một ánh xạ khác giữa các phức thì (GF) ∗ n = G ∗ n F n ∗ với mọi n.
Chứng minh Vì F là ánh xạ giữa các phức nên ta có biểu đồ giao hoán
Do d ′ n+1 F n+1 = F n d n+1 nên với mọi n ta có F n+1 Z n+1 (X) ⊆ Z n+1 (X ′ ) và
F n B n (X) ⊂ B n (X ′ ) Suy ra F n cảm sinh ra ánh xạ
B n (X ′ ) cho bởi F n ∗ α +B n (X) = F n (α) + B n (X ′ ) với mỗi α ∈ Z n (X) Dễ dàng kiểm tra được F n ∗ thỏa mãn các điều kiện (a) và (b). Định nghĩa 1.2.4 Hai ánh xạ F : X →X ′ và G : X → X ′ giữa các phức được gọi làtương đương đồng luân nếu tồn tại một họs = {s n } n ⩾ 0 các R-ánh xạ tuyến tính s n : X n → X n+1 ′ sao cho với mọi n ta có d ′ n+1 sn+ sn−1dn = Fn−Gn.
Ta kí hiệu F∼=G khi các phức F và G là tương đương đồng luân với nhau dưới tác động của đồng luân s.
Mệnh đề 1.2.5 Cho F : X → X ′ và G : X → X ′ là hai ánh xạ giữa các phức sao cho F ∼= G Khi đó F n ∗ = G ∗ n với mọi n.
Chứng minh Giả sử s = {s n } n>0 là đồng luân giữa F và G Khi đó d ′ n+1 s n + s n−1 d n = F n −G n Nếu α ∈ Z n (X) thì d n α = 0, do đó
F n (α)−G n (α) = d ′ n+1 s n (α) ∈ B n X ′ Suy ra F n ∗ α+B n (X) = G ∗ n α+ B n (X) với mọi n. Định nghĩa 1.2.6 Hai phức X và X ′ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ F : X → X ′ và G : X ′ → X sao cho GF ∼= I X và
Hệ quả 1.2.7 Nếu F : X → X ′ là tương đương đồng luân, thì
F n ∗ : H n (X) →H n X ′ là đẳng cấu với mọi n.
Chứng minh Đồng cấu ngược của F n ∗ là G ∗ n : Hn(X ′ ) → Hn(X). Định nghĩa 1.2.8 Phức X được gọi là tuần hoàn nếu H n (X) = 0 với mọi số tự nhiên n. Định nghĩa 1.2.9 Một hàm tử hiệp biến cộng tính (tương ứng phản biến cộng tính)từ phạm trù các R-môđun vào chính nó là một tương ứng với mỗi
R-môđunM một R-môđunT(M) và mỗiR-ánh xạ tuyến tính f : M → M ′ , một R-ánh xạ tuyến tính
T(f) : T(M) →T M ′ tương ứng T(f) : T M ′ →T(M) thỏa mãn các điều kiện sau:
Ví dụ 1.2.10 (a) Cho N là R-môđun cố định Hàm tử
N, và T(f) =f ⊗1 N , với f : M →M ′ , là hàm tử hiệp biến cộng tính.
(b) Với một R-môđunN cố định, hàm tửT ′ (M) = Hom R (M, N)vàT ′ (f) Hom R (f, I N ), f :M → M ′ , là một hàm tử phản biến cộng tính.
Môđun phẳng hoàn toàn
Định lý 1.3.1 Cho 0 → N ′ −→ f N −→ g N ′′ → 0 là một dãy khớp các
R-môđun Khi đó với bất kì R-môđun M, dãy
−→M ⊗N ′′ → 0 là khớp, trong đó f ∗ và g ∗ lần lượt xác định bởi f ∗ (x ⊗y) = x⊗ f(y) và g ∗ (x⊗z) =x⊗g(z).
Chứng minh Vì g là toàn ánh nên g ∗ cũng là toàn ánh Hơn nữa, g ∗ f ∗ = 0 vì gf = 0 do đó Imf ∗ ⊆ Kerg ∗ Để chứng minh Imf * = Kerg ∗ , ta chỉ cần chứng minh ánh xạ tự nhiên θ : M ⊗N
Kerg ∗ xác định bởi x⊗y +Imf ∗ → x⊗y + Kerg ∗ là một đẳng cấu Xét biểu đồ
M ⊗N ′′ trong đúλ là đẳng cấu cảm sinh bởi g ∗ : M ⊗N →M ⊗N ′′ Ta đặt à = λθ và chứng minh θ là đẳng cấu bằng cỏch chứng minh à là đẳng cấu Ta xõy dựng ỏnh xạ ngược ν của à Giả sử ν :M ⊗N ′′ → M ⊗N lmf ∗ là đồng cấu xác định bởi ν(x⊗y) = x⊗z+ Imf ∗ , x ∈ M, y ∈ N ′′ trong đó z ∈ N là phần tử sao cho g(z) = y Rõ ràng ν luôn xác định và nếu ta cũng có g(z1) = y, z1 ∈ N, thì z−z1 ∈ Kerg = Imf, vì thế z−z1 = f(t), t ∈ N. Suy ra x⊗z−x⊗z 1 = x⊗f(t) = f ∗ (x⊗t) ∈ Imf ∗
Dễ dàng kiểm tra được à và ν là nghịch đảo của nhau và do đú ta cú điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.3.2 Chú ý nhìn chung dãy 0 → M ⊗N ′ f
−→ M ⊗N không là khớp Chẳng hạn, xét N ′ = N = Z và f : Z → Z cho bởi f(x) = 2x Rõ ràng f là đơn ánh Nếu M = Z 2 , thì f ∗ : Z 2 ⊗ Z Z → Z 2 ⊗ Z Z là ánh xạ không vì với bất kì x ∈ Z, f ∗ (1⊗ x) = 1⊗ 2x = 2(1 ⊗x) = 0 ⊗x = 0 Nhưng
Z2⊗ Z Z ∼= Z 2 ̸= 0, vì thế f ∗ không là đơn ánh.
Mệnh đề 1.3.3 Với mỗi R-môđun M, các điều kiện sau là tương đương:
(a) Với mỗi dãy khớp các R-môđun, 0 → N ′ −→ f N −→ g N ′′ → 0, dãy
(b) Nếu N ′ −→ f N là đơn ánh thì f ∗ : M ⊗N ′ → M ⊗N cũng là đơn ánh.
(c) Nếu N ′ −→ f N là đơn ánh, với N và N ′ là các R-môđun hữu hạn sinh, thì f ∗ : M ⊗N ′ →M ⊗N là đơn ánh.
Chứng minh (a)⇒(b) là hiển nhiên Theo Định lý 1.3.1, ta có ngay chiều (b)⇒(a).
(b)⇒(c) là hiển nhiên Ta còn phải chứng minh (c)⇒(b) Giả sử f :
N ′ →N là đơn ánh Xét đồng cấu f ∗ : M ⊗N ′ →M ⊗N Giả sử
(x i ⊗y i ) ∈ Kerf ∗ sao chof ∗ P i x i ⊗y i = Σ i x i ⊗f (y i ) = 0 GọiN 1 ′ là môđun con củaN ′ sinh bởi các phần tử {y i } và đặt t = Σ i x i ⊗y i ∈ M ⊗N 1 ′ Vì Σ ix i ⊗f (y i ) = 0, nên tồn tại R-môđun con hữu hạn sinh N 1 của N chứa f (N 1 ′ ) sao cho
P ixi ⊗f (yi) ∈ M ⊗ N1 bằng 0 Hạn chế f trên N 1 ′ cho ta đơn ánh f1 :
N 1 ′ → N 1 sao cho f 1 ∗ (t) = 0 Từ giả thiết (c) ta suy ra t = 0 Do đo f ∗ là đơn ánh. Định nghĩa 1.3.4 Một R-môđun M được gọi là môđun phẳng nếu với mỗi dãy khớp các R-môđun 0 → N ′ −→ f N −→ g N ′′ → 0, dãy cảm sinh
Nhận xét 1.3.5 (a) Theo mệnh đề trên, một R-môđun M là phẳng nếu và chỉ nếu với mỗi đơn ánh f : N ′ → N ánh xạ f ∗ : M ⊗N ′ → M ⊗ N cũng là đơn ánh Hơn nữa, ta có thể hạn chế giả thiết là cả N và N ′ đều là hữu hạn sinh.
(b) Do đẳng cấu M⊗N ∼= N⊗M nên R-môđun M là phẳng nếu và chỉ nếu với mỗi đơn ánh f 1 : N ′ → N, ánh xạ cảm sinh f i ∗ : N ′ ⊗M → N⊗M cũng là đơn ánh.
Ví dụ 1.3.6 (a) M = R n là R-môđun phẳng Thật vậy, rõ ràng, R là R- môđun phẳng vì M ⊗ R R ∼= M Theo Mệnh đề 1.1.8, tích tensơ tương thích với tổng trực tiếp, vì thế M = R n cũng là R-môđun phẳng.
(b) Z2 không là môđun phẳng trên vành Z theo Nhận xét 1.3.2.
Mệnh đề 1.3.7 Giả sử f : R →S là đồng cấu vành.
(a) Nếu M là R-môđun phẳng thì S⊗ R Mcũng là S-môđun phẳng.
(b) Nếu M là S-môđun phẳng và S là R-môđun qua đồng cấu f là R-môđun phẳng thì M là R-môđun phẳng.
Chứng minh (a) Cho 0 →N ′ −→ f N là dãy khớp các S-môđun Chú ý rằng ta luôn có đẳng cấu
N ′ ⊗ S S ⊗ R M ∼= N ′ ⊗ R M và dãy 0 → N ′ ⊗ R M → N ⊗ R M là khớp, M là R-môđun phẳng nên suy ra S ⊗M là S-môđun phẳng.
(b) Giả sử 0→ N ′ →N là dãy khớp các R-môđun Vì S là R-môđun phẳng, nên dãy 0 →S⊗ R N ′ →S⊗ R N là khớp Do M là S-môđun phẳng nên dãy 0 → M ⊗ S S ⊗ R N ′ → M ⊗ S S ⊗ R N cũng là dãy khớp, nghĩa là
0 →M ⊗ R N ′ → M ⊗ R N là khớp Do đó M là R-môđun phẳng. Định nghĩa 1.3.8 R-môđun M được gọi là R-môđun phẳng hoàn toàn nếu với mỗi dãy các R-đồng cấu N ′ →N → N ′′ là khớp khi và chỉ khi dãy tensơ
Rõ ràng, mỗi môđun phẳng hoàn toàn đều là phẳng Sau đây là một số ví dụ về môđun phẳng hoàn toàn.
Ví dụ 1.3.9 (a) Tổng trực tiếp của các môđun phẳng hoàn toàn là môđun phẳng hoàn toàn.
(b) Mỗi môđun tự do đều là phẳng hoàn toàn vì nó đẳng cấu với tổng trực tiếp các copy của R và R là môđun phẳng.
Tiếp theo ta chứng minh một số tính chất của môđun phẳng hoàn toàn.
Mệnh đề 1.3.10 Một R-môđun M là phẳng hoàn toàn nếu và chỉ nếu
M ⊗ R N = 0 đều kéo theo N = 0 với mọi R-môđun N.
Chứng minh Giả sử M là R-môđun phẳng hoàn toàn Khi đó rõ ràng M là phẳng Hơn nữa, nếu N là R-môđun thì ta xét dãy các R-môđun
Dãy này là khớp khi và chỉ khi
0→ M ⊗ R N →0 là khớp Vì thế N = 0 nếu và chỉ nếu M ⊗ R N = 0.
Ngược lại, giả sử M là R-môđun phẳng và thỏa mãn tính chất nếu
M ⊗ R N = 0 kéo theo N = 0 với mọi R-môđun N Ta cần chỉ ra rằng nếu
N ′ →N → N ′′ cũng là dãy khớp Do M là phẳng nên việc lấy đồng điều là giao hoán với phép lấy tensơ với M Đặc biệt nếu H là đồng điều của dãy N ′ → N →N ′′ , thì H ⊗ R M là đồng điều của N ′ ⊗ R M → N ⊗ R M → N ′′ ⊗ R M Suy ra
H ⊗ R M = 0, vì thế H = 0, và phức ban đầu là khớp.
Ví dụ 1.3.11 Một minh họa khác cho kĩ thuật trên là suy luận sau: nếu
M là R-môđun phẳng hoàn toàn và f : N → N ′ là một đồng cấu tùy ý, thì đồng cấu f : N → N ′ là đẳng cấu khi và chỉ khi đồng cấu 1 M ⊗ f :
M ⊗N ′ → M ⊗N là đẳng cấu Điều này là do điều kiện để một ánh xạ là đẳng cấu được đặc trưng thông qua tính khớp của một phức xác định.
Ví dụ 1.3.12 Tổng trực tiếp của một môđun phẳng và một môđun phẳng hoàn toàn là một môđun phẳng hoàn toàn.
Mệnh đề 1.3.13 Một R-môđun M là phẳng hoàn toàn nếu và chỉ nếu nó là phẳng và hàm tử N → N ⊗ R M là trung thành, nghĩa là ánh xạ tự nhiên
HomR N, N ′ →HomR N ⊗ R M, N ′ ⊗ R M là đơn ánh với mọi R-môđun N ′
Chứng minh Giả sử M là R-môđun phẳng Ta cần chứng minh rằng M là phẳng hoàn toàn nếu và chỉ nếu ánh xạ tự nhiên
Hom R N, N ′ →Hom R N ⊗ R M, N ′ ⊗ R M là đơn ánh Trước hết giả sửM là phẳng hoàn toàn và f : N → N ′ là R-đồng cấu sao cho f ⊗1M : N ⊗ R M →N ′ ⊗ R M là ánh xạ không Theo tính chất môđun phẳng ta có
Im(f)⊗ R M = Im (f ⊗1 M ) vì thế nếu f ⊗1M = 0, thì Im(f) ⊗M = 0 Vì M là phẳng hoàn toàn nên Im(f) = 0 theo Mệnh đề 1.3.10 Vậy ánh xạ tự nhiên xét ở trên là đơn ánh.
Ngược lại, giả sử M là R-môđun phẳng và hàm tử N → N ⊗ R M là trung thành Lấy N ̸= 0; khi đó ta có 1N là đồng cấu khác không Suy ra
1 N ⊗1 M và0⊗1 M = 0 là các tự đồng cấu phân biệt của R-môđun M⊗ R N.
Vì thế M ⊗ R N ̸= 0 Theo Mệnh đề 1.3.10, ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3.14 R-môđun M là phẳng hoàn toàn nếu và chỉ nếu M là
R-môđun phẳng và mM ̸= M với mọi iđêan cực đại m của R.
Chứng minh NếuM làR-môđun phẳng hoàn toàn thìM làR-môđun phẳng, và theo Mệnh đề 1.3.10 ta có
M ⊗R R/m = M/mM ̸= 0 với mọi m vì R/m ̸= 0 Ta chứng minh xong chiều thứ nhất.
Ngược lại, giả sử M là R-môđun phẳng và M ⊗ R R/m ̸= 0 với mọi iđêan cực đại m Do mỗi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại nên ta có M ⊗ R R/I ̸= 0 với mọi iđêan thực sự I của R Ta sẽ dùng tính chất này và Mệnh đề 1.3.10 để chứng minh M là R-môđun phẳng hoàn toàn.
Cho N là R-môđun khác không Khi đó N chứa một môđun con xyclic đẳng cấu với vành thương R/I với iđêan I nào đó Do M là R-môđun phẳng nên phép nhúng
R/I ,→ N khi chuyển qua tensơ ta được đơn cấu
Do R/I ⊗ R M ̸= 0, nên ta có N ⊗ R M ̸= 0 Theo Mệnh đề 1.3.10 ta suy ra
Hệ quả 1.3.15 Mỗi môđun phẳng hữu hạn sinh khác không trên vành địa phương đều là môđun phẳng hoàn toàn.
Chứng minh Giả sử R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m, và M là R-phẳng hữu hạn sinh khác không Theo Bổ đề Nakayama ta có M/mM ̸= 0, vì thế M là R-môđun phẳng hoàn toàn theo Mệnh đề1.3.14.
Mệnh đề 1.3.16 Môđun phẳng hoàn toàn tương thích với tổng trực tiếp và tích tenxơ. Định nghĩa 1.3.17 Đồng cấu giữa các vành giao hoán ϕ : R →S được gọi là đồng cấu phẳng (tương ứng đồng cấu phẳng hoàn toàn) nếu S là môđun phẳng (tương ứng môđun phẳng hoàn toàn) khi xét như R-môđun. Đồng cấu phẳng ϕ : (R,m) → (S,n) giữa các vành giao hoán địa phương được gọi là đồng cấu địa phương nếu ϕ(m) ⊂ n.
Ví dụ 1.3.18 Ánh xạ R → R[x] từ vành giao hoán R vào vành đa thức một biến trên R là một đồng cấu phẳng hoàn toàn.
Mệnh đề 1.3.19 Đồng cấu phẳng hoàn toàn tương thích với phép hợp thành các đồng cấu và tính chất chuyển phẳng cơ sở.
Chứng minh Khẳng định thứ nhất là do hợp thành của các hàm tử trung thành và khớp (lấy tenxơ ⊗ R S và ⊗ S T cho ta hợp thành ⊗ R T ) cho ta hàm tử trung thành và khớp. Để chứng minh khẳng định thứ hai, ta lấy M là R ′ -môđun Khi đó theo tính chất của tích tenxơ ta có đẳng cấu
Vì thế nếu hàm tử M 7→ M ⊗ R S là trung thành và khớp, thì hàm tử M 7→
M ⊗ R ′ (R ′ ⊗ R S) cũng là hàm tử là trung thành và khớp.
Mệnh đề 1.3.20 Nếu ϕ : R → S là đồng cấu phẳng hoàn toàn thì ánh xạ ϕ là đơn ánh.
Chứng minh Thật vậy, ta lấy tenxơ ánh xạ R → S với S trên R Ta được đồng cấu giữa các S-môđun
S → S ⊗ R S, xác định bởi s 7→ 1⊗ s Đồng cấu này có ánh xạ ngược S ⊗ R S → S cho bởi a⊗b 7→ab Suy ra đồng cấu cảm sinh S →S⊗ R S, là đơn ánh Do ϕ là phẳng hoàn toàn nên R →S là đơn ánh.
Nhận xét 1.3.21 Chiều ngược lại của Mệnh đề 1.3.20 nhìn chung không đúng Xét vành địa phương hóa của Z tại iđêan nguyên tố 2Z là Z 2 Z Vì hàm tử địa phương hóa là hàm tử khớp nên đồng cấuZ → Z 2 Z là đồng cấu phẳng. Nhưng đồng cấu này không là phẳng hoàn toàn vì Z 2 Z ⊗Z 3 = 0 trong khi
Mệnh đề 1.3.22 Đồng cấu phẳng địa phương giữa các vành địa phương là đồng cấu phẳng hoàn toàn Đặc biệt, nó là đơn ánh.
Chứng minh Cho ϕ : R → S là đồng cấu phẳng địa phương giữa các vành địa phương với các iđêan cực đại là m,n Theo định nghĩa đồng cấu địa phương ta có ϕ(m) ⊂ n Vì thế S ̸= ϕ(m)S theo Mệnh đề 1.3.20.
Môđun mở rộng Ext và chiều xạ ảnh của môđun
Định nghĩa 2.1.1 Ta nói R-môđun L là môđun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu α : M → M ′ giữa các R-môđun và mỗi đồng cấu β : L → M ′ , tồn tại
Mệnh đề 2.1.2 R-môđun L là xạ ảnh nếu và chỉ nếu L là thành phần tổng trực tiếp của một môđun tự do.
Chứng minh Xét trường hợpL là R-môđun tự do với cơ sở là {e i } i∈I Giả sử β :L →M ′ là một đồng cấu, và α :M → M ′ là toàn cấu giữa các R-môđun. Đặtβ(e i ) = x i Vìα là toàn cấu nên chọny i ∈ M sao choα(y i ) = x i Khi đó ánh xạ γ : L → M, xác định bởiγ(e i ) = y i , i∈ I có thể mở rộng thành ánh xạ R-đồng cấu γ bằng cách định nghĩa γ(Σaiei) = Σaiyi Rõ ràng γα = β.
Do đó L là môđun xạ ảnh.
Giả sử L là thành phần tổng trực tiếp của môđun tự do F, nghĩa là
L ⊕Q = F, với R-môđun Q nào đó Xét π : F → L là phép chiếu Cho β : L → M ′ là một đồng cấu bất kì và α : M → M ′ là một toàn ánh Xét βπ : F →M ′ Vì F là môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu γ : F → M sao cho αγ = βπ Vì thế γ 1 = γ | L : L → M thỏa mãn αγ = β Do đó L là môđun xạ ảnh.
Ngược lại, giả sử L là R-môđun xạ ảnh Ta viết L thành thương của môđun tự do F Vì thế có một toàn cấu α : F → L Do tính chất xạ ảnh của L, ta có ánh xạ cảm sinh β : L → F của ánh xạ đồng nhất 1 L : L → L sao cho αβ = 1L Điều này chứng tỏ dãy khớp 0 → Kerα → F −→ α L → 0 là chẻ ra.Vì thế L là thành phần tổng trực tiếp của F.
Ví dụ 2.1.3 (a) Mỗi R-môđun tự do đều là môđun xạ ảnh.
(b) Nếu R là miền iđêan chính thì mỗi R-môđun xạ ảnh đều là môđun tự do vì mỗi môđun con của môđun tự do là môđun tự do Đặc biệt, mỗi môđun xạ ảnh trên vành K[X], trong đó K là trường đều là môđun tự do.
Ví dụ 2.1.4 Cho R = Z 6 , L = {¯0,¯2,¯4} và Q = {¯0,¯3} là các iđêan của
R Khi đó R = L ⊕Q, do đó L là R-môđun xạ ảnh Tuy nhiên L không là
R-môđun tự do vì mỗi R-môđun tự do hạng n trên vành R = Z 6 đều đẳng cấu với R n và có 6n phần tử.
Sau đây là tính chất của môđun xạ ảnh qua phép lấy tổng trực tiếp và qua dãy khớp.
Mệnh đề 2.1.5 Các khẳng định sau là đúng:
L i là R-môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu L i là R-môđun xạ ảnh với mọi i.
(b) L là R-môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu mỗi dãy khớp có dạng
0→ M ′ −→ f M −→ g L → 0 đều chẻ ra. Định nghĩa 2.1.6 Một giải xạ ảnh của R-môđun M là một phức X cùng với một ánh xạ R-đồng cấu X 0 −→ ε M sao cho dãy sau
→ X n → d n X n−1 → →X 0 → ε M → 0 là khớp và mỗi X i đều là R-môđun xạ ảnh.
Nếu X là một giải xạ ảnh của M thì ta kí hiệu là X −→ ε M →0 Rõ ràng X có tính chất H n (X) = 0 với mọi n > 1 và H 0 (X) ∼= M.
Ví dụ 2.1.7 (a) Nếu M là R-môđun xạ ảnh thì ta chọn X0 = M, ε = 1M và X n = 0 với mọi n⩾ 1 Khi đó X là một giải xạ ảnh của M.
(b) Giả sử R = Z và M là một nhóm Aben Ta chọn một nhóm Aben tự do
X0 và toàn ánh ε : X0 → M Đặt X1 = Kerε Khi đó X1 cũng là nhóm Aben tự do và
0 →X 1 → i X 0 −→ ε M →0 là một giải xạ ảnh của M.
Mệnh đề 2.1.8 Mỗi R-môđun M đều có giải xạ ảnh.
Chứng minh Vì mỗi R-môđun đều là ảnh đồng cấu của một môđun tự do nên ta chọn được R-môđun tự do X 0 và một toàn cấu ε : X 0 → M Đặt
K 0 = Kerε Khi đó ta có dãy khớp
Ta tiếp tục chọn R-môđun tự do X1 cùng với toàn cấu f1 : X1 → K0 cóKerf 1 = K 1 Tiếp tục quá trình này ta có các dãy khớp 0 → K n → g n X n → f n
K n−1 → 0(n ⩾ 0), f 0 = ε và K −1 = M Đặt d n : X n → X¯ n−1 là ánh xạ d n = g n−1 f n , khi đó phức
.→ X n −→ d n X n−1 → X 1 → d 1 X 0 −→ ε M →0 là một giải xạ ảnh của M.
Chú ý rằng, giải xạ ảnh của M không xác định duy nhất Nếu X và
X ′ là hai giải xạ ảnh của M thì chúng tương đương đồng luân với nhau.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất trái LnT với mọi n⩾ 0 của một hàm tử hiệp biến T Giả sử ta có phức X các R-môđun
Tác động hàm tử T vào phức này ta được phức
T(X) : → T (X n ) T → (d n ) T (X n−1 ) → T (X 1 ) T → (d 1 ) T (X 0 ) →0 Đồng điều thứ n của phức T(X)
ImT (d n+1 ) được kí hiêu LnT(M).
Cho f : M → M ′ là R-ánh xạ tuyến tính và X, X ′ lần lượt là các giải xạ ảnh của M và M ′ Khi đó f có thể nâng được thành cấu xạ giữa các phức
F : X → X ′ và cấu xạ này cảm sinh ra phức T(F) : T (X) → T (X ′ ) Suy ra T(F) cảm sinh ra các ánh xạ giữa các đồng điều
T(F) ∗ n : H n (T(X)) →H n T X ′ với mọi n ⩾ 0, và ta viết L n T(f) : L n T(M) → L n T M ′ với mọi n ⩾ 0.
Mệnh đề 2.1.9 LnT(M) và LnT(f) hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh Hơn nữa, L n T với mọi n ⩾ 0 là các hàm tử cộng tính và hiệp biến.
Chứng minh Giả sử X và Y là hai giải xạ ảnh của M Suy ra X và Y là tương đương đồng luân Vì thế T(X) và T(Y) cũng tương đương đồng luân.
Do đó Hn T (X) ∼= Hn(T(Y)) với mọi n, nghĩa là LnT(M) xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu.
Giả sử f : M → M ′ là R-ánh xạ tuyến tính và X, X ′ lần lượt là các giải xạ ảnh của M, M ′ Gọi F : X → X ′ là ánh xạ nâng của f Khi đó F xác định duy nhất sai khác một đồng luân, nghĩa là nếu G : X → X ′ là một đồng cấu nâng khác của f thì F
T(F) ∗ n = T(G) ∗ n với mọi n, nghĩa là L n T(f) hoàn toàn xác định.
Ta còn phải chứng minh L n T là các hàm tử hiệp biến với mọi n ⩾ 0. Hiển nhiên L n (Id) = Id vì nếu f = Id : M → M, ta có thể chọn X ′ = X và
F = Id Giả sửX ′ , X vàX ′′ lần lượt là các giải xạ ảnh củaM ′ , M vàM ′′ Nếu
F : X → X ′ là một ánh xạ nâng của f : M → M ′ và G : X ′ → X ′′ là một ánh xạ nâng của g : M ′ → M ′′ thì GF : X → X ′′ là một ánh xạ nâng của gf : M → M ′′ và LnT(gf) = T(GF) ∗ n = T(G) ∗ n T(F) ∗ n = LnT(g)LnT(f) do T là hàm tử hiệp biến Hiển nhiên các hàm tử L n T là cộng tính với mọi n⩾ 0 và do đó ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải R n T với mọi n⩾ 0 của một hàm tử phản biến cộng tính Cho M là một R-môđun và X −→ ε M là một giải xạ ảnh của M Tác động hàm tử T lên phức X
T(X) : 0→ T (X 0 ) T → (d 1 ) T (X 1 ) → →T (X n−1 ) T(d → n ) T (X n ) → Đồng điều thứ n của phức T(X)
ImT (d n ) được đặt là R n T(M) Giả sử f : M → M ′ là một R-ánh xạ tuyến tính và
X, X ′ lần lượt là các giải xạ ảnh của M và M ′ Khi đó f được nâng lên thành ánh xạ F : X → X ′ giữa các phức và do đó cảm sinh ra ánh xạ
T(F) : T (X ′ ) →T(X) Vì T(F) cũng là ánh xạ giữa các phức nên nó cảm sinh ra đồng điều
T(F) ∗ n :H n (T(X ′ )) →H n (T(X)) với mọi n⩾ 0, nghĩa là ta có
Chứng minh tương tự như đối với hàm tử dẫn xuất trái, ta cũng có các tính chất sau đối với hàm tử dẫn xuất phải.
Mệnh đề 2.1.10 R n T(M) và R n T(f) hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh Hơn nữa, R n T là hàm tử phản biến cộng tính với mọi n ⩾ 0. Định lý 2.1.11 Giả sử T là hàm tử phản biến cộng tính Khi đó
(a) R n T(M) = 0 với mọi n⩾ 1 nếu M là xạ ảnh;
0→ ã M ′ → f M −→ g M ′′ → 0 cỏc R-mụđun, tồn tại dãy khớp
−→ R n T M ′ → R n+1 T M ′ → thỏa mãn các điều kiện tự nhiên.
Bây giờ chúng ta xét hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử Hom Cho N là R-môđun cố định Xét hàm tử T cho bởi M →T(M) = Hom R (M, N) và với mỗi R-ánh xạ tuyến tính f : M → M ′ , ánh xạ T(f) được cho bởi
Vì T là hàm tử phản biến cộng tính nên R n T luôn xác định với mọi n ⩾ 0 và ta kí hiệuR n T là Ext n R (−, N) Từ định nghĩa của R n T ta thấy, nếu M là
R-môđun và X −→ ε M → 0 là một giải xạ ảnh của M, ta có Hom R (X, N) là phức
Khi đó Ext n R (M, N) = Hn HomR(X, N) Nếu f : M → M ′ là một R-ánh xạ tuyến tính, X, X ′ lần lượt là các giải xạ ảnh của M và M ′ , thì f có thể nâng lên được thành ánh xạ giữa các phức F : X → X ′ , ánh xạ này cảm sinh ra ánh xạ F¯ : Hom R (X ′ , N) → Hom R (X, N)và do đó ta xác định được ánh xạ giữa các đồng điều F¯ n • : Ext n R (M ′ , N) → Ext n R (M, N) Ánh xạ này được kí hiệu là Ext n R (f, N) Tương ứng f → Ext n R (f, N) thỏa mãn các điều kiện (a), (b) và (c) của một hàm tử phản biến Rõ ràng, Ext n R (M, N) = 0 với mọi n ⩾ 1 nếu M là xạ ảnh và Ext 0 R (M, N) ∼= HomR(M, N) với mọi M và với mọi N.
Tiếp theo ta chứng minh hàm tử Ext có tính chất: với mỗi R-ánh xạ tuyến tính ϕ : N → N ′ , có một R-ánh xạ tuyến tính
Ta lấy một giải xạ ảnh X của M và xét ánh xạ F cảm sinh bởi ϕ trên các phức
Hom R (X, N) −→ F Hom R X, N ′ ánh xạ này cảm sinh ra ánh xạ giữa các đồng điều
Rõ ràng, tương ứng ϕ → Ext n R (M, ϕ) thỏa mãn các điều kiện (a), (b) và (c) của một hàm tử hiệp biến.
Ta có mệnh đề sau về dãy khớp dài của hàm tử Ext.
0 →N ′ −→ ϕ N −→ ψ N ′′ →0 là hai dãy khớp các R-môđun Khi đó tồn tại dãy khớp dài các môđun
−→ Ext n R M ′ , N −→ ∂ n Ext n+1 R M ′′ , N → và →Ext n R M, N ′ Ext n (M,ϕ)
−→ Ext n R M, N ′′ −→ ∂ n Ext n+1 R M, N ′ → . có tính chất tự nhiên.
ChoM là mộtR-môđun.Chiều xạ ảnhcủaM trênR, kí hiệu làpd R M được định nghĩa như sau. Định nghĩa 2.1.13 pd R M = n nếu M có một giải xạ ảnh độ dài n, nghĩa là
X i = 0, với mọi i > n, X n ̸= 0, và n là số nhỏ nhất có tính chất này Trong trường hợp ngược lại, pd R M được định nghĩa là ∞.
Ví dụ 2.1.14 (a) Nếu M là R-môđun xạ ảnh thì dãy
0 →X 0 → I M → 0, X 0 = M, là một giải xạ ảnh của M có độ dài bằng 0 Suy ra pd R M = 0 Chiều ngược lại cũng đúng, nghĩa là nếu 0 →X 0 →M →0 là một giải xạ ảnh của M có độ dài bằng 0, thì M ∼= X 0 là môđun xạ ảnh.
(b) Xét R = Z Vì R là miền iđêan chính nên mỗi R-môđun xạ ảnh mà là môđun con của môđun tự do đều là tự do Gọi M là nhóm Aben có xoắn khác không Biểu diễn M dưới dạng thương của nhóm Aben tự do X 0 với hạt nhân là X 1 Khi đó dãy
0→ X 1 −→ i X 0 −→ ε M → 0 là khớp trong đó X 0 , X 1 là các R-môđun tự do vì thế pd R M ⩽ 1 Nếu pd R M = 0, thì M là môđun xạ ảnh và do đó là môđun tự do trên Z. Suy ra pd R M = 1 nếu M có phần tử xoắn.
(c) Cho R = Z 4 và M = 2Z 4 Xét ánh xạ p : Z 4 →Z 4 xác định bởi p(α) = 2α, α ∈ Z 4 Rõ ràng Imp= 2Z 4 = Kerp Suy ra ta có dãy khớp
→Z 4 → λ Z 4 → λ → Z 4 → λ Z 4 → λ Z 4 → p 2Z 4 → 0 trong đó λ = ip Rõ ràng đây là một giải xạ ảnh của M = 2Z 4 trên vành
R = Z 4 mà có độ dài vô hạn Vì thế pd R M = ∞.
Mệnh đề 2.1.15 Cho M là R-môđun Khi đó M là R-môdun xạ ảnh nếu và chỉ nếu Ext 1 R (M, N) = 0 với mọi R-môđun N.
Chứng minh NếuM làR-môđun xạ ảnh thì rõ ràngExt n R (M, N) = 0với mọi n⩾ 1và với mọiR-môđun N theo Định lý 2.1.11(a) Do đó Ext 1 R (M, N) = 0 với mọi R-môđun N.
Ngược lại giả sửExt 1 R (M, N) = 0 với mọiR-môđunN Để chứng minh
M là R-môđun xạ ảnh, ta xét dãy khớp 0→ N ′ −→ ϕ N −→ ψ N ′′ → 0 và ánh xạ R-đồng cấu f : M → N ′′ Ta chỉ cần tìm một ánh xạ g ∈ Hom R (M, N) nào đó sao cho ψg = f Xét dãy khớp
→ Ext 1 R (M, N ′ ) = 0 Suy ra ψ¯ là toàn ánh, nghĩa là tồn tại ánh xạ g ∈ Hom R (M, N) sao cho ψ(g) =¯ ψg = f Vậy M là R-môđun xạ ảnh. Định lý 2.1.16 Cho M là một R-môđun Các khẳng định sau là tương đương:
(b) Ext n+i R (M, N) = 0 với mọi i ⩾ 1 và với mọi R-môđun N;
(d) Nếu 0 → K n−1 → X n−1 → X n−2 → → X 0 → M → 0 là dãy khớp trong đó Xi là R-môđun xạ ảnh với mọi 0 ⩽ i ⩽ n−1, thì K n−1 cũng là
Chứng minh (a)⇒(b) Nếu pd R (M) ⩽ n, thì M có một giải xạ ảnh X với độ dài n và ta sử dụng giải xạ ảnh này để tính môđun Ext, ta tìm được
Ext n+i R (M, N) = 0, với mọi i ⩾ 1 và với mọi R-môđun N, vì X n+i = 0 với mọi i ⩾ 1.
(c)⇒(d) Giả sử Ext n+1 R (M, N) = 0 với mọi R-môđun N Ta xét dãy khớp
0→ K n−1 −→ i n−1 X n−1 −→ d n−1 X n−2 → →X 1 −→ d 1 X 0 −→ ε M → 0 trong đó X i là R-môđun xạ ảnh với mọi 0 ⩽ i ⩽ n−1 Ta cần chứng minh
K n−1 là môđun xạ ảnh, nghĩa là Ext 1 R (K n−1 , N) = 0 với mọi R-môđun N.
Dãy khớp đã cho có thể chẻ ra thành các dãy khớp ngắn sau
Vì dãy 0 →K 0 −→ i 0 X 0 −→ ε M →0 là khớp nên suy ra dãy
→ Ext n+1 R (X 0 , N) → . cũng là khớp và các hạng tử Ext n R (X0, N) và Ext n+1 R (X0, N) đều bằng 0 với mọi n ⩾ 1 do X 0 là R-môđun xạ ảnh Suy ra
Lập luận tương tự với dãy khớp thứ hai
Ext n R (K0, N) ∼= Ext n−1 R (K1, N). Tiếp tục quá trình này ta được
Vì thế từ giả thiết Ext n+1 R (M, N) = 0 ta suy ra Ext 1 R (K n−1 , N) = 0 với mọi
R-môđun N, nghĩa là K n−1 là R-môđun xạ ảnh.
(d)⇒(a) Ta xây dựng một giải xạ ảnh của M như trong chứng minh Mệnh đề 2.1.8 và dừng lại tại bước thứ n−1 cho ta một dãy khớp
Chiều nội xạ
Định nghĩa 2.2.1 Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mỗi R-đơn cấu f : M ′ → M và với mỗi R-đồng cấu g : M ′ → E, tồn tại R-đồng cấu h :M → E sao cho g = hf.
Ví dụ 2.2.2 (a) Mỗi môđun trên một trường đều là nội xạ Giả sử K là trường vàE làK-môđun Giả sửα : N ′ → M ′ là một đơn cấu vàβ : M ′ →E là đồng cấu Không mất tính tổng quát, ta có thể coi N ′ là môđun con của
N và f là phép nhúng tự nhiên Do K là trường nên N ′ là không gian con củaK-không gian véc tơN Suy ra N = N ′ ⊕N ′′ Xét đồng cấup: N → N ′ là phép chiếu chính tắc xác định bởi p(x) = a, nếu x = a ′ + a ′′ với a ′ ∈ N ′ và a ′′ ∈ N ′′ Khi đó đồng cấu h = gp : N → E thoả mãn tính chất hf = (gp)f = g(pf) =g1 N ′ = g.
(b) Z không là Z-môđun nội xạ Thật vậy, xét đơn cấu nhúng tự nhiên f : Z →Q Chú ý rằng chỉ có duy nhất một đồng cấu từQ đếnZ, đó là đồng cấu 0 Do đó, với ánh xạ đồng nhất 1 Z , không tồn tại đồng cấu h : Q → Z để f1 Z = h.
Nhận xét 2.2.3 Từ định nghĩa ta suy ra một R-môđun E là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi dãy khớp 0→ M ′ −→ f M các R-môđun đều cảm sinh ra dãy khớp
Sau đây ta sẽ chứng minh mỗi nhóm Aben G đều là Z-môđun nội xạ khi và chỉ khi G là chia được, nghĩa là với mỗi x ∈ G, n ∈ Z, n ̸= 0, tồn tại y ∈ G sao cho ny = x Trước hết ta có tiêu chuẩn Baer quan trọng để kiểm tra một môđun là nội xạ. Định lý 2.2.4 Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mỗi iđêan I của R, mỗi R-đồng cấu f : I → E đều mở rộng được thành R-đồng cấu f ∗ : R → E.
Chứng minh NếuE là nội xạ thì theo định nghĩa môđun nội xạ, với đơn cấu nhúngI →R,mỗi đồng cấuf : I →E đều mở rộng được thànhf ∗ : R →E.
Ngược lại, giả sử điều kiện này được thỏa mãn với mọi iđêan I của R. Xét môđun conM ′ củaM vàR-đồng cấuf : M ′ →E Đặt Σ = (Mα, fα) trong đó M α là môđun con của M chứa M ′ và f α là một mở rộng của f.
Ta định nghĩa (M α , f α ) ⩽ M β , f β nếu và chỉ nếu M α là môđun con của
M β và f α = f β | M α Theo Bổ đề Zorn, Σ có phần tử cực đại, kí hiệu là (M ∗ , f ∗ ) Ta sẽ chứng minh M = M ∗ Giả sử ngược lại M ̸= M ∗ Ta chọn z ∈ M, z /∈ M ∗ và xét I = a ∈ R |az ∈ M ∗ Rõ ràng I là một iđêan của
R và ánh xạ h : I → E, cho bởi h(a) = f ∗ (az) là R-ánh xạ tuyến tính. Theo giả thiết, h mở rộng được thành h ∗ : R → E Ta mở rộng f ∗ thành f1 : M ∗ +Rz = M1 →E, bằng cách định nghĩa f1(x+ bz) = f ∗ (x) +h ∗ (b), x ∈ M, b ∈ R.
Rõ ràng f1 là R-đồng cấu Hơn nữa (M ∗ , f ∗ ) < (M1, f1), M ∗ ⊂ M1 Điều này mâu thuẫn với tính chất cực đại của (M ∗ , f ∗ ) Vì thế M = M ∗ và ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.5 Mỗi nhóm Aben G là Z-môđun nội xạ nếu và chỉ nếu G là chia được.
Chứng minh Giả sử G là Z-môđun nội xạ, x ∈ G, và n ∈ Z, n ̸= 0 Xét
I = nZ và f : I → G, xác định bởi f(λn) = λx, λ ∈ Z Dễ kiểm tra được f là R-đồng cấu Theo tiêu chuẩn Baer, f có mở rộng là f ∗ : Z → G Chọn y = f(1), thì ny = f ∗ (n) =f(n) =x Vì thế G là môđun chia được.
Ngược lại giả sử G là môđun chia được Đặt I = nZ là iđêan của Z và f : I → G là một Z-đồng cấu tùy ý Nếu f(n) = x, thì tồn tại y ∈ G sao cho ny = x Ta định nghĩa f ∗ : Z → G, cho bởi f ∗ (λ) = λy, λ ∈ Z Khi đó f ∗ (n) = nf ∗ (1) = ny = x = f(n) và do đó f ∗ là một mở rộng của f Suy ra
Mệnh đề 2.2.6 Mỗi R-môđun M đều nhúng được vào một R-môđun nội xạ.
Chứng minh Xét trường hợp thứ nhất R = Z và M là nhóm Aben tự do.
Vì Z ⊂ Q nhóm cộng các số hữu tỉ và Q là Z-môđun chia được nên Q là
Z-môđun nội xạ DoM là thành phần tổng trực tiếp của các copy của Z nên
M nhúng được vào tổng trực tiếp các copy của Q nên M cũng là chia được và do đó M là R-môđun nội xạ Vì mỗi nhóm Aben M đều đẳng cấu với thươngF/K của môđun tự do F nào đó nên ta chọn được một Z-môđun nội xạ N sao cho F ⊂ N Vì thương của môđun chia được là môđun chia được nên M ∼= F/K ⊂ N/K là Z-môđun chia được và do đó là Z-môđun nội xạ.
Tiếp theo ta xét trường hợp tổng quát Giả sử M là R-môđun và xét
M ∗ = Hom Z (M,Q/Z) Khi đó M ∗ là R-môđun với phép nhân vô hướng là
(af)(x) =f(ax), a∈ R, x ∈ M, f ∈ M ∗ Ánh xạ tự nhiên iM : M → M ∗∗ , xác định bởi iM(x)(f) = f(x), x ∈ M, f ∈ M ∗ là ánh xạ R-đồng cấu Ta khẳng định i M là ánh xạ 1−1 Nếu x ̸= 0, thì tồn tại Z-đồng cấu h : Rx → Q/Z, trong đó h(x) ̸= 0, bằng cách cho tương ứng x với bất kì giá trị khác không trong Q/Z nếu cấp của x là vô hạn và cho tương ứng với 1/n+Z khi cấp của x là n Do Q/Z là Z-môđun nội xạ nên h có một mở rộng là đồng cấu nhóm Aben h ∗ :M →Q/Z trong đó h ∗ (x) = h(x) ̸= 0 Suy ra i M (x)(h) ̸= 0, nghĩa là i M là ánh xạ 1− 1.
Ta biểu diễn M ∗ dưới dạng thương của một R-môđun tự do F, nghĩa là có một toàn cấu θ : F → M ∗ Khi đó θ ∗ : M ∗∗ → F ∗ là R-đồng cấu 1−1 và do đó M đẳng cấu với một R-môđun con của F ∗ Ta sẽ chứng minh F ∗ là
R-môđun nội xạ Tổng quát hơn, ta chứng minh P ∗ là môđun nội xạ với mỗi
R-môđun xạ ảnh P Xét biểu đồ
P ∗ trong đó g là ánh xạ R-đồng cấu Do Q/Z là Z-môđun nội xạ nên i ∗ : M ∗ →M ∗ là toàn cấu Ta xét biểu đồ
VìP làR-môđun xạ ảnh nên tồn tại R-ánh xạ tuyến tính h : P →M ∗ sao cho i ∗ h = g ∗ i P Nếu f = h ∗ i M : M → P ∗ , thì f là một mở rộng của g và P ∗ là môđun nội xạ.
Hệ quả 2.2.7 Mỗi R-môđun M đều có một giải nội xạ, đó là một dãy khớp
0→ M → Q 0 −→ d 0 Q 1 → → Q n −→ d n các R-môđun trong đó Q i là R-môđun nội xạ với mọi i > 0.
Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.6, ta nhúng được M vào một R-môđun nội xạ Q 0 vì thế ta có dãy khớp các R-môđun
Ta lại nhúng Q0/M vào một R-môđun nội xạ Q1 và tiếp tục quá trình này như trong chứng minh Mệnh đề 2.1.8 ta xây dựng được một giải nội xạ của
Mệnh đề 2.2.8 Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi Ex 1 R (M, E) = 0, với mọi R-môđun M.
Chứng minh Giả sửE làR-môđun nội xạ Ta biểu diễnM dưới dạng thương của một môđun tự do F Đặt K là hạt nhân của toàn cấu này Ta có dãy khớp các R-môđun sau
Theo Mệnh đề 2.2.9 ta có dãy khớp
−→p Ext 3 R (F, E) = 0, vì F là tự do Do E là R-môđun nội xạ, j ∗ là toàn cấu và do đó ∂ = 0 Vì thế
Ngược lại, giả sử Ext 1 R (M, E) = 0, với mọi R-môđun M và xét dãy khớp
Suy ra ta có dãy khớp
Do đó i ∗ là toàn cấu và vì thế E là nội xạ.
Mệnh đề 2.2.9 Cho 0 → M ′ → E → M ′′ → 0 là dãy khớp các R-môđun trong đó E là R-môđun nội xạ Khi đó
Ext n+1 R M, M ′ ∼= Ext n R M, M ′′ với mọi n ⩾ 1 và với mọi M.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh khẳng định nếu N là R-môđun nội xạ thìExt n R (M, N) = 0 với mọi n⩾ 1 và với mọi M Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n Hiển nhiên khẳng định đúng khi n= 1 theo Mệnh đề 2.2.8. Giả sử khẳng định đã được chứng minh chon−1 với n⩾ 2 Ta xét dãy khớp
0 → K → F → M → 0 trong đó F là R-môđun tự do Dãy này cảm sinh ra dãy khớp
Theo giả thiết quy nạp ta có Ext n−1 R (K, N) = 0 Vì thế Ext n R (M, N) = 0.
Ta xét dãy khớp ban đầu
Dãy này cảm sinh ra dãy khớp
Vì E là nội xạ nên theo Mệnh đề 2.2.8 ta có
Ext n R (M, E) = Ext n+1 R (M, E) = 0, do đó Ext n R (M, M ′′ ) ∼= Ext n+1 R (M, M ′ ) với mọi n ⩾ 1.
Tiếp theo ta định nghĩa chiều nội xạ của R-môđun M. Định nghĩa 2.2.10 Cho N là một R-môđun Ta nói chiều nội xạ của N trên R, kí hiệu bởi id R N là n, nếu N có một giải nội xạ có độ dài n và n là số nhỏ nhất có tính chất này Trong trường hợp ngược lại ta nói N có chiều nội xạ idR(M) = ∞. Định lý 2.2.11 Cho N là một R-môđun Các điều kiện sau là tương đương: (a) id R (N) ⩽ n.
(b) Ext n+i R (M, N) = 0 với mọi i > 1, với mọi R-môđun M.
(d) Nếu 0 → N → Q 0 → Q 1 → → Q n−1 → T n−1 → 0 là dãy khớp trong đó Q i là nội xạ với mọi 0 ⩽ i ⩽ n−1 thì T n−1 cũng là môđun nội xạ.
Chứng minh (a)⇒(b) Cho 0 → N → Q 0 → d 0 Q n−1 −→ d ∗−1 Q n → 0 là một giải nội xạ của N có độ dài n Dãy này chẻ ra thành các dãy khớp ngắn
→ K1 →0 ã ã ã Q n−1 −→ d n−1 Q n → 0 trong đó K i = Imd i với mọi 0 ⩽ i ⩽ n−2 Áp dụng liên tiếp Mệnh đề 2.2.9 ta được
.∼= Ext i+1 R (M, K n−2 ) ∼= Ext i R (M, Q n ) = 0 với mọi i ⩾ 1 vì Q n là nội xạ.
(b)⇒(c) là hiển nhiên (c)⇒(d) Dãy khớp đã cho cảm sinh ra đẳng cấu như trong (b) ở trên Ext n+1 R (M, N) ∼= Ext 1 R (M, T n−1 ), với mọi R- môđun M Theo giả thiết (c) ta có Ext n+1 R (M, N) = 0 với mọi M Suy ra Ext 1 R (M, T n−1 ) = 0, nghĩa là T n−1 là môđun nội xạ.
(d) ⇒(a) Xây dựng một giải nội xạ của N và dừng tại mắt thứ ncảm sinh ra dãy khớp
0→ N →Q0 → Q1 → →Q n−1 →T n−1 →0 trong đó Q i với mọi 0⩽ i ⩽ n−1 là môđun nội xạ Theo (d) ta có T n−1 là môđun nội xạ và do đó id R N ⩽ n.
Hệ quả 2.2.12 idRN ⩽ n khi và chỉ khi Ext n+1 R (M, N) = 0 với mọi M. Định nghĩa 2.2.13 Giả sử M là R-môđun con của R-môđun L.
(a) Ta nóiLlà mộtmở rộng cốt yếu củaM nếuB∩M ̸= 0với mọiR-môđun con khác không B của L.
(b) L được gọi là bao nội xạ của M nếu L là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M.
Chú ý rằng R-môđun M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là mở rộng cốt yếu của của chính nó.
Tính chất nội xạ qua chuyển phẳng hoàn toàn
Mục tiêu của phần này là trình bày tính đi lên, đi xuống của môđun nội xạ qua đồng cấu phẳng.
Mệnh đề 2.3.1 Cho φ : R →S là đồng cấu phẳng Nếu E là S-môđun nội xạ thì E là R-môđun nội xạ.
Chứng minh Xét dãy khớp các R-môđun 0 → M → M ′ Tác động hàm tử phản biến Hom R (−, E) vào dãy khớp này ta được dãy
Vì S là R-môđun phẳng nên hàm tử hiệp biến tensơ là khớp trái Do đó ta có dãy khớp các S-môđun
Hơn nữa, do E là S-môđun nội xạ nên dãy
Hom S (M ′ ⊗ R S, E) → Hom S (M ⊗ R S, E) → 0 là khớp Chú ý rằng ta có đẳng cấu Hom R (L, E) ∼= Hom S (L ⊗ R S, E) với mỗi R-môđun L Vì thế dãy
Hom R (M ′ , E) →Hom R (M, E) →0 là khớp và do đó E là R-môđun nội xạ.
Bổ đề 2.3.2 Cho φ : R → S là một toàn cấu vành Giả sử N 1 , N 2 là các
S-môđun Khi đó Hom S (N 1 , N 2 ) = Hom R (N 1 , N 2 ).
Chứng minh Giả sử h : N 1 → N 2 là một R-ánh xạ tuyến tính Với mỗi x ∈ N1 ta xét ánh xạ S ⊗ R S → N2 cho bởi g ⊗ g ′ 7→ gh(g ′ x) với mỗi g ∈ N 1 , g ′ ∈ N 2 Vì h là toàn ánh nên các ánh xạ S → S ⊗ R S là đẳng cấu.
Do đó gh(g ′ x) = gg ′ h(x) =h(gg ′ x) Vì thế h là ánh xạ S-tuyến tính.
Cho φ: R →S là đồng cấu vành và N là S-môđun Khi đó N có cấu trúc R-môđun với phép nhân vô hướng cảm sinh từ φ như sau: r.x= φ(r).x với mọi r ∈ R và mọi x ∈ N.
Bổ đề 2.3.3 Cho φ :R →S là đồng cấu vành và N là S-môđun Khi đó
Chứng minh Cho α : M →N là ánh xạ R-đồng cấu Ta định nghĩa ánh xạ α ′ : M ⊗ R S → N cho bởi α ′ (m⊗s) = sα(m) Với mỗi β : M ⊗ R S → N là một S-đồng cấu thì ta định nghĩa R-ánh xạ tuyến tính β ′ : M → N xác định bởi β ′ (m) = β(m ⊗1) Dễ kiểm tra được β và β ′ là các ánh xạ ngược của nhau và ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.3.4 Cho f : R → S là toàn cấu vành và E là S-môđun Nếu
E là nội xạ khi xét như R-môđun thì E là S-môđun nội xạ.
Chứng minh Giả sử f : M → N là một đơn cấu giữa các S-môđun và g : M → E là S-đồng cấu Khi đó f ∈ Hom S (M, N) và g ∈ Hom S (M, E). Theo Bổ đề 2.3.2 ta có f ∈ Hom R (M, N) và g ∈ Hom R (M, E) Do E là
R-môđun nội xạ nên tồn tại h ∈ Hom R (N, E) sao cho g = hf Vì h ∈ Hom R (N, E) = Hom S (N, E) nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có h ∈ Hom S (N, E) và do đó E là S-môđun nội xạ.
Bổ đề 2.3.5 Giả sử φ : R → S là một đồng cấu vành, M là R-môđun và
N là S-môđun Khi đó ta có đẳng cấu
Chứng minh Chú ý rằng N có cấu trúc R-môđun với phép nhân vô hướng cảm sinh bởi φ Giả sử α : N → M là một R-đồng cấu Suy ra xác định
S-đồng cấu α ′ : N → Hom R (S, M) cho bởiα ′ (x)(s) = α(sx) với mỗi x ∈ N, mỗi s ∈ S Ngược lại nếu β : N → Hom R (S, M) là S-đồng cấu, thì ta xác định ánh xạ β ′ : N → M theo quy tắc β ′ (x) = β(x)(1) Dễ dàng kiểm tra được hai quy tắc trên là ánh xạ ngược của nhau và ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.3.6 Cho φ :R →S là một đồng cấu vành Nếu E là R-môđun nội xạ thì HomR(S, E) là S-môđun nội xạ.
Chứng minh Giả sử f :M → N là một S-đơn cấu và g : M →Hom R (S, E) là một S-đồng cấu bất kì Suy ra g ∈ Hom S (M,Hom R (S, E)) Theo trên ta có
Suy rag ∈ Hom R (M, E).Vì E là R-môđun nội xạ và f ∈ Hom R (M, N) nên tồn tại h ∈ HomR(N, E) sao g = hf Ta lại áp dụng Bổ đề 2.3.5 để suy ra h ∈ Hom S (N,Hom R (S, E) Vậy Hom R (S, E) là S-môđun nội xạ.
Bổ đề 2.3.7 Cho N làR-môđun có chiều nội xạ hữu hạn Nếu φ :R →S là đồng cấu phẳng hoàn toàn,HomR(S, N)làR-môđun nội xạ, và Ext n R (S, N) 0 với mọi n > 0, thì N là nội xạ.
Chứng minh Gọi i là chiều nội xạ của N Khi đó theo định nghĩa chiều nội xạ, tồn tại R-môđun T sao cho Ext i R (T, N) ̸= 0 Giả sử E là bao nội xạ của
T Khi đó theo Mệnh đề 2.2.9, dãy khớp 0 → T → E → X = E/T → 0 cảm sinh ra dãy khớp các môđun mở rộng: ã ã ã −→ Ext i R (E, N) −→Ext i R (T, N) −→ Ext i+1 R (X, N) −→ ã ã ã.
Vì Ext i+1 R (X, N) = 0 theo Định lý 2.2.11 trong khi Ext i R (T, N) ̸= 0, nên ta có Ext i R (E, N) ̸= 0 Vì S là phẳng hoàn toàn nên theo [5, Định lý 4.74 và 4.85], dãy sau là dãy khớp các R-môđun phẳng (dãy pure)
Tác động hàm tử − ⊗ R E vào dãy khớp trên với chú ý rằng R ⊗ R E ∼= E theo Mệnh đề 1.1.6, ta có dãy khớp các R-môđun sau
Vì E là nội xạ nên dãy khớp trên là chẻ ra, do đó E là thành phần tổng trực tiếp của môđun S⊗ R E Suy ra Ext i R (S ⊗ R E, N) ̸= 0 Do S là phẳng hoàn toàn và Ext >0 R (S, N) = 0 nên áp dụng Bổ đề 2.3.5, với mỗi n > 0 ta có
Vì Hom R (S, N) là nội xạ theo giả thiết nên Ext n R E,Hom R (S, N) = 0 với mọi n > 0 và do đó Ext n R (S ⊗ R E, N) = 0 với mọi n > 0 Vì thế i = 0 Suy ra Ext 1 R (S, N) = 0 và do đó N là nội xạ theo Mệnh đề 2.2.8.
Kí hiệuSpec(R)là tập các iđêan nguyên tố củaR Với mỗip ∈ Spec(R) ta đặtκ(p) =R p /pR p Với mỗi phức X các R-môđun, ta xét hai tập con sau của Spec(R)
Ký hiệu 2.3.8 Giá của X, ký hiệu là supp R X, là tập hợp supp R X = np ∈ Spec(R) | H κ(p)⊗ R X ̸= 0o. Đối giá của X, ký hiệu là cosupp R X, là tập hợp cosupp R X n p ∈ SpecR | H RHomR(κ(p), X) ̸= 0o.Chú ý rằng, phức X là acyclic nếu và chỉ nếu supp R X là tập rỗng,nếu và chỉ nếu cosupp R X là tập rỗng Hơn nữa, nếu X và Y là các R-phức thì: cosupp R RHomR(Y, X) = supp R Y ∩cosupp R X.
Nếu S là phẳng hoàn toàn trên R, thì ta có supp R S = Spec(R).
Khi đó R-phức X là không tuần hoàn nếu RHom R (S, X) là không tuần hoàn.
Từ đây trở đi, đồng cấu thứ i của một phức X được kí hiệu là ∂ i X Phức X được gọi là bị chặn trên nếu Xn = 0 với mọi n ⩾ 0, bị chặn dưới nếu X n = 0 với mọi n ⩽ 0, và bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Chú ý rằng phức X là tuần hoàn nếu và chỉ nếu đồng điềuH(M) = 0.
Ta cũng kí hiệu RHom R (−,−) là hàm tử dẫn phải của hàm tử Hom.
Bổ đề 2.3.9 Cho I là phức không tuần hoàn của các R-môđun nội xạ. Giả sử rằng S là phẳng hoàn toàn và có chiều xạ ảnh hữu hạn trên R Nếu Hom R (S, I) là không tuần hoàn và Hom R S,Ker∂ n I làR-môđun nội xạ với mỗi n ∈ Z, thì Hom R (M, I) là không tuần hoàn với mọi R-môđun M. Chứng minh Cho M là R-môđun Ta cần chứng minh phức
RHom R S,Hom R (M, I) là tuần hoàn Đặt d = pd R S và giả sử π : P → S là giải xạ ảnh sao cho
Pi = 0 với mọi i > d Để chứng minh đồng điều
Hom R P,Hom R (M, I) = 0 ta sử dụng đẳng cấu
Cố định m ∈ Z Vì phức J = I ⩽ m+d+1 là phức các môđun nội xạ và bị chặn trên nên phức Hom R (P, J) cũng có tính chất này Suy ra cấu xạ cảm sinh HomR(π, J) là một đồng luận tương đương Hơn nữa, phức H Hom R (S, I ⊂m+d+1 ) tuần hoàn, vì Hom R (S, I) là tuần hoàn theo giả thiết và Hom R (S,−) là khớp trái Theo giả thiết Hom R S,Ker∂ m+d+1 I là nội xạ, vì thế H là phức của các môđun nội xạ; nó cũng bị chặn trên và do đó là chẻ ra Suy ra Hom R (M, H) là tuần hoàn Từ tất cả các lập luận này dẫn đến các đẳng cấu sau
= 0. Định lý 2.3.10 Cho R là vành giao hoán Noether sao cho mỗi R-môđun phẳng đều có chiều xạ ảnh hữu hạn Cho N là R-môđun và φ : R → S là một đồng cấu phẳng hoàn toàn Các điều kiện sau là tương đương.
(b) Hom R (S, N) là R-môđun nội xạ và Ext n R (S, N) = 0 với mọi n > 0. (c) Hom R (S, N) là S-môđun nội xạ và Ext n R (S, N) = 0 với mọi n > 0.
Chứng minh Rõ ràng ta có (a) ⇒(c) và (c) ⇒ (b), vì thế ta còn phải chứng minh (b)⇒(a) Giả sửN → E là một giải nội xạ củaN Khi đóHom R (S, E) là một phức cácR-môđun nội xạ Theo giả thiết ta có H n Hom R (S, E) = 0 với n < 0, do đó HomR(S, E) là một giải nội xạ của R-môđun HomR(S, N). Chú ý rằng Hom R (S, N) là nội xạ theo giả thiết (b) Vì thế