Một vài phương pháp nâng cao để giải phương trình diophant

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——————–o0o——————–Lương Xuân TườngMỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP NÂNG CAO ĐỂGIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——————–

Các bài toán ứng dụng

Chương 3: Vành các số nguyên đại số Q [

√ d]. 3.1 Vành các số nguyên đại số Q [

√ d]. 3.2 Các bài toán ứng dụng.

Chương 4: Phương pháp sử dụng tính chất các ước số đã biết của các biểu thức xác định để giải phương trình Diophantine.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nông Quốc Chinh, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, người đã luôn quan tâm, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Chi Lăng, Lạng Sơn cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tôi trong trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 Một tập hợpR cùng với hai phép toán hai ngôi (phép cộng và phép nhân) được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng.

(ii) Phép nhân trên R có tính chất kết hợp, nghĩa là (xy)z = x(yz ) với mọi x, y, z ∈ R.

(iii) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ R, ta luôn có

(x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy.

(iv) Tồn tại phần tử 1 R sao cho 1 R x = x1 R = x, với mọi x ∈ R.

Thông thường ta luôn ký hiệu 1 cho phần tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R. Định nghĩa 1.2 Vành R được gọi là vành giao hoán nếu xy = yx, với mọi x, y ∈ R. Định nghĩa 1.3 Cho R là một vành và I là một nhóm con của R đối với phép cộng.

(i) I được gọi là một iđêan trái của R nếu RI ⊆ I nghĩa là xa ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I.

(ii) I được gọi là một iđêan phải của R nếu IR ⊆ I nghĩa là ax ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I.

(iii) I được gọi là một iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải.

(iv) I được gọi là một iđêan chính nếu I là một iđêan sinh bởi tập hợp một phần tử. Định nghĩa 1.4 Cho I là một iđêan của một vành giao hoán R.

(i) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y n ∈ I với n ∈N nào đó.

(ii) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I.(iii) I được gọi là iđêan tối đại nếu tồn tại iđêan J 6= I chứa I thì J = R.

Ví dụ 1.1 (i) Tập tất cả các iđêan nguyên sơ của vành Z là 0 và p n Z với p là số nguyên tố và n ∈N.

(ii) Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vànhZlà 0 vàpZvớiplà số nguyên tố.

(iii) Tập tất cả các iđêan tối đại của vành Z là pZ với p là số nguyên tố. Định nghĩa 1.5 (i) ChoR là một vành giao hoán Phần tử x ∈ R \ {0} được gọi là ước của 0 nếu tồn tại y ∈ R \ {0} sao cho xy = 0.

(ii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không được gọi là miền nguyên. Định nghĩa 1.6 Cho a, b là hai phần tử của R.

(i) Cho b 6= 0 Ta nói b là một ước của a (hay a là bội của b), kí hiệu là b | a, nếu tồn tại q ∈ R sao cho a = bq Nếu b là ước của a thì ta còn nói b chia hết a hoặc a chia hết cho b.

(ii) Nếu tồn tại q ∈ R để 1 = bq thì ta nói b là ước của đơn vị.

(iii) Cho a 6= 0 và b 6= 0 Ta nói a liên kết b, kí hiệu là a ∼ b, nếu a | b và b | a Nếu a không liên kết với b thì ta kí hiệu a b

(iv) Cho b là một ước của a Ta nói b là ước thực sự của a, kí hiệu b k a, nếu b 1 và b a Các ước của a liên kết với 1 hoặc liên kết với a được gọi là các ước tầm thường của a. Định nghĩa 1.7 (i) Phần tử p 6= 0 và không khả nghịch thuộc miền nguyên

R được gọi là phần tử bất khả quy nếu nó không có ước thực sự.

(ii) Phần tử p 6= 0 không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R và p | ab thì p | a hoặc p | b. Định nghĩa 1.8 Miền nguyênR được gọi là một vành chính (PID) nếu mỗi iđêan của nó là iđêan chính. Định nghĩa 1.9 Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide (ED) nếu tồn tại một ánh xạ (Euclide) δ : R ∗ = R \ {0} → N thỏa mãn hai điều kiện dưới đây:

(ii) Với a, b ∈ R, b 6= 0 luôn có hai phần tử q, r ∈ R sao cho a = bq + r và δ(r) < δ(b) khi r 6= 0.

Mệnh đề 1.1 Mỗi vành Euclide đều là một vành chính.

Chứng minh Giả sử R là một miền nguyên và là vành Euclide với ánh xạEuclide δ : R ∗ = R \ {0} → N Giả sử I là một iđêan của R Nếu I = (0) thì

I là iđêan chính sinh bởi 0 Nếu I 6= (0) thì có a ∈ I, a 6= 0 sao cho δ(a) là số nhỏ nhất trong tập δ(I ∗ ), trong đó I ∗ = I \ {0} Giả sử x ∈ I Vì R là vành Euclide nên tồn tạiq, r ∈ R sao chox = aq + r Vì a, x ∈ I nên r ∈ I Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(a), điều này mâu thuẫn với giả thiết về cách chọn phần tử a Vậy r = 0 và do đó I = (a). Định nghĩa 1.10 Một trường là một tập K được trang bị hai phép toán cộng và nhân sao cho

(i) (K, +) là một nhóm abel với phép cộng;

(ii) Mọi phần tử khác không của K đều có phần tử nghịch đảo nhân và (K ∗ , ã) là một nhúm abel với phộp nhõn, trong đú K ∗ = K \ {0 K };

(iv) Phép nhân phân phối với phép cộng:(a+b)c = ac+bcvới mọia, b, c ∈ K. Định lý 1.1 (i) Mọi trường đều là miền nguyên.

(ii) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trường. Định nghĩa 1.11 Một miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (vành nhân tử hóa) (UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và khác ước của đơn vị của R đều phân tích được thành tích những phần tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự và các nhân tử là ước của đơn vị.

Ta có ED ⇒ P ID ⇒ U F D, nhưng điều ngược lại là không đúng Xét vành đa thức trên trường K có nhiều hơn một biến: K[x, y] Đây là một U F D, nhưng không phải là P ID: vì iđêan được sinh ra bởi hai biến (x, y) không phải là iđêan chính. Định nghĩa 1.12 Cho vành R Phần tử p ∈R được gọi là bất khả quy nếu a|p thì a là khả nghịch hoặc a liên kết với p. Định nghĩa 1.13 ChoR là một vành chính,a, b ∈ R Khi đó phần tửd được gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu dlà ước chung của a và b và mọi ước chung của a và b đều chia hết d.

Mệnh đề 1.2 Trong vành chính (PID) phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố trùng nhau.

Mệnh đề 1.3 Trong vành chính (PID) ước chung lớn nhất của 2 phần tử bất kỳ là tồn tại. Định nghĩa 1.14 Hai phần tử a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd(a, b) = 1.

Mệnh đề 1.4 Vành chính (PID) là miền nhân tử hóa. Định nghĩa 1.15 Một số nguyên thỏa mãn gcd(a, m) = 1 được gọi là thặng dư bậc hai modulo m nếu x 2 ≡ a (mod m) với x là số nguyên.

Cho p là một số nguyên tố lẻ Ký hiệu Legendre a p được định nghĩa như sau: a p

1 nếu a là một thặng dư bậc hai modulo p,

−1 nếu a không là một thặng dư bậc hai modulo p,

0 nếu p | a. Định lý 1.2 (Wilson) Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! + 1 chia hết cho p.

Chương 2 Vành các số nguyên

2.1 Vành các số nguyên Gauss Z [i]

Vành các số nguyên đại số Q [ √ d] 22

Các bài toán ứng dụng

Chương 4: Phương pháp sử dụng tính chất các ước số đã biết của các biểu thức xác định để giải phương trình Diophantine.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nông Quốc Chinh, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, người đã luôn quan tâm, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Chi Lăng, Lạng Sơn cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tôi trong trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 Một tập hợpR cùng với hai phép toán hai ngôi (phép cộng và phép nhân) được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng.

(ii) Phép nhân trên R có tính chất kết hợp, nghĩa là (xy)z = x(yz ) với mọi x, y, z ∈ R.

(iii) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ R, ta luôn có

(x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy.

(iv) Tồn tại phần tử 1 R sao cho 1 R x = x1 R = x, với mọi x ∈ R.

Thông thường ta luôn ký hiệu 1 cho phần tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R. Định nghĩa 1.2 Vành R được gọi là vành giao hoán nếu xy = yx, với mọi x, y ∈ R. Định nghĩa 1.3 Cho R là một vành và I là một nhóm con của R đối với phép cộng.

(i) I được gọi là một iđêan trái của R nếu RI ⊆ I nghĩa là xa ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I.

(ii) I được gọi là một iđêan phải của R nếu IR ⊆ I nghĩa là ax ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I.

(iii) I được gọi là một iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải.

(iv) I được gọi là một iđêan chính nếu I là một iđêan sinh bởi tập hợp một phần tử. Định nghĩa 1.4 Cho I là một iđêan của một vành giao hoán R.

(i) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y n ∈ I với n ∈N nào đó.

(ii) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I.(iii) I được gọi là iđêan tối đại nếu tồn tại iđêan J 6= I chứa I thì J = R.

Ví dụ 1.1 (i) Tập tất cả các iđêan nguyên sơ của vành Z là 0 và p n Z với p là số nguyên tố và n ∈N.

(ii) Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vànhZlà 0 vàpZvớiplà số nguyên tố.

(iii) Tập tất cả các iđêan tối đại của vành Z là pZ với p là số nguyên tố. Định nghĩa 1.5 (i) ChoR là một vành giao hoán Phần tử x ∈ R \ {0} được gọi là ước của 0 nếu tồn tại y ∈ R \ {0} sao cho xy = 0.

(ii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không được gọi là miền nguyên. Định nghĩa 1.6 Cho a, b là hai phần tử của R.

(i) Cho b 6= 0 Ta nói b là một ước của a (hay a là bội của b), kí hiệu là b | a, nếu tồn tại q ∈ R sao cho a = bq Nếu b là ước của a thì ta còn nói b chia hết a hoặc a chia hết cho b.

(ii) Nếu tồn tại q ∈ R để 1 = bq thì ta nói b là ước của đơn vị.

(iii) Cho a 6= 0 và b 6= 0 Ta nói a liên kết b, kí hiệu là a ∼ b, nếu a | b và b | a Nếu a không liên kết với b thì ta kí hiệu a b

(iv) Cho b là một ước của a Ta nói b là ước thực sự của a, kí hiệu b k a, nếu b 1 và b a Các ước của a liên kết với 1 hoặc liên kết với a được gọi là các ước tầm thường của a. Định nghĩa 1.7 (i) Phần tử p 6= 0 và không khả nghịch thuộc miền nguyên

R được gọi là phần tử bất khả quy nếu nó không có ước thực sự.

(ii) Phần tử p 6= 0 không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R và p | ab thì p | a hoặc p | b. Định nghĩa 1.8 Miền nguyênR được gọi là một vành chính (PID) nếu mỗi iđêan của nó là iđêan chính. Định nghĩa 1.9 Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide (ED) nếu tồn tại một ánh xạ (Euclide) δ : R ∗ = R \ {0} → N thỏa mãn hai điều kiện dưới đây:

(ii) Với a, b ∈ R, b 6= 0 luôn có hai phần tử q, r ∈ R sao cho a = bq + r và δ(r) < δ(b) khi r 6= 0.

Mệnh đề 1.1 Mỗi vành Euclide đều là một vành chính.

Chứng minh Giả sử R là một miền nguyên và là vành Euclide với ánh xạEuclide δ : R ∗ = R \ {0} → N Giả sử I là một iđêan của R Nếu I = (0) thì

I là iđêan chính sinh bởi 0 Nếu I 6= (0) thì có a ∈ I, a 6= 0 sao cho δ(a) là số nhỏ nhất trong tập δ(I ∗ ), trong đó I ∗ = I \ {0} Giả sử x ∈ I Vì R là vành Euclide nên tồn tạiq, r ∈ R sao chox = aq + r Vì a, x ∈ I nên r ∈ I Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(a), điều này mâu thuẫn với giả thiết về cách chọn phần tử a Vậy r = 0 và do đó I = (a). Định nghĩa 1.10 Một trường là một tập K được trang bị hai phép toán cộng và nhân sao cho

(i) (K, +) là một nhóm abel với phép cộng;

(ii) Mọi phần tử khác không của K đều có phần tử nghịch đảo nhân và (K ∗ , ã) là một nhúm abel với phộp nhõn, trong đú K ∗ = K \ {0 K };

(iv) Phép nhân phân phối với phép cộng:(a+b)c = ac+bcvới mọia, b, c ∈ K. Định lý 1.1 (i) Mọi trường đều là miền nguyên.

(ii) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trường. Định nghĩa 1.11 Một miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (vành nhân tử hóa) (UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và khác ước của đơn vị của R đều phân tích được thành tích những phần tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự và các nhân tử là ước của đơn vị.

Ta có ED ⇒ P ID ⇒ U F D, nhưng điều ngược lại là không đúng Xét vành đa thức trên trường K có nhiều hơn một biến: K[x, y] Đây là một U F D, nhưng không phải là P ID: vì iđêan được sinh ra bởi hai biến (x, y) không phải là iđêan chính. Định nghĩa 1.12 Cho vành R Phần tử p ∈R được gọi là bất khả quy nếu a|p thì a là khả nghịch hoặc a liên kết với p. Định nghĩa 1.13 ChoR là một vành chính,a, b ∈ R Khi đó phần tửd được gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu dlà ước chung của a và b và mọi ước chung của a và b đều chia hết d.

Mệnh đề 1.2 Trong vành chính (PID) phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố trùng nhau.

Mệnh đề 1.3 Trong vành chính (PID) ước chung lớn nhất của 2 phần tử bất kỳ là tồn tại. Định nghĩa 1.14 Hai phần tử a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd(a, b) = 1.

Mệnh đề 1.4 Vành chính (PID) là miền nhân tử hóa. Định nghĩa 1.15 Một số nguyên thỏa mãn gcd(a, m) = 1 được gọi là thặng dư bậc hai modulo m nếu x 2 ≡ a (mod m) với x là số nguyên.

Cho p là một số nguyên tố lẻ Ký hiệu Legendre a p được định nghĩa như sau: a p

1 nếu a là một thặng dư bậc hai modulo p,

−1 nếu a không là một thặng dư bậc hai modulo p,

0 nếu p | a. Định lý 1.2 (Wilson) Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! + 1 chia hết cho p.

Chương 2 Vành các số nguyên

2.1 Vành các số nguyên Gauss Z [i]

Phương pháp sử dụng tính chất các ước số đã biết của các biểu thức xác định để giải phương trình Diophantine 38

Ước số của a 2 − 2b 2

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nông Quốc Chinh, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, người đã luôn quan tâm, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Chi Lăng, Lạng Sơn cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tôi trong trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 Một tập hợpR cùng với hai phép toán hai ngôi (phép cộng và phép nhân) được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng.

(ii) Phép nhân trên R có tính chất kết hợp, nghĩa là (xy)z = x(yz ) với mọi x, y, z ∈ R.

(iii) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ R, ta luôn có

(x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy.

(iv) Tồn tại phần tử 1 R sao cho 1 R x = x1 R = x, với mọi x ∈ R.

Thông thường ta luôn ký hiệu 1 cho phần tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R. Định nghĩa 1.2 Vành R được gọi là vành giao hoán nếu xy = yx, với mọi x, y ∈ R. Định nghĩa 1.3 Cho R là một vành và I là một nhóm con của R đối với phép cộng.

(i) I được gọi là một iđêan trái của R nếu RI ⊆ I nghĩa là xa ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I.

(ii) I được gọi là một iđêan phải của R nếu IR ⊆ I nghĩa là ax ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I.

(iii) I được gọi là một iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải.

(iv) I được gọi là một iđêan chính nếu I là một iđêan sinh bởi tập hợp một phần tử. Định nghĩa 1.4 Cho I là một iđêan của một vành giao hoán R.

(i) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y n ∈ I với n ∈N nào đó.

(ii) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I.(iii) I được gọi là iđêan tối đại nếu tồn tại iđêan J 6= I chứa I thì J = R.

Ví dụ 1.1 (i) Tập tất cả các iđêan nguyên sơ của vành Z là 0 và p n Z với p là số nguyên tố và n ∈N.

(ii) Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vànhZlà 0 vàpZvớiplà số nguyên tố.

(iii) Tập tất cả các iđêan tối đại của vành Z là pZ với p là số nguyên tố. Định nghĩa 1.5 (i) ChoR là một vành giao hoán Phần tử x ∈ R \ {0} được gọi là ước của 0 nếu tồn tại y ∈ R \ {0} sao cho xy = 0.

(ii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không được gọi là miền nguyên. Định nghĩa 1.6 Cho a, b là hai phần tử của R.

(i) Cho b 6= 0 Ta nói b là một ước của a (hay a là bội của b), kí hiệu là b | a, nếu tồn tại q ∈ R sao cho a = bq Nếu b là ước của a thì ta còn nói b chia hết a hoặc a chia hết cho b.

(ii) Nếu tồn tại q ∈ R để 1 = bq thì ta nói b là ước của đơn vị.

(iii) Cho a 6= 0 và b 6= 0 Ta nói a liên kết b, kí hiệu là a ∼ b, nếu a | b và b | a Nếu a không liên kết với b thì ta kí hiệu a b

(iv) Cho b là một ước của a Ta nói b là ước thực sự của a, kí hiệu b k a, nếu b 1 và b a Các ước của a liên kết với 1 hoặc liên kết với a được gọi là các ước tầm thường của a. Định nghĩa 1.7 (i) Phần tử p 6= 0 và không khả nghịch thuộc miền nguyên

R được gọi là phần tử bất khả quy nếu nó không có ước thực sự.

(ii) Phần tử p 6= 0 không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R và p | ab thì p | a hoặc p | b. Định nghĩa 1.8 Miền nguyênR được gọi là một vành chính (PID) nếu mỗi iđêan của nó là iđêan chính. Định nghĩa 1.9 Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide (ED) nếu tồn tại một ánh xạ (Euclide) δ : R ∗ = R \ {0} → N thỏa mãn hai điều kiện dưới đây:

(ii) Với a, b ∈ R, b 6= 0 luôn có hai phần tử q, r ∈ R sao cho a = bq + r và δ(r) < δ(b) khi r 6= 0.

Mệnh đề 1.1 Mỗi vành Euclide đều là một vành chính.

Chứng minh Giả sử R là một miền nguyên và là vành Euclide với ánh xạEuclide δ : R ∗ = R \ {0} → N Giả sử I là một iđêan của R Nếu I = (0) thì

I là iđêan chính sinh bởi 0 Nếu I 6= (0) thì có a ∈ I, a 6= 0 sao cho δ(a) là số nhỏ nhất trong tập δ(I ∗ ), trong đó I ∗ = I \ {0} Giả sử x ∈ I Vì R là vành Euclide nên tồn tạiq, r ∈ R sao chox = aq + r Vì a, x ∈ I nên r ∈ I Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(a), điều này mâu thuẫn với giả thiết về cách chọn phần tử a Vậy r = 0 và do đó I = (a). Định nghĩa 1.10 Một trường là một tập K được trang bị hai phép toán cộng và nhân sao cho

(i) (K, +) là một nhóm abel với phép cộng;

(ii) Mọi phần tử khác không của K đều có phần tử nghịch đảo nhân và (K ∗ , ã) là một nhúm abel với phộp nhõn, trong đú K ∗ = K \ {0 K };

(iv) Phép nhân phân phối với phép cộng:(a+b)c = ac+bcvới mọia, b, c ∈ K. Định lý 1.1 (i) Mọi trường đều là miền nguyên.

(ii) Mọi miền nguyên hữu hạn đều là trường. Định nghĩa 1.11 Một miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (vành nhân tử hóa) (UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và khác ước của đơn vị của R đều phân tích được thành tích những phần tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự và các nhân tử là ước của đơn vị.

Ta có ED ⇒ P ID ⇒ U F D, nhưng điều ngược lại là không đúng Xét vành đa thức trên trường K có nhiều hơn một biến: K[x, y] Đây là một U F D, nhưng không phải là P ID: vì iđêan được sinh ra bởi hai biến (x, y) không phải là iđêan chính. Định nghĩa 1.12 Cho vành R Phần tử p ∈R được gọi là bất khả quy nếu a|p thì a là khả nghịch hoặc a liên kết với p. Định nghĩa 1.13 ChoR là một vành chính,a, b ∈ R Khi đó phần tửd được gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu dlà ước chung của a và b và mọi ước chung của a và b đều chia hết d.

Mệnh đề 1.2 Trong vành chính (PID) phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố trùng nhau.

Mệnh đề 1.3 Trong vành chính (PID) ước chung lớn nhất của 2 phần tử bất kỳ là tồn tại. Định nghĩa 1.14 Hai phần tử a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd(a, b) = 1.

Mệnh đề 1.4 Vành chính (PID) là miền nhân tử hóa. Định nghĩa 1.15 Một số nguyên thỏa mãn gcd(a, m) = 1 được gọi là thặng dư bậc hai modulo m nếu x 2 ≡ a (mod m) với x là số nguyên.

Cho p là một số nguyên tố lẻ Ký hiệu Legendre a p được định nghĩa như sau: a p

1 nếu a là một thặng dư bậc hai modulo p,

−1 nếu a không là một thặng dư bậc hai modulo p,

0 nếu p | a. Định lý 1.2 (Wilson) Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! + 1 chia hết cho p.

Chương 2 Vành các số nguyên

2.1 Vành các số nguyên Gauss Z [i]