Một số phương pháp symplectic cho hệ hamilton

31 Trang 4 Bảng ký hiệuy, f Ký hiệu in m ch i lng vộc ty, ăy o hm cp 1, cấp 2 theo thời gianty0 Đạo hàm theo biến khác, Jacobian nếu là hàm nhiều biếnOhm Vô cùng bé tương đương bậcm của

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN VĂN CẨN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SYMPLECTIC CHO HỆ HAMILTON Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN THÁI NGUYÊN - 2021 i Mục lục Bảng ký hiệu iii Mở đầu 1 1 Phương pháp số cho phương trình vi phân tổng quát 3 1.1 Khái niệm và phương pháp cơ bản 3 1.2 Sự hội tụ, tính chính xác, và tính ổn định của lược đồ sai phân 6 1.3 Ổn định tuyệt đối 11 1.4 Các phương pháp Runge-Kutta 14 2 Hệ Hamilton 17 2.1 Hệ Hamilton 17 2.2 Tính bảo toàn năng lượng dọc theo nghiệm 18 2.3 Tính chất symplectic của dòng Hamilton 19 2.3.1 Phép biến đổi symplectic 19 2.3.2 Tính symplectic của dòng Hamilton 20 2.4 Một số mô hình 24 2.4.1 Con lắc đơn 24 2.4.2 Phương trình sóng 25 2.4.3 Phương trình sine-Gordon 26 2.4.4 Phương trình Schro¨dinger 26 2.5 Mô phỏng hệ Hamilton 27 ii 3 Một số phương pháp symplectic cho hệ Hamilton 30 3.1 Phương pháp symplectic 30 3.2 Phương pháp Euler symplectic 31 3.3 Quy tắc điểm giữa 32 3.4 Phương pháp Sto¨rmer-Verlet 34 3.5 Sự bảo toàn năng lượng toàn phần của các phương pháp sym- plectic 37 3.6 Ví dụ 39 3.6.1 Con lắc đơn 39 3.6.2 Các mô hình Sóng, sine-Gordon và Schro¨dinger 40 3.7 Kết luận Chương 3 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 iii Bảng ký hiệu y, f Ký hiệu in đậm chỉ đại lượng véc tơ y˙ , y¨ Đạo hàm cấp 1, cấp 2 theo thời gian t y Đạo hàm theo biến khác, Jacobian nếu là hàm nhiều biến O(hm) Vô cùng bé tương đương bậc m của h φh Ánh xạ bước cỡ h Nh Toán tử xấp xỉ sai phân của một lược đồ dk Sai số làm gọn địa phương |·| Chuẩn của véc tơ hoặc giá trị tuyệt đối của số cond(M ) Số điều kiện của ma trận M J Ma trận Poisson ϕt Dòng Hamilton det Định thức của ma trận oa Diện tích có hướng ω Dạng symplectic chính tắc AT Chuyển vị của ma trận A ∇ Toán tử nabla exp Hàm mũ với cơ số e cosh Hàm cos hyperbolic 1 Mở đầu Hệ Hamilton là một mô hình toán học khái quát cho nhiều phương trình mô tả các hiện tượng Cơ học và Vật lý, chẳng hạn như phương trình sóng hay phương trình Cauchy cho cơ học cấu trúc Điểm đặc biệt của hệ Hamilton là nó có liên kết trực tiếp với một hàm số, gọi là hàm Hamilton, vốn mô tả một năng lượng nào đó của hệ Năng lượng này là bảo toàn theo thời gian Do vậy, nghiệm của hệ Hamilton cũng thỏa mãn điều kiện này theo định nghĩa: Giá trị của hàm Hamilton dọc theo nghiệm này là một hằng số Thêm vào đó, hệ Hamilton còn một tính chất đặc trưng rất quan trọng liên quan đến tính symplectic của dòng Hamilton Tính symplectic của dòng có thể mô tả một cách khái quát là tính bảo toàn tổng diện tích của các hình chiếu của một tập compact bất kỳ có biên đủ trơn lên các mặt phẳng tọa độ trong không gian pha mở rộng Trong hầu hết trường hợp, nghiệm của hệ không thể tìm được một cách tường minh Vì thế, ta chỉ có thể thu được nghiệm nhờ các phương pháp số Các phương pháp số giải phương trình vi phân tổng quát, do không tính đến những yếu tố đặc trưng của phương trình, thường không đảm bảo việc bảo toàn năng lượng cũng như tính symplectic Mục tiêu của luận văn là trình bày một số phương pháp giải số cho hệ Hamilton mà bảo toàn hoặc bảo toàn xấp xỉ các đặc trưng này, được biết đến với tên gọi phương pháp symplectic Để đạt được mục tiêu trên, trong luận văn này, chúng tôi trình bày các nội dung sau Ở Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của phương pháp số giải phương trình vi phân Chương 2 trình bày khái niệm, và các đặc 2 trưng quan trọng của hệ Hamilton: tính bất biến của năng lượng toàn phần dọc theo nghiệm và tính symplectic của dòng Hamilton Trong chương này, chúng tôi cũng giới thiệu chi tiết bốn ví dụ về hệ Hamilton Cuối cùng, trong Chương 3, chúng tôi trình bày phương pháp dùng để giải hệ Hamilton: Euler symplectic, phương pháp Điểm giữa, và phương pháp Sto¨rmer-Verlet Các phương pháp được chứng minh là bảo tồn chính xác tính symplectic của dòng Hamilton và bảo tồn xấp xỉ năng lượng toàn phần Cuối cùng, chúng tôi trình bày các ví dụ tính toán với những mô hình cụ thể Cuối cùng là phần Kết luận và Tài liệu tham khảo Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thanh Sơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy vì đã giúp đỡ, hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tôi hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin và các giảng viên đã tham gia giảng dạy, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi, cảm ơn những người bạn thân thiết và các bạn lớp cao học toán K13A đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học và thực hiện bản luận văn này Quá trình viết luận văn khó tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của độc giả Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 12 năm 2021 Tác giả Trần Văn Cẩn 3 Chương 1 Phương pháp số cho phương trình vi phân tổng quát Chương này trình bày một số phương pháp thông dụng cho phương trình vi phân thường tổng quát Các phương pháp được nhắc đến chủ yếu là Euler hiện, Euler ẩn, Điểm giữa, phương pháp hình thang và họ phương pháp Runge-Kutta Thêm vào đó, chúng tôi cũng trình bày chi tiết khái niệm về bậc chính xác, tính ổn định và sự hội tụ của một lược đồ sai phân Tài liệu tham khảo chính cho chương này là cuốn sách chuyên khảo [3] 1.1 Khái niệm và phương pháp cơ bản Ta xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân thường dạng tổng quát y˙ = f (t, y), t ∈ [0, T ], y(0) = y0, (1.1) trong đó ẩn hàm y và hàm vế phải f (t, y) là các đại lượng véc tơ trong Rn Ta giả sử rằng f (t, y) là hàm đủ trơn và bị chặn để đảm bảo rằng bài toán (1.1) luôn tồn tại nghiệm, và nghiệm đó khả vi tới mức cần thiết để phục vụ cho các lập luận lý thuyết Để giải bài toán trên máy tính, người ta phải rời rạc hóa miền xác định của ẩn hàm Xét lưới chia 0 = t0 < t1 < tK = T, (1.2) 4 và đặt các cỡ bước thứ k là hk := tk − tk−1 Ta sẽ lần lượt xây dựng các xấp xỉ y0, y1, , yK−1, yK của các giá trị ẩn hàm cần tìm y(tk), k = 0, , K Do đã biết ẩn hàm tại t0, dựa vào ràng buộc phương trình, ta có thể tìm xấp xỉ tại t1 Điều này cứ tiếp tục cho đến khi toàn bộ xấp xỉ được tìm Người ta còn gọi các bước tìm này là các bước cập nhật do nó cho ta biết trạng mới dựa trên thông tin của trạng thái cũ Những phương pháp này được xếp vào loại phương pháp một bước Một phương pháp đa bước là phương pháp mà khi tính yk, nó đòi hỏi thông tin về giá trị của hàm tại ít nhất hai bước trước đó yk−1, yk−2, Luận văn này chỉ xét các phương pháp một bước Người ta cũng gọi tương ứng từ trạng thái cũ với trạng thái mới là ánh xạ bước và ký hiệu là φhk(y) Để thực hiện điều này, ta xét khai triển Taylor của ẩn hàm tại điểm lưới tk bất kỳ với giả thiết rằng ta đã biết giá trị của ẩn hàm tại điểm trước đó tk−1 y(tk) = y(tk−1) + hky˙ (tk−1) + 1hk2y¨(tk−1) + · · · (1.3) 2 Ta sẽ thường xuyên sử dụng khái niệm vô cùng bé cùng bậc, ký hiệu là O(hm) Ta nói đại lượng y là một vô cùng bé bậc m của h, hay y tương đương với hm, nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |y| ≤ Chm, với h > 0 đủ nhỏ Sử dụng ký hiệu này, ta có thể viết lại phương trình trên ở dạng y(tk) = y(tk−1) + hky˙ (tk−1) + O(h2k) (1.4) Phương pháp Euler hiện (explicit Euler) hay phương pháp Euler tiến (for- ward Euler) chính là hệ quả của việc bỏ đi đại lượng vô cùng bé bậc hai trong 5 (1.4) và thay y˙ bởi f để thu được yk = yk−1 + hkf (tk−1, yk−1) (1.5) Đây là phương pháp số đơn giản nhất để giải bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân Nó là một phương pháp hiện vì để tìm nghiệm xấp xỉ tại k, ta chỉ cần sử dụng một công thức hiện và thông tin nghiệm tại bước trước đó k − 1 Phương pháp Euler ẩn (implicit Euler) hay phương pháp Euler lùi (back- ward Euler) được xây dựng tương tự như phương pháp Euler hiện nhưng thay vì dựa vào thông tin tại tk−1 để tính toán tại tk, ta lại thực hiện ngược lại, tức là y(tk−1) = y(tk) − hky˙ (tk) + O(h2k) (1.6) Từ đây, ta có lược đồ ẩn yk = yk−1 + hkf (tk, yk) (1.7) Có thể quan sát thấy, (1.7) không đơn giản như (1.5) vì giá trị cần tìm lại nằm trong hàm f , Để tìm yk từ yk−1, ta phải giải phương trình đại số (1.7) Nếu f (t, y) là một hàm tuyến tính thì (1.7) là một hệ phương trình tuyến tính Ngược lại, ta đối mặt với một hệ phi tuyến mà muốn giải được, ta phải dùng một phương pháp riêng, chẳng hạn Newton Điều này lý giải thuật ngữ “ẩn" trong tên gọi của nó Câu hỏi đặt ra ở đây là tại sao Euler ẩn khó và phức tạp hơn Euler hiện nhưng người ta vẫn sử dụng Lí do của việc này là trong một số lớp bài toán cương, việc giải bằng phương pháp hiện thường không chính xác do tính dao động rất mạnh quanh nghiệm giải tích trừ khi bước thời gian cực kỳ nhỏ Nhưng việc giải với bước thời gian nhỏ sẽ gặp bất lợi nếu ta cần xét phương trình vi phân trên một khoảng thời gian dài Khi đó, người ta thường sử dụng các phương pháp ẩn Cả hai phương pháp Euler đều sử dụng các xấp xỉ bậc một nên đôi khi gặp bất lợi cho việc áp dụng cho những mô hình tính toán đòi hỏi tính chính xác cao 6 Điều này có thể được cải thiện khi sử dụng phương pháp hình thang Ý tưởng của phương pháp này là “mượn" thông tin của ẩn hàm ở điểm giữa tk−1/2, trung điểm của tk−1 và tk, để xây dựng một lược đồ xấp xỉ bậc hai Cụ thể, ta viết hk h2k h3k y(tk) = y(tk−1/2) + y˙ (tk−1/2) + y¨(tk−1/2) + y(tk−1/2) + · · · , 2 8 48 h3k hk h2k y(tk−1) = y(tk−1/2) − y˙ (tk−1/2) + y¨(tk−1/2) − y(tk−1/2) + · · · 2 8 48 (1.8) Trừ hai phương trình trên vế theo vế rồi chia cho hk, ta thu được y(tk) − y(tk−1) h2k 4 (1.9) = y˙ (tk−1/2) + y(tk−1/2) + O(hk) hk 24 Tiếp đến, áp dụng các khai triển giống như ở (1.8) nhưng cho y˙ rồi cộng hai phương trình lại với nhau, ta thu được h 2 4 (1.10) y˙ (tk) + y˙ (tk−1) = 2y˙ (tk−1/2) + y(tk−1/2) + O(hk).k 4 Kết hợp (1.9) và (1.10), ta thu được y(tk) − y(tk−1) y˙ (tk) + y˙ (tk−1) h2k 4 (1.11) = − y(tk−1/2) + O(hk) hk 2 12 Mối quan hệ (1.11) gợi ý cho ta công thức xấp xỉ yk = yk−1 + hk (f (tk, yk) + f (tk−1, yk−1)) (1.12) 2 Lược đồ (1.12) còn được gọi là phương pháp hình thang Có thể thấy đây cũng là một lược đồ ẩn 1.2 Sự hội tụ, tính chính xác, và tính ổn định của lược đồ sai phân Ta có thể nhận thấy có nhiều sai số trong việc giải xấp xỉ một phương trình vi phân Trước tiên, tại mỗi bước, người ta xấp xỉ đạo hàm bởi sai phân nên sinh