Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT

Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT là một trong những tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên) DANH MỤC TẠI LIỆU ĐÃ ĐĂNG A. HOÁ PHỔ THÔNG 1. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, PDF 2. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, Word 3. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 2. PHẦN HỢP CHẤT CÓ NHÓM CHỨC 4. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỌC VÔ CƠ PHẦN 1. CHUYÊN Đề TRÌNH HÓA VÔ CƠ 10 VÀ 11 5. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 2. PHẦN HỢP CHẤT CÓ NHÓM CHỨC 6. BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC 140 7. BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC 4170 8. ON THI CAP TOC HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, PDF 9. TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÓA HỌC PHỔ THÔNG 10. 70 BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC, word 11. CHUYÊN ĐỀ VÔ CƠ, LỚP 11 – 12. ĐẦY ĐỦ CÓ ĐÁP ÁN 12. Bộ câu hỏi LT Hoá học 13. BAI TAP HUU CO TRONG DE THI DAI HOC 14. CAC CHUYEN DE LUYEN THI CO DAP AN 48 15. GIAI CHI TIET CAC TUYEN TAP PHUONG PHAP VA CAC CHUYEN DE ON THI DAI HOC. 86 16. PHUONG PHAP GIAI NHANH BAI TAP HOA HOC VA BO DE TU LUYEN THI HOA HOC 274 17. TỔNG HỢP BÀI TẬP HÓA HỌC LỚP 12 18. PHAN DANG LUYEN DE DH 20072013 145 19. BO DE THI THU HOA HOC CO GIAI CHI TIET.doc 20. Tuyển tập Bài tập Lý thuyết Hoá học luyện thi THPT Quốc gia 21. PHÂN DẠNG BÀI TẬP HOÁ HỌC ÔN THI THPT QUỐC GIA 57 22. BỘ ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN HOÁ CÓ ĐÁP ÁN 29 ĐỀ 145 23. BỘ ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN HOÁ CÓ ĐÁP ÁN PHẦN 2 24. Trắc nghiệm Lý thuyết Hóa vô cơ phần 1 25. Trắc nghiệm Lý thuyết Hóa Hữu cơ phần 1, có đáp án đầy đủ 26. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa có giải chi tiết 01 27. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa có giải chi tiết 02 28. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa có giải chi tiết 04 29. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa có giải chi tiết 05 30. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa 2017 có giải chi tiết 07 31. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa 2017 có giải chi tiết 08 32. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa 2017 có giải chi tiết 09 33. Đề thi thử THPT Quốc gia Môn Hóa 2017 có giải chi tiết 13 34. Bài tập ôn tập HKII Hóa 10 có giải chi tiết 35. Đề kiểm tra 1 tiết Hóa 11 có đáp án. Tuyển tập gồm nhiều đề 36. Đề kiểm tra 1 tiết Hóa 12 37. Hệ thống kiến thức hóa học lớp 9 rất hay 38. Bài tập, lý thuyết trọng tâm và tuyển tập đề kiểm tra Hóa lớp 10 hay, đầy đủ nhất 39. Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia môn Hóa học http:dethi.violet.vnpresentshowentry_id8792137 40. Kinh nghiệm làm bài thi đại học môn Hóa và các chuyên đề hay 41. Bài tập và lý thuyết Hóa 11 đầy đủ 42. Giáo án lớp 10 môn Hóa học phần 1 hay, có đề kiểm tra http:violet.vnN_T_Qpresentshowentry_id9606273 43. Giáo án lớp 10 môn Hóa học phần 2 hay, có đề kiểm tra 44. Giáo án lớp 10 môn Hóa học tự chọn, có đề kiểm tra 45. Giáo án lớp 11 môn Hóa học phần 1 hay, có đề kiểm tra 46. Giáo án lớp 11 môn Hóa học phần 2 hay, có đề kiểm tra 47. Giáo án lớp 12 môn Hóa học cả năm hay, đầy đủ, có đề kiểm tra http:violet.vnN_T_Qpresentshowentry_id9587141 http:giaoan.violet.vnpresentshowentry_id9519591 48. Phương pháp giải nhanh bài tập Hóa học hay, tổng hợp gồm bí quyết giải, phương pháp giải http:giaoan.violet.vnpresentshowentry_id7939752 http:giaoan.violet.vnpresentshowentry_id8593544 49. Giáo án Hóa học 12 cả năm hay, đầy đủ, có đề kiểm tra 50. Giáo án Hóa học 12 cả năm hay, có đề kiểm tra B. HỌC SINH GIỎI 1. Bồi dưỡng Học sinh giỏi Hoá THPT Lý thuyết và Bài tập 2. Tài liệu hướng dẫn thí nghiệm thực hành học sinh giỏiolympic Hoá học 54 3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HOÁ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP 17 4. ĐỀ THI CHUYÊN HOÁ CÓ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT PHẦN ĐẠI CƯƠNG VÔ CƠ 5. Tuyển tập Đề thi Bồi dưỡng Học sinh giỏi Hoá THCS Lý thuyết và Bài tập 6. Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Hoá học, 12 phương pháp giải toán 7. Hướng dẫn thực hành Hoá Hữu cơ Olympic hay dành cho sinh viên đại học, cao đẳng 8. Bài tập Hóa Vô cơ chuyên, dành cho sinh viên và học sinh giỏi 9. Bài tập Hữu cơ chuyên, dành cho sinh viên và học sinh giỏi 10. OLYMPIC HÓA 10 30 4 CÓ GIẢI CHI TIẾT 11. OLYMPIC HÓA 11 30 4 CÓ GIẢI CHI TIẾT 12. C. HOÁ ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC 1. ỨNG DỤNG CỦA XÚC TÁC TRONG HÓA HỮU CƠ 2. CƠ CHẾ PHẢN ỨNG TRONG HÓA HỮU CƠTIỂU LUẬN 3. TL HÓA HỌC CÁC CHẤT MÀU HỮU CƠ 4. GIÁO TRÌNH HÓA HỮU CƠ DÀNH CHO SINH VIÊN CĐ, ĐH, Hóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Đỗ Đình Rãng Hóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Đỗ Đình Rãng Hóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Đỗ Đình Rãng Hóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Thái Doãn Tĩnh Hóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Thái Doãn Tĩnh Hóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Thái Doãn Tĩnh Cơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Thái Doãn Tĩnh Cơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Thái Doãn Tĩnh Cơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Thái Doãn Tĩnh 5. VAI TRÒ SINH HỌC CỦA CÁC HỢP CHẤT VÔ CƠ 44 6. BÀI TẬP NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 40 7. Giáo trình Hoá học phân tích 8. Giáo trình Khoa học môi trường. http:baigiang.violet.vnpresentshowentry_id489754 9. Giáo trình bài tập Hoá Hữu cơ 1 10. Giáo trình bài tập Hoá Hữu cơ 2 11. Giáo trình bài tập Hoá Phân tích 1 12. Thuốc thử Hữu cơ 13. Giáo trình môi trường trong xây dựng 14. Bài tập Hóa môi trường có đáp án đầy đủ nhất dành cho sinh viên Đại họcCao đẳng 15. Mô hình, mô hình hóa và mô hình hóa các quá trình môi trường 16. Cây trồng và các yếu tố dinh dưỡng cần thiết 17. Đất đồng bằng và ven biển Việt Nam 18. Chất Hữu cơ của đất, Hóa Nông học 19. Một số phương pháp canh tác hiện đại,Hóa Nông học 20. Bài tập Hoá Đại cương có giải chi tiết dành cho sinh viên Đại học 21. Hướng dẫn học Hoá Đại cương dành cho sinh viên ĐH, CĐ 22. Bài giảng Vai trò chất khoáng đối với thực vật PP 23. Giáo trình Thực hành Hoá vô cơ dành cho sinh viên ĐH, CĐ 24. Bài tập Vô cơ dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng có giải chi tiết 25. Bài tập Vô cơ thi Olympic dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng có giải chi tiết 26. Bài giảng Hoá học Phức chất hay và đầy đủ 27. Bài giảng Hoá học Đại cương A1, phần dung dịch 28. Bài tập Hoá lý tự luận dành cho sinh viên có hướng dẫn đầy đủ 29. Bài tập Hoá lý trắc nghiệm dành cho sinh viên có đáp án đầy đủ 30. Khoá luận Tốt nghiệp bài tập Hoá lý 31. Giáo trình Hoá Phân tích dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 32. Bài giảng Điện hoá học hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 33. Bài tập Hoá học sơ cấp hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 34. Bài giảng phương pháp dạy học Hoá học 1 35. Bài giảng Công nghệ Hoá dầu 36. Hóa học Dầu mỏ và Khí 37. Bài tập Hóa dầu hay có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 38. Bài tập Công nghệ Hóa dầu, công nghệ chế biến khi hay có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 39. Bài giảng Hóa học Dầu mỏ hay dành sinh viên Đại học, cao đẳng 40. Hướng dẫn thực hành Hoá Hữu cơ hay dành cho sinh viên đại học, cao đẳng 41. Phụ gia thực phẩm theo quy chuẩn quốc gia 42. Hướng dẫn thực hành Hoá Vô cơ RC0 Các phản ứng Hoá học mang tên các nhà khoa học hay dành cho sinh viên 43. Bài tập trắc nghiệm Hoá sinh hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 44. Bài tập Hoá học Hữu cơ có giải chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng P1 45. Bài giảng Hoá học Hữu cơ 1 powerpoint hay 46. Bài tập cơ chế phản ứng Hữu cơ có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên 47. Bài giảng Hoá học Hữu cơ dành cho sinh viên 48. Bài tập Hoá sinh học hay có đáp án dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 49. Hoá học hợp chất cao phân tử 50. Giáo trình Hoá học Phức chất dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 51. Bài giảng Hoá học Đại cương dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 52. Bài giảng Cơ sở Lý thuyết Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng 53. Bài giảng Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng phần Hidrocacbon 54. Bài giảng Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng phần dẫn xuất Hidrocacbon và cơ kim 55. Bài giảng Hoá học Hữu cơ file word đầy đủ và hay nhất 56. Kỹ thuật và an toàn trong thí nghiệm, thực hành Hóa học 57. Báo cáo thực hành Hóa Hữu cơ 2 58. Giáo trình Hóa học môi trường 59. Bài tập Hóa Hữu cơ hay 60. Bài tập Hóa Đại cương hay gồm Tự luận và trắc nghiệm, có giải chi tiết 61. Giáo trình Hóa học Đại cương dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng 62. Giáo trình Hóa Đại cương tập I, Nguyễn Văn Đang, ĐHSP Đà Nẵng 63. Giáo trình Hóa Đại cương tập II, Nguyễn Văn Đang, ĐHSP Đà Nẵng http:violet.vnvinhannan355presentshowentry_id10833446 64. Bài tập Hóa Phân tích 1 có đáp số 65. Giáo trình Hóa Phân tích tập 1 của PGS TS Vo Thi Bach Hue http:documents.tipsdownloadlinkbaitaphoaphantichcoloigiaichitietfullpdf 66. Bài tập hóa học ứng dụng, tác dụng sinh học của các hợp chất Hóa học 67. Bài tập Nhiệt động lực học có hướng dẫn chi tiết 68. Bài tập Hóa Phân tích 1 có hướng dẫn chi tiết 69. BÀI TẬP HÓA HỌC THỰC TIỂNTÀI LIỆU HAY D. HIỂU BIẾT CHUNG 1. TỔNG HỢP TRI THỨC NHÂN LOẠI 2. 557 BÀI THUỐC DÂN GIAN 3. THÀNH NGỬCA DAO TỤC NGỬ ANH VIỆT 4. CÁC LOẠI HOA ĐẸP NHƯNG CỰC ĐỘC 5. GIAO AN NGOAI GIO LEN LOP 6. Điểm chuẩn các trường năm 2015 7. Quy hoạch mạng lưới nghĩa trang năm 2020, tầm nhìn 2030 8. Tham nhũng và phòng chống tham nhũng 9. Tuyển tập các bài ca dao Việt Nam và các bài hát ru hay 10. Nhị Thập tứ hiếu (24 tấm gương hiếu thảo) 11. Bác sĩ giải đáp về chuyện ấy. Giáo dục giới tính 12. Kinh nguyệt và các vấn đề liên quan 13. Các bệnh hiện đại hay gặp và chế độ ăn uống 14. Phong tục tập quán người Việt 15. Giải mộngĐoán điềm 16. Điềm báo tốt xấu 17. Giáo trình Tin học văn phòng hay excel 18. Hỏi đáp Phong tục Người Việt K 19. Lịch sử Sài Gòn qua nhiều thời kỳ K 20. Tài liệu ôn thi công chức viên chức, thi nâng ngạch ngành hành chính 21. Tài liệu ôn thi công chức viên chức, thi nâng ngạch ngành Kế toán 22. Tài liệu ôn thi công chức viên chức, thi nâng ngạch 23. Bài tập trắc nghiệm học phần Quản trị sản xuất có đáp án đầy đủ 24. Bài tập trắc nghiệm học phần tài chính doanh nghiệp có đáp án hay 25. Bài tập trắc nghiệm học phần thanh toán quốc tế có giải chi tiết http:tailieuhoctap.vnchitietsach2464nganhketoantaichinhthuetaichinhkinhdoanhtiente785498dethimonmarketingnganhangthang062015 26. Tự chế tạo điều hòa không khí, đồ án tốt nghiệp 27. E. DANH MỤC LUẬN ÁNLUẬN VĂNKHOÁ LUẬN… 1. Công nghệ sản xuất bia 2. Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong hạt tiêu đen 3. Giảm tạp chất trong rượu 4. Tối ưu hoá quá trình điều chế biodiesel 5. Tinh dầu sả 6. Xác định hàm lượng Đồng trong rau 7. Tinh dầu tỏi 8. Tách phẩm mầu 9. Một số phương pháp xử lý nước ô nhiễm 10. Tinh dầu HỒI 11. Tinh dầu HOA LÀI 12. Sản xuất rượu vang 13. Vấn đề mới và khó trong sách Giáo khoa thí điểm 14. Phương pháp tách tạp chất trong rượu 15. Khảo sát hiện trạng ô nhiễm arsen trong nước ngầm và đánh giá rủi ro lên sức khỏe cộng đồng 16. REN LUYEN NANG LUC DOC LAP SANG TAO QUA BAI TAP HOA HOC 10 LV 151 17. Nghiên cứu đặc điểm và phân loại vi sinh vật tomhum 18. Chọn men cho sản xuất rượu KL 40 19. Nghiên cứu sản xuất rượu nho từ nấm men thuần chủng RV 40 20. NGHIÊN CỨU THÀNH PHẦN HÓA HỌC VÀ HOẠT TÍNH SINH HỌC CÂY DẤU DẦU LÁ NHẴN 21. LUẬN ÁN TIẾN SĨ CHẾ TẠO KHẢO SÁT ĐẶC TÍNH ĐIỆN HOÁ CỦA ĐIỆN CỰC 21 22. NGHIÊN CỨU THÀNH PHẦN HÓA HỌC VÀ HOẠT TÍNH SINH HỌC CỦA MỘT SỐ LOÀI THUỘC CHI UVARIA L. HỌ NA (ANNONACEAE) 23. Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong dịch chiết từ đài hoa bụp giấm file word RE023 24. Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong quả mặc nưa 25. Nghiên cứu xử lý chất màu hữu cơ của nước thải nhuộm …bằng phương pháp keo tụ điện hóa 26. Nghiên cứu và đề xuất hướng giải quyết các vấn đề khó và mới về hoá hữu cơ trong sách giáo khoa hoá học ở Trung học phổ thông 27. Nghiên cứu chiết xuất pectin từ phế phẩm nông nghiệp, thực phẩm 28. Chiết xuất quercetin bằng chất lỏng siêu tới hạn từ vỏ củ Hành tây 29. Thành phần Hóa học và hoạt tính Kè bắc bộ pp 30. Nghiên cứu phương pháp giảm tạp chất trong rượu Etylic 31. Tối ưu hoá quá trình điều chế biodiesel từ mỡ cá tra với xúc tác KOHγAl2O3 bằng phương pháp bề mặt đáp ứng 32. Tối ưu hoá quá trình chiết ANTHOCYANIN từ bắp cải tím 33. Chiết xuất và tinh chế CONESSIN, KAEMPFEROL, NUCIFERIN từ dược liệu (Ko) RE033 34. Phương pháp tính toán chỉ số chất lượng nước cho một số sông thuộc lưu vực sông Nhuệ sông Đáy 35. Xử lý suy thoái môi trường cho các vùng nuôi tôm (Nghiên cứu và ứng dụng công nghệ tiến tiến, phù hợp xử lý suy thoái môi trường nhằm sử dụng bền vững tài nguyên cho các vùng nuôi tôm các tỉnh ven biển Bắc bộ và vùng nuôi cá Tra ở Đồng Bằng Sông Cửu Long) 36. Đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ, W813E0036 (Xây dựng một hệ thống thông tin hỗ trợ đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ) 37. Công nghệ lên men mêtan xử lý chất thải làng nghề“Nghiên cứu hiện trạng ô nhiễm và công nghệ lên men mêtan nước thải chế biến tinh bột sắn của một số làng nghề thuộc huyện Hoài Đức, Hà Nội” 38. Tính chất của xúc tác Fe2O3 biến tính bằng Al2O3(Tổng hợp và tính chất xúc tác của Fe2O3 được biến tính bằng Al2O3 và anion hóa trong phản ứng đồng phân hóa nankan”) 39. Tác động môi trường của việc thu hồi đất, Word, 5, E0039 “Đánh giá ảnh hưởng môi trường của việc thu hồi đất tại quận Tây Hồ, Hà Nội” 5 40. Không gian hàm thường gặp, W8, E40 (“Về một số không gian hàm thường gặp”. 41. Xác định hoạt chất trong thuốc kháng sinh, W 10, E41 (Nghiên cứu xây dựng phương pháp phổ hồng ngoại gần và trung bình kết hợp với thuật toán hồi quy đa biến để định lượng đồng thời một sốhoạt chất có trong thuốc kháng sinh thuộc họ βLactam” 42. Phát hiện vi khuẩn lao kháng đa thuốc bằng kỹ thuật sinh học phân tửW10.2E42 “Nghiên cứu phát hiện vi khuẩn lao kháng đa thuốc bằng kỹ thuật sinh học phân tử” 43. Động lực học của sóng biển, W12, E43. NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA SÓNG SAU ĐỚI SÓNG ĐỔ TẠI BÃI BIỂN NHA TRANG 44. Xử lý chất thải tại nhà máy giấy hiệu quả, file word 13, E44 (NÂNG CAO HIỆU QUẢ XỬ LÝ CỦA CÁC BỂ HIẾU KHÍ BẰNG CÁCH ĐIỀU CHỈNH DINH DƯỠNG THÍCH HỢP CHO VI KHUẨN ĐỐI VỚI HỆ THỐNG XỬ LÝ NƯỚC THẢI CỦA NHÀ MÁY GIẤY 45. Định lượng Paraquat bằng phương pháp sắc ký lỏng, W14, E45. (Nghiên cứu định lượng Paraquat trong mẫu huyết tương người bằng phương pháp sắc ký lỏng hiệu năng cao) 46. Định hướng quy hoạch bảo vệ môi trường, W15, E46 “Nghiên cứu xác lập cơ sở khoa học cho định hướng quy hoạch bảo vệ môi trường khu vực Đại học Quốc gia Hà Nội tại Hòa Lạc và các xã lân cận” 47. Giải pháp thực hiện các quyền sử dụng đất của hộ gia đình, cá nhân, W16, E47. “Nghiên cứu thực trạng và đề xuất giải pháp thực hiện các quyền sử dụng đất của hộ gia đình, cá nhân trên địa bàn quận Nam Từ Liêm, thành phố Hà Nội” 48. Phức chất đa nhân của đất hiếm phối tử hữu cơ đa càng, W17, E48. “Phức chất đa nhân của đất hiếm và kim loại chuyển tiếp với một số phối tử hữu cơ đa càng” 49. Phép tính Xentơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn (PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG 50. Mô hình vật lý của Virut, W20, E50 51. Hệ Exciton trong dải băng Graphene, W22, E51. HỆ EXCITON TRONG DẢI BĂNG GRAPHENE 52. Phân tích biến đổi của gen CXCL12 ở bệnh nhân ung thư đại trực tràng, W23, E52. 53. Thành phần tinh dầu một số loài Bạch đàn (Eucalyptus) trồng ở Việt Nam, W26, E53.( Đánh giá đặc tính thành thành phần tinh dầu một số loài Bạch đàn (Eucalyptus) trồng ở Việt Nam và mối liên hệ của nó với một số vấn đề sinh thái môi trường điển hình’’) 54. Quy trình xử lý và tái sử dụng chất thải từ quá trình mài đá trong sản xuất đá nhân tạo 55. Xử lý chất thải tại các trang trại chăn nuôi lợn 56. Phân tích, đánh giá chất lượng nước sông 57. Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể 58. Nghiên cứu điều kiện phân tích các sulfamit bằng phương pháp sắc ký Bùi minh Thái 59. Nghiên cứu, xác định mức độ tồn lưu chất độc da camdioxin và đánh giá hiệu quả thử nghiệm công nghệ Hóa Cơ xử lý dioxin K 60. ẢNH HƯỞNG CỦA CO2 ĐẾN KHẢ NĂNG HÒA TAN PHYTOLITH TRONG TRO RƠM RẠ 61. Nghiên cứu ứng dụng công nghệ viễn thám và mô hình thuỷ văn thuỷ lực để thành lập bản đồ ngập lụt 62. PHÁT TRIỂN THIẾT bị PIN NHIÊN LIỆU TỪ VI SINH VẬT 63. ĐÁNH GIÁ TÁC ĐỘNG CỦA NƯỚC BIỂN DÂNG VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ GIẢI PHÁP ỨNG PHÓ VỚI BIẾN ĐỔI KHÍ HẬU, NƯỚC BIỂN DÂNG 64. Ứng dụng bộ kít nhuộm hóa học tế bào để phân loại bệnh bạch cầu cấp theo tiêu chuẩn FAB 65. Định hướng nâng cao hiệu quả thu gom và xử ký nước thải đô thị k 66. Nghiên cứu tác dụng chống lại vi khuẩn kháng kháng sinh K 67. Nghiên cứu xây dựng và lồng ghép nội dung giáo dục môi trường vào chương trình đào tạo cho học sinh K 68. TỔNG HỢP VẬT LIỆU HẤP PHỤ CÓ TỪ TÍNH VÀ KHẢO SÁT KHẢ NĂNG TÁCH LOẠI PHẨM MÀU AZO TRONG MÔI TRƯỜNG NƯỚC 69. XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG KHÁNG NGUYÊN TRONG QUY TRÌNH SẢN XUẤT VẮCXIN CÚM 70. 070 (=051) HE EXCITON TRONG DAI BANG GRAPHENE LuanVanThacSiDinhDangWord (23) 71. 071H Nghiên cứu điều kiện phân tích các sulfamit bằng phương pháp sắc ký 72. 072H Đánh giá đặc tính thành phần tinh dầu một số loài Bạch đàn (Eucalyptus) trồng ở Việt Nam và mối liên hệ của nó với một số vấn đề sinh thái môi trường điển hình. 73. Nhà máy điện hạt nhân AP1000 74. NÂNG CAO HIỆU QUẢ XỬ LÝ CỦA CÁC BỂ HIẾU KHÍ 75. Sử dụng liều kế nhiệt huỳnh quang (TLD) để đo liều bức xạ gamma trong môi trường 76. Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT F. TOÁN PHỔ THÔNG 1. TUYEN TAP CAC DANG VUONG GOC TRONG KHONG GIAN 2. Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 500 câu có đáp án 3. Phân dạng Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 4. Bộ đề Trắc nghiệm Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 5. Chuyên đề Trắc nghiệm Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 6. Bộ đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán 7. Bộ đề kiểm tra trắc nghiệm 1 tiết phút môn Toán lớp 12 8. Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P1 9. Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P2 10. Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P3 11. Bài tập trắc nghiệm môn toán Giải tích lớp 12, luyện thi THPT quốc gia P1 có đáp án 12. Bài tập trắc nghiệm môn toán Giải tích lớp 12, luyện thi THPT quốc gia P2 13. Phân dạng Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia 14. Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia. 15. Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia có đáp án 16. Phân dạng Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia 17. Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán 18. Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán có đáp án 19. Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán có giải chi tiết 20. Ôn tập Toán 12, luyện thi THPT Quốc gia 21. Phân dạng bài tập hình học 11 rất hay có giải chi tiết các dạng 22. Bài tập trắc nghiêm Toán 11 23. Đề trắc nghiệm toán đại số 12 dành cho kiểm tra 1 tiêt, 15 phút có đáp án G. LÝ PHỔ THÔNG 1. GIAI CHI TIET DE HOC SINH GIOI LY THCS 2. Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Vật lý, có đáp án 3. Giáo án Vật lý 11 hay, đầy đủ. Có bài tập, có nhận xét rút kinh nghiệm http:giaoan.violet.vnpresentshowentry_id9519591 4. Giáo án Vật lý 11 hay, đầy đủ. Có bài tập cũng cố 5. H. TOÁN ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC 1. Bài tập Đại số Đại cương, NXB Giáo dục hay 2. Bài tập Đại số Đại cương có giải chi tiết hay 3. Bài tập đại số tuyến tính có giải chi tiết http:www.studyvn.comformulaviewthematic203?thematic_sub=208post_url=DETHIDAISO725 I. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP TIỂU HỌC 1. SKKN cấp thành phố về nâng cao chất lượng dạy học thể dục ở Tiểu học 2. SKKN dạy học tiếng anh ở Tiểu học 3. SKKN đọc kể diễn cảm 4. SKKN nâng cao chất lượng dạy học môn Tin lớp 4, 5 5. Phương pháp bàn tay nặn bột ưu việt và các giáo án mẫu lớp 3,4,5 J. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP THCS 1. Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao chất lượng dạy và học môn Hóa học THCS 2. Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao chất lượng dạy và học môn Vật Lý THCS lớp 6 http:quephong.violet.vnpresentlistcat_id1327614page3 K. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP THPT L. TÀI LIỆU ÔN THI CÔNG CHỨC VIÊN CHỨC NGÀNH Y 1. TÀI LIỆU ÔN THI VIÊN CHỨC Y TẾ QUY TRÌNH KỸTHUẬT CHUYÊN NGÀNH PHỤC HỒI CHỨC NĂNG http:kgmc.edu.vnNewsDetail.asp?ArtID=21446 2. QUY TRÌNH KỸ THUẬT KHÁM BỆNH, CHỮA BỆNH CHUYÊN NGÀNH CHÂM CỨU 3. TÀI LIỆU ÔN THI VIÊN CHỨC NGÀNH Y QUY TRÌNH KỸTHUẬT Y HỌC CỔ TRUYỀN 4. Bài giảng Y học Cổ truyền Tập 1 5. Đề cương ôn thi Lý thuyết viên chức Y tế 6. Đề cương ôn thi Thực hành viên chức Y tế 7. Tài liệu ôn thi viên chức y tế đầy đủ 8. Tài liệu ôn thi viên chức y tế P1 9. Tài liệu ôn thi viên chức y tế, chăm sóc bệnh nhi 10. Đề cương ôn thi viên chức y tế, bộ môn tin học cho bác sĩ 11. Đề cương ôn thi viên chức Y tế 12. Giáo trình bào chế thuốc dành cho dược sĩ 13. Giáo trình bào chế đối tượng dược sĩ Đại học 14. Phục hồi chức năng cho trẻ bại não 15. Tài liệu ôn thi viên chức y tế, Y học cổ truyền 16. Tài liệu ôn thi viên chức y tế, Điều dưỡng RHM 17. Tài liệu ôn thi viên chức y tế, Y sĩ http:kgmc.edu.vnNewsDetail.asp?ArtID=21446 18. Câu hỏi ôn thi vấn đáp viên chức Y tế 19. Đề cương ôn thi viên chức ngành Y tế DSKHHGD 20. Đề cương ôn thi viên chức ngành Y tế tổng hợp http:soytetiengiang.gov.vnSYT41659110163802DaotaotuyendungCauhoionthituyenvienchucYte2014.aspx M. BÀI GIẢNG Y KHOA 1. Đau ngực và các bệnh lý liên quan 2. Bài giảng về bỏng và kỹ thuật sơ cấp cứu 3. Lâm sàng và siêu âm một số bệnh lý bụng cấp không do chấn thương 4. Bài giảng xơ Gan, Ung thư Gan http:ykhoabooks.compage3 5. Đái tháo đường và phương pháp điều trị 6. Lọc máu trong hồi sức tích cực, phương pháp mới 7. Giáo trình viêm mũi dị ứng 8. Chẫn đoán hình ảnh thủng tạng rỗng 9. Các rối loạn phát triển ở trẻ em 10. Siêu âm vùng mặt cổ thai nhi 11. Hướng dẫn sử dụng thuốc kháng sinh 12. Kỹ thuật siêu âm tim thai 13. Bài giảng siêu âm tuyến giáp của Giáo sư Phạm Minh Thông 14. Siêu âm bất thường nhiễm sắc thể thực hành 15. Chẫn đoán hình ảnh tắc ruột 16. Sử dụng thuốc đối với phụ nữ cho con bú 17. Siêu âm sản khoa khảo sát thực hành 18. Bệnh Bướu giáp đơn thuần điều trị ngoại khoa 19. Bệnh học thận tiết niệu sinh dục và lọc máu trẻ em 20. Tăng huyết áp và đột quy bệnh sinh và xử trí (clinical hypertension and vascular diseases 2016) http:ykhoabooks.compage5 N. SINH HỌC THPT 1. Giáo án sinh học 11 đầy đủ hay http:violet.vnN_T_Qpresentshowentry_id9593008 Nhị Thập tứ hiếu (24 tấm gương hiếu thảo) là quyển sách không bao giờ cũ Bất kể trai hay gái khi đọc và có thể noi theo được một phần cũng là điều quá quý, đáng trân trọng cho mỗi gia đình, cho đất nước Ai thực hiện theo những tấm gương này sẽ là những hiền tài có ích cho xã tắc. Tu thân, tề gia, trị quốc, thiên hạ bình Bác sĩ giải đáp về chuyện ấy. Giáo dục giới tính là tài liệu rất cần thiết cho mọi lứa tuổi. Hy vọng tài liệu sẽ giúp chúng ta hiểu hơn, khỏe hơn và có cuộc sống hạnh phúc hơn. Những điềm báo tốt xấu bạn nên biết là tài liệu hay, làm phong phú thêm cuộc sống vốn dĩ muôn màu. Dẫu sao điều ta chưa kiểm chứng thì hãy cứ tin: Có cử có thiên, có kiên có lành Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KIM NGẦN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Hệ phương trình 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.1.2 Hệ phương trình đối xứng 1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp 1.1.4 Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh 1.2 Phương pháp 1.2.1 Phương pháp cộng đại số 1.2.2 Phương pháp Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử 2.3 Phương pháp sử dụng đẳng thức 2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.5 Phương pháp khác 2.5.1 Phương pháp đánh giá 2.5.2 Phương pháp lượng giác hóa 2.5.3 Phương pháp sử dụng số phức Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình 3.1 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 3.2 Xây dựng hệ phương trình từ đẳng thức 3.3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để xây dựng hệ phương trình 3.4 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đánh giá 3.5 Sử dụng số phức để xây dựng hệ phương trình 4 4 9 10 13 13 20 28 34 43 43 47 49 54 54 58 64 67 71 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc - người thầy truyền cho niềm say mê nghiên cứu Tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, thầy giáo tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Mở đầu Hệ phương trình nội dung cổ điển quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển hệ phương trình đặt dấu ấn quan trọng Tốn học Chúng có sức hút mạnh mẽ người u Tốn, ln thơi thúc người làm Tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bài tốn hệ phương trình thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi, Olympic kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Hệ phương trình đánh giá tốn phân loại học sinh giỏi, địi hỏi kỹ thuật xử lý nhanh xác Là giáo viên Trung học phổ thông, muốn nghiên cứu sâu hệ phương trình nhằm nâng cao chun mơn, phục vụ cho q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Với lý trên, lựa chọn nghiên cứu đề tài "Một số phương pháp giải hệ phương trình chương trình tốn Trung học phổ thơng" làm luận văn thạc sĩ Luận văn chia làm ba chương: Chương Một số kiến thức Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Chương Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2015 Tác giả luận văn Vũ Thị Kim Ngần Chương Một số kiến thức 1.1 1.1.1 Hệ phương trình Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng a1 x + b y = c a2 x + b y = c Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình này, ta thường sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp thế, - Phương pháp cộng đại số, - Phương pháp dùng định thức a b c b a c Ký hiệu: D = a1 b1 ; Dx = c1 b1 ; Dy = a1 c1 2 2 2 Trường hợp : D =  Dx    x= D Hệ phương trình có nghiệm    y = Dy D Trường hợp : D = Dx = Dy = Hệ phương trình có vơ số nghiệm dạng {(x0 ; y0 ) |a1 x0 + b1 y0 = c1 } Trường hợp : D = 0; Dx = D = 0; Dy = D = 0; Dx = 0; Dy = Hệ phương trình vơ nghiệm 1.1.2 Hệ phương trình đối xứng Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phương trình đối xứng loại I hai biến x y hệ phương trình mà ta thay x y , thay y x hệ khơng thay đổi Phương pháp giải: - Đặt x+y =S , điều kiện S ≥ 4P xy = P - Tìm S, P, - Khi đó, x, y nghiệm phương trình u2 − Su + P = Ví dụ 1.1 (Trích đề thi Học viện An ninh năm 2001) Giải hệ phương trình x + y = − 2xy x2 + y = Giải Đặt (x, y ∈ R) x+y =S , điều kiện S ≥ 4P xy = P S = − 2P S − 2P = S = − 2P S = − 2P ⇔ ⇔ 4P − 6P =  (1 − 2P ) − 2P =   S = − 2P S = 1; P = P =0 ⇔ ⇒ S = −2; P =   P= 2 x+y =1 xy = Ta hệ phương trình Với S = 1; P = ⇒ Khi (x, y) nghiệm phương trình: u2 − u = ⇔ u=0 ⇒ u=1 x = 0; y = x = 1; y = ta loại trường hợp khơng thỏa mãn điều kiện S ≥ 4P Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) ; (1; 0) Với S = −2; P = Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phương trình đối xứng loại II x y hệ phương trình mà ta thay x y , thay y x phương trình biến thành phương trình ngược lại Phương pháp giải: - Trừ theo vế hai phương trình hệ, ta phương trình tích dạng: (x − y) f (x; y) = - Sau thay x = y; f (x, y) = 0, vào hai phương trình hệ, ta phương trình biết cách giải giải tiếp tìm nghiệm hệ Ví dụ 1.2 (Trích đề thi đại học khối B năm 2003) Giải hệ phương trình  y2 +   3y =   x2 (x, y ∈ R)  x +2    3x = y2 Giải Điều kiện: x > 0; y > Hệ phương trình tương đương với 3x2 y = y + 3y x = x2 + 3xy (x − y) = (y − x) (y + x) 3y x = x2 + ⇔ (x − y) (x + y + 3xy) = 3y x = x2 + ⇔   Với Với x=y x + y + 3xy = ⇔  3y x = x2 + x=y x=y ⇔ ⇔ x = y = 3y x = x2 + 3x3 − x2 − = x + y + 3xy = 3y x = x2 + Vì x + y + 3xy > 0; ∀x > 0; y > nên trường hợp vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) 1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp Hệ phương trình f (x, y) = a gọi hệ đẳng cấp bậc k f (x, y); g(x, y) g (x, y) = b biểu thức đẳng cấp bậc k Chú ý : Biểu thức f (x, y) gọi đẳng cấp bậc k f (mx, my) = mk f (x, y) Phương pháp giải: - Xét y = (hoặc x = 0) thay vào hệ phương trình tìm nghiệm - Xét y = Đặt x = ty , ta có f (ty, y) = y k f (t, 1) ⇒ g (ty, y) = y k g (t, 1) y k f (t, 1) = a y k g (t, 1) = b a b Chia theo vế hai phương trình hệ ta được: f (t, 1) = g (t, 1) Giải phương trình tìm t thay ngược lại ta tìm nghiệm (x, y) Ví dụ 1.3 (Trích đề thi đề nghị Olympic 30/4/2009) Giải hệ phương trình x3 + 8y − 4xy = 2x4 + 8y − 2x − y = (x, y ∈ R) Giải - Xét y = Thay vào hệ phương trình ta được: x3 = ⇔ x = 2x4 − 2x = Suy (1; 0) nghiệm hệ - Xét y = Đặt x = ty , ta có: t3 y + 8y − 4ty = 2t4 y + 8y − 2ty − y = ⇔   y t3 + − 4t =  y 2t4 + = 2t + (Do y = 0) Chia theo vế hai phương trình hệ ta được: t3 + − 4t = 2t + 2t + ⇔ t3 − 8t2 + 12t = t=0 ⇔ t=2 t = Với t = ta có (x; y) = 0; Với t = ta có (x; y) = 1; Với t = ta có (x; y) = √ ; √ 3 25 25 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (x; y) = (1; 0) ; 0; 1.1.4 1 ; 1; ; 2 √ ; √ 3 25 25 Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh hệ có dạng:  f (x1 ) = g (x2 )    f (x2 ) = g (x3 )    f (xn−1 ) = g (xn ) f (xn ) = g (x1 ) (Khi ta hốn vị vịng quanh biến hệ phương trình khơng đổi) Cụ thể, ta xét hệ hốn vị vịng quanh ba ẩn sau x = f (y) y = f (z) z = f (x) Phương pháp giải: Giả sử f hàm số xác định tập D có tập giá trị T , T ⊆ D f hàm số đồng biến D - Cách : Đoán nghiệm chứng minh nghiệm Để chứng minh hệ có nghiệm ta thường cộng theo vế ba phương trình hệ, sau suy x = y = z - Cách : Từ T ⊆ D ta suy f (x), f (f (x)) f (f (f (x))) thuộc D Để (x, y, z) nghiệm hệ x ∈ T Nếu x > f (x) f tăng D nên f (x) > f (f (x)) Do đó, f (f (x)) > f (f (f (x))) Suy ra: x > f (x) > f (f (x)) > f (f (f (x))) = x Điều mâu thuẫn Chứng tỏ khơng thể có x > f (x) Tương tự ta chứng minh có x < f (x) Do đó, x = f (x) Việc giải hệ phương trình ban đầu quy việc giải phương trình x = f (x) Hơn ta có: ⇔ x = f (y) y = f (z) ⇔ z = f (x) x = f (y) y = f (z) ⇔ z = f (z) x = f (y) x = f (y) y = f (z) y = f (z) ⇔ z = f (f (y)) z = f (f (f (z))) x = f (y) x=y=z z=y ⇔ z = f (z) z = f (z) Ví dụ 1.4 (Trích đề thi HSG QG 2006) Giải hệ phương trình √  x2 − 2x + 6log3 (6 − y) = x y − 2y + 6log3 (6 − z) = y √ (x, y, z ∈ R) z − 2z + 6log3 (6 − x) = z Giải Để (x, y, z) nghiệm hệ phương trình điều kiện x, y, z < Hệ phương trình cho tương đương với  x  √ log (6 − y) =    x2 − 2x +  y log3 (6 − z) = y − 2y +   z    log3 (6 − x) = √ hay với f (x) = √ x x2 − 2x + z − 2z + log3 (6 − y) = f (x) log3 (6 − z) = f (y) log3 (6 − x) = f (z) ; g (x) = log3 (6 − x) 6−x √ > 0; ∀x < (x2 − 2x + 6) x2 − 2x + Suy f (x) hàm tăng g(x) hàm giảm với x < Ta có f (x) = Nếu (x, y, z) nghiệm hệ phương trình, ta chứng minh x = y = z Khơng tính tổng quát, giả sử x = max(x, y, z) Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp : x ≥ y ≥ z Do f (x) hàm tăng nên f (x) ≥ f (y) ≥ f (z) Suy log3 (6 − y) ≥ log3 (6 − z) ≥ log3 (6 − x) Do g(x) giảm nên − y ≤ − z ≤ − x ⇔ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z Trường hợp : x ≥ z ≥ y Tương tự ta suy x = y = z Phương trình f (x) = g(x) có nghiệm x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (3, 3, 3) 1.2 1.2.1 Phương pháp Phương pháp cộng đại số Để giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số, ta kết hợp hai phương trình hệ phép tốn cộng, trừ, nhân, chia để thu phương trình hệ đơn giản hơn, dễ giải Ví dụ 1.5 (Trích đề thi đại học an ninh nhân dân năm 1999) Giải hệ phương trình x2 + x + y + + x + x2 + x + y + − x + y + x + y + + y = 18 y2 + x + y + − y = Giải Điều kiện: x2 + x + y + ≥ 0; y + x + y + ≥ Cộng, trừ theo vế hai phương trình hệ ta (x, y ∈ R) Với u = −3 ⇒ v = −2 Với u = −7 ⇒ v=4 √ y + − x = −3 ⇔ 4x = −2 √ y + − x = −7 ⇔ 4x = x = − 21 √ y+2=− x √= y + = −6 (Vô nghiệm) (Vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Tương tự, ta xét biến đổi tương đương sau: (v + 5)3 + (u − 3)3 = ⇔ u3 + v − 9u2 + 15v = −98 − 27u − 75v (1) Nhận thấy (u; v) = (3; −5); (−5; 3) thỏa mãn (1) Có: u3 + v = −98 (2) Từ (1) (2) ta được: 3u2 − 5v = 9u + 25v (3) Đặt u = x + y; v = x − y , thay vào (2) (3) ta được: x3 + 3xy = −49 x2 − 8xy + y = 8y − 17x Ta có tốn sau Bài tốn 3.14 ( Trích đề thi HSG QG năm 2004) Giải hệ phương trình x3 + 3xy = −49 (1) 2 x − 8xy + y = 8y − 17x (2) (x, y ∈ R) Hướng dẫn: Ta ngược lại cách xây dựng hệ phương trình để có lời giải cho tốn Nghiệm tìm (x; y) = (−1; −4) ; (−1; 4) 3.3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để xây dựng hệ phương trình Dựa vào tính chất "Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu khoảng (a;b) x, y thuộc (a;b) f (x) = f (y) x = y " ta sáng tác nhiều phương trình Sau đó, cần kết hợp với biểu thức liên hệ hai biến x, y ta có hệ phương trình với nghiệm mong muốn Xét hàm số f (t) = t3 + 3t R Có f (t) = 3t2 + > với t Suy f (t) hàm đồng biến R 64 Do đó, f (u) = f (v) ⇔ u = v √ Lấy u = 2x − 1; v = y ta được: (2x + 2) √ 2x − = y + 3y Kết hợp với biểu thức liên hệ x, y , chẳng hạn y − xy + = 5x − 6y Ta có tốn sau Bài tốn 3.15 ( Trích đề thi thử THPTQG năm 2015 tỉnh Nam Định) Giải hệ phương trình √ (2x + 2) 2x − = y + 3y (1) y − xy + = 5x − 6y (2) (x, y ∈ R) Giải Điều kiện: x ≥ Phương trình (1) hệ tương đương với (2x − + 3) √ 2x − = y + 3y Xét hàm số f (t) = t3 + 3t R Có f (t) = 3t2 + > với t Suy f (t) hàm đồng biến R √ √ Do f 2x − = f (y) ⇔ 2x − = y ≥ Thay vào phương trình (2) ta được: (y + 5) (y − x + 1) = ⇔ Với y = x − ⇒ √ 2x − = x − ⇔ √ √ x = + ⇒ y = + y = −5 < (Loại) y = x − √ x≥1 ⇔ x = + 2x − = (x − 1) √ √ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = + 2; + √ 2 Xét hàm số f (t) = t3 + 4t + 2t + với t ≥ − 1 > 0; ∀t > − 2t + 1 Do đó, f (t) hàm đồng biến − ; +∞ Suy ra, f (x) = f (y) ⇔ x = y Ta có: f (t) = 3t2 + + √ Có: f (x) = f (y) √ √ ⇔ x3 + 4x + 2x + = y + 4y + 2y + √ √ ⇔ x3 + 3x + 2x + − y + 3y + 2y + = y − x 65 ⇒ √ x3 + 3x + √ 2x + = y y + 3y + 2y + = x Từ đó, ta có tốn sau Bài tốn 3.16 Giải hệ phương trình √ x3 + 3x + √ 2x + = y y + 3y + 2y + = x (x, y ∈ R) Giải Điều kiện: x; y ≥ − Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: √ √ 2x + − y + 3y + 2y + = y − x √ √ ⇔ x3 + 4x + 2x + = y + 4y + 2y + √ Xét hàm số f (t) = t3 + 4t + 2t + với t ≥ − 1 Ta có: f (t) = 3t + + √ > 0; ∀t > − 2t + 1 Do đó, f (t) hàm đồng biến − ; +∞ Suy f (x) = f (y) ⇔ x = y x3 + 3x + Thay vào phương trình thứ hệ ta được: x3 + 2x − + √ 2x + = (∗) √ Xét hàm số g (x) = x3 + 2x − + 2x + − ; +∞ 1 > 0; ∀x > − 2x + 1 Suy g(x) hàm đồng biến − ; +∞ Do phương trình g(x) = có nhiều nghiệm Có g (x) = 3x2 + + √ Mặt khác, g(0) = nên x = nghiệm phương trình (∗) Với x = y = (TMĐK) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (0; 0) Nếu ta xét hàm số f (t) = (t2 + 1)t f (t) hàm số đồng biến R √ √ Khi đó, f (2x) = f − 2y ⇔ 2x = − 2y √ Suy (4x2 + 1)x + (y − 3) − 2y = Từ ta có tốn Bài tốn 3.17 (Trích đề thi đại học khối A năm 2010) Giải hệ phương trình √ (4x2 + 1)x +√(y − 3) − 2y = (1) 4x2 + y + − 4x = (2) 66 (x, y ∈ R) Hướng dẫn: Nhân hai vế phương trình (1) với ta được: 2x(4x2 + 1) + (5 − 2y + 1) − 2y = √ Sau ta xét hàm số f (t) = (t2 + 1)t suy 2x = − 2y Thay vào phương trình (1) hệ ta thu nghiệm (x; y) = ; 3.4 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đánh giá Vì bất đẳng thức lĩnh vực phát triển Toán Sơ Cấp nên theo đó, sử dụng bất đẳng thức ta sáng tạo nhiều hệ phương trình Điều đặc biệt lưu ý phương pháp đốn nghiệm góp phần lớn vào thành công lời giải Chẳng hạn, ta xét bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho bốn số thực a, b, c, d Ta có: c2 + d2 ≥ (ac + bd)2 a2 + b Đẳng thức xảy Chọn a = b = 1; c = √ 1 + 2x2 Sao cho x; y ∈ 0; ;d = a b = c d 1 + 2y Theo bất đẳng thức Bunhiacopski có: √ 1 + 2x2 + ≤2 + 2y 1 + + 2x2 + 2y Mặt khác, ta có bổ đề 1 + ≤ 2 + 2x + 2y + 2xy Do 1 √ + + 2x2 + 2y Dấu xảy x = y Như ta có √ 1 + 2x2 1 + + 2x + 2y ≤2 + 1 + 2y 67 ≤√ + 2xy ≤ + 2xy Đẳng thức xảy x = y Từ đó, kết hợp với biểu thức liên quan hai biến x y ta có tốn sau Bài tốn 3.18 (Trích đề thi HSG QG 2009 ) Giải hệ phương trình  1   √ + =√ + 2x2 x(1 − 2x) +   (1) + 2xy y(1 − 2x) = (2) + 2y (x, y ∈ R) Giải Điều kiện x; y ∈ 0; Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski có √ 1 + 2x2 + 1 + 2y ≤2 1 + + 2x2 + 2y Đẳng thức xảy √ 1 + 2x2 = 1 + 2y ⇔ x2 = y ⇔ x = y (Do x ≥ 0; y ≥ 0) Mặt khác, ta có bổ đề + ≤ 2 + 2x + 2y + 2xy Chứng minh: 1 + − 2 + 2x + 2y + 2xy + 2y (1 + 2xy) + + 2x2 (1 + 2xy) + + 2x2 + 2y = (1 + 2x2 ) (1 + 2y ) (1 + 2xy) 4xy − 2y + 4xy − 2x2 + 4x3 y − 8x2 y = (1 + 2x2 ) (1 + 2y ) (1 + 2xy) 4xy y − 2xy + x2 − 2(x − y)2 = (1 + 2x2 ) (1 + 2y ) (1 + 2xy) (2xy − 1) (x − y)2 1 = ≤ ( Do ≤ xy ≤ ; ∀x; y ∈ 0; ) (1 + 2x2 ) (1 + 2y ) (1 + 2xy) 2 ⇒ + ≤ + 2x2 + 2y + 2xy Do √ + + 2x2 1 + 2y 1 + + 2x + 2y ≤2 68 ≤ + 2xy Dấu xảy x = y Như ta có √ 1 + 2x2 + 1 + 2y ≤√ + 2xy Đẳng thức xảy x = y Suy phương trình (1) ⇔ y = x Thay vào phương trình (2) ta được: √ ± 73 x (1 − 2x) = ⇔ 162x − 81x + = ⇔ x = 36 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = √ √ + 73 + 73 ; 36 36 √ √ − 73 − 73 ; 36 36 ; Xét bất đẳng thức Cô si Cho hai số thực không âm a, b Ta có: a+b √ ≥ ab Đẳng thức xảy a = b 2 Chọn a = 2x +y ; b = 2y +x , có: 2x +y + 2y +x ≥2 +y+y +x 2x Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopski 1 √ √ x + y ; x2 + y ≥ (x + y)2 2 √ √ Ta cần chọn biểu thức liên hệ x, y có hệ phương √ √ trình, chẳng hạn, lấy x + y = √ √ Suy x + y ≥ x + y = x2 + y ≥ (x + y)2 ≥ 22 √ √ Do 2x +y + 2y +x ≥ 2x2 +y+y2 +x ≥ 24 = x+y ≥ Đẳng thức xảy x = y = Từ đó, ta có tốn sau Bài tốn 3.19 Giải hệ phương trình 2 2√x +y + 2y +x = (1) √ x+ y =2 (2) (x, y ∈ R) Giải Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski có: x+y ≥ √ √ x+ y 2 = 2; x2 + y ≥ (x + y)2 ≥ 2 69 Đẳng thức xảy x = y Suy x2 + y + y + x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cơ si có: 2x +y + 2y +x ≥2 +y+y +x 2x √ ≥ 24 = Dấu xảy x = y Do đó, phương trình (1) tương đương với x = y √ Thay vào phương trình (2) ta x = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) Xét ba số thực dương x, y, z Từ bất đẳng thức mà dấu xảy x = y = z , (x + y + z) 1 + + x y z √ ≥ 3 xyz.3 = xyz Ta chọn ba số x, y, z để có bất đẳng thức, điều kiện để dấu xảy yếu tố liên quan đến hệ phương trình, kết hợp với biểu thức liên hệ x, y, z ta xây dựng hệ phương 1 trình Chẳng hạn, lấy (x; y; z) = ; ; ta có: 670 670 670 x+y+z = 1 ; + + = 2010 670 x y z Từ xây dựng tốn sau Bài tốn 3.20 Giải hệ phương trình   x+y+z = (1) 670  + + = 2010 (2) x y z (x, y ∈ R) Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ si có (x + y + z) 1 + + x y z √ ≥ 3 xyz.3 Đẳng thức xảy x = y = z Nhân theo vế hai phương trình hệ ta (x + y + z) 1 + + x y z 70 = = xyz Suy ra, hệ phương trình tương đương với     x+y+z = 670 1 1 ⇔ x = y = z = + + = 2010 670    x y z x=y=z Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = 3.5 1 ; ; 670 670 670 Sử dụng số phức để xây dựng hệ phương trình Xuất phát từ số phức cho trước, ta xây dựng nên hệ phương trình cách lũy thừa số phức đó, từ hai số phức, ta biến đổi thu hệ phương trình Xây dựng hệ phương trình cách lũy√thừa số phức cho trước π π =5 + i 3 2 Giả sử w = x + yi; (x, y ∈ R) √ số phức thỏa mãn: (x + yi)3 = + i 2 √ 5 3 2 3 ⇔ x + 3x yi + 3xy i + y i = + i 2√ 5 ⇔ x3 − 3xy + 3x2 y − y i = + i (∗) 2 So sánh hai vế (∗) ta 5có:  x3 − 3xy = 2x3 − 6xy = 5√ 2√ ⇔ 6x2 y − 2y =  3x2 y − y = Xét số phức z = cos + i sin Từ ta có tốn Bài tốn 3.21 Giải hệ phương trình 2x3 − 6xy = 5√ (1) 6x2 y − 2y = (2) (x, y ∈ R) Giải Nhân hai vế phương trình (2) với i cộng với phương trình (1) ta được: √ 2x3 − 6xy + 6x2 y − 2y i = + 3i √ 5 ⇔ x3 − 3xy + 3x2 y − y i = + i √2 5 ⇔ x3 + 3x2 yi + 3xy i2 + y i3 = + i 2 71 √ + i 2 ⇔ (x + yi) = √ + i 2 Suy w = x+yi bậc ba số phức z = = cos π π + i sin 3 Mà z có ba bậc ba là: z1 = √ π π cos + i sin 9 z2 = √ 7π 7π cos + i sin 9 z3 = √ 13π 13π + i sin cos 9 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x; y) = √ √ √ π √ π 7π √ 7π 13π √ 13π 3 3 5cos ; sin ; 5cos ; sin ; 5cos ; sin 9 9 9 Nhận thấy rằng, cách giải độc đáo nhiều so với cách sử dụng tính đẳng cấp hệ, đưa phương trình đa thức bậc ba Với biểu thức lũy thừa số phức, ta xây dựng hệ phương trình từ giải toán cách nhanh gọn Chẳng hạn, ta xét thêm ví dụ khác như: (x + yi)4 = Ta có: (x + yi)4 = √ + i √ 3+i √ 3+i √ i = + i (∗) ⇔ x4 + 4x3 yi + 6x2 y i2 + 4xy i3 + y i4 = ⇔ x4 − 6x2 y + y + 4x3 y − 4xy So sánh hai vế (∗) ta có: √ 2 x − 6x y + y = 4x3 y − 4xy = Từ ta có tốn sau Bài tốn 3.22 Giải hệ phương trình x4 − 6x2 y + y = 4x3 y − 4xy = √ (x, y ∈ R) Hướng dẫn: Làm tương tự toán ta được: w = x + yi bậc bốn số phức z= √ √ 3+i=2 + i 2 Mặt khác, z có bốn bậc bốn là: z1 = √ π π cos + i sin 24 24 72 = cos π π + i sin 6 z2 = √ 13π 13π cos + i sin 24 24 z3 = √ 25π 25π cos + i sin 24 24 z4 = √ 37π 37π cos + i sin 24 24 Vậy hệ phương trình cho có bốn nghiệm (x; y) √ √ π √ π 13π √ 13π 4 4 ; ; sin ; 2cos ; sin 2cos 24 24 24 24 √ √ 25π √ 25π 37π √ 37π 4 4 ; sin ; ; sin 2cos 2cos 24 24 24 24 Hồn tồn tương tự ta có tốn sau Bài tốn 3.23 Giải hệ phương trình x5 − 10x3 y + 5xy = (1) √ y + 5xy + 5x4 y − 10x2 y = (2) (x, y ∈ R) Hướng dẫn: Nhân hai vế phương trình (2) với i cộng với phương trình (1) ta được: x5 − 10x3 y + 5xy + y + 5xy + 5x4 y − 10x2 y i = + √ ⇔ (x + yi)5 = + 3i √ Do đó, x + yi bậc năm số phức z = + 3i √ 3i Ta tìm năm bậc năm z suy nghiệm hệ phương trình Xây dựng hệ phương trình √ từ hai số phức cho trước z1 + z2 = √ z1 = √ − 5i Xét số phức ⇒ z2 = 5i z1 z2 = + 5i Suy z1 ; z2 nghiệm phương trình: √ z − 7z + +√ 5i = + 5i ⇔z−7+ =0 √z 5i ⇔z+ + =7 z z√ 5z 5iz ⇔z+ + = zz zz Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R), đó√ ta có: (x − yi) (xi + y) x + yi + + =7 2 x + y2 √x + y √ 5x − 5yi 5xi + 5y ⇔ x + yi + + =7 x + y2 x2 + y 73 √ √ 5x + 5y 5x − 5y + y+ ⇔ x+ x2 + y x2 + y So sánh hai vế  (∗), có: √ 5x + 5y   x+ =7 x + y2 √   y + 5x − 5y = x2 + y i = (∗) Từ ta có tốn sau Bài tốn 3.24 Giải hệ phương trình √  5x + 5y   x+ = (1) x +y √   y + 5x − 5y = (2) 2 (x, y ∈ R) x +y Giải Điều kiện: x2 + y = Nhân hai vế phương√trình (2) với i √ cộng với phương trình (1) ta được: 5x + 5y 5x − 5y + y+ i=7 2 x +y x2 + y √ √ 5x − 5yi 5xi + 5y ⇔ x + yi + + =7 + y2 x + y2 x √ (x − yi) (xi + y) ⇔ x + yi + + = (3) x + y2 x2 + y Xét số phức z = x + yi,√khi phương trình (3) viết lại dạng 5z 5iz z+ + =7 zz √zz 5i ⇔z+ + =7 z z √ ⇔ z − 7z + 5√+ 5i = z=√ − 5i ⇔ z = 5i √ √ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = 7; − ; 0; x+ Như vậy, từ hai số phức bất kỳ, ta xây dựng hệ phương trình có nghiệm theo ý muốn Hồn √ tồn tương tự, ta xây dựng hệ phương trình từ hai số phức Ta có: z1 = √2 − i z2 = 2 + 2i √ z1 + z2 = + i z1 z2 = Suy ra, z1 ; z2 nghiệm phương trình √ z2 − + i z + = √ ⇔z− 2+i + =0 z 74 √ =3 2+i z √ 6z ⇔z+ = + i zz Giả sử z = u + vi, ta viết lại phương trình dạng √ (u − vi) u + vi + =3 2+i u +v √ 6u 6vi ⇔u+ + vi − = 2+i u + v2 u2 + v √ 6v 6u + v− i = + i (∗) ⇔ u+ 2 u +v u +v ⇔z+ So sánh hai vế (∗) ta có:√ 6u    u + u2 + v =    v− Đặt 6v =1 u + v2   √ √ u = √x ta v= y    √     ⇔     u 1+ + v2 √ =3    v 1− x 1+ x+y 1− x+y y u + v2 u2 √ =3 = = Ta có tốn sau Bài tốn 3.25 Giải hệ phương trình  √  x   1+   x+y =   √    y 1− x+y = (2) √ (1) (x, y ∈ R) Giải Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0; x + y = Đặt √ u = √x , ta có hệ phương trình v= y  √    u + u2 + v =    v 1− u + v2 ⇔  √ 6u    u + u2 + v = (3)    v− =1 u2 6v = (4) + v2 Nhân hai vế phương trình (4) với i cộng với phương trình (3) ta √ 6u 6v + v − i = 2+i u2 + v u2 + v √ (u − vi) ⇔ u + vi + = + i (∗) u + v2 Xét z = u + vi, ta viết lại phương trình (∗) dạng: u+ 75 √ 6z =3 2+i zz √ ⇔ z2 − + i z + = √ z1 = √2 − i ⇔ z = 2 + 2i √2 u = √2; v = Suy u = 2; v = √ √ √ x=2 x = u = √ Với ⇒ ⇔ (TMĐK) y=1 y=1 v=1 √ √ √ x=8 x=2 2 u = √ ⇒ Với ⇔ (TMĐK) y=4 y=2 v=2 z+ Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) ; (8; 4) 76 Kết luận Sau thời gian học tập khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tận tình giảng dạy hướng dẫn TS Phạm Văn Quốc, tơi hồn thành luận văn với đề tài "Một số phương pháp giải hệ phương trình chương trình tốn Trung học phổ thông" Luận văn đạt số kết sau: Luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức hệ phương trình, đồng thời đưa phương pháp giải thường sử dụng tốn Trung học phổ thơng Luận văn đưa số cách sáng tác hệ phương trình từ số phức, hay từ đẳng thức, bất đẳng thức, tính chất hàm số Luận văn sưu tầm nhiều toán đề thi Đại học, thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic Vì vậy, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo nhằm nâng cao kiến thức cho học sinh Trung học phổ thông Mặc dù trình làm luận văn, tác giả nghiêm túc có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 77 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tài Chung (2015), Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, NXB Tổng hợp TPHCM [2] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình khơng mẫu mực, NXB ĐHQGHN [3] Nguyễn Văn Lộc (2012), Tuyển chọn thi vơ địch Tốn địa phương, NXB ĐHQGHN [4] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)- Phạm Văn Hùng - Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB ĐHQGHN [5] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB GD [6] Đặng Thành Nam (2014), Những điều cần biết luyện thi Đại học kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, NXB ĐHQGHN [7] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm số giải Toán, NXB ĐHQGHN [8] Mai Xuân Vinh (Chủ biên) - Phạm Kim Chung - Phạm Chí Tuân - Đào Văn Chung - Dương Văn Sơn (2015), Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trình, NXB ĐHQGHN [9] Ban tổ chức kỳ thi, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, NXB GD 78 ... văn thạc sĩ Luận văn chia làm ba chương: Chương Một số kiến thức Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Chương Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2015... Ngần Chương Một số kiến thức 1.1 1.1.1 Hệ phương trình Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng a1 x + b y = c a2 x + b y = c Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình. .. 1.2 Phương pháp 1.2.1 Phương pháp cộng đại số 1.2.2 Phương pháp Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2 Phương