2.3.1 Phép biến đổi symplectic
Trước tiên, ta hãy bắt đầu với mặt phẳng 2 chiều sinh bởi hai véc tơ ξ =
ξq ξp
, η =
ηq ηp
trong không gian(q, p). Trên mặt phẳng này, ta xét hình bình hành
P = {tξ +sη|0 ≤ t≤ 1,0≤ s ≤ 1}. (2.5) Khin = 1, ta xét đại lượng
det
ξp ηp ξq ηq
= ξpηq −ξqηp := oa(P). (2.6) và gọi đây là diện tích có hướng của hình bình hànhP. Trong trường hợp tổng quátn > 1, ta gọi diện tích có hướng của hình bình hànhP định nghĩa ở (2.5) là tổng của các diện tích có hướng của các hình chiếu củaP lên những mặt phẳng tọa độ(qj, pj), j = 1, . . . , n, tức là
ω(ξ, η) :=
n
X
j=1
det
ξjp ηpj ξjq ηqj
=
n
X
j=1
(ξjpηqj −ξjqηjp). (2.7) Có thể nhận thấy,ωlà một dạng song tuyến tính, phản đối xứng, không suy biến trênRn. Sử dụng ma trận Poisson, ta có thể biểu diễn nó ở dạng
ω(ξ, η) = ξTJ η.
Ánh xạ này còn được gọi là dạng symplectic chính tắc[4].
Tiếp đến, ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính symplectic. Một ánh xạ tuyến tính A :R2n −→R2n được gọi là symplectic nếu
ATJ A = J.
Ở đây, ta đã đồng nhất một ánh xạ tuyến tính với ma trận của nó trong cơ sở chính tắc củaR2n. Ta có thể chỉ ra định nghĩa này tương đương với
ω(Aξ, Aη) = ω(ξ, η), ∀ξ, η ∈ Rn.
Nói cách khác, ánh xạ symplectic là ánh xạ bảo toàn dạng symplectic chính tắc.
Về mặt hình học, khin = 1, symplectic chính là bảo toàn diện tích có hướng.
Sử dụng khái niệm ánh xạ tuyến tính symplectic, ta có thể định nghĩa tính symplectic cho một ánh xạ phi tuyến khả vi liên tục cấp một thông qua xấp xỉ địa phương tuyến tính của nó, Jacobian. Ánh xạ g : U(⊂ R2n) −→ R2n, lớp C1, được gọi làsymplecticnếu ma trận Jacobig0(q, p)của nó là symplectic, tức là,
g0(q, p)TJ g0(q, p) = J.
Để giải thích ý nghĩa hình học của phép biến đổi phi tuyến symplectic, nhắc lại rằng nếu tậpK ⊂ R2 compact thì diện tích của nó có thể biểu thị dưới dạng
Ω(K) = Z Z
K
dsdt,
giới hạn của tổng diện tích các hình bình hành chứa trongK. Theo đó, nếu ánh xạg là symplectic thì nó sẽ bảo toàn diện tích củaK [6, Bổ đề 2.3].
2.3.2 Tính symplectic của dòng Hamilton
Sau đây, ta phát biểu khẳng định chính của mục này. Nó được biết đến lần đầu tiên bởi Poincaré năm 1899. Chúng tôi chọn cách trình bày trong [6, Định lý 2.4].
Định lí 2.1. Giả sử H(q, p) liên tục khả vi cấp hai trên một tập mở U ⊂ R . Khi đó, với mỗi t, dòng ϕt là một phép biến đổi symplectic.
Chứng minh. Để tiện cho trình bày, ta sử dụng dạng (2.3) của hệ Hamilton.
Trước tiên, xét đạo hàm∂ϕt/∂y0. Nó là nghiệm của phương trình biến phân Ψ =˙ J∇2H(ϕt(y0)),
với∇2H(q, p) là ma trận Hessian của hàm năng lượngH(q, p). Từ đó, với lưu ý JTJ = I vàJ2 = −I, ta có
d dt
∂ϕt
∂y0 T
J
∂ϕt
∂y0 !
= d
dt
∂ϕt
∂y0 T
J
∂ϕt
∂y0
+
∂ϕt
∂y0 T
J d
dt
∂ϕt
∂y0
=
∂ϕt
∂y0
T
∇2H(ϕt(y0))JTJ
∂ϕt
∂y0
+
∂ϕt
∂y0 T
J J∇2H(ϕt(y0))
∂ϕt
∂y0
= 0.
Nói cách khác
∂ϕt
∂y0
T
J
∂ϕt
∂y0
là một đại lượng không đổi theo thời gian. Nhưng do ∂ϕ0
∂y0 T
J
∂ϕ0
∂y0
t0
= J nên
∂ϕt
∂y0 T
J
∂ϕt
∂y0
= J (2.8)
với mỗit. Hayϕt là một phép biến đổi symplectic.
Ở chiều ngược lại, người ta xét câu hỏi rằng nếu dòng của một phương trình vi phân là một phép biến đổi symplectic thì liệu phương trình vi phân đó có thể
viết được dưới dạng một hệ Hamilton. Câu trả lời khẳng định sau đây được đưa ra trong [6, Định lý 2.6].
Để diễn đạt được, ta cần đến khái niệm Hamilton địa phương. Phương trình vi phân y˙ = f(y) được gọi là Hamilton địa phương nếu với mỗi y0 ∈ U, tồn tại một lân cận sao cho có hàm H để cho f(y) = J∇H(y). Việc có thể biểu thị được dưới dạng hệ Hamilton của phương trình vi phân còn được đề cập đến như làđặc trưng Hamilton của phương trình vi phân đó.
Để chứng minh định lý, ta cần đến bổ đề sau [6, Bổ đề 2.7].
Bổ đề 2.2. Giả sử D ⊂ Rn là một tập mở và f : D −→ Rn là một hàm khả vi liên tục và giả sử thêm rằng Jacobianf0(y) của nó là một ma trận đối xứng trênD. Khi đó, với mỗiy0 ∈ D, tồn tại một lân cận và một hàmH(y)sao cho
f(y) =∇H(y) trên lân cận đó.
Định lí 2.3. Chof : U −→ R2n là một hàm khả vi liên tục. Khi đó,y˙ = f(y) là Hamilton địa phương khi và chỉ khi dòng của nóϕt(y)là một phép biến đổi symplectic với mỗiy và vớitđủ nhỏ.
Chứng minh. Điều kiện cần đúng do kết quả của Định lý 2.1 và điều kiện Hamil- ton địa phương yếu hơn điều kiện Hamilton.
Giả sử dòng của phương trình là symplectic, tức nó thỏa mãn phương trình (2.8). Đạo hàm hai vế theotphương trình này, với lưu ý rằng∂ϕt/∂y0là nghiệm của phương trình biến phânΨ =˙ f0(ϕt(y0))Ψ, ta thu được
d dt
∂ϕt
∂y0
T
J
∂ϕt
∂y0
!
=
∂ϕt
∂y0
T
f0(ϕt(y0))TJ +J f0(ϕt(y0)
∂ϕt
∂y0
= 0.
Cho t = 0, ta suy ra J f (y0) là một ma trận đối xứng. Áp dụng Bổ đề 2.2, ta suy ra tồn tại hàm khả vi H sao cho f(y) = ∇H(y). Nói cách khác, phương trình vi phân đã cho là một hệ Hamilton trong lân cận nào đó củay.
Nhận xét 2.4. Nếu U là miền hình sao, nghĩa là tồn tại một điểm gốc sao cho với mỗi tia tạo bởi điểm gốc và điểm bất kỳ thuộc miền thì nằm hoàn toàn trong miền, hay U là toàn không gian thì hàm H ở Định lý 2.3 tồn tại toàn cục và ta có sự tương đương giữa tính symplectic và tính Hamiltonian.
Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày định lý về mối quan hệ giữa tính symplectic của một phép biến đổi tọa độ và việc bảo toàn đặc trưng Hamilton của phương trình vi phân của phép biến đổi đó.
Định lí 2.5. Cho ψ : U −→ V là một phép biến đổi tọa độ địa phương sao cho ψ và ψ−1 đều là các hàm khả vi liên tục. Nếu ψ symplectic thì nó sẽ bảo toàn dạng Hamilton của một hệ Hamilton bất kỳ, tức là nếu có hệ Hamilton
˙
y = J∇H(y) và đặtz = ψ(y)thì ta có hệ Hamilton trong tọa độ mới
˙
z = J∇K(z)với K ◦ψ = H. (2.9)
Ngược lại, nếu một phép biến đổi ψ mà biến mỗi hệ Hamilton thành một hệ Hamilton mới xác định như ở(2.9) thìψlà một phép biến đổi symplectic
Chứng minh. Trước tiên, theo công thức đạo hàm hàm hợp, ta có z˙ = ψ0(y) ˙y vàψ0(y)T∇K(z) = ∇H(y). Theo đó, hệ Hamiltoniany˙ = J∇H(y)trở thành
˙
z = ψ0(y)J ψ0(y)T∇K(z) (2.10) trong tọa độ mới. Đẳng thức (2.10) tương đương với (2.9) nếu
ψ0(y)J ψ0(y)T = J. (2.11)
Nhân bên trái của (2.11) với ψ0(y)−1, bên phải với ψ0(y)−T rồi lấy nghịch đảo hai vế kết quả, với lưu ý rằngJ−1 = −J, ta thu được
ψ0(y)TJ ψ0(y) =J.
Điều này có nghĩa là ψlà một phép biến đổi symplectic.
Chiều ngược lại của khẳng định được suy ra từ việc (2.10) là hệ Hamilton với mọiK nếu và chỉ nếu (2.11) xảy ra hay tương đương với việcψ là symplectic.