Phân tích dữ liệu bài tập nhóm một số kiến thức cơ bản về toán và thống kê

Ma trận chuyển vị - Một ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu A’, là ma trận cấp n x m có các cột chính là các dòng tương ứng của A.. Ma trận trực giao - Ma trận trực giao là một loại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN

-*** -PHÂN TÍCH DỮ LIỆU

Bài tập nhóm: Một số kiến thức cơ bản về toán và thống kê

Lớp học phần: Phân tích dữ liệu

Nhóm thực hiện: Nhóm 2

5) Nguyễn Thị Mai Hương 11212534

Hà Nội 2023

A KIẾN THỨC TOÁN

Khái niệm về ma trận

Ma trận cấp m x n, ký hiệu: A=(a ij)m x n là một bảng m x n số xếp theo m dòng và n

cột:

a m 1 a m 2 … a mn)

Trong đó a ij được gọi là phần tử thuộc dòng i cột j của ma trận A.

Ví dụ:

A=[−54 113 −10 ]

là một ma trận cấp 2 x 3 Đối chiếu với ký hiệu tổng quát thì các phần tử của A là: a11=5, a12=3, a13=−1,a21=−4, a22=11, a23=0.

1 Ma trận chuyển vị

- Một ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu A’, là ma trận cấp n x m có các cột chính là các dòng tương ứng của A

- Phép biến đổi ma trận A thành ma trận A’ được gọi là phép chuyển vị ma

- Một số tính chất của ma trận chuyển vị bao gồm:

+ (A+B)’ = A’+B’

+ (A’)’ = A

+ (kA)’ = kA’

+ (AB)’ = B’A'

- Nếu xoay các dòng của A thành các cột (các cột thành các dòng) với thứ tự tương ứng ta được một ma trận cấp m x n:

a m 1 a m 2 … a mn)= ¿A '=(a11 a21 … a m1

a 1 n a 2 n … a mn)

- Nếu gọi a’ij là phần tử thuộc dòng i cột j của ma trận chuyển vị A’ thì ta có:

a’ij = aij (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, , m)

Ví dụ:

A=[1 2 5

6 7 9]→ A '

=[1 62 7

5 9]

2 Ma trận vuông

- Ma trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau Một ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n

- Dạng tổng quát của ma trận vuông cấp n:

A(a ij)n x n=(a11 a12 … a 1 n

a n 1 a n 2 … a nn)

a11, a22, … , a nn: Các phần tử trên đường chéo chính

a 1n , a2(n−1), … , a n1: Các phần từ nằm trên đường chéo phụ

- Vị trí của các phần tử aij so với đường chéo chính được xác định theo chỉ số i, j như sau

+ aij thuộc đường chéo chính khi và chỉ khi i = j

+ aij nằm phía trên đường chéo chính khi và chỉ khi i < j

+ aij nằm phía dưới đường chéo chính khi và chỉ khi i > j

- Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng một bậc có thể được cộng và nhân với nhau.

Ví dụ

A=[−2 71 3]

3 Ma trận đối xứng

- Một ma trận đối xứng là một ma trận vuông mà ma trận chuyển vị của nó

bằng chính nó Nói cách khác, nếu A là một ma trận đối xứng, thì ma trận chuyển vị của A sẽ bằng A

- Một số tính chất của ma trận đối xứng bao gồm:

+ Các phần tử a ij của ma trận A bằng các phần tử

+ Tổng hai ma trận đối xứng cũng là một ma trận đối xứng

+ Tích của một ma trận đối xứng với một ma trận khác không nhất thiết

là một ma trận đối xứng

- VD:

Ma trận A=[1 2 32 4 5

3 5 6] => Ma trận chuyển vị A '=[1 2 32 4 5

3 5 6]

4 Ma trận chéo

- Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo

chính bằng 0 Đường chéo chính là đường chéo từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải của ma trận

- VD:

Ma trận chéo A=[2 0 00 4 0

0 0 7]

- Trong ma trận này, tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính (các phần

tử không thuộc các vị trí (i, i)) đều bằng 0 Các phần tử trên đường chéo chính

có thể là bất kỳ giá trị nào

- Một số tính chất của ma trận chéo bao gồm:

+ Tổng hai ma trận chéo là một ma trận chéo

+ Tích của một ma trận chéo với một ma trận khác có thể không còn là

ma trận chéo nữa

- Trường hợp đặt biệt, Khi a11=a22=…=a nn, ma trận đường chéo được gọi là ma

trận vô hướng

5 Ma trận đơn vị

- Ma trận đường chéo có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được

gọi là ma trận đơn vị Mỗi cấp ma trận vuông có một ma trận đơn vị được ký

hiệu bằng chữ E:

E=[1 0 00 1 0

0 0 1]

- Trong ma trận đơn vị, các phần tử tại vị trí (i, i) (các phần tử trên đường chéo chính) đều bằng 1, và các phần tử còn lại đều bằng 0

- Ma trận đơn vị có tính chất đặc biệt là khi nhân một ma trận bất kỳ với ma trận đơn vị, ta sẽ thu được ma trận ban đầu

6 Ma trận trực giao

- Ma trận trực giao là một loại ma trận vuông, với các phần tử là số thực hoặc không phức tạp, mà khi chuyển vị (hoán đổi hàng và cột) của nó bằng với ma trận nghịch đảo của nó Điều này có nghĩa là tích của ma trận ban đầu với ma trận chuyển vị của nó là ma trận đơn vị

+ A là ma trận trực giao khi AT= A-1

+ A’ A= A A’ = I (I là ma trận đơn vị)

Ví dụ:

7 Hạng của ma trận

7.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

- Định thức con cấp k của ma trận: Cho A là ma trận cấp m x n; k là số tự nhiên

1 ≤ k ≤ min{m, n} Chọn ra k dòng và k cột bất kỳ của A Các phần tử thuộc giao của

k dòng, k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k, gọi là ma trận con cấp k của ma trận

A Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A.

7.1.1 Định nghĩa hạng của ma trận

Cho A là ma trận cấp m x n khác không

Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m, n} thỏa mãn các điều kiện sau :

1 Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0

2 Mọi định thức con cấp lớn hơn r ( nếu có) của ma trận A đều bằng 0)

Tức là, hạng của ma trận A ≠ 0 chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A

Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A) hoặc r(A)

Quy ước: Hạng của ma trận 0 là 0

7.1.2 Các tính chất cơ bản về hạng của ma trận

1 Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức là r( At )= r(A)

2 Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:

r (A) = n ⇔ det A ≠ 0

r (A) < n ⇔ det A = 0

Nếu xảy ra trường hợp đầu, ta nói A là ma trận vuông không suy biến Nếu xảy ra trường hợp thứ hai, ta nói A là ma trận vuông suy biến

3 Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì:

r (A + B) ≤ r (A) + r (B)

4 Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB Khi đó:

r (AB) ≤ min{r (A), r (B)};

Nếu A là ma trận vuông không suy biến thì r{AB} = r (B)

7.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức

- Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra các bước để tìm hạng của ma trận A cấp m x n (A ≠ 0)

+ Bước 1: Tìm một định thức con cấp k khác 0 của A Số k càng lớn

càng tốt Giả sử định thức con cấp k khác không là Dk

+ Bước 2: Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A bao quanh Dk

Xảy ra 3 khả năng sau :

1 Không có một định thức con cấp k + 1 nào của A Khả năng này xảy ra khi và chỉ khi k = min{m, n} Khi đó, r (A) =k = min{m, n} Thuật toán kết thúc

2 Tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức con Dk

đều bằng 0 Khi đó, r (A)=k Thuật toán kết thúc

3 Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 bao quanh Dk

thì ta lại chuyển sang xét các định thức k + 2 bao quanh Dk+1 (nếu có) Lặp lại quá trình này sau một số hữu hạn bước ta sẽ xác định được hạng của ma trận

Ví dụ : Tìm hạng của ma trận:

A=(6 71 2 38

7 9 11

13 15)3 x5

= ¿r ( A )?

Giải

Vì là ma trận cỡ 3 x 5 nên chỉ có thể có các định thức con cấp 3 trở xuống

+ Xét định thức con cấp 3

Vì hàng 3 bằng tổng của hàng 1 và 2 => Các định thức cấp 3 đều = 0 (tính chất 6)

=> r(A) < 3

+ Xét định thức cấp 2

(1 26 7)=−5 ≠ 0

¿ >r ( A )=2

7.3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đối sơ cấp (Phương pháp Gause)

Một vài khái niệm cần nhớ

7.3.1 Ma trận bậc thang

- Xét ma trận bậc thang có dạng :

Nếu xóa đi các dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0 phía dưới dòng thứ s(nếu có) thì hạng của ma trận trên không thay đổi ( do mỗi dòng đó biểu diễn tuyến tính qua các dòng còn lại) Mặt khác ta thấy ma trận trên có một định thức cấp s khác 0 :

= b11b22 bss

Điều này chứng tỏ hạng của ma trận trên bằng s

Tức là, hạng của ma trận bậc thang bằng số dòng khác không của nó.

7.3.2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

- Ba phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận:

1 Đổi chỗ 2 dòng cho nhau

2 Nhân 1 dòng cho 1 số khác 0

3 Cộng vào một dòng tích của dòng khác với 1 số khác 0

- Tương tự, bằng cách thay dòng thành cột, ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận

7.3.3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi

sơ cấp

- Nội dung của phương pháp này dựa trên hai nhận xét khá đơn giản sau:

1 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

2 Một ma trận khác 0 bất kỳ đều có thể đưa về dạng bậc thang sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

- Như vậy, muốn tìm hạng của ma trận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa A về dạng bậc thang, do nhận xét (1), hạng của A bằng hạng của ma trận

bậc thang, và ta đã biết hạng của ma trận bậc thang chính bằng số dòng khác không của nó

Xét ma trận:

+ Bước 1:

Bằng cách đổi chỗ 2 dòng cho nhau (nếu cần), ta giả sử a11 ≠ 0

Nhân dòng (1) với −a21

a11 , cộng vào dòng (2),

Nhân dòng (1) với - a31

a11, cộng vào dòng (3),

Nhân dòng (1) với - a n 1

a11, cộng vào dòng (n)

Ta nhận được ma trận:

+ Bước 2:

Xét ma trận :

Nếu B = O hoặc B có dạng bậc thang thì A1 là ma trận bậc thang, thuật toán kết thúc Trong trường hợp ngược lại, tiếp tục lặp lại bước 1 cho ma trận B Cần chú ý rằng ma trận B có ít hơn ma trận A 1 dòng và 1 cột Do đó, sau một số hữu hạn bước lặp, B sẽ là ma trận không hoặc ma trận bậc thang Khi đó thuật toán sẽ kết thúc

7.4 Ví dụ

Tìm hạng của ma trận:

Giải

Vậy r (A) = 3

7.5 Hạng của ma trận phụ hợp

Cho A = ( aij) n x n (n > 2) là ma trận vuông cấp n, khi đó :

1 r(A) = n ⇔ r(A*) = n ;

2 r(A) ≤ n - 2 ⇔ r(A*) = 0 ;

Ví dụ :

7.6 Hạng của ma trận tổng và tích

Định lý : Cho 2 ma trận A và B :

1 r( A + B ) ≤ r(A) + r(B) ;

2 r(AB) ≤ min { r(A) ; r(B) } ( r(AB) ≤ r(A) ; r(AB) ≤ r(B) )

Ví dụ : Cho A = ( aij) 5 x 3

a, Tìm ma trận phụ hợp của A x A’

b, Tìm ma trận phụ hợp của ( -3AA’)2017

a, A5x3 A’3x5 = AA’5x5 => r(AA’) ≤ r(A) ≤ 3

=> Tất cả các định thức con cấp 4 của ma trận AA’ bằng 0 Vậy (AA’)* = 0

b, r [ (-3AA’)2017] ≤ r(AA’) ≤ r(A) ≤ 3

=> [ (-3AA’)2017]* = O5x5

7.7 Khảo sát hạng của hệ vectơ

Cho hệ m vectơ n chiều X1 , X2, …, Xm Gọi A là ma trận nhận X1 , X2, …, Xm

theo thứ tự đó làm các dòng Khi đó, r { X1 , X2, …, Xm } = r(A) :

1 Khi r { X1 , X2, …, Xm } = m khi và chỉ khi hệ vectơ X1 , X2, …, Xm độc lập tuyến tính;

2 Khi r { X1 , X2, …, Xm } < m khi và chỉ khi hệ vectơ X1 , X2, …, Xm phụ thuộc tuyến tính