CarmichaelThis eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and withalmost no restrictions whatsoever.. You may copy it, give it away orre-use it under the terms of the Project Gut
Ð.inh ngh˜ıa Ph´ep chia Ðo ,
n v.i Ð INH NGH ˜IA M ôt sô´ nguyên adu¯ ,
.o, c g oi l`a chia hê´tcho m ôt sô´ nguyênbnê´u tô`n t ai m.ôt sô´ nguyên c sao choa.
T `u, d.inh ngh˜ıa n`ay r˜o r`ang¯ ac ˜ung chia hê´t choc C ´ac sô´ nguyên b v `a c du¯ ,
.o, c cho l `a u,´o,cho ˘ac th `u, a sô´c, ua a; v `a a du¯ ,
.o, c cho l `a b ôi sô´c, ua b ho ˘ac c, ua c Qu ´a tr`ınh t`ım hai sô´ nguyên b v `a c sao cho bcb `˘ang m ôt sô´ nguyên ad ˜a cho ¯¯ du,
.o, c g oi l`aqu ´a tr`ınh phân gi, ai a th `anh th `u, a sô´ ho ˘ac t´ınh th`u, a sô´a; v `a adu¯ ,
.o, c phân gi, ai th `anh c ´ac yê´u tô´ ho ˘ac ¯du,
Ch ´ung ta c´o c ´ac ¯d.inh l´y co, b, an sau:
I Nê´ub l `a u,´o,c c, uaa v `a c l `a u,´o,c c, uab th`ı c l `a u,´o,c c, uaa. V`ı bl `a u,´o,c c, ua a nên tô`n t ai m.ôt sô´ nguyênβsao choa=bβ V`ı cl `a u,´o,c c, ua bnên tô`n t ai m.ôt sô´ nguyênγsao chob=cγ Thay gi ´a tr.i n`ay c, ua b v `ao phu, o, ng tr`ınh a=bγta c´o a=cγβ Nhu, ng theo d.inh l´y III c¯ , ua § 1.1th`ıγβl `a m ôt sô´ nguyên; do ¯d´o,cl `a u,´o,c c, ua a, nhu, d ˜a ¯¯ du,
II Nê´u c l `a u,´o,c c, ua c, aa v `a b th`ı c l `a u,´o,c c, ua tô, ng c, uaa v `a b.
T `u, gi, a thuyê´t c, ua ¯d.inh l´y, theo ¯d´o tô`n t ai c´ac sô´ nguyênα v `aβ sao cho a=cα, b=cβ. Thêm, ch ´ung ta c´o a+b=cα+cβ=c(α+β)=cδ, trong ¯d´oδl `a m ôt sô´ nguyên Do ¯d´o,cl `a u,´o,c c, uaa+b.
III Nê´uc l `a u,´o,c c , ua c, aa v `a b th`ı c l `a u,´o,c c , ua hi.êu c, uaa v `a b.
Ch ´u, ng minh tu, o, ng t u, nhu, ch ´u, ng minh c, ua ¯d.inh l´y tru,´o,c. Ð INH NGH ˜IA Nê´uav `ab c `ung chia hê´t cho cth`ı c du¯,
.o, c cho l `a u,´o,c chungho ˘ac nhân t, u,chung c, ua av `a b.
C ´u, hai sô´ nguyên c´o th `u, a sô´ chung 1 Sô´ nguyên l´o, n nhâ´t chia hê´t b, o,i c, aav `a bdu¯ ,
.o, c g oi l`au,´o,c chung l´o,n nhâ´tc, uaav `ab.
N´oi chung ho,n, ch ´ung ta x ´ac ¯d.inh theo c´ach tu,o, ng t u, m ôt u,´o,c sô´ chung v `a u,´o,c sô´ chung l´o,n nhâ´t c, ua nsô´ nguyêna 1 ,a 2 , .,a n Ð INH NGH ˜IA Nê´u m ôt sô´ nguyên a l `a b ôi c, ua m˜ôi hai ho ˘ac nhiê`u sô´ nguyên th`ı n´o ¯du,
.o, c g oi l`a b.ôi chung c, ua nh˜u,ng sô´ nguyên n `ay T´ıch c, ua bâ´t k `y t âp h.o, p sô´ nguyên n `ao l `a b ôi sô´ chung c, ua t âp h.o, p Sô´ nguyên nh, o nhâ´t l `a b ôi sô´ c, ua m˜ôi hai ho ˘ac nhiê`u sô´ nguyên ¯du,
.o, c g oi l`a b.ôi sô´ chung nh, o nhâ´t c, ua ch ´ung.
R˜o r `ang l `a sô´ nguyên 1 l `a u,´o,c c, ua m oi sô´ nguyên v`a n´o l`a sô´ nguyên duy nhâ´t c´o thu ôc t´ınh n`ay N´o ¯du,
.o, c g oi l`a ¯do, n v.i. Ð INH NGH ˜IA Hai ho ˘ac nhiê`u sô´ nguyên không c´o h.ê sô´ chung ngo ai tr`u,1 ¯du,
.o,c cho l `a nguyên tô´ v´o, i nhau ho ˘ac l`a nguyên tô´ c `ung nhau. Ð INH NGH ˜IA Nê´u m ôt t âp h.o,p c ´ac sô´ nguyên không hai trong sô´ ch ´ung c´o m ôt u,´o,c sô´ chung ngo`ai 1 m`a ch´ung ¯du,.o,c cho l`a nguyên tô´ t `u, ng nguyên tô´.
1 Ch ´u, ng minh r `˘angn 3 −nchia hê´t cho 6 v´o, i m oi sô´ nguyên du, o, ng n.
2 Nê´u t´ıch c, ua bô´n sô´ nguyên liên tiê´p ¯du,
.o, c t ˘ang thêm 1 th`ı kê´t qu, a l `a m ôt sô´ b`ınh phu,o,ng.
3 Ch ´u, ng t, o r `˘ang 2 4n + 2 +1 c´o h ê sô´ kh´ac v´o, i ch´ınh n´o v `a 1 khinl `a m ôt sô´ nguyên du, o,ng.
Sô´ nguyên tô´ Chu˜ôi Eratosthenes
Ð INH NGH ˜IA Nê´u m ôt sô´ nguyên pkh ´ac 1 v `a không c´o u,´o,c sô´ n `ao ngo ai tr`u, ch´ınh n´o v `a 1 th`ı n´o ¯du,
.o, c cho l `a m ôt sô´ nguyên tô´ ho ˘ac l`a m.ôt sô´ nguyên tô´. Ð INH NGH ˜IA M ôt sô´ nguyên c´o ´ıt nhâ´t m.ôt u,´o,c sô´ kh´ac v´o,i ch´ınh n´o v `a 1 ¯du,
.o, c cho l `a m ôt sô´ h.o, p ho ˘ac l`a h.o,p sô´.
Do ¯d´o, tâ´t c, a c ´ac sô´ nguyên ¯du,
Ch ´ung ta ¯d ˜a thâ´y r `˘ang l´o, p ¯dâ`u tiên ch, ı ch ´u, a m ôt sô´ duy nhâ´t. L´o,p th ´u, ba r˜o r `ang ch ´u,a vô sô´ c ´ac sô´; for, n´o ch ´u,a tâ´t c, a c ´ac sô´
2 2 , 2 3 , 2 4 , Trong phâ`n tiê´p theo, ch ´ung ta s˜e ch, ı ra r `˘ang l´o,p th ´u, hai c ˜ung ch ´u, a vô sô´ c ´ac sô´ Bây gi`o, ch ´ung ta s˜e ch, ı ra r `˘ang m oi sô´ c, ua l´o, p th ´u, ba ¯dê`u ch ´u, a m ôt trong l´o, p th ´u, hai l `a m ôt th`u, a sô´, b `˘ang c ´ach ch ´u,ng minh ¯d.inh l´y sau:
I.M oi sô´ nguyên l ´o,n ho, n 1 ¯dê`u c´o th `u, a sô´ nguyên tô´.
G oiml `a bâ´t k `y sô´ nguyên n `ao l´o, n ho, n 1 Ch ´ung ta ph, ai ch ´u, ng minh r `˘ang n´o c´o m ôt th`u, a sô´ nguyên tô´ Nê´umnguyên tô´ th`ı ch´ınh mth `u,a sô´ nguyên tô´ Nê´u mkhông ph, ai l `a sô´ nguyên tô´, ch ´ung ta c´o m=m 1 m 2 trong ¯d´o m 1 v `a m 2 l `a c ´ac sô´ nguyên du, o, ng, c, a hai ¯dê`u nh, o ho, n m. Nê´u m 1 ho ˘ac m 2 l `a sô´ nguyên tô´, do ¯d´o ch ´ung ta s˜e thu ¯du,
.o, c m ôt th `u,a sô´ nguyên tô´ l `a m Nê´u không c´o sô´ n `ao trong sô´ n `ay l `a sô´ nguyên tô´ th`ı viê´t m 1 =m ′ 1 m ′ 2 , m ′ 1 >1,m ′ 2 >1.
2 dê`u l `a h ê sô´ c¯ , ua mv `a m˜ôi h ê sô´ nh, o ho, n m 1 Ch ´ung ta không t`ım thâ´y trongm ′ 1 ho ˘acm ′ 2 m ôt th`u, a sô´ nguyên tô´ c, uam ho ˘ac qu´a tr`ınh c´o thê, du¯ , o, c tiê´p t uc b`˘ang c´ach t´ach m.ôt trong nh˜u,ng sô´ n `ay th `anh c ´ac th `u,a sô´ V`ı ¯dô´i v´o,i bâ´t k `ymn `ao cho tru,´o,c r˜o r`ang ch, ı c´o m ôt sô´ h˜u, u h an c´ac bu,´o,c nhu, v.ây c´o thê, th u, c hi ên ¯du,
.o, c, nên r˜o r `ang l `a cuô´i c `ung ch ´ung ta ph, ai ¯di ¯dê´n m ôt th`u,a sô´ nguyên tô´ l `a m T `u, kê´t lu ân n`ay, ¯d.inh l´y ¯du,
.o,c ¯du,a ra ngay sau ¯dây.
Eratosthenes ¯d ˜a ¯du, a ra m ôt phu,o, ng ti ên h˜u,u ´ıch ¯dê, t`ım c ´ac sô´ nguyên tô´ nh, o ho, n bâ´t k `y sô´ nguyên n `ao ¯d ˜a chom N´o c´o thê, ¯ du, o, c mô t, a nhu, sau:
M oi sô´ nguyên tô´ tr`u,
2 ¯dê`u l `a sô´ l, e Do ¯d´o nê´u ch ´ung ta viê´t ra m oi sô´ l, e t `u,3 ¯dê´n m, ch ´ung ta s˜e c´o n´o trong danh s ´ach m oi sô´ nguyên tô´ nh, o ho,n mngo ai tr`u,2 Bây gi`o,3 l `a sô´ nguyên tô´ Ðê, n´o trong danh s ´ach; nhu, ng b ´˘at ¯dâ`u ¯dê´m t `u,
3 g ach b, o m oi sô´ th ´u, ba trong danh s ´ach Do ¯d´o, m oi sô´ chia hê´t cho 3, ngo ai tr`u,3, ¯dê`u b.i h, uy b, o Sau ¯d´o, b ´˘at ¯dâ`u t `u,sô´ 5 v `a h, uy b, o m oi sô´ th ´u,n ˘am Sau ¯d´o, b ´˘at ¯dâ`u t `u, sô´ tiê´p theo chu, a viê´t, c u thê, l `a 7, v `a g ach b, o m oi sô´ th ´u, b, ay Sau ¯d´o, b ´˘at ¯dâ`u t `u,sô´ chu,a viê´t ch´ınh t, a tiê´p theo, c u thê, l `a 11, v `a g ach b, o m oi sô´ th ´u,mu,`o,i m.ôt Tiê´p t uc theo c ´ach n `ay lên ¯dê´n m.
C ´ac sô´ chu, a viê´t ngu,
.o, c c`on l ai s˜e l`a c´ac sô´ nguyên tô´ l, e không l´o, n ho,nm.
R˜o r `ang l `a qu ´a tr`ınh h, uy b, o n `ay không câ`n ph, ai ¯du, o, c th u, c hi ên ho `an to `an cho ¯dê´n nay nhu, ¯ d ˜a ch, ı ra; v`ı nê´u pl `a m ôt sô´ nguyên tô´ l´o, n ho, np m, th`ı vi êc h, uy bâ´t k `y sô´p th n `ao t `u,ps˜e ch, ı l `a s u, l ˘ap l ai c, ua c ´ac lâ`n h, uy ¯du, o, c th u, c hi ên b, o, i m ôt h.ê sô´ kh´ac nh, o ho,n ho,n p, nhu, ta thâ´y b `˘ang c ´ach s, u, d ung ¯d.inh l´y sau.
II M ôt sô´ nguyên m l `a sô´ nguyên tô´ nê´u n´o không c´o th `u,a sô´ nguyên tô´ b `˘ang ho ˘ac nh, o ho, n I, trong ¯d´oI l `a sô´ nguyên l ´o, n nhâ´t c´o b`ınh phu,o,ng b `˘ang ho ˘ac nh, o ho,nm.
V`ı mkhông c´o th `u, a sô´ nguyên tô´ n `ao nh, o ho, n I, nên theo ¯d.inh l ´y I, n´o không c´o th `u, a sô´ n `ao ngo ai tr`u, m ôt th`u,a sô´ nh, o ho,n I Do ¯ d´o, nê´umkhông ph, ai l `a sô´ nguyên tô´ th`ı n´o ph, ai l `a t´ıch c, ua hai sô´ m `a m˜ôi sô´ l´o, n ho, n I; v `a do ¯d´o n´o ph, ai b `˘ang ho ˘ac l´o, n ho, n (I+1) 2 Ðiê`u n `ay mâu thu ˜ân v´o,i gi, a thuyê´t vê`I; v `a do ¯d´o ch ´ung ta kê´t lu ân r `˘angml `a sô´ nguyên tô´.
B `˘ang phu, o, ng ph ´ap Eratosthenes x ´ac ¯d.inh c´ac sô´ nguyên tô´ ´ıt ho, n200.
Sô´ nguyên tô´ l `a vô h an
I.Sô´ nguyên tô´ l `a vô h an
Ch ´ung ta s˜e ch ´u,ng minh ¯d.inh l´y n`ay b`˘ang c´ach gi, a s, u,r `˘ang sô´ lu,
.o, ng c ´ac sô´ nguyên tô´ không ph, ai l `a vô h an v`a ch, ı ra r `˘ang ¯diê`u n `ay d ˜ân ¯dê´n m ôt mâu thu˜ân Nê´u sô´ nguyên tô´ không ph, ai l `a vô h an th`ı c´o m.ôt sô´ nguyên tô´ l´o,n nhâ´t, m `a ch ´ung ta s˜e k ´y hi êu l`a p. Sau ¯d´o t ao th`anh sô´
Bây gi`o,theo ¯d.inh l´y 1 c, ua § 1.3 N c´o m ôt u,´o,c sô´ nguyên tô´ l`a q. Nhu, ng m oi u,´o,c sô´không ph, ai ¯do, n v.i c, uaNr˜o r `ang l `a l´o, n ho, np Do ¯ d´o q l´o, n ho, n p, tr ´ai v´o, i kê´t lu ân r`˘ang p l `a sô´ nguyên tô´ l´o, n nhâ´t. Nhu, v ây vi.êc ch ´u,ng minh ¯d.inh l´y ¯d ˜a ho `an tâ´t.
Theo c ´ach tu,o, ng t u,, ch ´ung ta c´o thê, ch ´u,ng minh ¯d.inh l´y sau:
II.Trong sô´ c ´ac sô´ nguyên c, ua tiê´n tr`ınh sô´ h oc5,11,17,23, ., c´o vô sô´ sô´ nguyên tô´.
Nê´u sô´ sô´ nguyên tô´ trong d ˜ay n `ay không ph, ai l `a vô h an th`ı s˜e c´o m ôt sô´ nguyên tô´ l´o, n nhâ´t trong d ˜ay; gi, a s, u, r `˘ang sô´ nguyên tô´ l´o, n nhâ´t n `ay tô`n t ai, ch ´ung ta s˜e k´y hi.êu n´o b`˘ang p Sau ¯d´o, sô´N,
N=1ã2ã3ã .ãp−1, không chia hê´t cho bâ´t k `y sô´ n `ao nh, o ho, n ho ˘ac b`˘ang p Sô´N n `ay, c´o d ang 6n−1, c´o m ôt th`u, a sô´ nguyên tô´ Nê´u th `u, a sô´ n `ay c´o d ang 6k−1 th`ı ch ´ung ta ¯d ˜a ¯di ¯dê´n mâu thu ˜ân v `a ¯d.inh l´y c, ua ch ´ung ta ¯d ˜a du¯ ,
.o,c ch ´u, ng minh Nê´u sô´ nguyên tô´ c´o d ang 6k 1 +1 th`ı th `u,a sô´ b `u c´o d ang 6k 2 −1 M oi th`u, a sô´ nguyên tô´ c, ua 6k 2 −1 ¯dê`u l´o, n ho, n p.
Do ¯d´o, ch ´ung ta c´o thê, coi 6k2−1 nhu, ch ´ung ta ¯d ˜a l `am 6n−1 v `a v´o, i kê´t qu, a tu,o, ng t u, Do ¯d´o, cuô´i c `ung ch ´ung ta ph, ai ¯d at ¯dê´n m ôt th`u,a sô´ nguyên tô´ c´o d ang 6k 3 −1; ngu,
.o, c l ai, ch ´ung ta s˜e c´o 6n−1 ¯du,
.o, c biê, u th.i du,´o,i d.ang t´ıch c, ua c ´ac th `u, a sô´ nguyên tô´ c´o d ang 6t+1
— m ôt kê´t qu, a r˜o r `ang l `a không thê,
Do ¯d´o, trong m oi tru,`o,ng h.o,p, ch ´ung ta ph, ai ¯d at ¯du,
.o, c s u, mâu thu ˜ân c, ua gi, a thuyê´t V`ı v ây, c´ac d.inh l´y ¯¯ du,
C ´ac kê´t qu, a tru,´o,c ¯dây l`a c´ac tru,`o,ng h.o,p ¯d.˘ac bi.êt c, ua ¯d.inh l´y tô, ng qu ´at ho,n sau:
III.Trong sô´ c ´ac sô´ nguyên c, ua câ´p sô´ c ông a, a+d, a+2d, a+3d, , c´o vô h an sô´ nguyên tô´, v ´o, i ¯diê`u ki.ên l `a a v `a b tu, o, ng ¯dô´i nguyên tô´. Ðô´i v´o,i tru,`o,ng h.o,p ¯d ˘ac bi.êt cho trong ¯d.inh l´y II, ch ´ung ta c´o m.ôt ch ´u,ng minh so,câ´p; nhu,ng ¯dô´i v´o,i ¯d.inh l´y chung, vi.êc ch ´u,ng minh l `a kh´o Ch ´ung ta s˜e không ¯du, a n´o , o, ¯ dây.
1 Ch ´u, ng minh r `˘ang c´o vô sô´ sô´ nguyên tô´ c´o d ang 4n−1.
2 Ch ´u,ng t, o r `˘ang m ôt sô´ nguyên tô´ l, e c´o thê, du¯ , o,c biê, u di˜ên b `˘ang hi êu c, ua hai h`ınh vuông theo m ôt v`a ch, ı theo m ôt c´ach.
3 Biê, u th ´u, cm p −n p , trong ¯d´omv `anl `a c ´ac sô´ nguyên v `a pl `a m ôt sô´ nguyên tô´, l `a sô´ nguyên tô´ chopho ˘ac chia hê´t cho p 2
4 Ch ´u, ng minh r `˘ang bâ´t k `y sô´ nguyên tô´ n `ao ngo ai tr`u,
Ð.inh l´y co ,
Nê´u a v `a b l `a hai sô´ nguyên du,o, ng bâ´t k`y th`ı tô`n t ai c ´ac sô´ nguyên q v `a r, q> = 0, 0≦r < b, sao cho a=qb+r.
Nê´u al `a b ôi sô´ c, ua b th`ı ¯d.inh l´y ¯du,
.o, c x ´ac minh ngay l âp t ´u,c, r trong tru,`o,ng h.o,p n `ay l `a 0 Nê´uakhông ph, ai l `a b ôi c, ua b th`ı n´o ph, ai n `˘am gi˜u, a hai b ôi liên tiê´p c, ua b; ngh˜ıa l `a, tô`n t ai m.ôt q sao cho qb